Стохастическая задача Гильберта для n-аналитических функций в статической теории упругости однородного изотропного тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.4

© А.Э. Адигамов., A.B. Романков, 2013

А.Э. Адигамов, A.B. Романков

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ N-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ B СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОДНОРОДНОГО ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Исследована стохастическая задача Гильберта для полианалитических функций порядка n. Задача сводится к системе стохастических задач Гильберта. Приводятся необходимые и достаточные условия разрешимости.

Ключевые слова: полианалитическая функция, характеристический оператор, конформное отображение.

Рассмотрим решение стохастической задачи Гильберта для полианалитических функций порядка п > 2 . Напомним классическую постановку задачи Гильберта для полианалитических функций порядка п [1], [2]. Определить полианалитическую функцию порядка п.

Р (¿) = и (у) + IV (у) = (I)

р-1

в области О по граничному условию

д п-1и д

ак (5)-'—гт + Ьк (5)-7—гт = ск (г)

к дхп-кук-1 к дХ1 -к д'у7-1 .

(к = 1,2,..., п)

Здесь ак (5) , Ьк (5) , ск (5) - заданные на L действительные функции длины дуги, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до порядка ( 2п - к - 2) включительно, причем а\( 5) + Ь2к( 5) Ф 0 .

Теперь расширим класс функций, для которых рассматривается краевая задача Гильберта таким образом, чтобы граничные условия выполнялись почти наверное.

Ладим определение X - полианалитической функции порядка п. Определение 1. Функция

Р (¿) = и (х, у) + IV (х, у) = <Ро (I) + щ (I) +... + (*)

в области О называется Х-полианалитической порядка п, если для всех I е Б и всех открытых множеств и, для которых ш е Б Х-аналитические компоненты р0(1),...,рп(I) представимы в следующем виде [3]

р(I) = и'(х,у) + V(х,у) = М(ик(,УТ)) + 1М(V'(Х^)),(' = 0,...,п). (1)

Здесь М(А - математическое ожидание случайной функции, тш - момент первого выхода двумерного броуновского процесса из множества и.

Функции Uk и Vk связаны между собой соотношениями Коши-Римана. Можно показать, что справедливо утверждение [4]. Теорема 1. Пусть F - Х-полианалитическая функция порядка n, тогда Ап F = 0 ,

M(f (zj) - f (z)

где Af (z) = lim-2--характеристический оператор процесса.

M(rJ

Обратно, если F с C2n (D) и АпF = 0 , то F - Х-полианалитическая функция порядка n.

Сформулируем стохастическую задачу Гильберта для полианалитических функций порядка n.

Определить неизвестную Х-полианалитическую функцию порядка в области D комплексного переменного z = x - iy, ограниченной контуром L, по n граничным условиям

б n-lu б n-1v

ak (Std) 6xn-kбук-1 + bk (Std) б^-кбук-1 = Ck (S*D ) Sei . (2)

Здесь ak, bk, Ck - заданные на контуре L действительные функции такие что ак, bk e Н(2п-к-1) (D) , Ck e Н(п-1) (D) , a2K + % = 1 (условие нормировки). Краевые условия (2) можно переписать в следующем виде

" n-k k -1 n-1 "

Re

(ak - b )ik-11 C*.k I (-1)" Cf-i X *

a=0 f=0 p=a+ f (p a P)!

*(fP„ (Srn))(n-P-f-1)

\ = ^^ (S^) (3)

Пусть конформно отображающая функция со)) области О является полиномом.

Подставим в уравнение (3) а = а> (5) , преобразуем условие на контуре L в

краевое условие на единичной окружности Г, при этом

- 1 а = —. а

Введем п новых аналитических функций

п-к к-1 п-1 „ ( 1 Л , „ ,,

•>«»=5 еж-* «^¿¡^ж" ЙНсг • (4>

Относительно новых функций краевое условие (3) могут быть записаны в виде

Ке{(йк - А)ФкК)} = Ск(а(а1в)) . (5)

Краевые условия (5) представляют собой п стохастических краевых задач Гильберта для X - аналитических функций. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Стохастическая задача Гильберта для полианалитических функций в областях конформно отображающихся на круг полиномами, сводится к системе из п стохастических задач Гильберта для аналитических функций.

Можно показать, что число решений однородной задачи Гильберта для полианалитических функций } и число условий разрешимости для неоднородной задачи V полностью определяются индексами краевых коэффициентов, причем

п

1 - V =£ Ы (ак - Ь),

к=1

то есть задача (2) является нетеровой.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи - М: Наука, 1977. - 640 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука. 1966. - 707 с.

3. Оксендаль. Б. Стохастические дифференциальные уравнения. М.: Мир,»2003.- 300 с.

4. Романков A.B. Стохастическая задача Дирихле для бианалитических функций в теории упругости изотропного тела.//Труды института системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН). Динамика неоднородных систем. Выпуск 14. Т.53(4). 2010. С. 136-142. Е2Е

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Адигамов А.Э. - кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Московского государственного горного университета, [email protected];

Романков A.B. - производственное объединение «Кристалл», главный технолог, [email protected].

А

ГОРНАЯ КНИГА

Финансовая политика горных компаний

А.Ё. Пучков 2013 год 168 с.

ISBN: 978-5-98672-340-2 UDK: 622:338.23:336

Рассмотрен комплекс вопросов, определяющих финансы предприятий горнодобывающего производства, вопросы управления ими, методы их экономической оценки, финансовые ресурсы горных предприятий и результаты их использования в процессе добычи полезных ископаемых; а также методы оценки эффективности реализации инвестиционных проектов, внедрения новой техники и другие актуальные вопросы.

Для студентов, обучающихся по направлению «Экономика» и специальности «Финансы и кредит».