Стохастическая задача Гильберта для бианалитических функций в изотропной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

- © A.B. Юденков, A.B. Романков,

2012

УДК 51

A.B. Юденков, A.B. Романков

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ B ИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Решение задачи Гильберта для бианалитических функций выражается в терминах броуновского движения. Этот подход соединяет теорию краевых задач для бианалитических функций с вероятностной теорией потенциала.

Ключевые слова: бианалитическая функция, задача Гильберта, теория упругости, изотропное тело.

Задача Гильберта для бианалитических функций была поставлена Ф.Д. Гаховым в 1949 году [1]. Данная задача с одной стороны обобщает задачу Гильберта для аналитических функций, с другой стороны включает в себя как частный случай первую основную задачу теории упругости для изотропного тела.

Дадим классическую постановку краевой задачи Гильберта для бианалити-ческих функций.

Пусть Э односвязная область, ограниченная контуром Г. Требуется найти бианалитическую в области Б функцию

Г (г) = ф о (г) + z(p1 (г) (1)

по краевым условиям

дГ (ст)

Re

(ak (а) - ibk (а))

2-kz,,k-1

dx2-k dy

= Ck (а), ае Г . (2)

Здесь фk(k = 1,2) — аналитические компоненты; ak , bk , ck - заданные на контуре Г действительные функции. Будем считать, что выполнены условия нормировки

a2 + bl = 1.

Несложно видеть, что первая основная задача теории упругости для изотропного тела является частным видом задачи (2). Напомним, что краевые условия первой основной задачи теории упругости записываются следующим образом [3].

Re JX = Ci (а); Re J^ = C2 (а). (3)

Классическая задача Гильберта для бианалитических функций была рассмотрена в работах В.С.Рогожина, М.П.Ганина, К.М. Расулова. Достаточно полно основные методы решения задачи (2) и ее обобщений приведены в работах [5], [6].

Задача Гильберта для бианалитических функций (2) моделирует напряженное состояние упругого изотропного тела в случае, когда нагрузки, форма тела, упругие характеристики могут быть представлены детерминированными функция-

ми. Однако, во многих практических задачах указанные параметры носят случайный характер. Поэтому актуальной научной задачей является изменение постановки и методов решения задачи Гильберта таким образом, чтобы с ее помощью можно было определять случайные бианалитические функции.

В работе предлагается выразить решение задачи Гильберта для бианалити-ческих функций в терминах броуновского движения. Этот подход соединяет теорию краевых задач для бианалитических функций с вероятностной теорией потенциала [2].

Сформулируем понятие X — бианалитических функций.

Определение 1. Функция F (z) = U (x, y) + iV( x, y) = ф 0 (z) + zф1 (z) в области D ограниченной контуром Г называется X — бианалитической, если для всех z е D и всех открытых множеств W, для которых W е D , аналитические компоненты ф0 (z) и ф1 (z) представимы в следующем виде

Ф k (z) = Uk (x, y) + iVk (x, y) = M(Uk (Yw, YXw)) + iM{Vk (X^, Y^)) = M (< k (z^)), k=0,1. (4)

Здесь M (f) — математическое ожидание случайной функции, tw - момент первого выхода двумерного броуновского процесса из множества w. Функции Uк и Vk связаны между собой соотношения Коши-Римана.

Лемма 1. Пусть F — X — бианалитическая функция в области D плоскости комплексного переменного z, A — характеристический оператор, тогда A2 F = 0. (5)

Обратно, если F е C2 (D) и A2F = 0 в D, то функция F является X- биана-литической.

Доказательство.

Применим дважды к функции F (z) = ф 0 (z) + zф1 (z) характеристический оператор.

M(F(zXw)) - F(z) , ( ) M(<1 (zXw)) -<1 (z) a 0

AF=im—Mbj—=ф1 (z); AF=¡te——=Аф1 (z)=0.

Для доказательства обратного утверждения воспользуемся формулой Дынкина.

M(F(zт )) = ф0(z) + limMftk(Aф0)(zs)ds\ +

w k^ 0 )

+z • kim M^ | (Aфl)(zs)ds + ф1 (z)) = ф0(z) + zфl(z)

Для дальнейших исследований понадобиться следующее утверждение (см [4] стр. 216).

Лемма 2. Пусть g (ст) — ограниченная измеримая функция на границе Г области D.

Тогда функция U(x, y) = Mg(zт )J, z е Z является гармонической.

Рассмотрим задачу Гильберта в стохастической постановке, ограничившись случаем круговой области.

Требуется найти X — бианалитическую функцию F(z) = u(x, y) - iv(x, y) по краевому условию на единичной окружности L, ограничивающей круговую область D.

а1 (стт ) •-dU + b(стт )= с(стт ); a2(стт ) •-du + b2(стт )= с2(стт ). (6)

1 dx 1 td dx 1 td 2 dy 2 dy 2 d

Здесь т D — первый момент выхода двумерного броуновского процесса из области D, ск(<j)(k = 1,2)- действительные функции, заданные на контуре L, удовлетворяющие условия Гильберта вместе со своими производными; ak , bk -действительные функции удовлетворяющие условию Гельдера вместе с производными до (3-к) порядка включительно.

Граничные условия (6) выполняются почти наверное.

Учитывая, что F (z) = ф 0 (z) + zф1 (z) и

d _ d + d ; d _ i Г d d dx dz dz ' dy ^ dz dz краевые условия (6) можно привести к следующему виду

Re [(a1 (сттd) - ib2(сттd ))(ф0 +сттDф1 +ф1)]_ c 1 (сттd), (7)

Re [(a2 (сттd ) - ib2 (сттd ))(ф0 +ctтd ф1 -ф1)]_ c 2 (сттd ) .

Сведем стохастическую задачу Гильберта для бианалитических функций к четырем стохастическим задачам Дирихле для X-аналитических функций.

Найдем регуляризирующие множители для задачи (7). Для этого решим следующую вспомогательную задачу:

Ixk -v;

е b,

гк= ,2 , Vk _ arctg-t - xk arg CTтD , (8)

-ч2 a i

yßl+b2

'к

где хк = Jnd(ак + ¡Ък).

Второе условие (8) представляет собой стохастическую задачу Дирихле для аналитических (гармонических) функций. Существование и единственность ре-гуляризирующего множителя обеспечивается единственностью и существованием решения стохастической задачи Дирихле для гармонических функций.

Перейдем к решению стохастической задачи Гильберта для бианалитиче-ских функций.

Воспользуемся тем, что на окружности выполняется условие

СТ = -. (9)

ст

Введем вспомогательные аналитические функции Фх(z) = ф'0(z) + z"1ф'1 (z) + Ф!(z), Ф2(z) = ф'0(z) + z"1ф'1 (z) - ф:(z) . (10)

Перепишем краевые условия (7) в следующем виде Не [(а' - Ъ )Ф' ] = С' (стхс) , Не [а - Ъ2ф ] = С2 (стХс). (11)

Пусть рк - регуляризирующие множители функций ак - Ък . Преобразуем уравнение (11)

Не

01 К „

Не

Р1 ("т

Ф2 ("тг

Р 2 ("т

(12)

Краевые условия (12) представляют собой стохастические задачи Дирихле. Решение задач дается формулами [4].

01 (г) = х 1 (г)(М(С\(г^)) + /(}-М^ёх + ву)) = Х1 (гБ(г)' ^

Ф2(г) = х2(г)(М(С• 2(гХс)) + /(¿х +М^Аёу)) = х252(г). Здесь С'к = ск /рк (к=1,2).

Искомые Х-аналитические функции найдем по формулам

01 (г) - 02 (г) ' 1 '

Ф1 (г) = —-2—2— ' ф» (г) = 01 (г) - г Ф1 (г) -Ф1 (г). (14)

Пусть теперь хк = (ак + ¡Ьк )>0. В этом случае аналитические функции

Фк (г) и

к имеют в начале координат полюс порядка хк . В этом случае

X к(г)

Фк (г) = Б (г) + (г )]х к (г). (15)

хк I к - -к\

Здесь Qk(г) = 2(скг -скг );с1;...;сх — произвольные комплексные по-

к=Л ' "

стоянные.

Пусть хк <0. В этом случае стохастическая задача Гильберта для Х-бианалитических функций безусловно разрешима в том, случае, если допустить, что искомые аналитические компоненты имеют в начале координат полюсы определенных порядков. Если рассматривать классический вариант задачи, в котором не допускаются особенности в области Э, то следует потребовать, чтобы функции Бк (г) имеют в начале координат нули — хк порядка. Разложим функцию Бк (г) в ряд Тейлора в окрестности точки г =0.

Бк (г) = Бк (0) + г +... + ^ гп +... (16)

Для разрешимости задачи Гильберта необходимо и достаточно выполнения условий

Бк (0) = 0 , 5к (0) = 0 , БкХк '(0) = 0 . (17)

Положим

Бк)(0) = ск + , с[ = 0 0=1,..., Хк), Ьк = 0. (18)

Действительная часть функции Бк (г) является гармонической функцией. Значит, она представима рядом Тейлора

да

ик(х, у) =2 С,л • хт • уп . (19)

т,п=0

д m+nU

Здесь С* =

x=0

y=0

dxn dyn

Условия (18) будут равносильны следующим условиям

д m+nU,

dxm dyn

= 0,(0 < m + n < xk

x=0

y=0

LJ ck (z^ ) YY

или

dxm dyn

M

Pk ( z T

= 0.

(21)

Случай, когда индексы краевых коэффициентов имеют разные знаки можно исследовать аналогично.

Сформулируем итоговый результат.

Теорема. Стохастическая задача Гильберта для бианалитических функций на окружности сводится к решению двух стохастических задач Дирихле для определения регуляризирующих множителей и двух независимых стохастических задач Дирихле для определения искомых аналитических компонент.

Число линейно независимых решений однородной задачи I и число условий разрешимости неоднородной задачи V связаны с индексами краевых коэффициентов соотношением

I - V = М(а1 - ¡Ь1) + М(а2 - ¡Ь2), (22)

т.е. стохастическая задача Гильберта для бианалитических функций является нётеровой.

Схема решения стохастической задачи Гильберта для бианалитических функций не меняется, если область Д отображается на внутренность единичного круга рациональными функциями.

д

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

2. Дынкин Е.Б. Основание теории марковских процессов. — М.: физматлит, 1959. — 226 с.

3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1966. — 511 с.

4. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 2003. — 406 с.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

5. Редкозубое С.А., Юденков A.B. Задача Карлемана для полианалитических функций для областей сложной формы // Проблемы механики деформируемых тел и пород. — М.: Из-во МГГУ, 2001. — С. 263—270.

6. Юденков A.B. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. — Смоленск: Смядынь, 2002. —270 с. 53S

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Юденков A.B. — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий и высшей математики, Смоленская государственная сельскохозяйственная академия, e-mail: [email protected],

Романков A.B. — главный технолог, производственное объединение «Кристалл», e-mail: [email protected].