О задаче Дирихле в стохастической постановке Текст научной статьи по специальности «Математика»

с =

Б

С учетом найденных выражений С3, С4 откуда получим

" X (г, М) = -1"1 = — Ф2 (г> 9> Ь2,Ь) =

sh (кку) ■ sh (кг) - д V & )г=^2 д

Ф2(г) = Б

рК - 1 | с!г (khl) ■ с!г (кг)

= -Ф2 (к'2) ■ ®2 (г, 0) ■ 6 д

Отметим, что все рассматриваемые физиче-Функция X (г, 9> {), определяющая фор- ские величины следует понимать как дей-му свободной поверхности жидкости, нахо- ствительные части от соответствующих ком-дится из условия [4] плексных функций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гершуни Г. 3. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. 3. Гершуни, Е. М. Жу-

ховицкий. М. : Наука, 1972. 392 с.

2. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кош-

ляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М. : ГИФМЛ, 1962. 768 с.

3. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Физматлит, 2006.

736 с.

4. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский. М. : Наука,

1977. 816 с.

5. Столяров И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987.

№ 5. С. 183 186.

Поступила 02.02.2012.

УДК 531.262

О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ

А. В. Романков

В работе дана стохастическая постановка краевой задачи Дирихле для бианалитиче-ских функций для областей, близких к круговым. Рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения указанной задачи.

В большинстве работ краевая задача типа Коши [3]. Следует отметить, что ис-Дирихле рассматривается на классе анали- пользование интегралов типа Коши накла-тических или гармонических функций. До- дывает достаточно жесткие требования на статочно полное исследование задачи было класс исследуемых функций и областей, ко-проведено с использованием интегралов торые на практике не всегда можно выпол-

© Романков А. В., 2012

нить. Это приводит к тому, что разрабатываются альтернативные способы решения задачи Дирихле.

Начиная с 1923 г. (работы Г. Филипса и

Н. Винера) развивается вероятностный подход к решению задачи Дирихле. В 1944 г. С. Какутани показал, что решение задачи Дирихле может быть выражено в терминах броуновского движения.

В ряде работ задача Дирихле используется для определения комплексного потенциала, который представляет собой аналитическую функцию. Особое положение занимают краевые задачи статической теории упругости для изотропных тел и для тел, обладающих прямолинейной анизотропией. В данных задачах комплексный потенциал является бианалитической функцией [1—2].

Функция ^(г) = и(х,у) + 1У(х,у) называется бианалитической в области Б комплексного переменного г = х + {у, если она представлена в виде

= ф0(г) + г ф1(г), (1)

где г = х - {у, ф.(г) (к = 0,1) — аналитические функции в области Б (аналитические компоненты).

Бианалитическая функция позволяет моделировать основные задачи плоской теории упругости краевыми задачами, обобщающими классическую задачу Дирихле. Первая краевая задача теории упругости имеет вид [3]:

Ф0(ст) + бф1 (а) + ф^(а) =

= - [ф0(а) + аф1 (а) + ф^а)] + д^а),

Ф0(а) + аф1 (а) -ф^а) = (2)

= [фо(а) + аф1 (а) - ф-^а)] + д2(а), а е Г.

Здесь #1(а) = -1 Упйз + С1г д2(^) =

= -1 Хпйз + С2, Г — контур, ограничивающий 0

область Б, занятую телом.

Исследование задачи (2) приведено в работе [2] на основе свойств интеграла типа Коши и сингулярных интегральных уравнений. При этом полагалось, что данные и искомые функции детерминированы и принадлежат пространству Гёльдера. На практике встречаются случаи, когда нагрузки и форма

тела имеют случайную составляющую. Это может привести к тому, что для реализации случайной функции F(z) краевые условия

(2) могут не выполняться. Поэтому желательно получить методы решения задачи (2), позволяющие работать с более широким классом функций.

В данной работе задача (2) решается с использованием теории случайных функций, в частности, теории диффузионных процессов. Это позволит расширить класс функций, для которых можно ставить задачу Дирихле и позволит применять для численного решения аппарат теории вероятностей и математической статистики (например, метод статистических испытаний Монте-Карло).

Основная сложность в решении поставленной задачи состоит в том, что броуновскому движению соответствует характеристический оператор второго порядка вида [3]:

А— (х) = У Ъ,(х) — +

, Эх,

+ 1У (ъът ),, іх)—, 2 і, і Эх,Эх]

(3)

а комплексный потенциал в случае плоской деформации изотропного и анизотропных тел удовлетворяет уравнению четвертого порядка. Поэтому при решении задачи (2) необходимо дополнительно использовать свойства контура Г, на котором заданы граничные условия.

Функция F(z) = и(х, у) + IV (х, у) = = Фо(г) + гф1(г) в области Б, ограниченной контуром Г, называется Х-бианалитической, если для всех 2 е О и всех открытых множеств W, для которых е Б, аналитические компоненты фо (г) и ф1(г) представимы в следующем виде

фк(г) = ик(х,у) + гУ.(х,у) =

= М(ик(Ух ,УХ )) + 1М^(Хх ,УХ )) = (4)

к '-т к

= Mz(ф(zт )), к = 0, 1, ... .

Здесь М(/) — математическое ожидание

случайной функции; тж — момент первого выхода двумерного броуновского процесса из множества ж. Функции и. и V. связаны между собой соотношения Коши — Рима-на.

Лемма 1. Пусть F — Х-бианалитиче-ская функция в области Б плоскости комплексного переменного 2, тогда

Л2В = 0. (5)

Обратно, если Р е C2(D) и АР = 0 в О, то функция Г является Х-бианалитической.

Лемма 2 [3]. Пусть д(а) — ограниченная измеримая функция на границе Г области О. Тогда функция и(х, у) = М д(гх^ ,

2 е Z является гармонической.

Рассмотрим задачу Дирихле в стохастической постановке. Требуется найти Х-биа-налитическую функцию в области О

Г(г) = фо(г) + Zф1(z) по краевым условиям вида

Re

дх

Re

д£_

ду

= 2 л(стх0),

дґ

ду

1

= Фо(ст) + — ф1(ст) - ф1(а).

(6)

Здесь gk(s) — ограниченные измеримые

функции на контуре Г, принадлежащие классу С(1)(Г). Краевые условия (7) выполняются почти наверное.

Краевые условия (6) можно преобразовать к следующему виду

ф0 (^х0 ) + ^х0 Ф1 (^х0 ) + Ф1(^т0 ) =

= - [ф0 (^т0 ) + ^ ф1 (^т0 ) + Ф1(^т0)] + д1(^т0), ФО (°х0 ) + °х0ф1 (°х0 ) - Ф1 (°х0 ) = (7)

= [ф0 (СТх0 ) + °х0 (°х0 ) -ф1 (°х0 )] +

+ д2 (Стх0 ) .

В данной работе будем полагать, что контур Г представляет собой единичную окружность. Для точек, лежащих на окружности, выполняются условия

а = -1. (8)

а

Введем вспомогательные аналитические функции

1

Ф1(г) = ф0(г) + - ф1 (г) + Ф1(г),

Следовательно, граничные условия (7) можно переписать следующим образом

Ф1(ах0 ) = -Ф1(ахв ) + 01(ахс X (10)

ф2(ах0 ) = ф1(ахв ) + №(ах0 ). (11)

Краевые условия (10), (11) представляют собой две задачи, в которых требуется определить аналитические функции по краевым значениям их действительных и мнимых частей соответственно. Нетрудно видеть, что краевые задачи (10), (11) являются задачами Шварца для аналитических функций, которые в случае односвязной области совпадают с задачами Дирихле.

Зафиксируем точку 20 = 0. Пусть {-О/,} — возрастающая последовательность открытых множеств, содержащих точку г, причем О/, с О

и О = и О.. Положим X/ = Хд , т = Тд.

к

Тогда в силу марковского свойства

Re Ф 1(гхк) = Ііт Мгтк [С1(гТ)1 =

= Мг [С^ ) |РХ/ ] .

Справедливо следующее утверждение

[3]:

Ііт Re Фі(2Тк) = Ііт Мг [С^) 1^] =

(11а)

Здесь сходимость полагается почти для всех реализаций на пространстве 1?(0г ). Рассмотрим процесс

^ = Ф1(^ V ( л X k+1)) - Ф1(г^). Данный процесс для любых значений k является мартингалом.

Справедлива оценка

О2 = о2

ІШр [Ф^ - Фі(2хк>] >е

хк £^£хк+і

Ф2(г) = ф0(г) + -ф- (г) -ф^г). (9)

2

На границе контура выполняются равен-

дх

= ф0 (а) + — ф1 (а) + ф^а), а

1

< — М2

< е2 М

ф1(2хк+і ) - ф1(2хк І

Получим, что при k ^ да Q2 ^ 0. Следовательно, функция Ф(г) является решением задачи Дирихле (11а), что доказывает существование решения данной задачи.

Пусть у(г) — Х-аналитическая функ-

ция. Тогда у(г) = Мгдля всех к.

Положим, что Нт у^и) = Су(т0). Тог-

да

Фі(г) = М(С1(гХ- )) + і дМ(Сх(г ))

+-----------—

дх

} - дМ(С1("-)) дх + К0 д

ду

■■ Gi(z).

Задача (11) решается аналогично. Иско-

мые компоненты Х-бианалитической функции можно найти по формулам:

Фі(г) =

G^(z) - G2(z)

(12)

Reф) = Ііт Мг ГC1(ZT) |Ртк] = С^).

к^ж

Таким образом, единственное решение задачи (10) дается формулой

Фо(^) = Оі(г) --$1 (г) -фі(^).

2

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Стохастическая задача Дирихле для Х-бианалитических функций на окружности имеет единственное решение вида (12).

Отметим, что на основе разработанного метода можно получить решение краевых задач для бианалитических функций при более общих условиях относительно контура и граничных соотношений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М. : Наука, 1977. 640 с.

2. Дынкин Е. Б. Основание теории марковских процессов / Е. Б. Дынкин. М. : Физматлит,

1959. 226 с.

3. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения / Б. Оксендаль. М. : Мир,

2003. 408 с.

Поступила 03.04.2012.