CC BY
23
с =
Б
С учетом найденных выражений С3, С4 откуда получим
" X (г, М) = -1"1 = — Ф2 (г> 9> Ь2,Ь) =
sh (кку) ■ sh (кг) - д V & )г=^2 д
Ф2(г) = Б
рК - 1 | с!г (khl) ■ с!г (кг)
= -Ф2 (к'2) ■ ®2 (г, 0) ■ 6 д
Отметим, что все рассматриваемые физиче-Функция X (г, 9> {), определяющая фор- ские величины следует понимать как дей-му свободной поверхности жидкости, нахо- ствительные части от соответствующих ком-дится из условия [4] плексных функций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гершуни Г. 3. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. 3. Гершуни, Е. М. Жу-
ховицкий. М. : Наука, 1972. 392 с.
2. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кош-
ляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М. : ГИФМЛ, 1962. 768 с.
3. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Физматлит, 2006.
736 с.
4. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский. М. : Наука,
1977. 816 с.
5. Столяров И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987.
№ 5. С. 183 186.
Поступила 02.02.2012.
УДК 531.262
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ
А. В. Романков
В работе дана стохастическая постановка краевой задачи Дирихле для бианалитиче-ских функций для областей, близких к круговым. Рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения указанной задачи.
В большинстве работ краевая задача типа Коши [3]. Следует отметить, что ис-Дирихле рассматривается на классе анали- пользование интегралов типа Коши накла-тических или гармонических функций. До- дывает достаточно жесткие требования на статочно полное исследование задачи было класс исследуемых функций и областей, ко-проведено с использованием интегралов торые на практике не всегда можно выпол-
© Романков А. В., 2012
нить. Это приводит к тому, что разрабатываются альтернативные способы решения задачи Дирихле.
Начиная с 1923 г. (работы Г. Филипса и
Н. Винера) развивается вероятностный подход к решению задачи Дирихле. В 1944 г. С. Какутани показал, что решение задачи Дирихле может быть выражено в терминах броуновского движения.
В ряде работ задача Дирихле используется для определения комплексного потенциала, который представляет собой аналитическую функцию. Особое положение занимают краевые задачи статической теории упругости для изотропных тел и для тел, обладающих прямолинейной анизотропией. В данных задачах комплексный потенциал является бианалитической функцией [1—2].
Функция ^(г) = и(х,у) + 1У(х,у) называется бианалитической в области Б комплексного переменного г = х + {у, если она представлена в виде
= ф0(г) + г ф1(г), (1)
где г = х - {у, ф.(г) (к = 0,1) — аналитические функции в области Б (аналитические компоненты).
Бианалитическая функция позволяет моделировать основные задачи плоской теории упругости краевыми задачами, обобщающими классическую задачу Дирихле. Первая краевая задача теории упругости имеет вид [3]:
Ф0(ст) + бф1 (а) + ф^(а) =
= - [ф0(а) + аф1 (а) + ф^а)] + д^а),
Ф0(а) + аф1 (а) -ф^а) = (2)
= [фо(а) + аф1 (а) - ф-^а)] + д2(а), а е Г.
Здесь #1(а) = -1 Упйз + С1г д2(^) =
= -1 Хпйз + С2, Г — контур, ограничивающий 0
область Б, занятую телом.
Исследование задачи (2) приведено в работе [2] на основе свойств интеграла типа Коши и сингулярных интегральных уравнений. При этом полагалось, что данные и искомые функции детерминированы и принадлежат пространству Гёльдера. На практике встречаются случаи, когда нагрузки и форма
тела имеют случайную составляющую. Это может привести к тому, что для реализации случайной функции F(z) краевые условия
(2) могут не выполняться. Поэтому желательно получить методы решения задачи (2), позволяющие работать с более широким классом функций.
В данной работе задача (2) решается с использованием теории случайных функций, в частности, теории диффузионных процессов. Это позволит расширить класс функций, для которых можно ставить задачу Дирихле и позволит применять для численного решения аппарат теории вероятностей и математической статистики (например, метод статистических испытаний Монте-Карло).
Основная сложность в решении поставленной задачи состоит в том, что броуновскому движению соответствует характеристический оператор второго порядка вида [3]:
А— (х) = У Ъ,(х) — +
, Эх,
+ 1У (ъът ),, іх)—, 2 і, і Эх,Эх]
(3)
а комплексный потенциал в случае плоской деформации изотропного и анизотропных тел удовлетворяет уравнению четвертого порядка. Поэтому при решении задачи (2) необходимо дополнительно использовать свойства контура Г, на котором заданы граничные условия.
Функция F(z) = и(х, у) + IV (х, у) = = Фо(г) + гф1(г) в области Б, ограниченной контуром Г, называется Х-бианалитической, если для всех 2 е О и всех открытых множеств W, для которых е Б, аналитические компоненты фо (г) и ф1(г) представимы в следующем виде
фк(г) = ик(х,у) + гУ.(х,у) =
= М(ик(Ух ,УХ )) + 1М^(Хх ,УХ )) = (4)
к '-т к
= Mz(ф(zт )), к = 0, 1, ... .
Здесь М(/) — математическое ожидание
случайной функции; тж — момент первого выхода двумерного броуновского процесса из множества ж. Функции и. и V. связаны между собой соотношения Коши — Рима-на.
Лемма 1. Пусть F — Х-бианалитиче-ская функция в области Б плоскости комплексного переменного 2, тогда
Л2В = 0. (5)
Обратно, если Р е C2(D) и АР = 0 в О, то функция Г является Х-бианалитической.
Лемма 2 [3]. Пусть д(а) — ограниченная измеримая функция на границе Г области О. Тогда функция и(х, у) = М д(гх^ ,
2 е Z является гармонической.
Рассмотрим задачу Дирихле в стохастической постановке. Требуется найти Х-биа-налитическую функцию в области О
Г(г) = фо(г) + Zф1(z) по краевым условиям вида
Re
дх
Re
д£_
ду
= 2 л(стх0),
дґ
ду
1
= Фо(ст) + — ф1(ст) - ф1(а).
(6)
Здесь gk(s) — ограниченные измеримые
функции на контуре Г, принадлежащие классу С(1)(Г). Краевые условия (7) выполняются почти наверное.
Краевые условия (6) можно преобразовать к следующему виду
ф0 (^х0 ) + ^х0 Ф1 (^х0 ) + Ф1(^т0 ) =
= - [ф0 (^т0 ) + ^ ф1 (^т0 ) + Ф1(^т0)] + д1(^т0), ФО (°х0 ) + °х0ф1 (°х0 ) - Ф1 (°х0 ) = (7)
= [ф0 (СТх0 ) + °х0 (°х0 ) -ф1 (°х0 )] +
+ д2 (Стх0 ) .
В данной работе будем полагать, что контур Г представляет собой единичную окружность. Для точек, лежащих на окружности, выполняются условия
а = -1. (8)
а
Введем вспомогательные аналитические функции
1
Ф1(г) = ф0(г) + - ф1 (г) + Ф1(г),
Следовательно, граничные условия (7) можно переписать следующим образом
Ф1(ах0 ) = -Ф1(ахв ) + 01(ахс X (10)
ф2(ах0 ) = ф1(ахв ) + №(ах0 ). (11)
Краевые условия (10), (11) представляют собой две задачи, в которых требуется определить аналитические функции по краевым значениям их действительных и мнимых частей соответственно. Нетрудно видеть, что краевые задачи (10), (11) являются задачами Шварца для аналитических функций, которые в случае односвязной области совпадают с задачами Дирихле.
Зафиксируем точку 20 = 0. Пусть {-О/,} — возрастающая последовательность открытых множеств, содержащих точку г, причем О/, с О
и О = и О.. Положим X/ = Хд , т = Тд.
к
Тогда в силу марковского свойства
Re Ф 1(гхк) = Ііт Мгтк [С1(гТ)1 =
= Мг [С^ ) |РХ/ ] .
Справедливо следующее утверждение
[3]:
Ііт Re Фі(2Тк) = Ііт Мг [С^) 1^] =
(11а)
Здесь сходимость полагается почти для всех реализаций на пространстве 1?(0г ). Рассмотрим процесс
^ = Ф1(^ V ( л X k+1)) - Ф1(г^). Данный процесс для любых значений k является мартингалом.
Справедлива оценка
О2 = о2
ІШр [Ф^ - Фі(2хк>] >е
хк £^£хк+і
Ф2(г) = ф0(г) + -ф- (г) -ф^г). (9)
2
На границе контура выполняются равен-
дх
= ф0 (а) + — ф1 (а) + ф^а), а
1
< — М2
< е2 М
ф1(2хк+і ) - ф1(2хк І
Получим, что при k ^ да Q2 ^ 0. Следовательно, функция Ф(г) является решением задачи Дирихле (11а), что доказывает существование решения данной задачи.
Пусть у(г) — Х-аналитическая функ-
ция. Тогда у(г) = Мгдля всех к.
Положим, что Нт у^и) = Су(т0). Тог-
да
Фі(г) = М(С1(гХ- )) + і дМ(Сх(г ))
+-----------—
дх
} - дМ(С1("-)) дх + К0 д
ду
■■ Gi(z).
Задача (11) решается аналогично. Иско-
мые компоненты Х-бианалитической функции можно найти по формулам:
Фі(г) =
G^(z) - G2(z)
(12)
Reф) = Ііт Мг ГC1(ZT) |Ртк] = С^).
к^ж
Таким образом, единственное решение задачи (10) дается формулой
Фо(^) = Оі(г) --$1 (г) -фі(^).
2
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Стохастическая задача Дирихле для Х-бианалитических функций на окружности имеет единственное решение вида (12).
Отметим, что на основе разработанного метода можно получить решение краевых задач для бианалитических функций при более общих условиях относительно контура и граничных соотношений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М. : Наука, 1977. 640 с.
2. Дынкин Е. Б. Основание теории марковских процессов / Е. Б. Дынкин. М. : Физматлит,
1959. 226 с.
3. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения / Б. Оксендаль. М. : Мир,
2003. 408 с.
Поступила 03.04.2012.
