Основные задачи теории упругости тел с прямолинейной анизотропией в стохастической теории потенциала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.37

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ТЕЛ С ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

© 2013 А. В. Юденков1, А. М. Володченков2

1докт. физ.-мат .наук, профессор, заведующий каф. информационных технологий и высшей математики 2канд. физ.-мат .наук, доцент каф. информационных технологий и высшей

математики e-mail: alexmw2012@yandex.ru

Смоленская государственная сельскохозяйственная академия

В статье рассматривается основная задача упругости в стохастической постановке.

Задача решается с использованием теории потенциала и с краевыми задачами для гармонических функций.

Ключевые слова: краевая задача, броуновское движение, анизотропия.

Для успешного функционирования на современном рынке необходимо не только обладать запасами сырья, но и разрабатывать новые технологии. Для этого необходимо проводить серьёзные теоретические исследования. Так, при производстве бриллиантов из природных алмазов для разработки программного обеспечения широко используются модели, основанные на задачах теории упругости [Мусхелишвили 1966]. Таким задачам посвящено достаточно большое число оригинальных работ. Однако задачи для анизотропных тел в стохастической постановке недостаточно изучены.

Исследование первой основной задачи теории упругости для анизотропных тел может быть сведено к решению краевой задачи для аналитического вектора { Фх(z1), Ф2(z2) } [Володченков, Юденков 2006].

Здесь

z + z z — z 1 , — 1 ч 1 /ч — 1 ч_ л /• ч

zi = + - —- = - (1 + —)z + - (1 — —)z = ^i (z),

2 2i 2 i 2 i

z + z z — z 1, — 2 4 1 , — 2 4 « ^ч

z2 = + -2 = - (1 + — )z + - (1 —“)z = ^2 (z) 2 2i 2 i 2 i

(1)

[лк = ак + - корни определённого характеристического уравнения, коэффициенты

которого определяются упругими свойствами материала; в * в2, Д > 0, Д2 > 0.

В классической модели краевые условия для определения функций { Фх(z1), Ф 2(z2 ) } имеют вид [Лехницкий 1977]

ф1( + ф1( ^ + ф 2 (^ 2) + ф 2 (2г) = /х,

--------- ------------------------- (2)

МФ1(*1) + МФ1(*1 ) + ^2Ф2 (*2 ) + ^2Ф2 (*2 ) = /2 ’

где /к (к=1,2) - заданные на контуре детерминированные функции, удовлетворяющие условию Гельдера. Краевые условия (2) можно рассматривать и на единичной окружности (|^| = 1) [Володченков, Юденков 2006].

Фі(аі (о)) + 'ФіК (о)) + ф 2(а 2 (о)) + ф 2(а 2 (о)) = ^ (о),

------------ --------------(3)

ЦіФі(аі(о)) + Ці Фі(аі(о)) + Ц 2Ф 2(а 2 (о)) + Ц 2 Ф 2(а 2 (о)) = Ґ2(о)-

Здесь ак (а) функции сдвига (в общем случае неаналитические),

Уі(М) = фіОі(М)Х Уг(М) = ф г(шг(М)Х

функции в)к (£) - определённые аналитические функции, осуществляющие

конформное отображение областей Бк плоскостей гк = х + [лку (к=1,2) на внутренность

единичного круга плоскости

Рассмотрим следующий стохастический вариант математической модели (3). Требуется определить Х-аналитический вектор Ч(Ч, Ч2)

(£) = ик (х, у) + V (х,у)

по краевому условию на единичной окружности, ограничивающей область Б.

ч* (а (а(тв)))+Ч (а (Фв)))+Ч (а (Фв)))+

+ Ч2 (а2 (°(ТВ ))) = /і (°(ТВ )),

МЧ1 (а1 (Фв ))) + М Ч1 (а1 (&(ТВ ))) + МЧ2 (а2 (&(ТВ ))) +

(4)

+ М2 Ч2 (а2 (а(тв ))) = /2 (а(тв ))•

Здесь тв - первый момент выхода двумерного броуновского процесса из области Б, /к - действительные функции, удовлетворяющие на контуре условию Гёльдера. Условия (4) выполняются почти наверное.

Перепишем краевые условия (4) следующим образом.

Ч* (а (о(тв)) = -Ч1(а1(о(тв)) + & (о(тв)),

^1 («1 (Фв )) = -^1 (&(ТВ )) + 02 (а(тв )) , (5)

где

01 (^Ов )) = /1 (^Ов )) - ^2 (а2 (°(тв ))) - ^2 (а2 ИТВ ))) ,

02 НЬ )) = /2 НЬ )) - ^2^2 («2 НЬ ))) - ^2^2 («2 (^(Ь ))) .

Краевые условия (5) представляют собой стохастические задачи Дирихле для Х-гармонических (аналитических функций). Считая функции Qk (к=1,2) известными,

выразим функцию Ч^^) через математические ожидания функций /к и X-

аналитическую функцию ^2(^). Получим [Мусхешвили 1966]:

яе ч>,с^) - м ча^)).

яе ф,(|) = -^ м )) . (6)

Яе ¿и1

Мнимые части аналитических функций восстановим по формулам Коши-Римана.

На контуре выполняются следующие соотношения:

Юденков А. В., Володченков А. М. Основные задачи теории упругости тел с прямолинейной анизотропией в стохастической теории потенциала

1 »(„(*)) .± МЫчУчУчУч

2 2П Л а2 (а0) -а2 (а)

1

-% (а2 (а)) = - — У

1 г^2(а2(а0))а2'(а0)іа0 1 Ж(а-(а0)) а-'(а0№ц

+

у

(7)

2 24 24 " 2т^ а-(а0)-а2(а) 2ПІ а2(а0)

Соотношения (7) являются детерминированными.

Переходя в уравнениях (6) к граничным значениям, с учётом (7) получим:

^2(«іИ) = -^(аИ) + + ¡В(а,ао)^2(а2(ао))

У У

+С2(а).

+

Здесь

(8)

1

А(о, о0) ЦіВі(а, о0) 2 + ЦіАі(а, о0),

О г

'0

В(а,а) = ^Вх(а,а0)- ^Ах(а,а0)

1

0) 2 ао

^2 (а) = -М(^1 &1 (а)) - М(^1 &1 (а)) + М(/2 (а)Х

Аі(а а0) = В1(а,а0) =

1

2пі 1

а 2 (а0)

аі (ао)

2П

а 2(ао) а 2(а) аі(а о) а1(а) а2 (^о) а1 (^о)

+

а2(а0>) -^И а1(^0) -а1(^)

+

аі’(ао)

4пі а1(а0) ’

1 а1 (0>) 1 а2 (°о)

4т а1(а0) 2П а2(а0) ’

М(£ (а)) = 1М( /(а)) + X ГМ(¿^МУоМ^о - ГМ(¿^МНМ^о

1 2 1 2п ц(ао) -ц(а) 4П Jy а1(ао)

+ /с,.

Краевое условие (8) детерминированное и представляет собой классическую задачу Дирихле для аналитических функций с интегральными ядрами Фредгольма. Краевая задача (8) равносильна интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода [Володченков, Юденков 2006]. Таким образом, после решения двух стохастических задач Дирихле стохастическая модель основной задачи теории упругости для анизотропного тела сведена к детерминированной задаче Дирихле с интегральными ядрами Фредгольма.

Сформулируем полученный результат.

Теорема. Решение стохастической системы (4) сводится к решению двух стохастических задач Дирихле и решению детерминированной задачи Дирихле с интегральными ядрами. Система (4) однозначна и безусловна разрешима.

Библиографический список

Володченков А. М., Юденков А. В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом //Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2006. Вып. 3. С. 482-483.

Лехницкий Г. С. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 707 с.

Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. М.: Мир, 2003. 300 с. Романков А. В. Стохастическая задача Дирихле для бианалитических функций в теории упругости изотропного тела // Труды института системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН). Динамика неоднородных систем. Вып. 14. Т. 53(4). 2010. С. 136-142.

Юденков А. В., Адигамов А. Э., Изотова О. А., Володченков А. М. Математические модели задач теории упругости для анизотропного тела на классе случайных функций // Горный информационно-аналитический бюллетень. М.: Горная книга, 2010. С. 75-79.