8. Hormander L. Pseudo-differential Operators and Non-elli ptic Boundary Problems / L. Hormander // Ann. Math. 1966. № 83. P. 129 209. (Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи // Псевдодифференциальные операторы. М., 1967. С. 166 296.)
Поступила 10.02.2012.
УДК 519.85:532.593
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОЯЧИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова
Рассматривается математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.
Ось цилиндра радиуса Ь совпадает с осью Ог, направленной вертикально вверх против вектора ускорения свободного падения д. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 8, г), z = -Ну — твердая поверхность (дно цилиндра), ограничивающая снизу слой пористой среды, насыщенной жидкостью; г = 0 — поверхность раздела пористой среды и слоя свободной жидкости; г = ^ — невозмущенная (плоская) свободная поверхность жидкости, граничащей с атмосферой. Номерами 1 и 2 обозначены (в необходимых случаях) величины, относящиеся к пористой среде (область 1) и свободной жидкости (область 2) соответственно. Распространение прогрессивных (бегущих) волн на бесконечной поверхности жидкости, находящейся на слое пористой среды, рассмотрено в [5].
Уравнения движения жидкости в пористой среде имеют вид [1; 5]:
Г Ц = -gradp + pg - к щ divMj = 0.
фильтрации, связанная со средней скоростью V жидкости в порах соотношением u = Гг^; K — коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [1]:
K =
Г3р2
(1)
Здесь р — плотность жидкости; Г — пористость (отношение объема пор к элементарному объему среды); h — вязкость; Р1 — давление; u — макроскопическая скорость
150 (1 - Г)2
где d (см) — диаметр шариков, образующих пористую среду. Все величины измеряются в системе СГС.
Уравнения движения свободной жидкости в предположении, что амплитуда поверхностной волны значительно меньше ее длины [3], запишем в линейном приближении:
Р ^ = -gradp2 + pg, divu = 0. (2)
dt
Здесь «2 — скорость свободной жидкости.
Из уравнений (1), (2) следует: щ = Vj^, «2 = Vj2, где (r, 8, z, t), j2 (r, 8, z, t) — потенциалы скорости, удовлетворяющие уравнениям Лапласа в цилиндрических координатах
1 dj i
Djj (Г, 8, z, t) = - -i-
dV
r dr dr
1
dd2j j d82
d'2j} dz2
(3)
0, (j = 1,2).
Тактаров H. Г., Миронова С. М., 2012
Система граничных условий в линейном приближении имеет вид [5]:
1) и1г = ^^ = 0 при 2 = -Н[ (на дне); (4)
дг
дф1 дф2 _
2) = щг или —^ = —^ при г = 0
дг дг
(на границе пористой среды);
3) условия на вертикальной цилиндри-
4 а
ческой поверхности: а) = —к = 0 при
дт
г = Ь (область 1); б) Ы2Г = ^^ = 0 при г =
дг
= Ь (область 2);
4) р1 = р-2 при г = 0;
2
5) д <22 + д22 = 0 при г = ^ (на сво-
дЬ2
дг
Р дф1 Л
= - г ИТ - к 2 = -Р я
( (г) Ф>(г)'
= 0
ф; имеют решения: ф1 = С^екг + С-2в кг, (р2
= С3екг + С4е-кг. Из (6) следует
1 дФд2Ф1 д2Ф
А2Ф = 1—- +-- + -2--
7 г дг дг2 г2 д92
(- = 1,2).
-к2Ф у
132
Функции Ф; ищем в виде Ф- (г, 9) = = Я- (г) ■ Т- (9). Тогда из уравнений Д2Ф; =
= -к2Ф - следует
r2Rj¡ (г) + (г) + r2k2Rj (г)
л
(7)
= ТМ = п2
т (9) ■
Здесь п = 0, 1, 2, ... — целое число, так как функции Т- (9) должны быть однозначными, а следовательно, периодическими с периодом 2р, т. е. Т- (9) = Т- (9 + 2я). Решения дифференциальных уравнений Т; + п2Т; = 0 имеют вид:
Т-п (9) = А-п cos 1
бодной поверхности жидкости).
Форма свободной поверхности жидкости определяется уравнением г = А2 + X (г, 9, Ь). Давления запишем в виде Р1 = рю (г) + р^,
Р2 = Р20 (г) + Р2w, где Pl0(г), Р20(г) — равновесные давления; р^, Р2т — возмущения давлений. Для возмущений давлений из (1) и (2) следует
2 (5)
1 -п Г/ -п (] = 1,2; : где А1п = А2п -
| + В-п sin)
0, 1, 2, в1п = в
'2п
= вп
в силу
граничных условий 2 в системе (4).
Из (7) следуют дифференциальные уравнения Бесселя
^ (г)+- ^ (г)+
к2 -
„2 Л
Rj (г) = 0 (; = 1,2),
Решения уравнений (3) ищем в виде стоячих затухающих волн методом разделения переменных
ФУ (Г, 9, г, Ь) = фу (г) ■ Фу (г, 9) ■ , (/ = 1,2),
где 22- (г) — амплитуды; у = Ь + гю — декремент; Ь — коэффициент затухания волны; ю — частота колебаний волны.
Подставляя ф; в уравнения (3), находим
общие решения которых имеют вид [2]
Я-п (г) = Е-п ■ Jn (кг) + - ■ Уп (кг) -
бесселевы функции порядка
где Jn' Уп (п = 0, 1, 2
.). Следует положить Fjn = 0
(6)
1 ЗФ; 32Ф; 1 32Ф; Г Зг + Зг2 + г2 392 Ф; (г, 9)
Обозначим ф;/ф; = к2. Тогда ф; - к2ф; = Эти дифференциальные уравнения для
так как Уп (кг) ^ да при г ^ 0.
В силу граничного условия 2 системы (4) должно быть = ^2п = Еп. Согласно условиям 3 системы (4) будем иметь / (kL) = 0. Обозначая ц = кЬ, получим трансцендентное уравнение для определения
/ (ц) = 0,
имеющее бесконечное множество положительных корней тп1, тп2, ■■■, которым соответствуют значения
цпт
Ь
и соответствующие решения уравнения Бес-
к =
кпт
(п = 0, 1, 2,
1, 2, ...)
Я (Г) = /
тптг
Некоторые значения корней тпт приведены в таблице.
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
m n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
1 3,832 1,841 3,054 4,201 5,318 6,416
2 7,016 5,331 6,706 8,015 9,282 10,520
3 10,173 8,536 9,969 11,346 12,682 13,987
4 13,324 11,706 13,170 1 4, 586 15,964 17,313
5 16,471 14,864 1 6,348 17,789 19,196 20,576
6 19,616 1 8, 01 6 19,513 20,972 22,401 23,804
7 22,760 21,164 22,672 24,145 25,590 27,010
8 25,904 24,311 25,826 27,310 28,768 30,203
9 29,047 27,457 28,978 30,470 31,939 33,385
Таким образом, получаем бесконечное множество частных решений вида
Ф1 nm (r> 9> Z t) = ((
= (C1ekz + C2e
-kz
)
Jn (kr) [ Anm cos n9 + Bnm sin n9] e
-yt
Qe-khi - C2eK"2 = 0, C1 - C2 = C3 - C4
волны g = gnm = P„ лом k = knm = m-nmlL:
и волновым чис-
pg
sh (khi) sh (kh'2) +— ch (kh) ch (kh-2)
j2nm (r, e, z, t) = (C3ekz + C4e-kz) x (8)
x Jn (kr) [ Anm cos ne + Bnm sin ne] e-yt,
где k = mnm/L, n = 0, 1, 2, ... ; m = 1, 2, ... . Здесь коэффициенты Anm, Bnm могут быть заданы либо определены из начальных условий на свободной поверхности жидкости [2; 4]. Решения (8) удовлетворяют граничным условиям (4).
Заменяя в граничном условии 4) системы (4) давления pi и р2 выражениями (5) и подставляя jinm и j2nm из (8) в граничные условия (4), получим систему четырех алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов Ci, С2, С3, С4:
„kh,
- K g2ch (kh) ch (kh2) +
(10)
pgkl
sh (kh) ch (kh2) +— ch (kh) sh (kh2)
(9)
[ Ц - К] (С1 + С2 ) = 91 {СЗ + С4 ) '
Сэ^2 (g2 + дк) + С4е-кЬ2 (g2 - дк) = 0,
где к = тпт/ь-
Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между декрементом
- К gk сЬ (кНу)sh (кН2) = 0.
Таким образом, коэффициент затухания Р = Рпт и частота волны ю = юпт могут принимать только дискретные значения, соответствующие значениям кпт.
В частном случае при Г ^ 1, л/К ^ 0 (замена пористой среды жидкостью) первое уравнение (1) переходит в уравнение Эйлера, а из уравнения (10) следует дисперсионное уравнение, описывающее стоячие волны в слое жидкости глубиной Ну + Н в цилиндрической полости без пористой среды [4]:
12 = -ю2 = ^к Л [к (Ну + И2)].
Вводя обозначение D = 2С2вк^, получим
С = - Dekh1, С2 = - De-kh1.
1 2 2
Учитывая (9), находим также
C3
D
sh (щ) - |pKKg - ^ ch (Щ)
с =
Б
8Ь (Щ) + | - сЬ )
«х + 1г £) „4 =0
С учетом найденных выражений С3, С 4 откуда получим
- X (г, ел) = -1 ^ = 1Ф2 (Г> е, ь.ъь) =
вк (кку) ■ вк (кг) - Я I Ж )г=к2 д
Ф2(г) = Б
- 1| ск (кк1) ■ ск (кг)
= Я<г>2 (¿2) ■ Ф2 (г, е) ■ е-*
д
Отметим, что все рассматриваемые физиче-Функция X (г, в, (), определяющая фор- ские величины следует понимать как дей-му свободной поверхности жидкости, нахо- ствительные части от соответствующих ком-дится из условия [4] плексных функций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гершуни Г. 3. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. 3. Гершуни, Е. М. Жу-ховицкий. М. : Наука, 1972. 392 с.
2. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кош-ляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М. : ГИФМЛ, 1962. 768 с.
3. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Физматлит, 2006. 736 с.
4. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский. М. : Наука, 1977. 816 с.
5. Столяров И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987.
№ 5. С. 183 186.
Поступила 02.02.2012.
УДК 531.262
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ
А. В. Романков
В работе дана стохастическая постановка краевой задачи Дирихле для бианалитиче-ских функций для областей, близких к круговым. Рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения указанной задачи.
В большинстве работ краевая задача Дирихле рассматривается на классе аналитических или гармонических функций. Достаточно полное исследование задачи было проведено с использованием интегралов
типа Коши [3]. Следует отметить, что использование интегралов типа Коши накладывает достаточно жесткие требования на класс исследуемых функций и областей, которые на практике не всегда можно выпол-
© Романков А. В., 2012
134
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2