Математическое моделирование стоячих поверхностных волн в жидкости, находящейся на пористом основании в цилиндрической полости Текст научной статьи по специальности «Физика»

8. Hormander L. Pseudo-differential Operators and Non-elli ptic Boundary Problems / L. Hormander // Ann. Math. 1966. № 83. P. 129 209. (Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи // Псевдодифференциальные операторы. М., 1967. С. 166 296.)

Поступила 10.02.2012.

УДК 519.85:532.593

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОЯЧИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ

Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова

Рассматривается математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.

Ось цилиндра радиуса Ь совпадает с осью Ог, направленной вертикально вверх против вектора ускорения свободного падения д. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 8, г), z = -Ну — твердая поверхность (дно цилиндра), ограничивающая снизу слой пористой среды, насыщенной жидкостью; г = 0 — поверхность раздела пористой среды и слоя свободной жидкости; г = ^ — невозмущенная (плоская) свободная поверхность жидкости, граничащей с атмосферой. Номерами 1 и 2 обозначены (в необходимых случаях) величины, относящиеся к пористой среде (область 1) и свободной жидкости (область 2) соответственно. Распространение прогрессивных (бегущих) волн на бесконечной поверхности жидкости, находящейся на слое пористой среды, рассмотрено в [5].

Уравнения движения жидкости в пористой среде имеют вид [1; 5]:

Г Ц = -gradp + pg - к щ divMj = 0.

фильтрации, связанная со средней скоростью V жидкости в порах соотношением u = Гг^; K — коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [1]:

K =

Г3р2

(1)

Здесь р — плотность жидкости; Г — пористость (отношение объема пор к элементарному объему среды); h — вязкость; Р1 — давление; u — макроскопическая скорость

150 (1 - Г)2

где d (см) — диаметр шариков, образующих пористую среду. Все величины измеряются в системе СГС.

Уравнения движения свободной жидкости в предположении, что амплитуда поверхностной волны значительно меньше ее длины [3], запишем в линейном приближении:

Р ^ = -gradp2 + pg, divu = 0. (2)

dt

Здесь «2 — скорость свободной жидкости.

Из уравнений (1), (2) следует: щ = Vj^, «2 = Vj2, где (r, 8, z, t), j2 (r, 8, z, t) — потенциалы скорости, удовлетворяющие уравнениям Лапласа в цилиндрических координатах

1 dj i

Djj (Г, 8, z, t) = - -i-

dV

r dr dr

1

dd2j j d82

d'2j} dz2

(3)

0, (j = 1,2).

Тактаров H. Г., Миронова С. М., 2012

Система граничных условий в линейном приближении имеет вид [5]:

1) и1г = ^^ = 0 при 2 = -Н[ (на дне); (4)

дг

дф1 дф2 _

2) = щг или —^ = —^ при г = 0

дг дг

(на границе пористой среды);

3) условия на вертикальной цилиндри-

4 а

ческой поверхности: а) = —к = 0 при

дт

г = Ь (область 1); б) Ы2Г = ^^ = 0 при г =

дг

= Ь (область 2);

4) р1 = р-2 при г = 0;

2

5) д <22 + д22 = 0 при г = ^ (на сво-

дЬ2

дг

Р дф1 Л

= - г ИТ - к 2 = -Р я

( (г) Ф>(г)'

= 0

ф; имеют решения: ф1 = С^екг + С-2в кг, (р2

= С3екг + С4е-кг. Из (6) следует

1 дФд2Ф1 д2Ф

А2Ф = 1—- +-- + -2--

7 г дг дг2 г2 д92

(- = 1,2).

-к2Ф у

132

Функции Ф; ищем в виде Ф- (г, 9) = = Я- (г) ■ Т- (9). Тогда из уравнений Д2Ф; =

= -к2Ф - следует

r2Rj¡ (г) + (г) + r2k2Rj (г)

л

(7)

= ТМ = п2

т (9) ■

Здесь п = 0, 1, 2, ... — целое число, так как функции Т- (9) должны быть однозначными, а следовательно, периодическими с периодом 2р, т. е. Т- (9) = Т- (9 + 2я). Решения дифференциальных уравнений Т; + п2Т; = 0 имеют вид:

Т-п (9) = А-п cos 1

бодной поверхности жидкости).

Форма свободной поверхности жидкости определяется уравнением г = А2 + X (г, 9, Ь). Давления запишем в виде Р1 = рю (г) + р^,

Р2 = Р20 (г) + Р2w, где Pl0(г), Р20(г) — равновесные давления; р^, Р2т — возмущения давлений. Для возмущений давлений из (1) и (2) следует

2 (5)

1 -п Г/ -п (] = 1,2; : где А1п = А2п -

| + В-п sin)

0, 1, 2, в1п = в

'2п

= вп

в силу

граничных условий 2 в системе (4).

Из (7) следуют дифференциальные уравнения Бесселя

^ (г)+- ^ (г)+

к2 -

„2 Л

Rj (г) = 0 (; = 1,2),

Решения уравнений (3) ищем в виде стоячих затухающих волн методом разделения переменных

ФУ (Г, 9, г, Ь) = фу (г) ■ Фу (г, 9) ■ , (/ = 1,2),

где 22- (г) — амплитуды; у = Ь + гю — декремент; Ь — коэффициент затухания волны; ю — частота колебаний волны.

Подставляя ф; в уравнения (3), находим

общие решения которых имеют вид [2]

Я-п (г) = Е-п ■ Jn (кг) + - ■ Уп (кг) -

бесселевы функции порядка

где Jn' Уп (п = 0, 1, 2

.). Следует положить Fjn = 0

(6)

1 ЗФ; 32Ф; 1 32Ф; Г Зг + Зг2 + г2 392 Ф; (г, 9)

Обозначим ф;/ф; = к2. Тогда ф; - к2ф; = Эти дифференциальные уравнения для

так как Уп (кг) ^ да при г ^ 0.

В силу граничного условия 2 системы (4) должно быть = ^2п = Еп. Согласно условиям 3 системы (4) будем иметь / (kL) = 0. Обозначая ц = кЬ, получим трансцендентное уравнение для определения

/ (ц) = 0,

имеющее бесконечное множество положительных корней тп1, тп2, ■■■, которым соответствуют значения

цпт

Ь

и соответствующие решения уравнения Бес-

к =

кпт

(п = 0, 1, 2,

1, 2, ...)

Я (Г) = /

тптг

Некоторые значения корней тпт приведены в таблице.

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

m n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

1 3,832 1,841 3,054 4,201 5,318 6,416

2 7,016 5,331 6,706 8,015 9,282 10,520

3 10,173 8,536 9,969 11,346 12,682 13,987

4 13,324 11,706 13,170 1 4, 586 15,964 17,313

5 16,471 14,864 1 6,348 17,789 19,196 20,576

6 19,616 1 8, 01 6 19,513 20,972 22,401 23,804

7 22,760 21,164 22,672 24,145 25,590 27,010

8 25,904 24,311 25,826 27,310 28,768 30,203

9 29,047 27,457 28,978 30,470 31,939 33,385

Таким образом, получаем бесконечное множество частных решений вида

Ф1 nm (r> 9> Z t) = ((

= (C1ekz + C2e

-kz

)

Jn (kr) [ Anm cos n9 + Bnm sin n9] e

-yt

Qe-khi - C2eK"2 = 0, C1 - C2 = C3 - C4

волны g = gnm = P„ лом k = knm = m-nmlL:

и волновым чис-

pg

sh (khi) sh (kh'2) +— ch (kh) ch (kh-2)

j2nm (r, e, z, t) = (C3ekz + C4e-kz) x (8)

x Jn (kr) [ Anm cos ne + Bnm sin ne] e-yt,

где k = mnm/L, n = 0, 1, 2, ... ; m = 1, 2, ... . Здесь коэффициенты Anm, Bnm могут быть заданы либо определены из начальных условий на свободной поверхности жидкости [2; 4]. Решения (8) удовлетворяют граничным условиям (4).

Заменяя в граничном условии 4) системы (4) давления pi и р2 выражениями (5) и подставляя jinm и j2nm из (8) в граничные условия (4), получим систему четырех алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов Ci, С2, С3, С4:

„kh,

- K g2ch (kh) ch (kh2) +

(10)

pgkl

sh (kh) ch (kh2) +— ch (kh) sh (kh2)

(9)

[ Ц - К] (С1 + С2 ) = 91 {СЗ + С4 ) '

Сэ^2 (g2 + дк) + С4е-кЬ2 (g2 - дк) = 0,

где к = тпт/ь-

Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между декрементом

- К gk сЬ (кНу)sh (кН2) = 0.

Таким образом, коэффициент затухания Р = Рпт и частота волны ю = юпт могут принимать только дискретные значения, соответствующие значениям кпт.

В частном случае при Г ^ 1, л/К ^ 0 (замена пористой среды жидкостью) первое уравнение (1) переходит в уравнение Эйлера, а из уравнения (10) следует дисперсионное уравнение, описывающее стоячие волны в слое жидкости глубиной Ну + Н в цилиндрической полости без пористой среды [4]:

12 = -ю2 = ^к Л [к (Ну + И2)].

Вводя обозначение D = 2С2вк^, получим

С = - Dekh1, С2 = - De-kh1.

1 2 2

Учитывая (9), находим также

C3

D

sh (щ) - |pKKg - ^ ch (Щ)

с =

Б

8Ь (Щ) + | - сЬ )

«х + 1г £) „4 =0

С учетом найденных выражений С3, С 4 откуда получим

- X (г, ел) = -1 ^ = 1Ф2 (Г> е, ь.ъь) =

вк (кку) ■ вк (кг) - Я I Ж )г=к2 д

Ф2(г) = Б

- 1| ск (кк1) ■ ск (кг)

= Я<г>2 (¿2) ■ Ф2 (г, е) ■ е-*

д

Отметим, что все рассматриваемые физиче-Функция X (г, в, (), определяющая фор- ские величины следует понимать как дей-му свободной поверхности жидкости, нахо- ствительные части от соответствующих ком-дится из условия [4] плексных функций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гершуни Г. 3. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. 3. Гершуни, Е. М. Жу-ховицкий. М. : Наука, 1972. 392 с.

2. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кош-ляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М. : ГИФМЛ, 1962. 768 с.

3. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Физматлит, 2006. 736 с.

4. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский. М. : Наука, 1977. 816 с.

5. Столяров И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987.

№ 5. С. 183 186.

Поступила 02.02.2012.

УДК 531.262

О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ

А. В. Романков

В работе дана стохастическая постановка краевой задачи Дирихле для бианалитиче-ских функций для областей, близких к круговым. Рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения указанной задачи.

В большинстве работ краевая задача Дирихле рассматривается на классе аналитических или гармонических функций. Достаточно полное исследование задачи было проведено с использованием интегралов

типа Коши [3]. Следует отметить, что использование интегралов типа Коши накладывает достаточно жесткие требования на класс исследуемых функций и областей, которые на практике не всегда можно выпол-

© Романков А. В., 2012

134

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2