Конформные отображения в теории задачи типа Карлемана для полианалитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ЗАДАЧИ ТИПА КАРЛЕМАНА ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Володченков Александр Михайлович

канд. физ.-мат. наук, ФГБОУВПО «Смоленский филиал

«РЭУ им. Г.В. Плеханова», РФ, г. Смоленск E-mail: alexm w2012@yandex. ru

Юденков Алексей Витальевич

д-р физ.-мат. наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА»,

РФ, г. Смоленск E-mail: aleks-ydenkov@,mail. ru

CONFORMAL MAPS IN THE PROBLEM THEORY OF CARLEMAN’S TYPE

FOR POLYANALYTIC FUNCTIONS

Aleksander Volodchenkov

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEIHPO “Smolensk Branch “Plekhanov Russian Academy of Economics ",

Russia, Smolensk

Aleksey Yudenkov

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, FSBEI HPO “Smolensk State Agricultural Academy ",

Russia, Smolensk

АННОТАЦИЯ

В статье исследуется классическая краевая задача типа Карлемана для бианалитических функций. Дается решение задачи для односвязных областей достаточно общего вида, двухсвязных областей. Рассмотрен случай, позволяющий

Володченков А.М., Юденков А.В. Конформные отображения в теории задачи типа Карлемана для полианалитических функций // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 7 (19) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2411

получить решение задачи в замкнутой форме. Полученный алгоритм решения базируется на методе конформных отображений.

ABSTRACT

In the article a classical boundary problem of Carleman’s type for bianalytic functions is under study. A solution to the problem for simply connected domains of sufficiently general form, doubly connected domains is given. The case is considered which allows getting a solution in a closed form. The obtained algorithm of the solution is based on the method of conformal maps.

Ключевые слова: конформное отображение, краевая задача, бианалитическая функция.

Keywords: conformal map, boundary problem, bianalytic function.

Задача типа Карлемана занимает центральное место в теории краевых задач для аналитических функций и их обобщений. Это связано с тем, что задача типа Карлемана обобщает задачи Шварца, Дирихле и Гильберта, которые широко используются для определения комплексного потенциала векторного поля. При работе с электромагнитными полями используются краевые задачи для аналитических функций. В случае поля напряжений, создаваемых в упругих телах внешними усилиями, возникают краевые задачи для бианалитических функций (смотри, например, [1; 3; 5; 6]).

Статья посвящена решению задачи типа Карлемана в самой общей постановке. Краевые условия записаны для функций класса Гельдера. Основная цель работы — получить решение задачи с использованием конформных отображений. Это позволит применять численные методы для решения конкретных практически важных задач.

Пусть L — простой замкнутый контур, принадлежащий классу C[l3).

Требуется определить неизвестную в D+ бианалитическую функцию

F(z) = 9o(z) + z^(z).

(1)

по следующим краевым условиям на контуре L

3F(a(t))

дх

3F(a(t)) д у

= G,(t) ^ + g,(t),

дх

(2)

= G,(t) dF^ + ig,(t),

д у

где Gk(t), gk(t) (k = 1, 2) — заданные на L функции, причем

Gk(t) е H(3-k)(L), gk(t) e H(1)(L) и Gk(t) ф 0 ,a(t) — прямой сдвиг, a(a(t)) = t; a(t) e H(3)(L), a'(t) ф 0.

Решение задачи для односвязной области. Используем соотношения

д д д д / д д ^ дх дz дZ, ду

дz дz

Преобразуем условия (2):

Фо' (a(t)) + a(t)q,' (a(t)) + ф, (a(t)) = G, (t) фо'(t) + tq,' (t) + ф, (t) + g, (t),

(3)

Фо' (a(t)) + a(t)q,' (a(t)) - ф, (a(t)) = G2 (t) фо'(t) + tq,' (t) - ф, (t) + g2 (t),

Пусть для коэффициентов задачи Q выполняются условия

Gk[a(t)]Gk(t) -,

_____ (4)

gk[a(t)] + gk(t)Gk[a(t)] = 0

Замечание. Если условия (4) не выполняются, то задача (3) достаточно просто сводится к двум задачам об аналитическом продолжении. Условия (4) автоматически выполняются для всех основных задач теории упругости для изотропного однородного тела, а также краевых задач Гильберта [4; 7].

Пусть z = ш(£), £, = ю-, (z) — соотношения (каждое из которых является обращением другого), осуществляющие конформные отображения области D+

плоскости z на внутренность круга Г (1^1 < 1) плоскости £, окружность |^| = 1

мы обозначим через у.

Перейдем с контура L на единичную окружность у с помощью функции ш(£). Введем следующие обозначения

ф(£) = 9iH^)L

ф(^) = Vi[©(£)], Vi(z) = Фо'(2).

Краевые условия (3) примут вид:

ф[«1 (а)] + а[ю(а)]п ф' [ai (а)] + ф[а1 (а)] = G* (а) х

х

ю'[а (а)] ю(а)

Ф(а) + ^=Ф'(а) + Ф(а)

ю'(а)

+ g*OX

а[ш(а)]

V[ai (а)] + Ф'[а1 (а)] - ф[а1 (а)] = G2 (а) х

х

ю'[а (а)] ю(а)

Ф(а) + ^=Ф'(а) -Ф(а)

ю'(а)

+в2(аХ аеу.

(5)

(6)

где а1(а) = ®-1{а[ш(а)]}, ^к(а) = ^[©(а)], g^o) = 8к[©(а)], к = 1, 2. Представим первое краевое условие (6) в виде обычной задачи типа Карлемана относительно аналитической функции у(£)

VK (а)] = Gi (а)у(а) + Qi (а), (7)

где

Qi^) = G*^)

== Ф'(а) + Ф(а) ю'(а)

а[ш(а)] ©'К (а)]

ф'[al(а)] -ФК(а)] + ^(а).

Как известно [3], решение задачи типа Карлемана дается формулой

0)]ба0

2™ ] Xi (ао )(ао -0

f J R (^, ао)Q* (ао ^ао +V о (0,

у

(8)

где Х^) — каноническая функция задачи (7),

R.«,a.) = =£(§L ‘ Jda„,

Xitai(a)] 2niу a0

R[ai(a),ao] — резольвента интегрального уравнения

1 г

(LPi)(a) = Pi(a) + — J

2ra •

ai'(ao)

a

ai(ao) -ai(a) ao(ao — a)

Pi(ao)dao = , (9)

Xi(a)

Xi

V o(S) -^Pkwk(^) — общее решение однородной задачи

k=o

(32.4), Xi = JndG*(a).

Поскольку [ф(^)](1) (i = 0, 1) — граничные значения аналитических в Г функций, то на у выполняются условия:

{фк(а)]Г = — J {(pJaiN(CT°)^ 4a1,(a0)da0

га у a (a) —a (a)

—у = -1 j [фКЛ,

га у a — a

(10)

Используя соотношения (8), (10) и подставляя граничные значения функции ф(^) во второе краевое условие (6), после несложных преобразований получим:

фК (a)] — G2 (ст)ф(ст) + J A(ao ,a)ф[al (ao )]dao + JB(ao ,а)ф(аo )dao = Qo(a) (11)

где

у

у

Л/_ _л Л /_ _л a/aao(Ai(ao>a))ai'(ao) — Ai(ao,a)ai',(ao) A(ao,a) = Ao (ao,a)------------------v—.—-p--------------------

[ai (ao)]

i a

B(a o,a) = Bo(a o,a) 2—B i (ao,a)

ao o

Ai(°0,a) = \

RiК (a),a°] - G*(a)R[a,ai (a°)] a'^

a2Gl(a°)

a(®(a))

®'[a (a)]

Xi(ai(a))

a(®(a °))

i

a(®(a))

i

x

4ra

ai'(a°)

®' [ai (a°)] Xi [ai (a°)] ®' [ai(a)] Xi [ai(a)]

x

ai(a°) -ai(a) ai'(a°)

- G2(a)

Xi(a)

4ra

a(®(a°))

Xi [ai (a° )](a° - a)®' [ai (a°)]

a(®(a))

Xi [ai (a°)] ®' [ai (a)](ai (a°) - ai(a))

A°(a°, a) = ^

Ri(ai(a),a°) - G2(a)R[a,ai(a°)]

ai,(a°)

aoGi(a)

+

+

Xi(ai(a))

4ra

i

i

Xi[ai(a°)] Xi[ai(a)]

ai'(a °)

^V-4 Xi(a) G2(a) , • 4ra

i

ai(a °) -ai(a) ai'(a°)

Xi[ai(a°)](a° -a) Xi[ai(a)](ai(a°) -ai(a))

a) = !

ai'(a°)

Ri [ai (a),a°]G!(a) - Go (a)Ri [a,a (a°)] o

a n

Xi(a)

4ra

ai'(a°)

i

Xi (a° )[ai (a°) - ai(a)] Xi (a)(a° - a)

+

+ GO (a)

Xi(a)

4ra

i

i

Xi(a°) Xi(a)

i

a° -a

Bi(a a)=-^

a'(a °)

Ri [ai(a),a ° ]G! (a ° ) - Go(a)Ri[a,ai(a ° )] 2

a

x

x

®(a °) Xi(a)

f

®'(a0) 4ra

ai'(a °)

®(a °)

®(a)

Xi(a°)[ai(a°)-ai(a)] ® '(a°) ® '(a)Xi(a)(a° -a)j

+

+ G2(a)

Xi(a)

4ra

®(a °)

®(a)

V®'(a °)Xi(a °) ® ' (a)Xi(a).

i

a °-a

(12)

Q2(ct)

g2(^)

2

f Xi (a)G2(a)^0 (a) - Xx [a (a)]y 0 [a (a)] - g (a) x

x ■

G* (a) + G2 (a) X![a! (a)] f g* К )ai' К)dCT

x

I

f-

4Gi (a) 4ni Jy [ai (ao) - ai (a)]Xi (ai (a))

g*(^0)

* / \ ^^i (ct)

+ G2(^^^ x

4л1

y К -CT)]Xi(ai(CT0))

dao +I R[ai(CT), CT0]g*(CT0)dCT0 + G2(ct)

x

00

x

I R(a, CT0)g*(a0) da0

02 ct n

Краевая задача (11) представляет собой обобщенную задачу типа Карлемана. Здесь А(сто, а), В(сто, а) е H(i)(y x y) ; Q2(ct) e H(1)(y).

Решая задачу (11) (если она имеет решение), определим функцию ф(£). Подставляя граничные значения функции ф(£) в выражение для Q1(a), определим функцию ф(^) в случае разрешимости задачи (7).

Используя соотношения

ф0' (z) = V[®-i(z)],

фх(2) = 4>[®-i(z)],

(13)

определим аналитические компоненты искомой бианалитической функции.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 1. Решение задачи (2), заданной на контуре L плоскости z, при выполнении условий (4) сводится к последовательному решению обобщенной задачи типа Карлемана и обычной задачи типа Карлемана относительно аналитических функций на окружности у плоскости ю.

Рассмотрим частный случай задачи, когда a(t), ®-i(z) и ю(£) представляют собой рациональные функции. В этом случае выражения ®-1{a[®(a)]}, a[®(a)] и ®'[a1(a)] также представляют собой рациональные функции (как суперпозиция рациональных функций).

Пусть

y

y

В силу условия

а0 + аа + a а2 + •••+ ата m

Ъ0 + b а + Ъ2 а2 +... + Ър ар

- 1 а = — а ’

выполняющегося на единичной окружности, получим

а[ш(а)] = ар m

a0 аm + al аm 1 +... + am

Ъоа р + Ъ1а р_1 +... + bm

(14)

(15)

(16)

^ а[ш(а)] ®(а)

Следовательно, выражения и ^ ^ являются рациональными

функциями.

Покажем, что задача (2) решается в замкнутой форме. Рассмотрим сначала

обычную задачу типа Карлемана (7), где а (а)

Р/(а) 4к(а)

pi (а) и qk^) — полиномы.

Для того чтобы задача (7) решалась в замкнутой форме, достаточно, чтобы решалось в замкнутой форме интегральное уравнение Фредгольма (9). Преобразуем ядро интегрального уравнения (9)

а1,(а о)________а

а1(ао) -а1(а) ао(ао -а)

з Г 1 Р/(ао)дк(а) - Р/(а)дк(ао)^

^ао 1а о-а р / (а)дк(ао) у

1 р /(а 0)дк(а) - р / (а)дк(ао)

ао-а р/ (а)дк(а о)

1

+ — ао .

Поскольку [р1(ао) 4к(а) — р1(а) 4к(ао)] делится на (ао — а), можно сделать следующие преобразования:

а1,(ао)__________а

а1(ао) -а1(а) ао(ао -а)

n

Z mk(а)nk(ао),

к=1

(*)

где m^) и nk(ао) — некоторые рациональные функции. Следовательно, уравнение (9), а значит, и задача (7) решаются в замкнутой форме.

Для того чтобы обобщенная задача типа Карлемана относительно функции ф(£) решалась в замкнутой форме, достаточно показать, что ядро

а[ю(а)] а/Ю а[ю(ст0)]

©'(а^а)} aj(a0)-a^a) ю'(а1(а0)} a0-a ’ (

является вырожденным.

Доказательство данного факта можно провести аналогично.

Таким образом, задача типа Карлемана для бианалитических функций решается в замкнутой форме.

Решение задачи в случае двухсвязной области

Пусть в плоскости z = x + iy расположена ограниченная двухсвязная область D с внешней границей L2 и внутренней границей Li, которые представляют собой кусочно-гладкие кривые, начало координат расположено внутри L1. Пусть в плоскости £ = в + щ расположено круговое кольцо, которое может быть однолистно отображено на область D. Это отображение будет однозначным и непрерывным, включая границы. Круговое кольцо р1 <|£|<1 будет

единственным в том смысле, что единственно отношение его внутреннего р1 и внешнего р2 радиусов.

Пусть функция z = ю(£) осуществляет конформное отображение кругового кольца pi< |£| <1 на область D, функция £ = Ю—i(z) — ей обратная. Действуя как в п. 3, преобразуем краевое условие (2) к следующему виду

v[ai (ai)] + a[®(ai)] ф'[ai (ai)]+ф[а1 (ai)] =

= G*(Oi)

®'[ai(CTi)]

®(ai)

^(ai)+=?гЧ ф' (ai)+ф(а1)

® (ai)

+ g*(aiX ai GYi

V[ai (CTi)] + a[®(ai)] ф'[ai (CTi)] _ ф^ ^ )] =

(17)

= G*2(Oi)

®'[ai(CTi)]

®(ai)

V(ai) + =^ ф' (ai) - ф(а)

® (ai)

+g2(a0;

^[ai(a 2)] +

a[®(a2)] ,

®'[ai(a 2)]

ф'К(а 2)] + фК(а 2)] =

= G*(a 2)

V(a 2) +

®(a 2) ф'(а 2) + ф(а 2)

®'(a 2)

+ g*(a2X a2 eY2

VK(a 2)] +

a[®(a2)] ,

®'[ai(a 2)]

ф'[al(a 2)] -ф[al(a 2)] =

(18)

= G2(a 2)

V(a2 ) + == ф'(a2 ) - ф(а2 ) ® (a2)

+g2(a 2);

Действуя аналогично п. 3, при условиях (4) получим следующий результат.

Теорема 2. Решение задачи типа Карлемана для бианалитических функций в случае двухсвязной области сводится к последовательному решению обычной задачи типа Карлемана и обобщенной задачи типа Карлемана для функций аналитических в кольце р1< |^| <1.

Выводы. В работе решена классическая задача типа Карлемана для бианалитических функций в случае достаточно произвольных односвязных и двухсвязных областей. Основные теоретические результаты сформулированы в виде теорем 1, 2. Практическое значение работы состоит в том, что полученные результаты применимы для решения задач теории упругости для изотропных и анизотропных тел.

Список литературы:

1. Балк М.Б. «Полианалитические функции и их обобщения». Комплексный анализ. Одна переменная — 1 // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — М., 1991. —Т. 85. — С. 187—246.

2. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование процесса упругопластической деформации с использованием статической функции напряжения // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 4 (28). — С. 4—9.

3. Габринович В.А. Краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук. — 1977. — № 3. — С. 48—57.

4. Редкозубов С.А., Юденков А.В. Задача Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей под ред. академика РАН А.Ю. Ишлинского. — М.: Из-во МГГУ, 2001. — С. 263—270.

5. Римская Л.П. Системы сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемана в теории склеивания упругих поверхностей // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 31—34.

6. Юденков А.В., Володченков А.М. Основные задачи теории упругости тел с прямолинейной анизотропией в стохастической теории потенциала // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 2 (26). — С. 14—17.

7. Юденков А.В., Володченков А.М. Стохастическая задача Гильберта для n-аналитических функций в статической теории упругости изотропного тела // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 43—45.