Об одном методе решения первой основной задачи теории упругости для однородного анизотропного тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Володченков Александр Михайлович

канд. физ.-мат .наук, ФГБОУ ВПО «Смоленский филиал «РЭУ им. Г.В. Плеханова»

РФ, г. Смоленск E-mail: alexm w2012@yandex. ru

Юденков Алексей Витальевич

доктор физ.-мат .наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА» РФ, г. Смоленск E-mail: aleks-ydenkov@,mail. ru

ABOUT THE SOLUTION METHOD OF THE FIRST MAJOR TASK

OF THE ELASTICITY THEORY FOR HOMOGENEOUS ANISOTROPIC THEORY

Aleksandr Volodchenkov

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEIHPE “Smolensk branch “Plekhanov Russian University of Economics”,

Russia, Smolensk

Aleksey Yudenkov

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, FSBEI HPE “Smolensk State Agricultural Academy ”,

Russia, Smolensk

Володченков А.М., Юденков А.В. Об одном методе решения первой основной задачи теории упругости для однородного анизотропного тела // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 6 (18) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2247

АННОТАЦИЯ

В работе предлагается общий метод решения первой основной задачи теории упругости для однородного тела, обладающего прямолинейной анизотропией. Для этого используются системы краевых задач, схожих с задачами Гильберта. Получены условия, при которых исследуемая задача решается в замкнутой форме. Показана связь функции сдвига в краевых задачах с бианалитическими функциями. Предложенный метод отличается от известных методов большей общностью. Поэтому он пригоден для исследования более сложных краевых задач теории упругости. Также этим методом можно исследовать задачи на устойчивость.

ABSTRACT

In the article a general method for solving the first major problem of elasticity theory for a homogeneous body with a rectilinear anisotropy is offered. For this purpose, the systems of boundary value problems similar to the Hilbert’s problems are used. The conditions are received under which the investigated problem is solved in the closed form. The connection of shift functions in boundary value problems with bianalytic functions is shown. The proposed method differs from famous methods of greater generality. Therefore, it is suitable for studying more complex boundary value problems of the elasticity theory. Also, this method can investigate problems on stability.

Ключевые слова: анизотропное тело, задача Гильберта, функция сдвига.

Keywords: anisotropic body, Hilbert’s problem, shift function.

Рассмотрим анизотропное тело, подверженное плоской деформации. Будем считать также, что объемные силы отсутствуют.

Контурные условия в случае первой основной задачи примут вид:

Xn = ax соф,x) + тxy соф, уХ

Уп = тxy cos(n, x) + ay cos(n, y).

(1)

Краевые условия (1) можно записать следующим образом [1]:

ф^) + Oi(Zi) + ф 2(z2) + Ф 2(z2) = + с15 Ц1Ф1(г1) + |U^1(z1) + Ц 2 Ф 2(z2) + Ц 2Ф 2(z2) = f2 + С2>

(2)

где: Ok(zk) — произвольные аналитические функции обобщенных комплексных переменных

Z1 = x + Ц1У, Z2 = x + Ц2У,

Ц1 = а1 + i Рь ц2 = а2 + i р2 — корни определенного характеристического

уравнения. Будем рассматривать неравные корни, примем

Р1 > 0, Р2 > 0, Р1 * Р2.

Общее выражение для компонентов напряжения можно получить, используя аналитические функции Ф^), Ф2^)

а х = 2Re[ju^1'(z1) + ц2 Ф 2^)],

ау = 2Re[Фl,(Zl) + Ф2,(z2)], (*)

т ху = -2Re[^1’(z1) + ц 2Ф 2'(z2)].

Рассмотрим функции Ф1(z1) и Ф2^2) как функции обычных переменных zk = xk + iyk (k = 1, 2), определенных в областях D1, D2, где

Xk = x + aky, yk = Рку.

Основная задача теории упругости для анизотропного тела в данной постановке приведена в работе [3]. Там же дано решение этой задачи в частном случае с помощью рядов. В работе [4] (смотри также приведенную в ней библиографию) задача теории упругости для анизотропного тела исследовалась с помощью краевых задач Шварца. Излагаемый в основной части работы метод разработан авторами (см. [1; 2; 5]).

Пусть функции ю(^), ш1(^), ш2(£) конформно отображают области D, D1, D2 соответственно на внутренность единичного круга. Обозначим соответствующие обратные функции ®_1(z) , ®]"1(z1) , ®21(z2) . Краевое условие (2) преобразуется к следующему виду

2Re [ у i (aj) + у 2 (a2)] = f (a),

2Re [^iy i (ai) + ц 2 У 2(a 2)] = f2(a),

(3)

где

У^) = ^(^)X У 2^) = Ф 2(®2(^))-

Выразим переменные a1 и a2 через a. Поскольку

zi

Z2

ai a 2

z + z z - z 1 ц1ч 1 ~ ц1ч“ . , 4 —7- + W — = ~z(i + —)z + -(i - —)z = ^i(z),

z + z z - z i ц2 К ц2ч- « , ч

—7- + ц 2 ^г— = ~(i + —)z + -(i —-)z = ^ 2 (zX 2 21 2 1 2 1

ю-1 (ti) = ю-1 (^i(t)) = ©-; (^i (®(a))) = ai(a)

: ю-1 (t2) = ю-1 (^ 2 (t)) = ю-1 (^ 2 (®(a))) = a 2 (a),

(4)

(5)

(6)

где под точками t, ti5 t2 понимаются соответствующие точки контуров L, L1s L2. Функции a1(a),a2(a) отображают окружность на себя. С учетом обозначений (6) перепишем краевые условия (3):

У1 (ai (a)) + У1 (ai (a)) + у 2 (a 2 (a)) + у 2 (a 2 (a)) = f (a),

---------- --------------------------(7)

ц1У i (ai (a)) + ц У i (ai (a)) + ц2У 2 (a2 (a)) + ц2 У 2 (a2 (a)) = f2 (a)-

Поскольку в общем случае a(a) не является граничным значением аналитической

функции, то функции Ук^кОО) в свою очередь не будут аналитическими в точке t.

Отметим также, что определение функций ak(a) в явном виде сопряжено

с большими сложностями.

Предложим один из возможных методов решения системы (7).

Первое краевое условие (7) примет вид:

У i (ai(a)) = -У i (ai(a)) + Qi(a), (8)

где

Qi (a) = fi(a) -У 2 (a2 (a)) - У 2 (a2 (a)) .

В данном виде краевое условие (8) представляет собой краевую задачу Гильберта для аналитической функции у^О) в точке ai(a). Решая ее, получим

у,(О) = -L ГQi<Pi(go»da0 Г Ql(Pl(a°))da0 +

2гаГ ao -О 0 4гаГ ao 1 ’

(9)

или

Vi(0)

1

4га

a0 +° dao ao-О ao

f 1c

1 ?

(9а)

где P^a^a)) = a.

Устремим в формуле (9) О к a и, используя формулы Сохоцкого-Племеля, а также соотношения

1

2

1

2

У 2 (a 2(a))

У 2 (a 2(a))

_L fW2(a2(ao)) a2’(ao)dao 2™ f a2 (ao ) -a2(a) ’

__L fW2(a2(ao)) a2’(ao)dao | 1 ГУ2(a2(ao)) a2’(ao)dao

2™ f a2 (ao ) -a2(a) 2™ f a2 (ao )

(10)

из (9) получим

W1(a1(a))

+g1(a),

У 2 (a 2 (a)) + f A1 (a, ao ) У 2 (a 2 (a o)) + f B1(a, ao )W 2 (a 2 (ao )) +

У

У

(11)

где

A1(a, ao)

1 a 2 ’(ao )

2ra

a2(ao) -a2(a)

a1,(ao) a1(ao) -a1(a)

_1_ a1,(ao)

4ra a (a)'

B1(a, ao)

1 a 2 ’(ao )

2ra

a2(ao) -a2 (a)

a1,(a p) a1(a o)-a1(a)

a1,(a 0) 4^i a (a)

_L a2’(ao)

2™ a2(ao)’

g1(a)

if (CT) + X ff1(ao)a1,(ao)dao 2 1 2raf a1(ao) -a1(a)

1 rf1(ao)a1,(ao)dao 4™ f a1(ao)

(11а)

Покажем, что в случае a'(a) ф 0, a(a) е Н(1)(у), ядра А1(а,а0) и В1(а,а0) принадлежат классу Н*(у х у). Для этого достаточно показать, что выражение

a 2,К)___________«i'C^q)

a2 К) - a2 (a) g (q ) - g (a)

имеет лишь слабую особенность.

a 2(a 0) ai'(^0)

a2 (a0 ) - a2 (a) ai (a0 ) - ai (a)

a 2,(a 0)

1

a 2 (a q)-a 2(a) Qq-a

+

+

д a2(a0) -a2(a)

i ai’(a 0) II CD Q О _ a o-a _ +

a 0-a ai(a0)-ai(a)

(12)

a2(a0) -a2(a)

a 0-a

+

д ai(ao) -ai(a)

da 0 _ a 0 - a _

ai(ao) -ai(a)

a 0 -a

Первое и второе слагаемые выражения (12) принадлежат Н*(у х у) (см. [4] § 7).

Подставим выражение (11) во второе краевое условие системы (7) и после несложных преобразований получим

О2 - ^i) V2 (a2 (a)) + (^2 - ^i )V2 (a2 (a)) + J Ai (Qa0 2 (a2 (a0 )) +

У

+ J Bi(a. a0)V 2(a 2(a0))da0 = Q2 (a)’ (13)

У

где

A(a, ao ) = -^i Bi(a, ao ) — + ^iAi(a, ao ),

a 0

B(a,aо ) = ^iBi (a, ao ) - ^ Ai (a,aо ) -^,

a 0

Q2 (a) = -^igi (a) - |Ui gi (a) + f2 (a).

Краевое условие (13) представляет собой обобщенную задачу Гильберта для аналитической функции у2(£) в точке a2(a). В общем случае ее решение сводится к решению уравнения Фредгольма второго рода. Найдя у2(£), подставим

ее граничное значение в точке a2(a) в краевое условие (9) и найдем значение функции yi(£). Функции Ф^) и Ф2(г2) найдем по формулам:

Ok(Zk) = ^ ( ©к1 (Zk)).

Рассмотрим частный случай. Пусть ak(t) представляют собой рациональные функции. В этом случае можно показать, что ядра в уравнении (13) будут вырожденными.

a k(a)

Pk(a)

где pk(a) и qk(a) — многочлены степени s и г соответственно.

р^(с) = а + аa+аa +••• +аa , qk(a) = bk + bk a + b^ a2 +... + bk ar,

Для того, чтобы доказать, что ядра А(а,а0) и В(а,а0) являются вырожденными, достаточно показать, что вырожденным будет выражение

a k’(a0) 1

—г^------------------. (14)

а k(a 0 )-а k(a) a 0 -a

Преобразуем выражение (14) к следующему виду

д " 1 Pk(a 0)qk(a) - Pk(a)qk(a0)

a k’(a0) 1 1 1 CD g о a0 -a qk(a)qk(a 0) _

a k(a0)-a k(a) a0-a 1 pk(ao)qk(a) - pk(a)qk(ao)

a-a qk(a)qk(a0)

Поскольку выражение [pk(a0) qk(a) - pk(a)qk(a0)] при a = a0 обращается в ноль (следовательно, делится на a0 - a), можно сделать следующие преобразования:

a k’(a0)_______L_

ak(a0) -ak(a) a0 -a

n

Z mk(a)nk(a0),

k=1

где m k(a) и nk(a0) — некоторые рациональные функции. Значит, краевое условие (11) будет представлять собой задачу Гильберта с вырожденными ядрами, которая решается в замкнутой форме.

В частном случае, если ак(а) = Рк(а) = а, что соответствует случаю эллиптического отверстия, непосредственно из формул (13) и (8) получим

Vi(a) = -Vi(a) + Qi(a), (15)

где Qi (а) = -v2 (а) - у2 (а) + fi (а) .

Тогда

Vi (|) = -V 2 -V 2(0) + ~^ f f1(a 0) —

4Л1 i ао -| ао

+ 1C

(16)

Подставим значение у1(|) во второе краевое условие (7):

(Ц - Ц) V2 (a2 (а)) + (Ц - Ц)V2 (а2 (а)) = Q2 (аХ

(17)

где

ГЛ ^ f Ц + ^if^ Ц -Ц l^iK^о , Ц -Ц f £^1(ао)^а0

Q2 (а) = f 2 (а)-------f 2 (а)---I ----------------+ , ■ I ------------

2 2га J а-а 4га J ап

2га ' а-а

(18)

1ci(ц, -^i) + 2Re[^2V2(0)]. Решая задачу Гильберта (17), получим:

V2(l) =9WЛ,, ч f

Q2 (а0 )^а0

i----f

I —и w

Q2(aо)daо

2^1(ц2 Jy ао -| 4ra(|u2 -^i) y

С учетом (18) преобразуем (19) к следующему виду

+ 1C

аг

2 .

(19)

V2 (|) = ~Г^-----71[f2 (ао) -^ifi (ао)]^^+7 — + А2 , (20)

AttUii —11 1 ^ а-| а0

4ra(|u2 -^i) y

где А2 — некоторая комплексная постоянная.

Подставляя выражение (20) в условие (16), получим

Vi® = —4------------- f [Ц fiK) - f2(tf о)] ^ + А

лтлГи -и ^ j а а

(21)

о Ъ '“'о

4^1(Ц2 -^i) V где Ал — некоторая комплексная постоянная.

Поскольку произвольные постоянные не влияют на напряженное состояние, можем положить их равными нулю.

Заметим, что формулы (20), (21) совпадают с формулами, приведенными в ( [4], гл. 3).

i

Список литературы:

1. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — № 3. — С. 482—484.

2. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование процесса упругопластической деформации с использованием статической функции напряжения // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 4 (28). — С. 4—9.

3. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Наука, 1977

4. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. — Киев: Наукова думка, 1975.

5. Юденков А.В., Володченков А.М. Основные задачи теории упругости тел с прямолинейной анизотропией в стохастической теории потенциала // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 2 (26). — С. 14—17.

6. Юденков А.В., Володченков А.М. Стохастическая задача Гильберта для n-аналитических функций в статической теории упругости изотропного тела // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 43—45.