CC BY
32
Механика деформируемого твёрдого тела
УДК 539.3
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА В НАПРЯЖЕНИЯХ ДЛЯ УПРУГОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Ю. А. Боган
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
630090, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 15.
E-mail: [email protected]
Приводится простой способ решения периодической краевой задачи для полуплоскости при заданных на границе компонентах тензора напряжений. На примере проиллюстрировано влияние сильной анизотропии материала на распределение напряжений и перемещений внутри области.
Ключевые слова: теория упругости, сильная анизотропия.
Введение. В статье [1] построено решение периодической краевой задачи в напряжениях для упругой анизотропной полуплоскости при помощи конформного отображения полуплоскости на единичный круг. В настоящей работе дано другое, значительно более простое, решение для анизотропной полуплоскости. Рассмотрен пример, причем этот пример проанализирован относительно его зависимости от коэффициентов упругости. В дальнейшем в основном используются обозначения монографии [2].
1. Решение задачи. Обозначим через R+2 = {(x^x2), x2 > 0} верхнюю полуплоскость; через Фк(zk) —аналитические функции комплексных переменных Zk = x1 + ц.кx2, ц-к = ак+ilk — комплексные параметры материала, lk > 0; к = 1, 2. Напряжения задаются формулами
СТц = Re[^Vi(Zi) + ^2(Z2)j, 0-22 = Re^1(zi) + Ф2 (Z2)],
О 12 = -Re[^'i(zi) + ^2(Z2)j,
а перемещения, соответственно, формулами
Ui = Re[p^i(Zi) + Р2Ф2^2)] + ax2 + e,
U2 = Re[q^i(Zi) + q^2(Z2)] - ax2 + Y,
где Pk = аицк + ai2 - aie^k, 9k = «i2^k + а22Ц-1 - «26, k = 1, 2; a^ (i,j = = 1, 2, 6) —упругие податливости а, в, y — вещественные постоянные.
Юрий Александрович Боган (д.ф.-м.н.), ведущий научный сотрудник, отдел механики деформируемого твёрдого тела.
Зададим на границе Х2 = +0 напряжения
2
022(®2 + І0) = Re^ ^'k(Х2 + І0) = /l(Xi),
k=12 (І)
0l2(X2 + І0) = -R^Yl Jk Ф (X2 + І0) = /2(Xl)
k=1
где fk(Ж1) —непрерывные по Гёльдеру функции. Очевидно, что граничных условий (1) недостаточно для однозначного решения задачи. Потребуем, чтобы напряжения обращались в нуль на бесконечности. Представим ) в ви-
де интегралов типа Коши по действительной прямой с неизвестными комплексными плотностями ш&(£) (к = 1, 2):
. 1 mk(t)
*k{Zk) = ^Lr^:dt
Имеет место формула Сохоцкого—Племеля:
_ 1 mk (t) , 1 fmk (t)
lim — -----dt = rriktto) H -----dt,
t^to 1TI Jt - Zfc 7гг 7.00 t - to
справедливая для любой непрерывной удовлетворяющей условию Гёльдера функции. Здесь £о принадлежит границе области. Определим плотности из системы уравнений
Тогда
mi + m2 = /i(xi), jimi + J2P2 = -/2(xi).
Ф'(гі) = —- Г /l(i>№ + /2(t>,«.
ni(jl - J2) ./-00 t - Zi
Ф'2Ы = -----г Г /1(г)"1+/2(()Д- (2)
ттг(р\ — Ц2) У-оо Ь — г2
Несложно проверить, что граничные условия действительно удовлетворяются, при этом перемещения определяются как
иг(х1,х2) =Яе\ Р1-------------- [ (/1(^2 +/2^)) 1п(£ - ^сЙ-
[пг(^1 - ^2) 7-^
Р2
ni(ji - J2) 7-
[ (/i(t)ji + /2(t)) ln(t - Z2)dn + ax2 + e,
J — ^ J
f‘OG
u2(xi,x2) = Re<! ———----------- I (fi(t)n2 + /2^)) ln(t - Zi)dt-
ni(jl J2) J—00
q2
ni(ji - J2) 7-
[ (/i(t)ji + /2(t)) ln(t - Z2)dn -axi + 7.
J — ^ J
Пусть теперь Д(£) — периодические функции с периодом I, тогда в предыдущих интегралах ядра (£ — 2*)-1 следует заменить соответственно на ядра у ctg у(£ — гк), к = 1, 2. Имея разложение в ряд
п п , , 1 г 1 1
п п 1 I 1
7 ctg T(t “ а) = Т^Тк + Ыг-зц+Ы + ( - г* - ni
n=1
и учитывая периодичность fk(t), можно представить функции (zk) в виде
1 /*1 п п
Ф'1(21) = 7гг(М1 - М2) I + Л(*))Т^ё у(* - *>*>
1 /*1 п п
Ф'2(г2) = ~rt(m-w) I {Ш1“ + Ш)тctg T(t “ Z2)dt'
при этом перемещения будут определены как
Г pi f1 п
И1(Ж1,Ж2) = Re<^ —7--------г (fl(t)H2 + /2О)) lnsinT(t - Zi)dt-
I пН^1 — ^2) J0 1
• / Р2---Л / (/i(%i + f2(t)) In sin j(t - z2)dt\+(3,
пН^1 — ^2) J0 l J
И2(Ж1,Ж2) = Re<^ ——1 -------г (fl(t)H2 + /2О)) lnsilly(t - Zi)dt~
l пЧ^1 — ^2) J0 l
----—^-----------------------------Г [ + f2(t)) In sin j(t - Z2)dt\+~f.
пг(^1 - м J0 l J
Отметим, что в последних формулах исчезла постоянная а. Это связано с тем, что функции Ж1, ж2 не являются периодическими, поэтому условия равновесия сводятся только к требованию равенства нулю главного вектора действующих сил:
/ fk(t)dt = 0, k = 1,2. (3)
0
Отметим, что при выполнении условия (3) перемещения обращаются в нуль на бесконечности. Действительно, положим fk(t) = dgk(t)/dt. Тогда при выполнении условия (3) gk(0) = gk (l) =0 и при интегрировании по частям получим (к = 1, 2)
J g'k(t)\nsinj(t - zk)dt = gk(t) In sin j(t - zk) Q-y J ctg j(t - zk)dt.
Здесь внеинтегральное слагаемое равно нулю, так как котангенс обращается в нуль при |z| ^ то.
2. Пример. Рассмотрим следующий пример. Предположим, что полуплоскость ортотропна, тогда закон Гука выглядит так:
011 = Сцвц + С12в22, 022 = С^вц + С22в22, 012 = Сбб2в12.
Здесь e11 = du1/dx1, e22 = du2/dx2, 2e12 = du1/dx2 + du2/dx1. Пусть упругие постоянные таковы, что комплексные параметры материала ^ чисто мнимы: Ц-k = ilk (к = 1, 2). И пусть при ж2 = +0 заданы напряжения
2пж1 . ^ 2пж1
022 (жь +0) = N cos —-—, а12(х, +0) = Т cos —-—.
Тогда
27ГЖ1 . 2ТГЖ1\ -^2X2
(722 = 1--(Nil COS j----------bTsin—-—)e I -
ll — l2 ' l l
1 / , 27ГЖ1 ^ . 27ГЖі\ ~2пііх2
(^M2 cos —-------Ь T sin —-—J е
ll - l2
1 / , 27ГЖ1 ЛТІ , . 27ГЖі\ ~2пііх2
сгі2 = ----[Til cos—j--------Nlil2sm—-—)е г +
ll l2 l l
li — l2
1 , . 27ГЖі ^ 2ттжі\ ~^hx2
+ 7-----—\Nlil2sm— --------Tl2 cos—-—)e г
ll - l2 l l
1 / l2 . 27ГЖ1 От 2ттжі\ -27ггіж2
(Ти = 7------Г~ ( Til Sin ;-------hiVZiZ2COS :—)е І -
ll l2 l l
11 — 12
/ Т1 ,о 27ГЖ1 . 27ГЖ1Л -2тг12х2
— [N1^2 сов— --------—-—)е I .
11 — 12 ' I I /
Изучим поведение этого решения в двух крайних ситуациях: А) йц ^ 1, В) ^22 ^ 1. Эти ситуации соответствуют армированию материала очень жёсткими стержнями (или высокомодульными волокнами) в направлениях Ж1 и Ж2 соответственно.
3. Ситуация А. Введём малый параметр е соотношением йц = е-2, е ^ 1. Здесь положительные корни характеристического уравнения
й2214 — (йцй22 — й22 — 2й12)12 + йц = 0 ^1, ^2 имеют следующую асимптотику:
11 и е-1 + 0(1), 12 - й2-21/2 + 0(е3).
Положим Ь = й221/2. Нетрудно видеть, что с точностью до малых высокого порядка при этом (обозначим напряжения в допредельной задаче через , чтобы отметить зависимость от малого параметра) выполняется
_ 1 27ГЖ1 ^ . 27ГЖ1 \ -2тгЬх 2
^22 ' '
// 27ГЖ1 ^ . 27ГЖі\ -/7ГС
, ( ( N cos— -l-Tesm—-—]е і
1 — єЬ\\ I I J
27ГЖ1 _ . 27ГЖі\ 2ttx2 \
— eyNb cos— -l-Tsin—-—Je «є J.
, 1 // 2тГХ\ ,Т1 . 2тГХ\\ -2^X2
(Ті О = ---((Tcos—:-Nb Sin — )Є Іє +
І — єь V V l l У
/ , . 27ГЖ1 ^ , 27ГЖі\ ~27rfa2 \
+ ^iV&sm— -------Td2 cos—-—Je i J,
, 1 // . 27ГЖ1 ,T1 27ГЖі\ _1 -27ГЖ2
erf 1 = ----г Tsm ----------h^bcos ; (є e le —
І — єь V V l l /
/ T 2 27ГЖ1 _ ,2 . 27ГЖі\ 2тгЬх2 \
— yNb cos—-------l-Tdr sin—-—Je i J.
ll
Из формулы (2) следует, что в этой задаче присутствует экспоненциально затухающий пограничный слой. Перейдём в (2) к пределу при е ^ +0, обозначив напряжения в пределе через . Тогда
П 2ТГХ\ _2жЬх2_ „ 2тгх\ _ 2жЬх2
a22 = N cos—-—е i , al2 =Nb sm—-—е z ,
n . 2тгх\ пт1 2ttxi\,c, . т2 2тгж1 _27rfa2
a11 = ^Tsin— -b^fecos—-—j15(x2) — Nb cos—-—e i ,
т. к. при е ^ +0 функция
Г l _i (—2пж2 \
/,м = ^ exn—£j' a,2>0'
0, ж2 < 0
сходится в смысле теории распределений к 5(ж2), где 5(ж2) — ^-функция. Для этого достаточно показать (см. [3]), что последовательность fe(x2) 5-образна, т. е. выполняются условия
1) каково бы ни было M > 0, при |a| ^ M, |b| ^ M, величина / /£(t)dt
a
ограничена постоянной, не зависящей от a, b, є и зависящей только от M;
г Ь
2) при любых фиксированных a и b, отличных от нуля, lim / /£(t)dt = 0
£^+0 Л
/•Ь
при a < b < 0 или 0 < a < b и lim / /£(t)dt = І при a < 0 < b.
є^+0 У a
Простая проверка показывает, что эти условия действительно выполняются.
Обратим также внимание на то, что в пределе произошла потеря граничного условия при Х2 = +0:
022(xl, +0) = N cos(2nxl/l), 0l2(xl, +0) = Nb cos(2nxl/l)
(касательное напряжение на границе определяется через нормальное).
Последнее обстоятельство специфично для сингулярно возмущённых краевых задач при характеристичности границы. Действительно, происходит изменение типа краевой задачи: эллиптическое уравнение вырождается в уравнение составного типа с двойным семейством вещественных характеристик x2 = const.
4. Ситуация В. Рассмотрим ситуацию В, в которой ^22 ^ 1, т. е. жёсткое направление ортогонально границе области. Положим с?22 = ^?-2, т] <С 1. Тогда 1\ & г], І2 ~ Ь\, Ь\ = \/^и и напряжения в допредельной задаче можно записать так:
1 //„ 2^їx^ _ , 27ГЖі\ -2^ух2
е
„ 1 // 27ГЖ1 Лт. , . 27ГЖ1Л -^УХ2
а19 = -------— [[Тт1 сов -------;----ІУг?6і81П----------- )е « +
12 П — Ь1 ^ І І '
21 “ I - ^ — і
/„т . . 27ГЖ1 27ГЖі\ -2кЬ1Х2 ч
-\-yNrjbism— -------ТЬ\ соэ—-—г
77 1 ((гг, 9 • 2тгжі ЛТ. 2, 2тгжі\ ~^УХ2
а!-, =----------— ( (Тг? эт —----------------Ь N7] Ь\ сое —-— ) е і —
П — о1 V V І І )
/ ,2 27ГЖ1 12 . 27ГЖі\ —2тгЬіх2 ч
— уМфІ сов — ---------1- ТЬІ эт —-—^ е ^ ^.
п 1 ^ЛГ 27ГЖ1 . 2ТТХ\\ 2ттЪ1Х2
^2 = ^(ГЧС<«—+Г8т— )е < -
/,Т1 27ГЖ1 _ . 2іїХі\ ~^ух2 ч
— ^Л^СОЭ— -ЬТэш—-—і ^
I I
Обозначим предел напряжений при п ^ +0 через т^-, тогда очевидно, что краевые условия исходной задачи в пределе выполняются, напряжения на бесконечности ограничены. Отметим, однако, что при этом предельная задача имеет ещё одно решение, в котором напряжение т22 растёт линейно по Ж2. Обозначим напряжения в этом решении через ст*, тогда
* Лт. /27ГЖ1Л -27гЬ1ж2 27ГЖ2Л^1 /27ГЖ1
а 22 = соэ ( —-— I е г Н---------------------------- -соэ (
\ І ) І VI
* „Т1 . {2'КХ\\ / /27ГЖ1Л „Т1 . /27ГЖ1\\ -27гЬ1ж2
012 = -Л^1 вщ —-—^ + (Тсов^—-—^ эт ^^ ^ е I ,
* , А „Т, /27ГЖ1Л ^ . /2ТГЖ1\\ 27тЬхХ2
а и = Ьг^-МЬгсову—-—^+Тзт^—-—г .
Отличие этих решений заключается в том, что в первом решении перемещение и2(ж1 ,ж2) = 0, а во втором оно равно и2(ж1 ,ж2) = —ЖЬ1 сов(2пж1 /I). Выясним причины, по которым у решения предельной задачи появляется второе решение. В пределе при п ^ +0 соотношения закона Гука следует заменить следующими:
, ди1 , ди1 ди1 ди2 ди2
0ц= ац——, СГ22 = (112—---Ь д, а 12 = т;-Ьт:—, т;—= 0.
дж1 дж1 дж2 дж1 дж2
Здесь д — множитель Лагранжа, реакция среды на отсутствие растяжимости в направлении оси ж2. Предельная система уравнений имеет вид
д2и д2и1 д (ди д«2 \ , д / д«1 \
Й11в?+ в^-0, Щ"* 3^1«£ + а*г)+щ1',“«5Г+«) "*■ ()
Система (4) имеет следующее общее решение:
и1 = Ке^(ж1 + гЬ1ж2), и2 = и2(ж1), д«1 д2и2 , , , ^ ,, ,
022 = - Ж2-Т^2“ + 9{Х1), 011 = ЙиКе^ (Ж1 + 101X2),
ди
012 = Не(г^пу/(ж1 + г&1Ж2)) +
Здесь ^ — аналитическая функция переменного 23 = ж1 + гЬ1ж2. Как показывают предыдущие формулы, первое решение не зависит от У>2 и потому не соответствует общему решению (4). Напомним, что от решения требуется только периодичность по ж1 .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Брилла И. Периодические смешанные задачи для анизотропных упругих пластинок / В сб.: Тр. Международн. симп., Т. 1. — Тбилиси: Наука, 1965. — С. 120-134.
1. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Наука, 1977. — 415 с.
2. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними: Вып. 1: Обобщенные функции. — М.: Наука, 1959. — 439 с.
Поступила в редакцию 10/11/2010; в окончательном варианте — 15/111/2010.
MSC: 74B05, 74E10
A PERIODIC STRESS PROBLEM FOR AN ELASTIC ANISOTROPIC HALF-PLANE
Yu. A. Bogan
M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS,
15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090.
E-mail: [email protected]
Here is given very simple solution of the stress boundary value problem for an anisotropic half-plane. An example is given. By the help of this example is analysed the influence of strong anisotropy of material on distribution of stresses and displacements inside the region.
Key words: theory of elasticity, strong anisotropy.
Original article submitted 10/II/2010; revision submitted 15/III/2010.
Yuriy A. Bogan (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Research Scientist, Dept. of Deformable Solid Body.
