CC BY
32
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 176-191 Механика
УДК 539.3:534.26
Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде *
Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов
Аннотация. Получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, неоднородный упругий сфероид.
Исследованию дифракции звука на упругих телах сфероидальной формы посвящен ряд работ, например, [1-6]. Однако во всех известных работах материал сфероидального рассеивателя полагался однородным. В настоящей работе находится приближенное решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде.
Рассмотрим неоднородный упругий сфероид, имеющий сферическую полость радиуса г2. Будем считать, что окружающая сфероид и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными сжимаемыми и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности р1, р2 и скорости звука С\,С2 соответственно. Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем в-гш*, потенциал скоростей которой равен
= Лг ехр[г(к1 • г — шЩ,
где Лг — амплитуда; к1 — волновой вектор падающей волны; г — радиус-вектор; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.
Определим отраженную от сфероида и возбужденную в его полости звуковые волны, а также найдем поле деформаций в упругом слое.
Введем прямоугольную систему координат с началом в центре сфероида так, чтобы ось вращения сфероида располагалась на оси г.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-
а).
Свяжем со сфероидальным телом сферическую систему координат r, в, щ. В этой системе координат падающая волна записывается в виде
Фг = Ai exp{¿fcir[cos в cos в0 + sin в sin во cos(^> — щ0)]},
где во и щ — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны соответственно; kl = u/ci — волновое число внешней среды.
Плоская волна может быть представлена разложением [7]
ГО П
Фг = ЕЕ 7njn(kir)Pm(cos в) cos m(tp — щ), (1)
n=0 m=0
(n — m)!
где Yn = Аггп(2 — 50m)(2n + 1) n + m ‘ P,m(cos в0); РПт(х) — присоединенный
многочлен Лежандра степени n порядка m; jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка n; 50m — символ Кронекера.
Уравнение сфероида в сферической системе координат имеет вид
г(в) = а(1 — esin2 в)-1/2. (2)
Причем для вытянутого сфероида (a > b)
¿2 ¡ b2 ' 1/2
£ =1-------~
е2 — 1 ’ V a2
а для сплюснутого сфероида (a < b) —
2. I. a2 N1/2
е = £ ; £ = (/ — #)
Здесь £ — эксцентриситет сфероида; а и Ь — полуось вращения и вторая полуось сфероида соответственно.
В установившемся режиме колебаний потенциалы скоростей отраженной от сфероида Ф, и возбужденной в его полости Ф2 звуковых волн являются решениями уравнений Гельмгольца [8]
ДФ, + k2^Фs = 0; (3)
ДФ2 + й2Ф2 = 0, (4)
где к2 = и/с2 — волновое число жидкости в полости сфероида.
Потенциал скоростей Ф, должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности, а потенциал Ф2 — условию ограниченности.
Потенциал скоростей полного акустического поля Ф1 равен
Ф1 = Фг + Ф,- (5)
Скорости частиц и акустические давления во внешней среде (] = 1) ив полости тела (] = 2) определяются соответственно по формулам
V = gradФj; pj = гру иФу. (6)
Распространение упругих волн в неоднородном слое описывается общими уравнениями движения упругой среды, которые для установившегося режима движения в сферической системе координат имеют следующий вид [9]:
d<Jrr 1 d<Jr0 1 dJry 1 . . .2
-----1--------------1-----:—т. -----------1--(2Jrr — Jee — Jyy 1 JrQ ctg O) — -грш ur;
dr r dO r sin O дф r
djre . 1 dj0fí 1 djey , 1 u , , ü , „ 1 .2
-----1-----WTT l-----+ - [(Jee - Jyy) ctg O + 3jre] — -грш2щ; (7)
dr r dO r sin O дф r
dJry + 1 djey + 1 dJyy i 1 (3 tm -2
i 777Г i------r-7 + “ (3 Jry + 2jey ctg O) — -ipU Uy,
dr r dO r sin O дф r
где ur ,ue ,Uy — компоненты вектора смещения u в сферической системе координат; Jij — компоненты тензора напряжений; р— равновесная плотность упругого материала сфероида.
Используя связь компонентов тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука), а также выражения компонентов тензора деформаций через компоненты вектора смещения [9], получаем в сферической системе координат следующие соотношения:
/л „ ч dur А / due 1 duy \
Jrr = (А + 2ß)~F,------------1 ( 2ur + + ctg Oue + i—ñ -j,— ) ;
dr r \ dO sin O дф )
. dur 2(А + и) (А + 2u) due А / 1 duy
Jee — + —------— ur + --— -rre + - ctg Oue + - y
dr r r dO r \ sin O дф
. dur 2(А + и) А due (А + 2и) / 1 duy
Jyy — + --— ur + - -ttT + ^^ ctg Oue I,
dr r r dO r \ sin O дф )
(1 dur ue due \ , ,
Jre — U{7W - r + Ir) • (8)
( 1 dur uy duy
Jry — и I : ä -J, 1
\r sin O дф r dr
U ( 1 due , duy
\ ■ а ~ГГ~ + "dr _ ctg ви^) ■ r \sm в d^ dO )
Будем полагать, что плотность материала сфероида описывается непрерывной функцией, а модули упругости — дифференцируемыми функциями координаты r
Р — P(r); А — А(г); и — U(r)-
Подставим выражения (8) в уравнения (7). При этом для последующего разделения переменных в системе введем новые функции и2 и из, связанные с и$ и иу соотношениями
ди3 1 ди2 ди3
~дв'
ди2 1
Пв дв + 8Іп в дф ’
8Іп в дф
(9)
С учетом (9) получаем следующую систему уравнений:
„ . д2иг (Л + 2ц) ~дТ2Г +
' , 2(Л + 2ц)
Л + 2ц +-----------------------8іп в
г
диг ц д2иг ц диг
дг + г2 дв2 + г2 дв +
ц 1 д2иг
+ г2 8Іп2в дф2
+
п \ Л Л + 2ц і 2
2 (---------------^ + рш2
г г2
Л + ц д3и2 г + г дгдв2 +
Л + и ди2 X + ц
+-----в^^ +
1
дгдв
г 8Іп2в дгдф
д 3и2
2
Л' Л + 3ц \ д2и2 +
г
дв2
Л' Л + 3ц\ л ди2
+ | г- вд> —0
(10)
ц' 2(Л + 2ц)
о
диг Л + ц д2иг Л + 2ц д3и2 д3и2
дв + г дгдв + г2 дв3 +ц дг2дв +
Л + 2ц д3у>2 Л + 2ц
+ о ■ 2^ 2 +--------2---- ^ в
г28Іп2в двдф2 г2 дв2
2(Л + 2ц) пд2и2 (ц' Л + 2ц
ctg в^^— I-------+
28Іп2в
дф2
г г28Іп2в
рш
ди2
+
дгдв ц д3и3
+
ц
д3и3
+
ц
д3и3 1
3 +
г2 8Іп в дв2дф г28Іп3в дф3 8Іп в
дв 8Іп в дг2дф
ц+2ц) ддф+
г дгдф
+
+
ц
г2 8Іп в
д2из
двдф
1 /V
8ІП в V г
рш‘
— 0;
дф ’
(11)
ц' 2(Л + 2ц)
+ о
диг Л + ц д2иг Л + 2ц д3и2 ц д3и2
дф г 8Іп в дгдф г28Іп3в дф3 8Іп в дг2дф
+
Л + 2ц д3и2 Л + 2ц д2и2 1
+ 2 . „ ----+ 2 . ^ ctg в^^-------------+
г2 8Іп в дв2дф г2 8Іп в двдф 8Іп в
2ц
ц' + —
г
д2и2
дгдф
1
ц
8Іп в
д 3и3 дг2дв
г
рш‘
ц
ди2 + ц д3и3 + / ц_ + дф г2 дв3 \ г г28Іп2в
рш‘
ц
д3и3
2ц
_ ( , + 2ц\ +
г28Іп2в двдф2 \ г ) дгдв г28Іп2в
ctg в
ди3
дв
д 2и3 дф2
ц п д2и3
- -2с»« в-д¥
0.
(12)
г
г
г
1
г
г
Здесь штрихами обозначено дифференцирование по радиальной координате г.
Преобразуем уравнения (11) и (12). Для этого уравнение (11) домножим на sin в и продифференцируем по в, а уравнение (12) продифференцируем по ф. Складывая полученные уравнения, приходим к уравнению, содержащему только функции ur и П2'-
2(А + 2ц)
+
r
А + ц
+ ц1
sin в
д 2ur
+
1
дв2 sin в
2(А + 2ц)
sin в
+
r
А + 2ц
д3иг
дгдв2
+
А + ц
cos в
д ur 1
------ + -
дгдв r
+ ц'\ дф2 2(А + 2ц)
д2ur i А + ц д3ur
+
r sin в дгдф2
а дu- , cos в—— + дв
+
r
2
д% + А + 2цд4u2 + 2(А + 2ц) д 3u2 + . д4U2 +
sinв^л- + 0 +------2---cosв^^тт + цsinв ^ 2о„2 +
+
ц д4u2
+
дв4 ' r2sin3в дф4
2(А + 2ц) д4u2
дв3
sin в д^дф2 sin в дв2дф2
, /з д3u'-2 , 1
+ цcos в ^ 2^„ +
д^дв
д^дв2 д3u2
2ц /
sin в \ r + ц ) дrдф2
+
+ (у + ц) sinв
д 3u2 дrдв2
А + 2ц
2(А + 2ц) д3Ч2
r2sin2в °OS двдф2
д 2u2 дrдв
ц 2\ ■ л А + 2ц
+ — — pw ) sin в +-----------2—;—ñ
r r2 sin в
д 2u,2
дв2
+
1 (А + 2ц , Л /1дu2
+ - ( —— ц + pw ) cos в —— + r \ rsin2в ) дв
+
sin в
2(А + 2ц) ^ ц1 2
— 2 (1 + cos в)-----------------------+ pw
r2sin2в r
д 2u,2 дф2
0.
(13)
Теперь продифференцируем уравнение (11) по ф, и вычтем уравнение (12), предварительно умноженное на sin в и продифференцированное по в. В результате получим уравнение, в котором присутствует только функция u3:
ц • вд4u3 + ц д4u3 + . в 94u3 + ц д4u3 + 2ц д4u3
r2 дв4 r2sin3в дф4 ц д^дв2 sin в д^дф2 r2 sin в дв2дф2
д3u3 д3u3 ( 2ц Д . д3u3
+
+ 2ц л д3u3 + п д3u3 + (2ц + Д д3u3 +
+cosцcosЧ V + >‘)sinввТвв5 +
1 /2ц ,
+ s ñ ( + ц
sin в \ r
c)3u,3
дrдф2
2ц д3u3
cos в
sin^
ц
+
2ц
r2sin3 в
r2 sin в
(1 + cos^) —
(1 + sin^) +---------pw ) sin в
1 /V
sin в V r
pw
двдф2 д2u3
дв2
+
д 2u3 дф2
(2ц Д д2u3
+ ( - + ц) cos вдПТв +
2
r
r
r
2
r
1
+ ( 2 V 2О + РCOS ОдЁ =0- (14)
Vr2sm20 / дО
V , ,2> „„„ пди3
Таким образом, распространение упругих волн в неоднородном упругом сфероиде будем описывать системой уравнений (10), (13), (14).
Искомые функции Ф8, Ф2, ur,U2,U3 должны удовлетворять граничным условиям на внешней поверхности сфероида r = r(0) и на поверхности его полости r = Г2. Граничные условия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на обеих поверхностях, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления: при r = r(0)
Vin = -iuun; ann = -pi; Vnr = 0; any = 0; (15)
при r = r2
V2r = -iuur ; arr = —P2; are = 0; ary = 0. (16)
Нормальные компоненты вектора скорости vi и вектора смещения u определяются через соответствующие компоненты в сферической системе координат по формулам
v1n = v1r cos y + vie sin y ; un = ur cos 7 + ue cos 7, (17)
а нормальные и касательные компоненты тензора напряжений — по формулам
ann = arr cos2 y + 2are sin 7 cos 7 + aee sin2 7;
anr = (-arr + aee ) sin 7 cos 7 + are (cos2 7 - sin2 7 ); (18)
any = ary cos y + aey sin 7,
где y — угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиус-вектором г.
При этом
д Ф, 1 ЭФ,- ,
j = -дцт; , = -rdf (j = 1,2); (19)
21-1/2
cos y
, e sin О cos О
1 +
2 , - (20) 1 — е sin2 в ,
Рассмотрим случай, когда квадрат эксцентриситета сфероида есть малая величина. Используя в качестве малого параметра величину е, искомые
функции Ф8, Ф2, ur, U2, U3 представим в виде разложений по степеням е,
ограничиваясь при этом линейными относительно е членами:
Ф5 = Ф0 + еФ^ + ...; (21)
Ф2 = Ф0 + еФ2 + ...; (22)
Ur = U0 + ей1 + ...;
u2 = и2 + еи2 + ...; (23)
u3 = u3 + eul + ....
Подставим разложение (21) в уравнение (3), разложение (22) — в уравнение (4), а разложения (23) — в систему (10), (13), (14), и приравняем члены с одинаковыми степенями е, стоящие в левой и правой частях каждого из полученных равенств. В результате получим для нахождения функций Ф0 и Ф] уравнения Гельмгольца вида (3), функций Ф0 и Ф] — уравнения Гельмгольца вида (4), а для нахождения функций u0, и0, и0 и u], u], u\ — системы уравнений вида (10), (13), (14).
Так как потенциал Ф5 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности, то функции Ф^ (q = 0,1) будем искать в виде
оо n
Ф5 ЕЕ Aqmnhn(kir)Pnm(cos в) cos m(<p — щ), (24)
n=0 m=0
где hn(x) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п.
Учитывая условие ограниченности для потенциала Ф2, функции Ф2 (q = = 0,1) будем искать в виде
о n
Ф2 = Е Е Bmnnin(k2r)Pn (cos в) cos m(tp — w). (25)
n=0 m=0
Функции u!i, u2, u3 (q = 0,1) будем искать в виде
оо
uq(Г в,Ф) = ^ Uqmn(r)Pn (cos в) cos m(W — W0);
n=0 m=0 оо
u2(r,e,w) = EE U2qmn(r') Pri (cos e)cos m(w — W0); (26)
n=0 m=0 оо
u3(r,e,W) = Ulmn(r)Pn(cos в) sin m(W — Ы-
n=0 m=0
При этом вид зависимостей от щ в разложениях (24)—(26) определяется соображениями симметрии векторов скорости v и смещения u относительно плоскости щ = Щ0, ф0 + п (компоненты vr, v$ и ur, п$ симметричны, а компоненты vv и uv антисимметричны).
Коэффициенты Aqmn (q = 0,1), Bqmn и функции Uqmn(r), U2qmn(r), Uqmn(r) (q = 0,1) подлежат определению из граничных условий.
С выбранной степенью точности из (20) получаем
cos 7 = 1 + O(e2); sin 7 = —e sin в cos в + O(e2). (27)
Тогда с учетом формул (27) граничные условия (15) при r = r(9) примут
вид
У\г — в 8Ш в 008 вУ\в = —ш(пг — в 8Ш в 008 вив); агг — 2в 81п в 008 вагв = —р\; в 81п в 008 в(агг — авв) + агв = 0; аг^ — в 81п в 008 вав^ = 0.
(28)
Запишем граничные условия (28) через функции Ф^, -Г, -2>, -3 (д = 0,1). Для этого подставим в уравнения (28) разложения (21) и (23), учитывая при этом выражения (5), (6), (8), (9), (19), и приравняем члены с одинаковыми степенями в, стоящие в правой и левой частях каждого равенства. В полученных уравнениях параметр в будет входить как явно, так и неявно (в аргумент функций г). Поэтому предварительно разложим все функции в ряды Тейлора в окрестности точки г = а. Проделав указанные операции и сохранив только линейные относительно в члены, получим две системы для нулевой и первой степеней в, состоящие из четырех уравнений каждая: при г = а
д(Ф* + Ф0)= п
дг
— —
, ди0 Л
(Л + 2ц) —г + -дг а
г. о д2-2 пди2
2и + + <^ вдв +
1
д 2и2
81п2 в дф2
= —грхш(Ф* + Ф0)
1 ди° а дв 1
1 ди2
+
1
д2-3
1
дгдв а дв 81п в дгдф а 81п в дф
д-2 \ д2и3
81п в V дф ' дгдф а дф ) дгдв
М =0;
(29)
1 ди0 ^ д2и0 1 д-3
+ а~дв
= — а 81„2 вЭ2(Ф* ^ Ф0 > + 1 81п в 008 вд (Ф* + Ф0)
дг 2
дг2
дв
—ш
ди0
ди02
ди3
- 81п2 в~~Г — 81п в 008 в—2 — 008 в —3
дг
дв
дф
, д-1 Л (Л + 2ц) —г + -дг а
1
^ 1 д2-2 л д-2
2и' + -дв2 +е‘« в-т + 81п2 в дф2
д2-2
20
= 8Ш2 в | — -(л + 2Ц) ^
2Л ди0 Л
-0+
+Ч Л — Л'
2 V а
Л ( д3-2 2 [Щ2 +е‘Вв
1
д2и20 ди02
Ив2 +°1« в~дё + дф2
д2-2
д2-2
+
1
д 3-2
+2ц otg в
д2и02
1 ди02
дгдв 81п2 в дгдф2
2ц 008 в
+ —
2ц д2и,2
+ в—22+
а дв2
дгдв а дв ) а 81п2в \ дгдф
д2-0 д 2-3
_0^Йд-к_ дА\_ дфдв g дф дф '
дг
1 ди1 д2-2
------- +------2
а дв дгдв
1 ди\ а дв
+
1
д2и\
1
1 • 2 л ( д2и-= — 2 81п в
ди3
81п в дгдф а 81п в дф
ди0 1 ди0 4
( ТТад + 4otg в -------------— - otg виг +
дгд дг а д а -
20
д2и
д 3 и2
дг2д дгд
4
а
2 —- ctg в
д2и2
д2
1 ди02
+----------2
а дв
д 3и3
дг2дф
1 ( ди1
81п в \ дф
- • в ( д2 и°0 = — 2 81 [дТдф,
д2и3 4 д2и3,
—3 — - otgв-------------3
дгдф а
1 ди0 4 2 ди3,
ядя + я + 0tg в~р> д дф а дф а дф
1
+
д2и2
дгдф
1 ди(0 а дф
1 ди2 а дф
д2и3
1 ди3
г д3и!2 г + а- 2
дг2дф
2 008 в д2и2 1 ди0 4 2 ди2
- +~ 1Г + _ 0tg в ~я~
а 81 2 дф2 а дф а дф
дгд а д
д2и<2 4 д2и<2
—------------ctg в ——
дгдф а д дф
+ 2 81 п2 в
д 3и3
дг2дв
д2и0
2
д2и03
_____3 _ 0tgв —3
дгдв а ё дв2
+ -
1 ди03
2 0082 ди03 + - '
а дв а 81 пв дв
(30)
Запишем граничные условия (16) при г = г2 через функции Ф2, и-, и2>, и3 (д = 0,1).
Для этого подставим в уравнения (16) разложения (22) и (23), учитывая при этом выражения (6), (8), (9), (19), и приравняем члены с одинаковыми степенями в, стоящие в правой и левой частях каждого уравнения.
В результате получим две системы, состоящие из четырех уравнений каждая, для нулевой и первой степеней в: при г = г2
дФ0
— —%шиг;
дг
ди-0 Л ( 0 д2и0 ди0
(Л + 2ц)д- + \2иг + 1т +0tgв~дв +
1
+
д2и2, \ 81 п2в дф2 )
д2и03
—1р2ыФ2;
+
г2 д г2 д 81 дф дгд 81 дгдф
1
ди-0
1
г2 81 дф г2 81 дф
1
ди02
ди3
~дв
+
1
д2и02
д2и03
81 дгдф дгд
0.
д Ф2
дг
1
а
,. . dul Л ( і д2ul dul 1 d2ul\ ,
(л + 2^ ~дТ + Г2 f2u + ~д№ + сЧв^ё + ¡n—в w) = —гр2Ш*2;
1 du^ 1 f dul 1 du\ g д2u2 1 д2u\ ^ (32)
т2 дв r2 V дв + sin в дф ) + дтдв + sin в дтдф ’
1 дul 1 f 1 дu2 дu\ g 1 д2ul д2u0 о
+ “—л т:—^— — о г-л^ = 0.
r2 sin в дф r2 \ sin в дф дв ) sin в дтдф дтдв
Рассмотрим третьи и четвертые уравнения систем (29) и (31). Каждое третье уравнение домножим sin в и продифференцируем по в, а затем сложим со своим четвертым уравнением, предварительно продифференцированным по ф.
В результате третьи и четвертые уравнения систем (29) и (31) заменим уравнениями
1 f 82u0 в дu0 1 82u0 g 1 f д2u2 в дu0 1 д2u2 g
т \ дв2 + Ctg дв + sin2 в дф2 ) т \ дв2 + Ctg дв + sin2 в дф2 ) +
д f д2u2 аду0 1 д2u°2
++ctg"вв + ü,?» дф2) = 0; (33)
1 f 82u0 д-u0 1 д2у0 g д f д2u0 д-u0 1 д2u00 g
туїв2 + ctg" Ив +SIn—в w! — дт\~д¥+ctg" ~дв +5^2в ~дф?) =0'
(34)
которые соответственно записываются при т = a и т = т2.
Замечаем, что функция u0 не связана с функциями u0 и u0 как в уравнениях движения (12)—(14), так и в краевых условиях, записанных при т = a и т = т2. При этом все уравнения для u0 являются однородными. Поэтому можно утверждать, что функция u0 тождественно равна нулю.
Теперь рассмотрим третьи и четвертые уравнения систем (30) и (32), и выполним над ними те же операции, что указаны выше.
В результате с учетом того, что u0 = 0, вместо третьего и четвертого уравнений системы (30) будем иметь следующие уравнения: при т = a
1 f д2ь1 дь! 1 82uI g 1 f 82u^ 8uI 1 82u^ g
-aW +Ctg" Ж + fin2в ~w) — a{~9P +ctg + ita2» W) +
д f д2u2 „IuI 1 д2u2
+^ +ctgв -d2 +
дт д 2 д sin2 дф2
1 ■ 2 n д0u0 1 д0u0 7 . д2u0 1 . 2 д2u0 1 д2u0
= — 2 sin вдГдвР — 2 дїдф2 — 2sinвc0sвдтдв + 2a Sin в^в2 + 2a ~дф— +
діі^0 7 діі^0 2
+2(3 sin2 в — 2) —^ +-sinвcos в—Г +—(2 — 3sin2 в)u0—
дт 2a д a r
_а . 2 д4и2,
2 8 дт2дв2 2 дт2дф2
а д4и% 3а д3и2
--------- - "2 81 соэ в дтт4в
д 3и,2
2 і 2 Л ~ 2 і
+ 281П вдд2 +
2
2
2 дтдф2 а
+— 8Ш в со8 в
д3и0 2
—— + - ^в дв3 а
д 3 и0
3
д 2 и02
двф + 281"вС08в дТдв
+
+2а(8-1381"2в)д! - 2а(1+4^2в)Ц - 2а§; <35>
1 / д2 и1 лди3
Д дР3 +с'« в~ді +
в д (ди1 = сов в — ——
дф \ дт
1 д 2и3,\ д (д 2и3 „ ди3
дф?) — дт\дР +с*вв+
1 д2и33 \
8Ш2 в дф2 )
1
20
д2и
—и(1 — а п 2 а дт2
ди02
2
ди02
3
(36)
Вместо третьего и следующие уравнения: при г = г2
1 (д2и1 , , „ди1
г2
четвертого уравнений системы (32) получим
1 д2иі \ 1 / д2и2
1 д2и2\
(а# + сЧ$ да + ВІПГв — т2 (И¥ + сЧвИв + ВГП^в дф?) +
1
д_
+ дт
д 2и2
д 2 и2 + с,?в диГ +___________________
дв2 дв 81п2 в дф2
0;
(37)
1
т2
1
д 2 и\ ди3
~дв2 +С^ "ЗЙ" + 81п2в ~дф2
д 2 и\
д_
дт
1
д2 и\ _ди\
д2 +Ctg "ЗЙ" + 81п2в ~дф2
д 2и\
0.
(38)
Подставим разложения (26) в системы уравнений вида (10), (13), (14), записанных для функций и0, и0 и и^ и\, и3. При этом воспользуемся уравнением для присоединенных многочленов Лежандра [10]
,2
1 й
81п в й в
й
81пв йврт(с08 в)
+
п(п + 1) —
т
81п2в
РПт (сов в) = 0
и свойством ортогональности этих многочленов [10]
РГ(С08 в)РГ(с08 в) 81п вйв =
0,
N
п = к; п = к,
где Nтп —
2
(п + ш)!
квадрат нормы присоединенных многочленов
(2п + 1) (п — т)!
Лежандра.
Получим две системы линейных однородных обыкновенных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и10тп(г), и0тп(г) и
U1mn(г), U2mn(г), и3тп(г):
А и? " + вя и? > + Ся и? = о (д = 0,1),
(39)
П
Си 012 С21 С22
А1
(
а11 0 0
0 а22 0
0 0 а33
Ъ11 Ъ12 0
Ь21 Ь22 0
0 0 Ьзз
С11 С12 0
С21 С22 С23
0 0 С33
ац = Л + 2ц; а22 = азз = ц;
Ъц = т(Л' + 2ц') + 2(Л + 2ц); Ь12 = —п(п + 1)(Л + ц);
Ь21 = Л + ц; Ъ22 = тц' + 2ц; Ъзз = тц' + 2ц;
Си = т2рш2 — 2(Л + 2ц) + 2тЛ' — п(п + 1)ц; с12 = п(п + 1)(Л + 3ц — тЛ');
С21 = тц' + 2(Л + 2ц); С22 = т2рш2 — тц' — п(п + 1)(Л + 2ц); сзз = т2рш2 — тц' — п(п + 1)ц.
Анализ систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами показывает, что все коэффициенты систем не зависят от индекса ш. В третье уравнение системы (39) входит только функция и^тп,
причем в первые два уравнения этой системы она не входит.
Теперь подставим разложения (1), (24)—(26) в граничные условия при т = а и т = т2. Воспользовавшись условиями ортогональности сферических гармоник, для каждой пары индексов п, ш получим систему шести уравнений для отыскания функций с индексом д = 0 и систему восьми уравнений для отыскания функций с индексом д = 1.
Из первой системы находим выражения для коэффициентов Атп, втп
и четыре условия для нахождения частного решения системы (39), записанной при д = 0,
Из второй системы находим выражения для коэффициентов Атп, втп
и шесть условий для нахождения частного решения системы (39), записанной при д = 1,
А°тп = —ЬтпХ1І'п (х1) + ШОІ^тп^)]/
Втп = —г^т2и^тп (т2)]/[х2]'п (х2)]
[Б0И°' + Е0И0\г=а = с0; [Б0 И0' + ^0И°]Г=Г2 = 0.
(40)
(41)
л1 і^аи1тп(а) + о1 ;
тп~ Х1Ьп(х1) тп
Втп = —г^т2и!тп (т2)]/[х2І'п (х2)]
(42)
[^И1' + Е1И1 ]г=0 = С1; (43)
[Б1 И1 + Р 1И1]Г=Г2 =0. (44)
Здесь х1 = к1а; х2 = к2г2; штрихи у функций Бесселя означают дифференцирование по аргументу;
Бо = / Л(г) + 2ц(г) 0 \ ; Ео = /^ еп в12
1 -1 У ’ ” \.х(Ып(Х1)
/ Л(г)+2ц(г) 0 0 \ / е11 е12 0
Б1 = 0 г 0 ; Е1 = 1 -10
V 0 0 г ) V 0 0—1
р 1 = ( 1 -1 0 ); с1 = (-шр1 ^}тпНп(х1) + п2тп, п3тп, пт,п) ;
Лп(п + 1)
/12 0 \
-1 0 ;
0 -1 /
2Л
е11 = — +
а
/11 2Л
+
Г2
1
а ' х1Ъ!п(х1) ’ е12 а ’
2 р2Г23п(Х2) , Лп(п + 1)
_ */ / \ ; /12 "
г2
^тп о™ Л Л7 ^ V { х1 [Ттк^'к(х1) + ^т
+2[,Ттк^к(х1) + ^тк(х1)]аткп £^а[аи1тк (а)аткп 2^2т^(а)аткп] |* ;
1 1 П ( 2 Л \ /
тп = N X/ 2аткп{-а (Л + 2^) и°т& (а) - а ( Л + 2^ + — ) ^Ьпк (а) +
1*тп , 2 \ а /
к=т
+2 ^ а - Л^ ^тк(а) + к(к + 1) Ли2тк (а) - ^ а - Л^ и2тк(а) -
-гр1^х1[7тй ;'к (х1) + 4кк К (х1)]} +
+аткпи2тк (а) + 2^
а (аткп аткп)и2тк (а)
^тп 2(п + 1)^ !^а^1тп (а) 8и1тп(а) т и2тп(а)] +
1 А л
+ (п + 1)^ X/ { 2 к(к + 1)[-аи°тк (а) + и0тк(а) - ^и2тк (а) +
к=т
+аи2тк (а)]аткп 6[аи1тк (а) и1тк(а)]аткп+
тп ,
к=т
+ [3(а - 1)и1тк(а) + аи2тк (а) - а^2тк (а) + ^ ^2тк(а)]°ткп-
13
2[аткп т аткп + 2аткп 4 аткп + т аткп\и2тк(а)};
а
^п = (п + 1)^ ^ 1-аи1тк (а) + и1тк(а) + а2и2тк (а)
а&2тк (а) ^и<2тк (а)]аткп + ‘2и2тк(а)аткп;
п
аткп = /8Ш3 вРкт(сО8в)Рпт(сО8в)(в; о
П
°ткп = / 8т2 всо80 (Рк'г(со8в)Р,т(со8в)(в; 7 (в
о
П
Г (]2
аткп = 8Ш2 всО8 в(вр РГ(сО8в)Рпт(сО8в)(в;
о
П
Г (3
аткп = 81п2 в сов в(вз РГ(сО8в)Рпт(сО8в)(в;
о
П
^п = Iсо8 в(Рг(со8в)Рг(с°8в)(в;
о
п
Г (2
аткп = 181пв(02РГ(со8в)РГ(со8в)(в; о
П
«ткп = У 81п3 в(2 РГ(со8в)Рт(со8в)( в;
о
П
°ткп = 1 81пвсО8 вРГ(сО8в)Рпт(сО8в)(в; о
П
«тт’кп = у ^ в(вРг(со8в)Рг(со8в)( в-
При получении краевых условий (40) использовано выражение для вронскиана сферических функций Бесселя [10]
Зп(х)Ып(х) - з'п(х)Нп(х) = г/х2.
Таким образом, для нахождения поля смещений в упругом сфероиде необходимо решить две краевые задачи (39), (40), (41) и (39), (43), (44). Эти задачи могут быть решены различными методами, например, методами, изложенными в [11].
Используя найденные функции Ufmn(r), U!¿mn(r) (q = 0,1), определяем коэффициенты Amn,Bqmn. В результате получаем аналитическое описание акустических полей вне и в полости сфероида, а также поля смещений в неоднородном упругом теле.
Следует отметить, что выбор в качестве малого параметра величины е, выражающейся через квадрат эксцентриситета, позволяет расширить область применимости найденного приближенного решения. Решение оказывается справедливым для сфероидов, изменяющих свою конфигурацию в более широких пределах, чем это было бы возможно, если в качестве малого параметра выбрать просто эксцентриситет сфероида.
Список литературы
1. Клещев А.А. Трехмерные и двумерные (осесимметричные) характеристики упругих сфероидальных рассеивателей // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 268-271.
2. Бойко А.И. Дифракция звуковых полей на тонких упругих телах вращения // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 4. С. 522-523.
3. Клещев А.А., Ростовцев Д.М. Рассеяние звука упругой и жидкой эллипсоидальными оболочками вращения // Акуст.журн. 1986. Т. 32. Вып. 5. С. 691-694.
4. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде при наклонном падении // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулПИ, 1991. С. 113-119.
5. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом в вязкой среде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика, 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 152-157.
6. Flax L. Dragonette L., Varadan V.K., Varadan V.V. Analisis and computation of the acoustic scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation // J.Acoust. Soc. Amer., 1982. V. 71. N 5. P. 1077-1082.
7. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
8. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 c.
9. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
10. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.
11. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д. ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Лобанов Алексей Викторович, аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Diffraction of a plane sound wave on a inhomogeneous elastic
spheroid
L. A. Tolokonnikov, A. V. Lobanov
Abstract. The approached analytical decision of a problem diffractions of a plane sound wave on a inhomogeneous elastic spheroid is received.
Keywords : diffraction, sound waves, inhomogeneous elastic spheroid.
Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Lobanov Alexey, postgraduate student,department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 01.12.2010
