Граничные интегральные Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.39

ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

© 2008 г. А.В. Галабурдин

Ростовская академия сервиса Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса, 344018, Ростов н/Д, ул. Варфоломеева, 215, [email protected]

Rostov Academy of Service of South-Russian

State University of Economy and Service, 344018, Rostov-on-Don, Varfolomeev St., 215, [email protected]

Выводятся граничные интегральные уравнения внешней и внутренней задач несвязанной термоупругости для бесконечных областей, ограниченных цилиндрическими поверхностями. На границах действуют движущиеся с постоянной скоростью усилия и тепловые источники. Дано решение задачи о воздействии подвижного источника теплового потока на тело, ограниченное бесконечной круговой цилиндрической поверхностью.

Ключевые слова: граничные интегральные уравнения, подвижная нагрузка, тела цилиндрической формы.

The boundary integral equation are introduced in this article for the bodies with the cylindrical form of the optional cross-section at the border of which, there is a loadings moving along the forming with the steady speed.

Keywords: boundary integral equation, moving loads, bodies with the cylindrical form.

Пусть упругое бесконечное тело занимает в пространстве область ¥1, представляющую цилиндр произвольного поперечного сечения или область вида Я 3\ V,, отнесенную к прямоугольной системе координат, ось OZ которой направлена параллельно образующей цилиндра. Вдоль образующей по границе тела с постоянной скоростью а движется приложенная сила и некоторый источник теплового воздействия. Будем рассматривать несвязанную задачу термоупругости, которая в подвижной системе координат сводится к решению дифференциальных уравнений движения и уравнения теплопроводности

2 о2

л ; a д U

Au + vgraddivu = —--— +

С2 dz

(1)

Ав + ^ = 0. (2)

к dz

Здесь u - вектор перемещений; в- температура;

v = 1 + -

А

v

гj(*= ~

1 \lT "4 дФг}, где Я, =д/b2 + yfr 2

IЯ2 V2

А, V - материальные постоянные Ляме; _

Г = а , г? = 1 Г , , = 1,2 ; г = 4д2 +р2 , с,

Ф =4(Я2 -Я1) , Ф2 =4Я -Я1) ,

г г

Ф3 = Ы(Ь + Я1) - Ы(Ь + Я2), д = х0 - х, р = у0 - у, Ь = х0 - х, х0, у0,х0 - координаты точки q; х, у, г -координаты точки р.

Допустим, что на граничной поверхности бесконечного цилиндра произвольного сечения 5, отнесенной к подвижной системе координат, задана сила ф, удовлетворяющая условию Гельдера и интегрируемая с квадратом по переменной г на всей прямой (-да, да). Будем считать, что указанная поверхность является поверхностью Ляпунова. Тогда перемещения могут быть представлены в виде интеграла У(^,ф)= = |Г(р, q) который назовем обобщенным уп-

к = —°; ег - удельная теплоемкость при постоянной

деформации; Л0 - коэффициент теплопроводности; у = (ЗА + 2/и)а(; а( - коэффициент линейного расширения; с2 - скорость поперечных волн.

Для нахождения фундаментальных решений системы (1), (2) использовался известный метод, основанный на применении интегрального преобразования Фурье [1]. Построена матрица фундаментальных решении дифференциального уравнения движения Г(р, q), элементы которой имеют вид

ругим потенциалом простого слоя для задач с подвижными нагрузками.

Введем в рассмотрение оператор напряжений Тп , определяющий напряжения на площадке с нормалью п.

Построим матрицу Т(р, q) = \гп (q)Г(q, р)^ , используя которую, найдем обобщенный упругий потенциал двойного слоя W(^,ф)= |Г(р, q) ф(д^8г

5

Введем объемный обобщенный упругий потенциал

и(АФ)= Ш р, q) ф(Ф^г

S

А

S

Можно показать, что введенные поверхностные потенциалы удовлетворяют уравнению (1) всюду, кроме точек поверхности 5, а объемный потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению (1), в правой части которого - объемная сила ф, тоже всюду, за исключением поверхности 5.

Рассмотрим интеграл / Т (р, q)dSq, где

5 = Ь х (-да, да) - указанная выше цилиндрическая пода

верхность. Тогда |Т(р, Ч^5ч =| |Т(р, q)dzqdYq .

5_ Ь-да"

Выполняя интегрирование по переменной zq, пода

лучим | |T(p, q)dzqdYq = |Т0(ро, qo.

Ь-да Ь

Элементы Т® (г,у = 1,2) полученной матрицы

равны элементам аналогичной матрицы плоской статической задачи теории упругости. Указанный интеграл от этих элементов рассматривался в [2]. Элементно ^0 ^О гт^о 1 д л 1 ты 113, 12Ъ, 131, Т32 равны нулю; 1° =--

2л дп„ г

ч

соответствует ядру потенциала двойного слоя в Я2, интеграл от которого достаточно хорошо известен [3]. Учитывая вышесказанное, можно утверждать, что

- Е, р £ V

| Т (р, ч^5ч = - -1Е, р £ 5 , где V - область, занятая

5_ 2 ~

о, р £ V,

указанным выше бесконечным цилиндром; V -внешность этого цилиндра.

Представим потенциал W(p,ф) в виде ^(р,ф)= $ Т(р, ч) [ф(д)-ф(д0)№+

5

+ф(до) /Т(р, Ч^ч , где Чо £ 5 .

5

Устремляя р ^ ч0 изнутри или извне поверхности Б, учитывая непрерывность первого интеграла и поведение второго, получим W± (до, ф)= W (до, ф)- 1 ф(до),

где W+ (до, ф) , W- (до, ф) , W (до, ф) - предельные значения изнутри, извне и прямое значение W (д, ф).

Для изучения предельных свойств Тп (р)\ (р, ф) рассмотрим интеграл |Тп (р)Г(р, q)dSч .

5 _

Выполняя интегрирование по zq, получим

да

/ тп (р)Г(р, Ч^ч = То (ро, Чо ) , где ро, Чо - проекДии

-да

точек р, ч на плоскость ХОУ.

T0ij (Ро >

\ = -T

ji (qo

Представляя Тп (р)У (р, ф) = | Тп (р)Г(р, Ч) (ф(д) -

5

- ф(до))^Бд+ ф(до) | [Тп (р)Г(р, ч) + Т(р, ч)^ч -

5

-ф(до) |Т(р, q)dSq и устремляя р ^ чо , получим,

5

учитывая непрерывность первых двух интегралов,

Тп (Чо)у ± (до, ф) = Тп (Чо )У (до, ф) ±1 ф(до), где

Тп (чо)у + (gо, ф), Тп (чо)у- (до, фХ Тп (чо )\ (до, фХ -предельные значения изнутри, извне и прямое значение Тп (ч о )У (gо, ф).

Фундаментальное решение уравнения (2) имеет

1 e

2к

(Ъ-К)

R = 4s2 + ß2 + Ъ2 .

T (p0, q0) и T (Р0, q0) связаны соотношением

р ) , и следовательно, элементы матрицы Тп (р)Г(р, ч) + Т(р, ч) не имеют особенностей. Интеграл |Тп (р)Г(р, д) + Т(р, q)dS есть функ-

5 _

ция непрерывная.

вид Ф( р, ч) =

4л Я

Введем потенциалы простого и двойного слоя

Уд(р,ф) = |Ф(р, ЧШЧ^ч ,

5

д

№в(р,у) = \1—~Ф(р,ЧШЧ^Ч .

5 дп(ч) ч

Используя [1], можно доказать следующие предельные свойства введенных потенциалов:

д д 1

(Чо,У) ув (Чо,У) ±~¥(Чо),

дп(р) дп(р) 2

Щв (Чо,У) = Щ(Чоо,¥) + 1¥(Чо). Пусть на поверхности 5 заданы граничные условия, определяющие теплообмен а — + Ив = т, где

дп

а, И - постоянные; т(р) - заданная функция (р £ 5). В случае а = о решение следует искать в виде

в(р) = Щв(р>¥) .

Учитывая предельные свойства №в (р, \у), для внешней и внутренней задач получим интегральные

уравнения ± р) + №в (р,у) = т(р), р £ 5.

Если аф о, то решение ищется в виде в(р) = Vв (р, у). В этом случае для внешней и внутренней задач получим интегральные уравнения

±\у(р)+^Ув(ру)+ИУв(ру) = ^. (3) 2 дп а а

При построении интегральных уравнений, соответствующих (1), будем рассматривать величину у§ра<1в как заданные объемные силы, которые определены из интегральных уравнений, приведенных выше. В случае первой краевой задачи решение следует искать в виде и(р) = W(р, ф) +и(р,-у&айв).

Для внутренней и внешней задач получим соответственно интегральн^1е уравнения +1 ф (р)+W( р, ф) =

= и(р)-и(р,уgra.de), где р £ 5, а и(р) - заданный на границе вектор перемещения.

В случае 2-й краевой задачи решение следует искать в виде и(р) = \(р, ф) +и(р,-у§га<. в).

a

Тогда для внутренней и внешней задач получим

интегральные уравнения +1 ф (р) + Тп (р)\(р, ф)=

= р) - Гп (р)и(р, у рай в).

В качестве примера решена осесимметричная задача о бесконечном круговом цилиндре, по боковой поверхности которого перемещается источник потока тепла. Она сводится к решению граничного интегрального уравнения (3) при h = 0, а = 1, a = 1, к = 0,1758. Радиус цилиндра принимался равным 2

р = 1, т(х) = e . При интегрировании по контуру L

использовалась квадратурная формула прямоугольников. Для интегрирования по 2 применялась формула

Эрмита с числом узлов п = 7. Результаты расчета приведены в таблице.

Распределение температуры в центре цилиндра по его длине

Z -2 -1 0 1 2

в 0,490 0,582 0,551 0,086 0,004

Литература

1. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975.

2. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., 1963.

3. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М., 1963.

Поступила в редакцию

24 декабря 2007 г.