Исследование напряженного состояния анизотропных тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ле Шонг Тунг родился в 1965 г. во Вьетнаме, окончил в 1988 г. Казанское высшее инженерное училище. Аспирант кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области термомеханики.

Le Song Tung (b. 1965 in Viet-Nam) graduated from the Kazan Higher Engineering School in 1988. Post-graduate of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of Thermal Mechanics.

УДК 539.3

В. С. Саркисян, В. Ж. Айрапетян, Н. А. Кутузян

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

Исследованы коэффициент концентрации напряжений при кручении анизотропного шлицевого вала с закругленными углами и напряженное состояние в угловых точках для антиплоских задач анизотропных однородных и неоднородных клиньев. Рассмотрена задача термоупругости для клиновидной пластинки постоянной толщины, обладающей цилиндрической анизотропией.

Знание коэффициентов концентрации напряжений позволит создавать более надежные в эксплуатации и более экономичные конструкции. Точное знание полей напряжений вблизи концентратов дает возможность экономить материал, снижать стоимость, уменьшать массу, повышать надежность и долговечность конструкции.

В современной технике часто требуется знать о концентрации напряжений вблизи угловых точек тел, которые имеют достаточно слож-ные конфигурации. Снижение концентрации напряжений позволяет создавать более равнопрочные конструкции. Поэтому создание элементов машин с наименьшей концентрацией напряжений является важнейшей инженерной задачей.

В настоящее время при изготовлении конструкций наряду с материалами, обладающими "естественной" анизотропей, зависящей от внутреннего строения, широко применяются композиционные материалы. Это стало возможным благодаря современной технологии создания материалов с различными видами конструктивной анизотропии и неоднородности.

Температурные напряжения нередко представляют собой важный фактор, определяющий долговечность и надежность разных современных машин, приборов, аппаратов, имеют большое значение для анализа прочности и правильного функционирования конструкций, работающих в условиях высоких температур.

Исследование коэффициента концентрации напряжений при кручении прямолинейных анизотропных шлицевых валов. Рассмотрим кручение шлицевых валов, материалы которых обладают прямолинейной анизотропей.

Как известно, решение задачи кручения прямолинейных анизотропных стержней сводится к решениям подобных задач для изотропных стержней, но не в области поперечного сечения П, а в области П', полученной аффинным преобразованием области П. Задача кручения изотропного стержня решается методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Интегральные уравнения решаются численно-аналитическим методом (методом последовательных приближений) [1].

В научной литературе и справочных пособиях по машиностроению указаны значения коэффициентов концентрации напряжений для отдельных шлицевых валов с закругленными углами [1].

В данном разделе приводится решение ГИУ задачи кручения шлицевых валов типов А и Б, показанных на рис. 1.

Контур шлицевого вала относится к прямолинейной системе координат жь х2. Координатные линии контура вала не совпадают с координатными линиями прямолинейной анизотропии.

Коэффициент концентрации определяется соотношением

16 М

К =-' Т = , (1)

т па3

где М — крутящий момент; а — диаметр сплошного вала, совпадаю -щего со шлицевым валом по внешнему контуру (без учета шлицевых выемок); ттах — наибольшее по модулю напряжение, возникающее в рассчитываемом вале.

В табл. 1 приведены результата вычисления коэффициента концентрации напряжений и наибольшего касательного напряжения прямолинейных анизотропных (при упругих постоянных а44 = 1,588 х

Таблица 1

Результаты вычислений коэффициентов концентрации напряжений и наибольшего касательного напряжения

d, мм di, мм nz b, мм r/d Kts ттах, МПа Ks т0^ МПа

30 26 6 6 0,005 3,698 30,69 4,02 33,72

0,01 3,100 25,59 3,37 28,12

0,02 2,677 21,79 2,91 23,94

0,03 2,539 20,12 2,76 22,11

32 26 6 0,03 6 2,613 0,005 3,938 31,83 4,28 34,98

0,01 3,266 26,49 3,55 29,11

0,02 2,788 22,40 3,03 24,62

20,64 2,84 22,68

40 33,7 8 6,3 0,005 2,530 30,20 2,75 33,19

0,01 2,190 28,00 2,38 30,77

0,02 2,092 22,77 2,1 25,02

0,03 2,021 18,43 2,0 20,25

60 52 8 10 0,005 2,282 47,19 2,48 51,86

0,01 2,091 40,38 2,15 44,37

0,02 2,042 36,09 2,08 39,66

0,03 2,027 34,69 2,04 38,12

98 92 10 14 0,0005 4,192 130,13 4,557 143

0,001 3,636 110,22 3,952 121,12

0,005 2,477 73,59 2,692 80,87

0,01 2,362 64,84 2,567 71,25

112 102 10 16 0,0005 2,837 131,91 3,084 144,96

0,001 2,414 111,96 2,624 123,03

0,005 1,673 75,81 1,818 83,31

0,01 1,650 67,91 1,793 74,63

0,02 1,583 65,13 1,721 71,57

х 10-4 МПа-1, а55 = 1,508 • 10-4 МПа-1, а45 = 0,00418 • 10-4 МПа-1) и изотропных шлицевых валов типа А при кручении для четырех различных значений отношения т/А. В первых четырех колонках приведены основные параметры шлицевых валов. В пятой колонке приведено отношение радиуса закругления т к диаметру А. В последующих колонках приведены значения коэффициентов концентрации напряжений и максимальные напряжения для анизотропных и изотропных валов.

Анализ численных результатов показал, что значения коэффициента концентрации непосредственно зависит от анизотропии материала (коэффициент концентрации изотропного вала значительно боль-е, чем в случае прямолинейного анизотропного материала) и что с увеличением числа зубьев иг значение коэффициента концентрации уменьшается; с увеличением высоты зуба - возрастает (см. пример при А = 30 мм и А = 32 мм); с увеличением ширины зуба Ь коэффици-

ент концентрации уменьшается (см. пример при а = 40 мм, п2 = 8 и

а = 32 мм, иг = 6).

При сравнении полученных результатов с результатом решения задачи для изотропного шлицевого вала (а = 32 мм, ¿1 = 26,7 мм, г/а = 0,09) коэффициент концентрации напряжений оказался равным К0 = 3,76, в то время как в работе [2] этот коэффициент равен К0 = 3,96. По мнению авторов, увеличение значения этого коэффициента на 5,3 % в работе [2] объясняется тем, что при построении конформно отображающей функции всегда имеют место локальные перегибы, влияющие на значения касательных напряжений.

На рис. 2 приведены графики касательных напряжений при решении задач методом ГИУ и методом конформного отображения [2].

Зависимость КЦ от отношения г/а для сечения вала типа Б при кручении изотропного шлицево-го вала представлена графиком, приведенным на рис. 3, где г — радиус канавки.

Как показали вычисления коэффициента концентрации напряжений, наибольшее напряжение в сечении вала типа Б возникает на дне канавки, а сам коэффициент изменяется по графику II (рис. 3), когда г/а = 0,03 ... 0,04, что на 10%

отличается от результатов, по- Рис.3. Графики изменения коэффициен-лученных в работе [3]. Попытки та концентрации напряжений для шли-уменьшения отношения г/й при цевых валов типа Б

0,005 0,01

ом r/d

Рис. 4. Графики изменения коэффициента концентрации напряжений для шлицевого вала типа А

численном вычислении приводят к неустойчивому счету и накоплению ошибок из-за приближения точки С к боковой стороне зуба.

Проводимые выше решения задач кручения для шлицевых валов с закругленными контурами при сравнении с решениями задач кручения тех же валов с угловыми точками на контуре сечения обладают тем существенным отличием, что у первых напряжения в опасных точках оказываются конечными, а у вторых — бесконечными. О дно важное обстоятельство объединяет эти решения. Как доказано в [4], при замене гладкого контура с закругленными углами на негладкий, с угловыми точками на контуре, коэффициенты концентрации напряжений на сглаженных контурах стремятся к коэффициентам концентрации напряжений на негладкой границе (предельный случай — вблизи угловых точек; см. рис. 4). Кроме того, всю -ду, за исключением окрестностей опасных точек, напряженные состояния почти совпада т.

Антиплоские задачи для анизотропных неоднородных клиньев.

Решения антиплоской задачи для клиньев простые, но имеют существенный недостаток, связанный с тем, что область, в которой решается задача, не имеет замкнутой границ . атематическая постановка таких задач не корректна. Их решение обращается в бесконечность при некоторых углах раствора клина. Для этих углов напряжения имеют логарифмическую особенность.

Антиплоские задачи для клиньев, обладающих прямолинейной анизотропией. Рассмотрим в системе координат г, 9, х3 клин (0 < г < +ж, 0 < 9 < а, —ж < х3 < +ж) (рис. 5), материал которого обладает прямолинейной анизотропией, име-ей одну плоскость упругой симметрии. Предположим, что одна грань клина закреплена, а на другую приложены касатель-

Рис.5. Прям°линейньга аничафтшын ные напряжения т0, параллель-

клин в системе цилиндрических коорди- г

г г ные образующей.

нат

Решение поставленной задачи сводится к решению дифференциального уравнения

tfUxa 92UX 0 2 Ux з A22 „ о--1 ----h A]

41"

дх2

= 0

с заданными граничными условиями, где пх3 (х1, ж2) — функция перемещений, а А11, А12, А22 — модули упругости.

При введении малого физического параметра 8 дифференциальное уравнение и граничные условия представим в полярных координатах [1]:

Т [Ж] + 8Б [Ж] = 0, (2)

W(т, 0) = 0,

дW 1 дW

-— (e2 cos 20 - 8 sin 20) + ——(1 - e2 - 8 cos 20) or r 00

в=а

To

ei:

(3)

где

т\ }-— 1 — — —

dr2 r dr r2 d02'

S[ • ] = ai (0)

д2

1 д 1 д2

dr2 r dr r2 д02

- 2a2(0)К?д0

UX3 (x1, x2) = UX3 (r cos 0, r sin 0) = W(r, 0),

ai (0) = cos 20 - ki sin 20, a2 (0) = sin 20 + ki cos 20,

A22 - An An + A22 2Ai2

8 = —-:— < 1, ei =--—

A

22

A

e2 =

ii

A

ii

A

22

Применяя метод решения однородной задачи, общее решение краевой задачи (2), (3) с учетом ограниченности при т = 0 определим следующим образом:

W(r, 0) =

To

r sin 0

+ Z

ei (1 - e2 - 8) cos a + e2 sin a cos 2a 1 - 8ai(0)

k=i

1 - 8ai(a)

A-1 2

[CkiHi(0,Ak) - Ck2Vk2(0,\k)], (4)

где Vi(0, A), V2(0, A) — фундаментальные решения уравнения, A — собственное значение задачи.

Теперь можно вычислить касательные напряжения при данном растворе клина:

Г dW 1 dW 1

= eA -— (e2 sin 20 + 1 + 8 cos 20) +---^r(e2 cos 20 - 8 sin 20) k

[or r d0 I

+

f dW 1 dW 1

00x3 = e^ -"dr"(e2 cos 20 - £ sin 20) + (1 - e2 - ^ cos 20) i •

Касательные напряжения характеризируют напряженное состояние в угловых точках клина.

Антиплоские задачи для цилиндрических ортотропных неоднородных клиньев. Для рассмотренной вше задачи предположим, что задан цилиндрический ортотропный неоднородный клин. Рассмотрим некоторые конкретные случаи. а) Пусть функция неоднородности имеет следующий вид:

0,44 = a^r n,

a55 = a55r

(5)

Для касательных напряжений получены следующие выражения [6]:

То

Твхз =

a0 a0

a44a55

4(1 - n) . Vi - n Л In r • cos-;-0 +

п(2 - n)

Л

2 V/T-20 v^n . V/T-n Л

+— cos---0-----Sin---0

п Л п Л Л

+

+

rn-1 ^

044 k=0

Ak rVk 2(k + 1)у/Г-г cos2(k + 1)v^

Л

Л

0,

(6)

Тгхз

То(1 - n) ■ №2

4^V/T-nn . v/T-20 V/T-n n

---— In Г • sin---0 +--cos---0

п(2 - n) Л п Л

То 4Ла/ 1 - n . л/1 - n .

sin -;-0 +

(a05)2 п(2 - n)

Л

rn ^ T ^ x . (2k + 1)v/T-nn

+ — A^k Tk rVk-1 sm^-^-0

k=0

Л

при а =

Лп(2к + 1);

2^1-n '

твх3 =

Т0

a0 a0

a44a55

4Л(1 - n). \fT-n .

In r • cos-;-0+

3п(2 - n)

Л

2 v/T-20V/T-n . v/T-nn

+ 3Пcos ~0 - 3П Л sin ~Л"0

+

+

r

n—1

a44

£ Bkr- 2(k cos (2k + 0,

k=0

3Л

Л

То(1 - n)

(а5б)2

Пл . v/T—20 V/T—n .

——-- In r- sin---9 + — cos---9

3n(2 — n) Л 3п Л

+

То n . V1 — n + / о ч2 Q /0-V sin-\-9+

(a05)2 3П(2 — n) Л

+ £ t B,t r- sin(2k + ^ 9 (7)

55

k=0

3Лп(2к + 1) при а =-. .

2v/Г—п

б) Пусть теперь функция неоднородности имеет следующий вид:

А44 = — = а44е-пг, А55 = — = а55е-пг. (8)

а44 а55

Для решения этой задачи получено неоднородное дифференциальное уравнение, однородное уравнение которого переходит в уравнение Уиттекера. Решение этого однородного уравнения выражается через ряда и имеет вид [6]

Я (г) = С1к (пгГ Н (пг) + (гз)-^ V— (пг), (9)

где

n(2k + 1) 2 «55 ^k — Л^к, vk — ---, Л — ""О")

2а а44

V±k (n, r) — Mi (nr) • (nr)1 e n2r.

2 (пг) • (пг) 1

Частное решение Як определяется с помощью уже найденного однородного решения методом вариации постоянных.

Таким образом, решения задачи можно представить в виде

W (r, 9) — t [Cik (nr)^k Vk (nr)+

k=0

+ C2kV-k(nr) + Rk] sin Vk9 - Aerenr sin79. (10)

Неизвестные постоянные можно определить для конкретных задач с граничными условиями на краях рассматриваемой области (r = r0, r = ^.Следовательно, таким методом можно решить антиплоские задачи для клиновидных тел при различных граничных условиях.

в) Решена также антиплоская задача для клина, материал которого обладает слабой неоднородностью:

— = «44[1 + / (r, 9)],

а144 (11)

— = а55[1 + /(r, 9)], |í| < 1.

«55

Поскольку в рассматриваемой краевой задаче содержится малый физический параметр то естественно ее решение искать в виде ряда по степеням этого малого параметра:

т = т0 + + £2 т2 + .... (12)

С учетом соотношений (12) краевая задача сводится к решению рекуррентных краевых задач в частных производных с разделяющимися переменными при нулевых граничных условиях. На основе результатов работ [1, 5] нетрудно доказать, что решение (12) сходится равномерно и абсолютно в области усеченного клина, первые производные по г и 9 решений (12) сходятся в пространстве ЬР(П), р > 1, а вторые производные — в Ь2(П).

Задача термоупругости для клиновидной пластинки, обладающей цилиндрической анизотропией. Решена задача термоупрогости для клиновидной пластинки постоянной толщины Л, обладающей цилиндрической анизотропией. Пластинка подвергается действию температурного поля, которое изменяется линейно по толщине:

9 = 9(0) + 9(1)хз, (13)

где

Н/2 Н/2

9(0) = 1 У 9^хз, 9(1) = 1 У хз9^хз.

-Н/2 -Н/2

На боковых краях пластинки ^ = 0, ^ = а задана постоянная температура 90, а на верхней и нижней поверхностях х3 = Л/2, х3 = —Л/2 происходит конвективный стационарный теплообмен со средой. Пластинка по боковым краям ^ = 0, ^ = а шарнирно оперта.

осле интегрирования уравнения теплопроводности в соответствии с линейным законом распределения температуры (13), учитывая при этом граничные условия, получим дифференциальные уравнения для определения интегральных характеристик температуры [7]:

К11 ^ + К1 ^ + К1 ^ — £ (9<0) + 90 — 9-)=0,

дг2 г дг г д^2 Л

^ д29(1) Кц д9(1) К22 д29(1)

—I---~--1-------(14)

дг2 г дг г д^2

— * (2^33 + ^ — ) ^

где К11, К22, К33 — коэффициенты теплопроводности, а 93, 94, 0 — постоянные температуры.

Для функции 0(r, получим

m=0

2а 1

C2mKpm

h Kii

+ z C3feIpk (cr) + C4fc(cr) +

fe=0

2а 1

ТКЦ'

а

2K33 + ah

+ 0 - 0o f sin

(03 - 04^ sin Vfe<£.

(15)

Здесь /р(г), Кр(г) — модифицированные функции Бесселя и Макдо-нальда [8]. После применения асимптотических представлений для функций Бесселя около точки г = 0 при использовании закона распределения температур в теле определен прогиб срединной поверхности, а затем вычислены необходимые механические величины. Из результатов исследования характера напряженного состояния в малой окрестности вершины пластинки можно сделать следующие выводы. Особенности в перерезывающих силах не возникают, если раствор клиновидной пластинки будет удовлетворять услови

а

— < min п

2(y/ki + k)

16 - (1 -Tkl)2,

K

22

K

11

когда упругие характеристики материала удовлетворяют условию к < к1, где

#12 + 2£66 , ^22

k =

D

-, ki =

ii

D

ii

Если k1 < k, то угол раствора должен удовлетворять условию

4k kk +

min

(f + 1

4k

тт + 1 -ki

12

+ 3 -1" ki

< а <

п

'4k

kl

12 2 "7 - ki' i 2

ki , . 2k _

K

22

K

11

Таким образом, выбором материала при заданном угле раствора клиновидной пластинки (или выбором угла раствора при данных свойствах материала) мо но устранить особенности термоупругих напряжений и перерезывающих сил в вершине пластинки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Саркисян В. С., Айрапетян В. Ж. Новые классы задач теории упругости анизотропного тела. - Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1997. - 241 с.

2

2

2. У годчиков А. Г., Д л у г а ч М. И., С тепанов А. Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. - М.: Высшая школа, 1970. - 528 с.

3. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. - М.: Мир, 1977. -301 с.

4. Назаров С. А. О сглаживании особенностей границы в двухмерных задачах теории упругости // Исследование по упругости и пластичности. № 12. - Л.: Изд-воЛГУ, 1978.- С. 180-186.

5. С а р к и с я н В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. - Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1976. - 444 с.

6. Айрапетян В. Ж., Кутузян Н. А., Овсепян Д. Л. Об одной антиплоской задаче для цилиндрически анизотропного неоднородного клина // Ученые записки ЕГУ. - 1999. - № 2. - С. 30-37.

7. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., К о л я н о Ю. М. Термоупругость тел неоднородной структуры. - М.: Наука, 1984. - 368 с.

8. К о р н е е в Б. Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. - М.: Наука, 1980.-400 с.

Статья поступила в редакцию 30.04.2004

Владимир Саркисович Саркисян родился в 1935 г., окончил Ереванский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, академик НАН Армении, заслуженный деятель науки Армении, декан факультета механики Ереванского государственного университета. Автор более 300 научных публикаций, 7 монографий и 12 книг и учебных пособий по механике деформируемого твердого тела. Член национальных комитетов по теоретической и прикладной механике России и Армении; член Международного общества по интеграции механики и математики и Европейского общества механиков.

V.S. Sarkisyan (b. 1935) graduated from the Yerevan State University. D. Sc. (Phys.-Math.), professor, full member of National Academy of Sciences of Republic of Armenia, Honored Scientific Worker of Armenia, dean of Faculty for Mechanics of the Yerevan State University. Member of National Committees on theoretical and applied mechanics of the Russian Federation and Republic of Armenia, member of International Society on integration of Mechanics and Mathematics an amember of European Society of mechanicians. Author of more than 300 publications, 7 monographs and 12 books in the field of mechanics of deformed solid body.

Вардан Жоресович Айрапетян родился в 1956 г., окончил Ереванский политехнический институт, д-р техн. наук. Проректор по учебной работе Гаварского государственного университета. Автор более 40 научных работ и монографии по теории упругости.

V.Zh. Airapetyan (b. 1956) graduated from the Yerevan Polytechnic Institute. D. Sc. (Eng.), vice-rector for teaching of the Gavar State University of Republic of Armenia. Author of more than 40 publications and a monograph in the field of theory of elasticity.

Нелли Альбертовна Кутузян родилась в 1970 г., окончила Ереванский государственный университет, канд. физ.-мат. наук. Доцент Гаварского государственного университета Армении и научный сотрудник Ереванского государственного университета. Автор 15 научных работ по механике деформируемого твердого тела.

N.A. Kutuzyan(b. 1970) graduated from the Yerevan State University. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of the Gavar State University of Republic of Armenia and researcher of the Yerevan State University. Author of 15 publications in the field of deformed solid body.