Численный анализ основных уравнений статики спирально-анизотропных стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧИСЛЕННЫИ АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИИ СТАТИКИ СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ

С.С. Резников

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор В.М. Мусалимов

Рассмотрена задача о растяжении-кручении спирально анизотропного стержня. Решена задача для случая отсутствия трения между волокнами составляющими стержень.

Материальное упругое тело называют спирально-анизотропным, если с ним связана некоторая ось анизотропии z, а кривые с упруго-эквивалентными свойствами представляют собой семейство винтовых линий шага h с осью z. Теория упругости спирально-анизотропного тела находит достаточно широкое применение - от изготовления сопел реактивных установок до формирования тросов и кабелей. К разработке теории упругости анизотропных стержней имеют отношение и специалисты по пряжам, и по канатам и кабелям, и по ракетным двигателям.

Проблемными до сих пор остаются вопросы определения модулей упругости спирально-анизотропных стержней, которые являются модельной базой для анализа, например, деформаций тросиков управления и других элементов приборов. Неучет анизотропии приводит к конструктивным, а, следовательно, и к систематическим ошибкам при анализе деформаций. Так, например, приложение растягивающей силы к тросику вызывает раскручивание его и увеличение базы удлинения. Поэтому организация серьезных экспериментов по определению модулей упругости и далее реализация расчетов является актуальной задачей.

Предполагая линейную связь между напряжениями <а^ и деформациями skl, закон Гука можно записать в виде

ау- = Cykiski. (!)

Рассматриваемый случай спиральной анизотропии позволяет связать с телом криволинейную ортогональную систему координат, обладающую отмеченным выше качеством, а именно - совпадением координатных линий с упруго-эквивалентыми направлениями. Компоненты тензора в двух системах координат связаны соотношением:

= CPCJPG pq , (2)

что дает следующие зависимости:

а г = а r,

а^ = ае sin2 а + 2x6z sinа + аz cos2 а,

ап =ае cos2 а- 2Tez sin а + а z sin2 а, т ^ = т^ = т re sin а + тrz cos а, т rn = V =-т re cos а + т rz sin а

(3)

т^ =тл^ =(а z -аe)sin а cos а + т& (sin2 а- cos2 а).

В правые части равенства представленной системы входят компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат: аг, ае, аz, т&, т^, тге . В левых частях равенств системы представлены компоненты тензора напряжений в геликоидальной системе координат: аr, а^, ап, т^, тгп, тг^. Аналогичные зависимости существуют между

компонентами тензора деформаций в цилиндрической и геликоидальной системах координат.

Известны зависимости компонент тензора деформаций от компонент вектора перемещений в цилиндрической системе координат:

2 г =■

У ге =-

диг дг дие

1 дие иг

8е =---- + —

г де г

2 , =■

дz

- + -

1 ди„

У г,

ди, диг

+

Уе, =■

1 диг дие

+

и

дz г де дг дz 2 де дг г

Запишем известные уравнения равновесия в цилиндрической системе координат:

да г + а г -ае + 1.дт ге + дтг

г де дz

дг г

1 дае дт

——1 + —

г де дг г дz

■ + X. = 0,

ге

+ ■

2т

ге

+ ■

дт

еz + Хе = 0,

(5)

^ + <К + 1 дт

дг г г де

+ + X, = 0.

дz

Здесь Хг, Хе, X, - компоненты объемных сил. Дифференцируя выражение (3) и подставляя полученные производные в (5), получим уравнение равновесия в геликоидальных координатах:

Построенная теоретическая модель спирально-анизотропного тела предполагает наличие в каждой точке тела трех упруго-эквивалентных направлений, определяемых векторами вг, в 5, вп. Так как упруго-эквивалентные направления совпадают с координатными, физически уравнения (1) в геликоидальной координатах будут содержать лишь двенадцать независимых упругих констант. В технических обозначениях эти уравнения примут вид

1

V

^г

V

2 г = Е в г - Ер"

V г5 ^ 1 25 =—-аг +—а5 -

5 Ег Е1

Пг

вп;

Е П Еп ;

v5п =

1

Г Чп'

О5п

п

V = —

гп О

-тгп;

(6)

гп

V

2п =■

гп

V

Е

а г -

5п

1

ап

Е Е

^5 п

V * =

г'5

О

г5'

г5

Входящие в (6) упругие константы имеют следующий физический смысл: Ег, Е5, Еп - модули упругости материала соответственно в направлении осей г, 5, п ;

О5 , О, О - модули сдвига материала в указанных плоскостях;

Vг

где

г, у = {г, 5, п } - коэффициенты Пуассона, указывающие на величину относительного сужения материала в направлении оси г под действием растягивающей силы, совпадающей по направлению с осью 7.

Во многих реальных конструкциях типа канатов, кабелей, крученых пряж направления г и п упруго-эквивалентны, все радиальные направления в поперечном сечении тождественны в отношении упругих свойств. Этот факт накладывает на упругие константы следующие ограничения:

v г5 = ^5 = V; Ег = Еп = Е2; ^г = Vгп = V2; Е5 = Е1; О5п = Ог5 = О1; Огп = О2 .

(7)

Задача при этом существенно упрощается: в определяющих уравнениях остается лишь шесть упругих констант материала, и теперь уравнения имеют вид

1

1

E 1

E2s r = a r-via^-v 2ал; =—^;

o-,

E 1

^ = -^ar ;у^ = —т^; (8)

E2 G1 1

Е2^л =-Vi^r-^а,= +ал;у^ = —т.

G2

Построим уравнения равновесия при осесимметричным нагружении, когда ось анизотропии Oz является силовой осью симметрии. Осесимметричность напряжения приводит к системе равенств

даг = = = = ^ = дтгл

de de de de de de

Система уравнений (5) при этом принимает вид

даr 1 í . 2 2 \

—- +—1а r -а. sin а + 2т,п sin а cos а-ап cos а)+ дг r . n '

дтгЕ дтrn .

+--- cos а+--1 sin а + Xr = 0;

dz dz

дтг£ дтг тА( 3 \ тr, / 2 \

—— sin а--— cos а +—(2sin а + kr cos а)——(2cos а-kr sin а)

дг дг r r

Гда, дап ^

(9)

+

^ n sin а cos а +--— (sin2 а- cos2 а)+ X, sin а- Xn cos а = 0;

& v ' 5 n

v dz dz у

(10)

da, 2 дт. da 2 дтдт . -cos а + 2——sin а cos а+--L sin а+--- cos а+--1 sin а +

дz дz дz дr дr

т r, cos а / ч т rn / 3 \

+—--(1 - kr sin а cosа)--1 Isin а + kr cos а)+ X, cosа + Xn sin а.

rr

Принимая, что напряжения не меняются вдоль оси симметрии, получаем

да r =^а1=д0п=дт,1=д!п=д!п=0. (11)

дz дz дz дz дz дz При этом, учитывая доказанную Херлом и Конопасеком пренебрежимую малость по сравнению с остальными компонентами тензора напряжений касательных напряжений тг, и т rn, можно записать [2]:

^^ +1 (а -а, sin2 а + 2т,п sinа-ап cos2 а)= 0. (12)

дтт

Рассмотрим круговой цилиндр радиуса R из спирально-анизотропного материала с показателем анизотропии k, находящийся в равновесии в условиях осесимметрично-го нагружения, когда ось цилиндра совпадает с силовой осью симметрии. Будем считать, что длина цилиндра достаточно велика для выполнения принципа Сен-Венана. Запишем граничные условия: u | 0 = 0,

r , 0 (13)

аr |r=R = 0.

Эти условия означают, что радиальные перемещения точек, лежащих на оси цилиндра, отсутствуют, и боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок.

Считая т, = тгп = 0 , из (9) получаем уr, = Yrn = 0, а в силу соотношений (4)

Y rz = Y re =

Учет осесимметричности дает:

дщ=ди^ = ди^ = ди^ = диr_ = 0 (14)

50 50 50 dr dz ' К }

Тогда последнее из соотношений (4) сформирует равенство

Г d^-U0= 0, (15)

dr

интегрируя которое, получим

и0 = Cr . (16)

Тогда соотношения (4) примут вид

= ди r = иг = ди z

2 r = ^ , S0 = , 2 z ,

dr r í , dZ (17)

0 d(Cr) V 7

Yr0 = Yrz = ^ Y0z = .

dz

В зависимости от того, каким принять коэффициент С, будем различать задачи:

• стесненное растяжение при С=сои81 и, следовательно,

Y0, = 0; (18)

• свободное растяжение при С = 0z и, следовательно,

Y0z =0z. (19)

Рассмотрим более общий случай свободного растяжения. Соответствующие компоненты (18) в геликоидальной системе координат тогда имеют вид ди

2r =~r; Yr, =0; Yrn=0;

s£ = e cos2 a +—sin2 a + 0 sin2 a; r

u (20) ■ 2 , Ur 2 a • 2

sn = e sin a+—- cos a-0 sin a; r

и

Y¡=n = 2l e - — I sin a cos a + 0 tan a(sin2 a-cos2 a)

При малых деформациях реальные конструкции типа кабелей практически не меняют своего объема, т.е. выполняется условие

2 г +25+2л= 0. (21)

Физические уравнения, связывающие напряжения с деформациями, при этом условии приобретают вид

2Е1^2г =аг ^^Ч1 К, = -аг + 2а5 - ап,

2Е^2п = - V! )аг - v1а5 + ал, (22)

=

= о . Здесь в силу условия (21) 1 Е

1 — = v1 = 1 -V 2. (23)

2 Е1 1 2

Рассматривая совместно (20) и (22) и исключив из последних деформации, получаем, что

r = E1

r 1-V I

1 о 1 M • 2

1 -3-Lsm a

2-V!

e + 20-1 -V1

2 -v1

sin2 a

an - ar = E —1— (3e-20)sin2 a;

n r 1 2-Vj

x^ = -Gl sin a[- 3e + (1 - tan2 a)]

Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия (14), сведем задачу к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения относительно а :

ctga da r E da

3 U 2 \ o 6G1 2

-(1 + cos aj-2 —^cos a

2-v

+

Ej

2--— (1 + cos2 a)+—(2cos2 a -1)

e +

2 - vl

E

(25)

0.

Интегрируя это уравнение с учетом граничного условия, получим

О.

E

(

3

Л

V2 -Vj у

+

- 2

ln

sec a 3

f

sec a0 2

1

Y

--m

V2 -Vj у

[cos2 a - cos2 a0

e +

о 1 -v, 2-- m

V 2 -Vj у 2G,

, sec a ln-+

sec a

0

-m

V2 - V1 у

cos2 a - cos2 ar

(26)

0;

ZL71 Т-Т

где да =-. Полученное выражение выражает зависимость радиального напряжения

Е1

аг от относительного удлинения вдоль оси ъ - е, физических констант материала Е1, v1 и О1, относительного угла закручивания вокруг оси ъ - 9 и геометрических параметров скрутки, определяемых углом наклона к оси анизотропии упруго-эквивалентных спиралей, образующих поверхностный слой стержня а0.

Для получения зависимостей внешних силовых факторов от угла наклона а0 воспользуемся известными формулами:

Р = {а ,

\ (27)

М{ = ] Те,г^Е.

Переходя под интегралами к переменной а, получим

р=Ц f

k2 J

2п 7 2 1

k^ i"z

a tan a-

2

-da,

cos a

, , 2п r 2 1 .

Mt = — i t0z tan a-2— da.

k J cos a

Интегрирование этих выражений приводит к следующим зависимостям: р

—2— = Aue + Aj20, nR El

M

= A21e + A220.

(28)

(29)

r>3 r* 21 22

nR E

где

1

Ли = 1 - 3f (а о)-9f2 (а о), A12 = A21 = f1 (а0 )+ 6f2 (а0 )

A22 = 4m* tan2 а0 - 4f2 (а0 ),

f (а0) = ^ - "2m - Ictg'а0 ln secа0 ))

f2 (а 2 ) =

1 *

- m

v 2 -v*

■2sin2 а0 -1 + 2ctg2а0 lnsecа0 1

Решая полученную систему уравнений, можно получить зависимости деформаций от внешних нагрузок. На рис. 1 представлена зависимость продольного удлинения стержня от приложенной растягивающей силы и от угла скрутки. Полученный график демонстрирует ярко выраженную зависимость деформаций, возникающих в стержне от угла скрутки волокон, составляющих стержней.

0.001

0.07

0.0Б

0.05

0.D4

0.03

0.02

0.01

0

0.5 Ю

alpha

Рис. 1. Зависимость продольного удлинения стержня от приложенной растягивающей

силы и от угла скрутки

150

е-1000

100

50

-50

-teta, радиан

-100,

0.5

0.64

1.16 1.52

R , ми

1.66

2.2

Рис. 2. Зависимость относительных удлинений стержня и углов поворотов сечений от радиуса стержня при нагрузке P = 10 Н и M = 10 Н • мм при учете анизотропии

материала

е 1000

110 70 30

0.84 1.18 1.52 1.88 2.2

R , мм

Рис. 3. Зависимость относительных удлинений стержня и углов поворотов сечений от радиуса стержня при нагрузке P = 10H и M = 10 Н • мм без учета анизотропии

материала

На рис. 2 и рис. 3 представлены зависимости относительных удлинений стержня и углов поворотов сечений от радиуса стержня при нагрузке P = 10 H и M = 10 Н • мм в случая наличия и отсутствия учета анизотропии материала. Легко заметить, что учет имеющейся анизотропии материала приводит к выявлению дополнительных деформаций, которые при анализе вещества как изотропного не могут быть обнаружены.

Также видно, что погрешность, связанная с неправильным выбором модели, уменьшается с увеличением угла закрутки стержня. Из сопоставления рис. 2 и рис. 3 видно, что удлинение при изотропном однородном стержне больше, чем во второй модели, которая не учитывает кручение стержня. Изотропный стержень растягивается больше, чем анизотропный. Современные приборы должны иметь погрешность до

0.5.%, а показанный опыт продемонстрировал, что при неправильном выборе модели ошибки могут достигать 1,8 %, что недопустимо для высокоточных приборов. Поэтому, чтобы обеспечить заданную точность, нужно учитывать как растяжение стержня, так и его кручение.

Литература

1. Мусалимов В.М. Механика деформируемого кабеля. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. С. 8-64.

2. Hearl J.W.S. and Konopasek M. On unified approaches to twisted yearn mechanics. // Appl. Polym. Symp. 1975. №27. P. 255-273.