CC BY
13
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 2. С. 292-307 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http
Механика деформируемого твёрдого тела
УДК 517.958:539.3(6)
Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния двухслойного слабоанизотропного стержня некругового поперечного сечения при упругопластическом кручении
А. В. Ковалев, И. Э. Свиридов, Ю. Д. Щеглова
Воронежский государственный университет,
Россия, 394006, Воронеж, Университетская пл., 1.
Аннотация
Рассматривается задача упругопластического кручения двухслойного слабоанизотропного стержня некругового поперечного сечения. Поперечное сечение представляет собой двухсвязную область. Стержень ориентирован в цилиндрической системе координат так, что ось Z направлена по оси стержня. Влияние массовых сил не учитывается. Стержень закручивается вокруг оси Z равными и противоположными парами сил. Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от нагрузок. Значение момента имеет такую величину, при которой в некоторых частях поперечного сечения материал переходит в пластическое состояние и образуются пластические зоны. Распространение пластического течения происходит от внешнего контура внутрь сечения. Предполагается, что значение момента такое, что пластическая область целиком охватывает внешний контур поперечного сечения и существует упругопла-стическая граница, которая расположена между внутренним контуром и границей раздела слоев. Предполагается, что внешний и внутренний слои обладают свойствами анизотропии, частными случаями которых
Статья
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Ковалев А. В., Свиридов И. Э., Щеглова Ю. Д. Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния двухслойного слабоанизотропного стержня некругового поперечного сечения при упругопластическом кручении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 292-307. doi: 10.14498/vsgtu1541. Сведения об авторах
Алексей Викторович Ковалев Ä http://orcid.org/0000-0002-3730-9621
доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой; каф. механики
и компьютерного моделирования; e-mail: kav-mail@mail.ru
Илья Эдуардович Свиридов http://orcid.org/0000-0002-7401-7150
аспирант; каф. механики и компьютерного моделирования; e-mail: synettt@gmail.com
Юлия Дмитриевна Щеглова http://orcid.org/0000-0002-4295-5409
кандидат физико-математических наук, доцент; доцент; каф. механики и компьютерного
моделирования; e-mail: scheglova@gmail.com
являются анизотропия согласно Хиллу и трансляционная анизотропия. Каждый из слоев имеет свои параметры анизотропии. С помощью метода малого параметра определены напряженно-деформированное состояние и упругопластическая граница в первом приближении.
Ключевые слова: деформации, напряжения, некруговой контур, упру-гопластическое кручение, анизотропия по Хиллу, трансляционная анизотропия, двухслойный стержень.
Получение: 12 апреля 2016 г. / Исправление: 19 мая 2017 г. / Принятие: 12 июня 2017 г. / Публикация онлайн: 11 июля 2017 г.
С помощью метода малого параметра в работе [1] определено напряжённо-деформированное состояние толстостенной трубы при взаимодействии различных видов пластической анизотропии. В работе [2] в рамках метода возмущений определено напряженное состояние в цилиндрической трубе, подверженной действию внешнего и внутреннего давлений, с границами поперечного сечения, близким к круговым. При этом рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения задачи на основе теоремы о неявных функциях. В работах [3, 4] представлены соотношения трансляционной иде-альнопластической анизотропии по Хиллу при кручении. Работа [5] посвящена определению напряженного состояния двухслойного анизотропного кругового цилиндра при упругопластическом кручении. Исследованию напряженно-деформированного состояния стержня некругового поперечного сечения посвящена работа [6].
В данной работе методом малого параметра [7,8] определено напряженно-деформированное состояние двухслойного анизотропного стержня некругового поперечного сечения при упругопластическом кручении с учетом того, что каждый из слоев обладает своими параметрами анизотропии [9,10].
Рассматривается двухслойный цилиндрический стержень, находящийся под действием кручения [11], поперечное сечение которого ограничено контурами Ьг и Ь2. Границу раздела слоев обозначим через Ь3, неизвестную упругопластическую границу — Ь8 (рис. 1).
Предположим, что внешний слой цилиндра (слой I, Ьз < р < Ьг) находится в пластическом состоянии, где условие пластичности общего вида задаётся соотношением
Аг(тхг - кг)2 + Е1(тух - к2)2 = К2, (1)
Л\, Б\, кг, к2 — константы анизотропии, Кг — предел текучести. Внутренний слой (слой II, ¿2 < р < Ьз) находится в упругопластическом состоянии. Условие пластичности для второго слоя примем в виде
Л2{Тхг - кз)2 + Б2{Туг - к4)2 = К2, (2)
где А2, Б2, к3, к4 — константы анизотропии, К2 — предел текучести.
Далее перейдем к цилиндрической системе координат р, в, г, где ось г совпадает с осью стержня, и будем использовать безразмерные величины. Отнесем величины, имеющие размерность напряжений, к некоторой величине ко, а величины, имеющие размерность длины, отнесем к радиусу упругопласти-ческой границы в нулевом приближении ро.
Учитывая формулы перехода компонент напряжений из декартовой в цилиндрическую системах координат
Txz = TpZ COS в — Tqz Sin в, Tyz = Tpz Sin в + TQz COS в,
запишем условия пластичности (1), (2) следующим образом. Во внешней области I будем иметь
Ai(tpz cos в — Tdz sin в — k\)2 + B\(tpz sin в + tqz cos в — k2)2 = Kf, (3)
а во внутренней области II получим
Af(Tpz cos в — TQz sin в — кз)2 + Bf(Tpz sin в + TQz cos в — k4)2 = Kf (4)
Уравнение равновесия для задачи кручения имеет вид
9Toz 1 6TOz Toz . .
-ГГ1 + - -TZ + — = 0 (5)
dp p дв p
и выполняется в каждом слое и для каждого приближения.
В упругой области внутреннего слоя имеют место соотношения Коши
e ш dwe e ш (1 dwe \ . .
= 2dwp, ^ = -dw + p), (6)
связывающие компоненты тензора деформаций с функцией we, характеризующей депланацию поперечного сечения, где ш — угол кручения на единицу длины.
Следующими соотношениями определяется закон Гука в упругой области внутреннего слоя II:
т% = 2Ge<pz, T0Z = 2Ge<ez. (7)
Рис. 1. Схема упругопластического кручения двухслойного стержня некругового поперечного сечения [Figure 1. The sheme of elastic-plastic torsion in a two-layer shaft of non-circular
cross section]
Здесь G — модуль сдвига.
Во внутреннем слое II полная деформация в пластической области складывается из упругой и пластической составляющих:
£pz = £pz + £Ppz, £dz = £ez + • (8)
Здесь и далее символ «p» подчеркивает принадлежность величин к пластической области, символ «e» — к упругой области.
Учитывая условия пластичности (3), (4), ассоциированный закон пластического течения для первого и второго слоев соответственно примет вид
d£pzi = cos2 в + —1 sin2 в) +
— _a \
+ TpzI —l——1 sin 2в + A1k1 sin в - —1 k2 cos в), (9) d£PzI = d^rpzI(A1 cos2 в + —1 sin2 в) +
— _a \
+ T0zI —1--1 sin 2в - А1Л1 cos в - —1^2 sin в) , (10)
d£pzII = dA^7-0zII(A2 cos2 в + —2 sin2 в) +
—2 — A2 \
+ TpzII—2—-2 sin 2в + A2k3 sin в - —2Й4 cos в J , (11)
d£pzII = dA(rpzI^ A cos2 в + —2 sin2 в) +
+ rezII —2 - A sin 2в - ^2^3 cos в - —1^3 sin в) • (12)
Здесь dA — неизвестный скалярный множитель. Закона Гука
тр тр
_e = T9Z _e = TPz (13)
= 2G, = 2G (13)
связывает упругие деформации с пластическими напряжениями в пластической области. Полные деформации связаны с перемещениями в пластической области соотношениями Коши
_ 1 dwp 1 (1dwp
£pz — ~
1/1 aw \
= 2Í1Ж + Ч (14)
2 dp ' 2 Vр дв
где wp —депланация поперечного сечения в пластической области.
Так как боковые поверхности стержня свободны от нагрузки, на внешнем Ьг и внутреннем Ь2 контурах поперечного сечения выполняются граничные условия в напряжениях
(тР прг + т-^ п^г)\Ь1 = 0, (трг пР2 + ^ ^ \Ьз = 0, (15)
где п$г, Прг — компоненты единичной нормали к контурам Ьг, I = 1. 2.
Пусть Ф\(р,в) = 0, Ф2(р. 6) = 0 — уравнения внешнего Ь\ и внутреннего Ь2 контуров поперечного сечения стержня соответственно. Тогда компоненты единичной нормали к контуру поперечного сечения стержня определяются формулами
= 1 дФ ((дФ у + (1 д<фг ^2^-1/2
р д6 \ \ др ; \р д6 Р Р (16) дФг /(дФг\2 (1 дФг-1/2
п" = 1р\\1р) ^р ; = 1'2
На упругопластической границе Ь3 (рис. 1), которая определяется в ходе решения, выполняются условия непрерывности напряжений и функции перемещения
[V ]|ь. = ^ ]|ь, = М|^ = ° (17)
Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений заключенных в скобки выражений соответствующих упругой и пластической областям. Также условия непрерывности напряжений и функции перемещения выполняются на границе раздела слоев
[Трг ]|Ьз = [тв2 ]|Ьз = =0. (18)
В упругой области из уравнения равновесия (5), учитывая (6), (7), получим
Д^ = 0, (19)
где
_ д2 1 д2 1 д др р дд2 р др
— оператор Лапласа, '1 — функция депланации в упругой области внутреннего слоя II.
Следуя [7], решение будем искать в виде разложения по малому безразмерному параметру 5 (5 ^ 1):
т
= ] + 5т] + 52т] + ....
' = ш(0) + 5ш(1) + 52ш(2) + .... ^г] = ] + + 52] + .... р5 = р10) + 5р21) + 52р32) + ....
Параметры анизотропии в областях I и II представим в виде [12]
А = 1 + 5а(11), В1 = 1 + 5Ь{1), А = 1 + 5а21). В2 = 1 + 5Ъ{21). к1 = 5к11). к2 = 5^21). к3 = 5к^). кА = 5к[1).
(20)
(21)
от которого легко перейти к условию анизотропии по Хиллу (при обнулении к(1)) или к условию трансляционной анизотропии (при обнулении а(1) и Ь(1)).
Уравнения контуров поперечного сечения и границы раздела слоев представим в виде
Ф1(р, 0) = p - (Ro + ¿1R1 + ¿1^2 + ...) = 0,
Ф2(р, 0) = Р - (ro + ¿2Г1 + ¿2ri + ...) = 0, (22)
Фз(р, 0) = Р - (Lo + ¿3Li + + ...) = 0,
где = ¿2 = d2¿, ¿3 = d3¿ (-1 ^ di ^ 1) — безразмерные параметры; R0, r0, L0 — константы; Ri = Ri(0), ri = ri(0), Li = Li(0) — функции координаты 0; i = 1, 2, 3.
Следуя методу малого параметра [7,8], подставляя данные разложения (20)—(22) в соотношения (3)—(18) и приравнивания члены при одинаковых степенях получим системы уравнений для каждого приближения.
В исходном нулевом приближении имеет место задача упругопластиче-ского кручения изотропного двухслойного стержня с поперечным сечением в виде окружности в качестве внутреннего, внешнего контура и границы стыка слоев, радиусы которых равны соответственно r0 = a, R0 = в, L0 = 7. Решение такой задачи имеет вид
T-P0Í =0, т<0> = K1, т^ =0, TIZ01 = К, (23)
ЧГ =0, TpiOÍ =0, т^ = GWp, Р0 = 1. (24)
Следуя [8], уравнения внешнего и внутреннего контуров примем в виде p = a(1 + ¿d1 cos m0), p = в (1 + ¿d2 cos m0), а уравнение границы раздела слоев представим как
p = 7(1 + ¿d3 cos m0).
Из условия пластичности (3) во внешнем слое в первом приближении с учетом известного решения первого приближения (23) получим компоненту
т^ в форме
ТЙ? = k21) cos 0 - k(1) sin 0 - К (a(11) sin2 0 + b(11) cos2 0). (25)
С учетом разложения (16), (20) и(22) граничное условие на внешнем контуре примет вид
тР (1)
Tpzl
p=Ro Ro
(o)
R1 p(0) D dTpzi
- R1-
P=Ro dp
. (26)
p=Ro
Граничное условие на внешнем контуре (26) и уравнение равновесия (5) с учетом (23) составляют систему для определения компоненты тр^:
I (К^) = ^
V pzl> 00' (27)
TP.(I)|p=R0 = -d1m sin m0.
Решая систему (27) и учитывая, что компонента rpZ1 имеет вид (25), получим
т^ = (k(1) sin в + kil) cos в + K(а(11) — b(i1)) sin 2в) (l — — ^Kimdi sin тв.
Подставляя (20) и (21) в условие пластичности (4), в первом приближении во внутреннем слое c учётом (24) для t^Z^ получим
тйп = k41) cos в — k31) sin в — K2(af1) sin2 в — bf1) cos2). (28)
На границе раздела слоев имеет место условие непрерывности компонент напряжений (18), которое с учетом (16), (20) и (22) в первом приближении дает
дтР(о). тРУ + L:Tpzl1
^ + L1^Jp=l о = ^ + L1^
дтР (°) . тР (1) + т dTpzl TpzI + L1
fTp(1) + т дтшл = (тр(1) + т droZi\ Ы + L1^pp-) p=Lo = + L1^prJ
Р(0) .
dp
дт
,p(0).
p=Lo \PZÍ 1 dp
, (29)
P=Lo
P=Lo
Подставляя (28) в (5) и (24) в условие (29), получим систему, аналогичную (27), для определения компоненты напряжений Гр^Ц:
( д. (prp(1)) = dzPZn.
dp (pTpzll )= дв .
r;Zi1) U = (k21) sin в + k(1) cos в + K(a11) — b11)) sin 2в)(- — в) —
в
—K1md1 sin тв.
Y
Решая эту систему, получим
.Р(1)_ (и(1),;n в + k31) cos в + K (1) (1)
rSíi = (k41) sin в + k31) cos в + K(a2(1) — b^) sin 2в) (l — +
+ (k21) sin в + k(1) cos в + K(a11) — b11)) sin 2в)
2 K 1 1 ' ) -
в
--Kimdi sin md. (30)
p
В упругой области внутреннего слоя компоненты напряжений из соотношений закона Гука (7) и соотношений Коши (6) в первом приближении представимы в виде
т e(D = CuidWÉl Т e(1) = Си 1 (31)
Vn = ' T0zii = Си-р^Т. (31)
На внутреннем контуре выполняется граничное условие (15), которое с учетом (16), (20) и (22) примет форму
т е(1)1
ргИ \р=т0
дт
рхП
= , И те(°)_Г1
= 1гс вЛ1 1 др
е(0)
р=г о
(32)
На упругопластической границе имеют место условия непрерывности (17) компонент напряжений, которые при подстановке в них (16), (20) и (22) в первом приближении дают соотношения
(т^ + Р1
дт
,р(о)
рхП
др
я Р(0)
(тр(1) + р дто*и А
р=ро
( е(1) , (^рзП + Р1
дт
е(0)
др
е(0)
( е(1К дт(
р=ро др
вхИ
р=ро
р=ро
(33)
(34)
Объединение (19) с учетом (31), (32) и (33) соответствует задаче Неймана для функции депланации в упругой области слоя II:
' Аад?т(1) =0, а < р < 1, 0 < в < 2п;
д-ш
тт
е(1) ТТ
др
= _!_ тр(1) р=1 Сш ргТТ
р=1
(35)
д-ш
е(1)
др
= —т^2а 8ш тв.
р=а
Подставляя найденную компоненту тр^п из (30) и решая систему (35), полу-
чим
,е(1)_ (р2 + а2)(^21)(1 — 7)+ ^(т — в))
адтт = —
сов в—
Сшр(а2 — 1) (р2 + а2)(к41)(1 — 7)+ к31)(7 — в))
8Ш в —
Сшр(а2 — 1)
1 (р4 + а4) (К2(1 — 7)(^21) — Ь21)) + ^(7 — в)^ — Ь^))
Сшр2(а2 — 1) Сша(р2т + 1) — ат-1 вК1(р2та-2т + 1)
8т2в-
Сшат-1рт(1 — а-2т)
в1п тв. (36)
те(1) = (р2 — а2) (к(1)(1 — 7)+ к(1)(7 — в)) соч в+ тр^тт = р2(а2 — 1) СОВ в+
, (р2 — а2)(к41)(1 — 7)+ 4^(7 — в)) . в +-р2(а2 — 1)-81П в—
1 (p4 - a4) (K2(l - 7}(а21) - 41}) + K(7 - в)(а(11) - b^))
2 p3(a2 - 1)
sin 20+
Gua(1 - p2m) - ат-1вК1(1 - p2ma-2m) . л
+ m-—-:-r-TZ-~—г- Sin ГОР.
Gwam-1pm+1(1 - a—2m)
e(1) . 0 (p2 + a2)(fc31)(1 - Y) + fc(1)(T - в))
tAi = Sin 0-P27a-
p2(a2 - 1) (p2 + a2)(k41) (1 - y) + fc(1)(7 - в))
p2(a2 - 1)
3-- cos 0—
1 (p4 + a4) (K2(1 - Y)(a21) - b21)) + ^1(7 - в)^ - b^))
2 p3(a2 - 1)
cos 20-
Gwa(p2m + 1) - am-1eKi(p2ma-2m + 1)
— m-—-:-7---cos m0.
Gwam-1pm(1 — a-2m)
Подставляя (36) в (31), получим компоненты напряжений в упругой области слоя II в виде
е(1) Г
= -Gu
(1 - a2) (fc(1) cos 0 + k21) sin 0) +
Я - b1)(e
4(1 - a4) p3
1 - a2 p2
+ K1(a1 - Ь1)(в - 7) (p - sin 20
тЙИ = -Gu
^^ (1 + Í) (-k(1) sin 0 + k21) cos 0) +
1 - a2 p2
K1(a1 - Ь1)(в - Y) ( . a4) 1
+-40-0)-(p + c°s20J. (37)
Условие (34) с учетом (24) позволяет определить соотношение для радиуса упругопластической границы в первом приближении
p1 = (тйй - T<e^I1í)ip=1. (38)
Подставляя в (38) найденные ранее компоненты напряжения t^i (28) и (37), получим
p1 = (Ъ (fc41) cos 0 - k31) sin 0 - y (a21) sin2 0 + b21) cos2 0)) -
sin 0+
(1 + a2)(k(1)(Y - в)+ k21)(1 - Y)) .
Gu(a2 - 1)
, (1 + a2)(fc31)(Y - в) + k41)(1 - Y)) 0+ +-Gu(a2 - 1)-cos 0+
+ 1 K2(a21) - - ^)(1 + а4) + 2-(а4 - 1)-COS
2Сша - вК\а-т-1(1 - а2т)
- т-———---\-cos тв.
Сш(1 - а-2т)ат-1
Перейдем к определению функции перемещения wpj(1) в первом приближении в пластической области внутреннего слоя II. Из соотношений ассоциированного закона пластического течения (11), (12) имеем
d4zu{Tpzil(A-2 cos2 в + B2 sin2 в) +
B2 — A2 ) + tPzii-2-sin 2в — A2k3 cos в — B1k3 sin в^ =
= depzii (tPzii(A2 cos2 в + B2 sin2 в)+
B2 A2 )
+ TPpzn^L——2 sin 2в + A2k3 sin в — B2k4 cos вJ. (39)
Подставляя в (39) разложения (20), (21), в первом приближении получим
d^MS (a21) sin2 в + b21) cos2 в) + +
+ (b21) — a21))rp;0i) cos в sin в + k31) sin в — k41) cos в) + d^MOi = = d^ZOi (t;^?Í (a21) cos2 в + b21) sin2 в) + т^Ч + (b21) — a21))TpZ0I) cos в sin в — k31) cos в — k41) sin в) + d^íт^.
Учитывая нулевое приближение (24), получим ассоциированный закон в следующем виде:
d^Zií = d^ZOi (t;ZíÍ + K (b21) — a21)) sin 2в — k^ cos в — k41) sin в), (40)
где
4S = Л(о) = (41)
— скалярный множитель в нулевом приближении [13].
Подставляя выражение для компоненты напряжения r^Zii из (30) в (40), получим
= dЛ(0)((k21) sin в + kS1) cos в + K (a11) — b«) s^ 7 — в
p
— Y(k(1) sin в + k31) cos в + K2 (a21) — b21))sin2^ — ^K^ch sin тв). (42
p V 2 / p /
В процессе нагружения частица тела переходит в пластическое состояние в момент прохождения через упругопластическую границу, что соответствует
p = 1. Следовательно, в процессе пластического деформирования безразмерный радиус в точке будет изменяться от 1 до некоторого значения p, соответствующего текущему значению приложенных внешних усилий [8].
Соотношение (41) позволяет в (42) перейти от интегрирования по к интегрированию по радиусу, в результате чего получим
= u in 1 (y(k41) sin 0 + k31) cos 0 + K(a21) - b21)) sin 20) -
- (k21) sin 0 + k(1) cos 0 + К (a11) - b^) sin 20) (7 - в) +
+ eK1d1m sin m0). (43)
Для определения перемещения в пластической зоне внутреннего слоя II воспользуемся соотношениями (6), (8), (13) и (14):
д<(1) _ „т
_= 2ер(1) + (44)
др ^и + с • (44)
Подставляя выражения (30) и (43) и решая уравнение (44), найдем с точностью до функции координаты 0:
Wí" = (kí1) sin0 + k«1) cos 0 + К2(4" - b21)) sin 20)
x (G+y( (ln 1+0<up+1) - 0)-
- (k21) sin 0 + к(1) cos 0 + К (a11) - b11)) sin 20) x
2
x (y - в)(pu(in11+ 1) + ¿bp) +
p / G p> + ^Kidim sin m0(wp( ln1 + + ^In1) + ^i(0). (45)
Функцию <^i(0) определим из условия непрерывности перемещений на упругопластической границе (17). Это условие в первом приближении с учетом (20) и (22) примет вид
WfU = 4i(1)Ur (46)
Подставляя (45) и (36) в (46), а затем найденное выражение для функции ^>1 (0) в (45), получим поле перемещений в пластической области в первом приближении во внутреннем слое. С использованием вторых соотношений
(6), (8), (13), (14), (28) и (45) определяются компоненты деформации е^п
и 4IÍ-
Определим функции перемещения wp(1) в первом приближении во внешнем слое. Из соотношений ассоциированного закона пластического течения (9), (10) получим
d^L (rPpzI(A1 cos2 в + B1 sin2 в) +
B^_a^ )
+ rppzI-—-sin2в — A1k1 cos в — B1 k2 sin вJ
= d£%(Tp¡zl(Á1 cos2 в + B1 sin2 в) +
+ т^
B1 — A1
sin 2в + A1k1 sin в — B1k2 cos в). (47)
pzI 2
Подставляя в (47) разложения (20), (21), с учетом нулевого приближения (23) ассоциированный закон в первом приближении запишется в виде
depZ¡) = d^ (r¿1) + K1 (b11) — a11)) sin 2в — k^ cos в — k((1) sin в), (48) где, аналогично (41),
= \ (о) = G^p — 1 = Л = 2G .
Подставляя в соотношение (48) выражение (30), имеем d^ = — - (k(1) cos в + k21) sin в+
+ — (a11) — b11)) sin 2в + eK1md1 sinmв)dЛ(°). 2 1 1 p
2 1 1 р
Безразмерный радиус в точке будет изменяться от 7 до некоторого значения р. соответствующего текущему значению приложенных внешних усилий. Переход от интегрирования по к интегрированию по радиусу позволяет получить
(1)
= ln ^k21) sin в + k[1) cos в+
2 p )
+ K1 (a11) — b11)) sin2в + K1m sin mOj. (49)
Для определения функции перемещения wp(1) в первом приближении во внешнем слое составим следующее уравнение, которое с учетом (14) и (49) примет вид
д р(1)
= шв ln Y fk(1) sin в + k(1) cos в+ дp p\ 2 1
+ K(a11) — b11)) sin2в + K1msinmв). (50) Решая уравнение (50), найдем w^(1) с точностью до функции координат p и в: wf(1) = w^k21) sin в + k(1) cos в+
+ K(a11) — b11)) sin 2в + Kim sin mв) (l + ln p + ^(p, в). (51)
Функция ^(р, 0) определяется из условия непрерывности перемещений на границе стыка (18). В первом приближении это условие с учетом (20), (23) будет иметь вид
w
,p(i) I
lp=Y
w
,P(1) I II
lp=Y
(52)
Подставляя (51) и поле перемещений (45) в условие (52), а затем найденное выражение для функции ^>2(р, 0) в (51), получим поле перемещений во внешнем слое в первом приближении. С использованием второго соотношения (14) определим компоненту деформации ер^.
На рис. 2 изображена упругопластическая граница в нулевом приближении ро ив первом приближении р5 = ро + 5р1 при 5 = 0.025, к1 = = 0.5, к2 = к4 = 0.6, А1 = А2 = 0.3, Ь1 = Ь2 = 0.4, т = 4, Сш = 1, С = 323.67. Выбор значения малого параметра обусловлен соответствием полученных результатов их физическому смыслу. При данном значении пластическая область не выходит за границы геометрии стержня, а лежит между внутренним контуром и границей раздела слоев, как и было указано в предположении.
Рис. 2. Упругопластическая граница в нулевом и первом приближении [Figure 2. The elastic-plastic boundary in the zero and first approximation]
I
Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Библиографический список
1. Фоминых С. О. Упругопластическое состояние толстостенной трубы при взаимодействии различных видов пластической анизотропии // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2011. №1(9). С. 211-226.
2. Задорожний В. Г., Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Об аналитичности решения плоской упругопластической задачи// Изв. РАН. МТТ, 2008. №1. С. 138-146.
3. Ивлев Д. Д., Миронов Б. Г. О соотношениях трансляционной идеальнопластической анизотропии при кручении // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2010. №2(8). С. 576-579.
4. Миронов Б. Г., Митрофанова Т. В. О кручении анизотропных цилиндрических стержней // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2011. №1(9). С. 150-155.
5. Ковалев А. В., Свиридов И. Э., Щеглова Ю. Д. Об определении напряжённого состояния двухслойного анизотропного кругового цилиндра при упругопластическом кручении / XI Всероссийский Съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: Сборник докладов (20-24 августа 2015 г.). Казань, 2015. С. 33793381.
6. Ковалев А. В., Щеглова Ю. Д., Свиридов И. Э. Упругопластическое состояние толстостенного стержня некругового поперечного сечения при кручении в случае анизотропии общего вида // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2016. №4(30). С. 42-54.
7. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.
8. Спорыхин А. Н., Ковалев А. В., Щеглова Ю. Д. Неодномерные задачи упруговязкопла-стичности с неизвестной границей. Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2004. 219 с.
9. Hill R. The Mathematical theory of plasticity / Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Oxford: Oxford University Press, 1998. ix+355 pp.
10. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О соотношениях теории трансляционной идеальнопла-стической анизотропии при обобщении условия пластичности Мизеса // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2010. №2(8). С. 583-584.
11. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
12. Фоминых С. О. Определение упругопластического состояния в толстостенной трубе при условии идеальнопластической анизотропии // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2013. №2(16). С. 150-153.
13. Ковалев А. В., Свиридов И. Э., Щеглова Ю. Д. Об определении перемещений в задаче упругопластического кручения кругового цилиндра в случае трансляционной анизотропии / Механика предельного состояния и смежные вопросы: Материалы всероссийской научной школы-конференции, посвященной 85-летию профессора Д. Д. Ивлева. Чебоксары, 2015. С. 113-117.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 2, pp. 292-307 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http://doi.org/10.14498/vsgtu1541
MSC: 74C05, 74E10
Application of the perturbation method for the determination of stress-strain state of a thick-style two-layer anisotropic shaft of non-circular cross section with elastoplastic torsion
A. V. Kovalev, I. E. Sviridov, Yu. D. Scheglova
Voronezh State University,
1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394006, Russian Federation.
Abstract
The present work is devoted to the problem of elastoplastic torsion of the two-layer slightly anisotropic non-circular cross section shaft. The cross section is a doubly connected region. The shaft is oriented in a cylindrical coordinate system so that the Z axis is directed along the axis of the shaft. The influence of mass forces is not taken into account. Let the rod twist about the Z axis by equal and opposite pairs of forces. Suppose that the lateral surface of the rod is free of loads. The value of the moment is such that for some parts of the cross section the material passes into a plastic state and plastic zones are formed. The propagation of plastic flow comes from the outer contour inside the section. Suppose that the value of the torque is such that the plastic region entirely covers the outer contour of the cross section, and there is an elastoplastic boundary that is located between the inner contour and the interface of the layers. It is considered as an anisotropic material that in particular cases is in the kinematic properties of the anisotropy and anisotropy according to Hill. Each of the layers has its own anisotropy parameters. With using perturbation method, stress-strain state and elastoplastic boundary at first approximate is defined.
Keywords: strain, stress, non-circular cross section, elastoplastic torsion, anisotropy according to Hill, kinematic anisotropy, two-layer shaft.
Received: 12th April, 2016 / Revised: 19th May, 2017 / Accepted: 12th June, 2017 / First online: 11th July, 2017
Article
3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
KovalevA. V., SviridovI. E., Scheglova Yu. D. Application of the perturbation method for the determination of stress-strain state of a thick-style two-layer anisotropic shaft of non-circular cross section with elastoplastic torsion, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 2, pp. 292-307. doi: 10.14498/vsgtu1541 (In Russian).
Authors' Details:
Alexey V. Kovalev http://orcid.org/0000-0002-3730-9621
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Mechanics and Computer Simulation; e-mail: kav-mail@mail.ru
Ilya E. Sviridov http://orcid.org/0000-0002-7401-7150 Postgraduate Student; Dept. of Mechanics and Computer Simulation; e-mail: synettt@gmail.com
Yulia D. Scheglova http://orcid.org/0000-0002-4295-5409
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mechanics and Computer Simulation; e-mail: scheglova@gmail.com
Competing interests. We have no competing interests.
Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the
article concept development and in the manuscript writing. The authors are absolutely
responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the
final version of manuscript.
Funding. The research has not had any sponsorship.
References
1. Fominykh S. O. Elastoplastic state of a thick-walled pipe at the interaction of different types of plastic anisotropy, Vestnik Chuvash. gos. ped. un-ta im. I. Ia. Iakovleva. Ser. Mekhanika predel'nogo sostoianiia, 2011, no. 1(9), pp. 211-226 (In Russian).
2. Zadorozhnyi V. G., Kovalev A. V., Sporykhin A. N. Analyticity of the solution of a plane elastoplastic problem, Mechanics of Solids, 2008, vol.43, no. 1, pp. 117-123. doi: 10.1007/ s11964-008- 1011-1.
3. Ivlev D. D., Mironov B. G. On the relations of translational ideal-plastic anisotropy in torsion, Vestnik Chuvash. gos. ped. un-ta im. I. Ia. Iakovleva. Ser. Mekhanika predel'nogo sostoianiia, 2010, no. 2(8), pp. 576-579 (In Russian).
4. Mironov B. G., Mitrofanova T. V. On the torsion of anisotropic cylindrical rods, Vestnik Chuvash. gos. ped. un-ta im. I. Ia. Iakovleva. Ser. Mekhanika predel'nogo sostoianiia, 2011, no. 1(9), pp. 150-155 (In Russian).
5. Kovalev A. V., Sviridov I. E., Shcheglova Yu. D. On the determination of the stressed state of a two-layer anisotropic circular cylinder under elastoplastic torsion, In: XI Vserossiiskii S"ezd po fundamental'nym problemam teoreticheskoi i prikladnoi mekhaniki [XI All-Russian Congress on Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics]. Kazan', 2015, pp. 3379-3381 (In Russian).
6. Kovalev A. V., Shcheglova Yu. D., Sviridov I. E. Elastoplastic torsion of thick-walled non-circular cross section shaft in case of general form anisotropy, Vestnik Chuvash. gos. ped. un-ta im. I. Ia. Iakovleva. Ser. Mekhanika predel'nogo sostoianiia, 2016, no. 4(30), pp. 42-54 (In Russian).
7. Ivlev D. D., Ershov L. V. Metod vozmushchenii v teorii uprugoplasticheskogo tela [Perturbation Method in the Theory of Elastoplastic Body]. Moscow, Nauka, 1978, 208 pp. (In Russian)
8. Sporykhin A. N., Kovalev A. V., Shcheglova Yu. D. Neodnomernye zadachi uprugoviazko-plastichnosti s neizvestnoi granitsei [Nonuniform elastic-viscoplasticity problems with an unknown boundary]. Voronezh, Voronezh State Univ., 2004, 219 pp. (In Russian)
9. Hill R. The Mathematical theory of plasticity, Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Oxford, Oxford University Press, 1998, ix+355 pp.
10. Ivlev D. D., Maksimova L. A. On the relations of the theory of translational ideal-anisotropy under generalization of the Mises plasticity condition, Vestnik Chuvash. gos. ped. un-ta im. I. Ia. Iakovleva. Ser. Mekhanika predel'nogo sostoianiia, 2010, no. 2(8), pp. 583-584 (In Russian).
11. Kachanov L. M. Osnovy teorii plastichnosti [Fundamentals of the Theory of Plasticity]. Moscow, Nauka, 1969, 420 pp. (In Russian)
12. Fominykh S. O. Determination of elastic-plastic state in a thick-walled tube, provided translational ideal-anisotropy, Vestnik Chuvash. gos. ped. un-ta im. I. Ia. Iakovleva. Ser. Mekhanika predel'nogo sostoianiia, 2013, no. 2(16), pp. 150-153 (In Russian).
13. Kovalev A. V., Sviridov I. E., Shcheglova Yu. D. On the determination of displacements in the problem of elastoplastic torsion of a circular cylinder in the case of translational anisotropy, In: Mekhanika predel'nogo sostoianiia i smezhnye voprosy [Critical State Mechanics and Related Topics]. Cheboksary, 2015, pp. 113-117 (In Russian).
