CC BY
33
УДК 539.382, 539.385
Эффект Пойнтинга для цилиндрически-анизотропных
нано/микротрубок
Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, Д.С. Лисовенко
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
Дан анализ линейного эффекта Пойнтинга для хиральных цилиндрически-анизотропных нано/микротрубок из кубических, тетрагональных и орторомбических кристаллов. На основе решения задачи о продольном растяжении и кручении таких трубок продемонстрировано, что существуют линейный прямой эффект Пойнтинга с растяжением закрученной трубки и линейный обратный эффект Пойнтинга с кручением растягиваемой трубки. Показано, что для нано/микротрубок из кубических, 6-константных тетрагональных и орторомбических кристаллов оба эффекта исчезают при нулевом угле хиральности и зависимость их от угла хиральности является нечетной. Для нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов оба эффекта существуют при нулевом угле хиральности и исчезают при некоторых ненулевых значениях угла хиральности.
Ключевые слова: кристаллы, криволинейная анизотропия, нанотрубки, микротрубки, растяжение, кручение, эффект Пойнтинга
Poynting effect of cylindrically anisotropic nano/microtubes
R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov, and D.S. Lisovenko
Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia
The paper analyzes the linear Poynting effect for chiral cylindrically anisotropic nano/microtubes of cubic, tetragonal and orthorhom-bic crystals. It is shown based on the solution of a problem on longitudinal tension and torsion of such tubes that there is a linear direct Poynting effect in tension of a twisted tube and a linear reverse Poynting effect in torsion of an extended tube. For nano/microtubes of cubic six-constant tetragonal and orthorhombic crystals both these effects disappear at a zero chirality angle and their dependence on the chiral angle is odd. For nano/microtubes of seven-constant tetragonal crystals both the effects are present at a zero chirality angle but disappear at certain non-zero values of the chiral angle.
Keywords: crystals, curvilinear anisotropy, nanotubes, microtubes, tension, torsion, Poynting effect
1. Введение
Более ста лет назад Дж.Г. Пойнтинг экспериментально обнаружил, что при закручивании стальных, медных и латунных проволок происходит их удлинение [1]. При этом удлинение было пропорциональным квадрату угла кручения. Подобный тип зависимости, как оказалось [2], соответствует случаю нелинейной изотропной упругости. В дальнейшем выяснилось, что в случае линейной анизотропной упругости возможен аналогичный линейный эффект Пойнтинга [3]. Такой прямой эффект растяжения (сжатия) нанотрубок и микротрубок при кручении и обратный эффект кручения при их растяжении выявлены теоретически для трубок из тетрагональных и орторомбических кристаллов [3, 4]. Ниже линейный прямой и обратный эффект Пойнтинга детально описаны для нано/микротрубок из кубических
кристаллов и более кратко изложены для других типов кристаллов.
2. От кубических кристаллов с прямолинейной упругой анизотропией к нано/микротрубкам с криволинейной анизотропией
Упругие свойства анизотропных материалов при малых деформациях можно характеризовать тензором четвертого ранга коэффициентов податливости , связывающим тензор деформаций с тензором напряжений согласно линейному закону Гука
гу = °И •
Вместо такой тензорной записи в трехмерных декартовых координатах часто используют эквивалентную 6-мерную матричную запись с матричными коэффициентами податливости smn • Для кристаллов кубической
© Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., 2016
системы минимальное число таких независимых коэффициентов составляет три.
Для кристаллов кубической системы при выборе декартовой системы координат с осями, совпадающими с осями симметрии четвертого порядка, тремя независимыми коэффициентами податливости можно считать ^1111' ^п22> ^1212' которым соответствует матричная запись [5]
(
S11 s12 s12
0 0 0 ^
s12 Sil S12 0 0 0 0
s12 s12 S11 0 0
0 0 0 s 0 0 0 0 0 0 0 0
66
0 0
s66 0
s66
В силу тензорного характера при повороте на угол X вокруг оси 3 эти компоненты в повернутой штрихованной системе координат получаются из исходных с помощью 3x3 матрицы поворота (lj)
( cos X sin X 0 Л - sin X cos X 0
0 0 1
\ у
Соответствующая матрица коэффициентов податливости j преобразуется при этом с помощью некоторой
— lailPjl|^lvlSjll,
другой матрицы 6x6
ворота [6]: / _
sj — qia q je ,
связанной с матрицей по-
и принимает вид
f
N
S11
s12
s12 s13
13
S11 s13 0 0
s16 s16
s13 /
s33 0 0 0
s44
s16 - 4 0 0 0
s66
(1)
s44 0
0 0
Здесь коэффициенты податливости ^-следующим образом зависят от угла поворота %:
síj = sn - 0.5Аsin2 (2х), s'l2 = s12 + 0.5Asin2 (2%), 6 =-0.5 A sin (4x), s66 = S66 + 2A sin2 (2x), (2)
s12, s33
s33 — ^ц^! s44 — s
J66-
Размерная комбинация коэффициентов податливости Д = - ^12 - 0.5^66 известна как параметр анизотропии. Из этих формул видна периодичность коэффициентов s'11' s'12' s'1(¡' s66 по х с периодом л/2. Отметим также, что коэффициенты податливости ¿12, /66 являются четными функциями угла поворота, а коэффициент s'6 меняет знак при замене х ^ -X и в окрестности точки П 4.
Перейдем к рассмотрению механических свойств нано/микротрубок, образуемых из кубических кристаллов. Применение описания механических свойств
нанотрубок в рамках классической теории упругости накладывает ограничения на их диаметры. Приближение сплошной среды подразумевает рассмотрение масштабов в десятки раз превосходящих межатомные расстояния. В случае нанотрубок это возможно только для многослойных нанотрубок с диаметрами большими нескольких нанометров [7, 8]. Менее определенным является ограничение сверху на диаметры микротрубок из-за неучета дефектности их кристаллической структуры. Дефекты могут сказываться, в частности, на величине и знаке коэффициента Пуассона. Их роль, которая может увеличиваться с ростом размеров, не будет учтена в дальнейшем.
Среди многочисленных методов создания углеродных и различных неуглеродных нанотрубок и микротрубок [9-19] важное место занял метод, основанный на сворачивании тонких пластинок в нано/микротрубки [12-19]. Не вдаваясь в технические детали этого метода, будем пользоваться идеализированным представлением о соответствии прямолинейно-анизотропной упругости пластинки и криволинейно-анизотропной упругости образованной из нее нано/микротрубки. Полагаем, что нормаль к основной плоскости пластины совпадает с кристаллографической осью кубического кристалла (осью 3), а нормали к двум боковым плоскостям отличаются от кристаллографических осей из-за поворота на угол х вокруг оси 3. Тогда при соответствии между повернутым (со штрихом) базисом прямоугольной пластинки и локальным цилиндрическим базисом трубки можно записать закон Гука для цилиндрически-анизотропной нано/микротрубки в виде
— SiiCT,
Г + ^12афф + s13arr ^16аф2,
ифф — S1 2a -
urr — s13a
z + S1 1афф + S1 3C ,, r + %афф + S33arr,
■ + S1 6 аф-,
2ифz — S16 (афф -azz ) + s66a
s16(u фф
66U фz ,
2мге _ s44arz' 2игф _ s44arф.
Важная особенность подобного типа упругости в том, что между направлением оси трубки и кристаллографической осью имеется угол х, именуемый углом хираль-ности. В силу вышеупомянутого масштабного фактора будет отсутствовать прямая связь хиральности многослойных и однослойных нанотрубок. Последние требуют молекулярного описания.
Рассмотрим задачу о растяжении и кручении полых цилиндрически-анизотропных нано/микротрубок в отсутствие напряжений на боковых поверхностях под действием интегральной силы и интегрального момента, приложенных к основаниям трубок:
a J — 0, a„
— 0,
Ja zz (r )dS — PS, (r )r dS — M.
Решаем задачу полуобратным методом Сен-Венана. Предполагаем решение осесимметричным радиально-
неоднородным. Тогда уравнения равновесия вместе с краевыми условиями на боковых поверхностях трубок приводят к равенству нулю двух касательных напряжений CTrz (r), стгф (r) и соотношения закона Гука несколько упрощаются. Три нормальных напряжения CTrr (r), (r), стzz (r) и одно касательное напряжение ст (r)
фф
обеспечивают радиально-неоднородные деформации urr (r), ифф(r), uzz(r), мф2(r). Такие деформации дают однозначное поле смещений при выполнении дополнительных ограничений (более детальный вывод см. [20]):
Urr (r) = dr[ruфф (r)]' Uzz(r) = P ^(r) = Tr,
e = const, t = const. Пользуясь этими ограничениями, соотношениями закона Гука и уравнениями равновесия, можно получить для нормального напряжения CTrr (r) уравнение второго порядка
d ~ , _ .
+ a1CTrr + a2e + a3rT = 0,
dr
d
r—(r^rr) dr
(3)
a0 - (''1 + 512)(^l 1^66 '12'66 2i'l6) = ' '2 _ ' ' ' + ' '2 a1 = s66 s13 s11s33s66 + s33 s16,
a2 = s66 s12 s13 '
'2
13 '66 + s16,
a3 = '16(2'11 + 2'12 - '13)-Отметим, что коэффициенты a0, a1, a2 являются четными функциями угла хиральности нано/микротрубок, а коэффициент a3 оказывается нечетной функцией в соответствии с четностью коэффициентов податливости s'11, s'12, '13, s33, s66 и нечетностью s{6.
Уравнение для нормального напряжения arr (r) имеет степенное решение вида
CTrr = —
-е_-
-rT +
r + A_ r
, r0 , r0 ,
(4)
зависящее от четырех параметрических коэффициентов e, т, A+, A_. Два из них определяются из условий отсутствия нормальных напряжений arr (r) на внутренней (при r = r0) и внешней (при r = R - pr0) поверхностях трубки:
a2 р_я_ _ 1 a3
A + =
A =
„ Р_Я__ 1 a0 + a1 ря+_я_ _ 1 = a2 p_x+ _ 1
e + -
p1_x__ 1
4a0 + a1 p
л+_л_
a0 + a1 px_ я+ _ 1
e +
_ 1
р1-я+_ 1
r0T,
4a, + a -я__я+
rT.
^-T a1 p"" '"+ _ 1
Используя найденное выражение для компоненты CTrr, получим аналогичные выражения для компонент напряжений стzz, ст:
CTzz^0 =
a2a1 a0 + a1
/
^ ( e+
a3a
4a0 + a1
rT _
_akA+
r _a_ kA_ r
, r0 , r0 ,
(5)
= s16
1+
a2^1
a0 + a1
^ ( e+
, + a3^2 ' s11 + ' s16
_'i6PkA+
( r \
_ 4P_k'
4a0 + a1
(
r
rc 0
/ /
r T —
Y=''_ '2 n = ' './' '_i_'2 ^0 = s11s66 s16, aq = s13s66 + q('12s66 + s16),
Pg = '13 + q( '12 + síl), q = 2, ± k
С помощью этих формул после выполнения интегрирований по сечению нано/микротрубок получаем выражения для связи удельной растягивающей силы P и крутящего момента M с параметрами e, т:
( P 1 (mu
M
v у
12
Yp ^
"21 m22
11 2
(Р2 _ 1)^0
Tr0
'66 ■
где
(6)
a2a
2^1
Y 2
«0 + «1
p2 _ 1
a a
2k
«0 + «1
p_^_ _ 1 p^++2 _ 1 a2a_k р_я+ _ 1 рЯ—+2 _ 1
_ 1 Y+ 2
'16 +
a0 + a1 px__x+ _ 1 + 2 V _ 1 a3ak
12 2 12 (p2 _ 1)^0
p1_x__ 1 pX++2 _ 1
4«0 + «1
a3a_
3
1_Л+
4«0 + «1
_ 1 px_+2 _ 1"
p^__ 1 A+ + 2 4a0 + a1 px__x+_ 1 + 2
2nr
21
0 '
(1 + У _ 1 «2pk
16
_ 1 pX++3 _ 1 a$_k p_X+
_ 1 pX_+3_ 1"
_ 1 A++ 3 a0 + a1 pA__A+_ 1 + 3
2nr0
22
«302
V _1
4a0 + a1
'16
p1_X__ 1 p"++3 _ 1 + «3в_к p
4
1_Л+
'16
«3ek .
4a0 + a1
_1 px_+3_ 0
p"+ "_ _ 1 A+ + 3 4a0 + a1 pA__A+ _ 1 + 3 В частном случае продольного растяжения нано/ микротрубки под действием удельной силы P в отсутствие крутящего момента (M = 0) для модуля Юнга E = P/ e и угла кручения т следует
E = -
det
22
m21
, Tr = Ле, Л ---21.
m22
(7)
Таким образом, даже в отсутствие крутящего момента растяжение нано/микротрубки из кубических кристаллов вызывает ее закручивание (обратный эффект Пойнтинга).
В обратной ситуации действия крутящего момента M в отсутствие растягивающего усилия (P = 0) происходит изменение длины нано/микротрубки. Для кру-
тильной жесткости C = M/т и относительного удлинения е имеем
det my
C =-
m,
,е = Гтг0, Г = -
"12
m1
(8)
Такими соотношениями описывается прямой эффект Пойнтинга, для которого характерно изменение длины при кручении в отсутствие растягивающих усилий.
Отметим, что из указанных общих соотношений для модуля Юнга и крутильной жесткости получается линейная связь между ними следующего вида: тиС = = т22Е. Коэффициент этой связи т22/т11 не является константой. Он зависит от упругих податливостей sij, угла хиральности х и внешнего и внутреннего радиусов нано/микротрубки.
В пределе нулевого угла хиральности и при х = П 4 исчезает один штрихованный коэффициент податливости s¡6 и коэффициент а3. В силу этого недиагональные элементы т12 и т21 вышеприведенной матрицы пропадают, а диагональные ти, т22 в нуль не обращаются. В итоге при нулевом угле хиральности и при х = П 4 имеем Г = 0 и Л = 0, т.е. исчезают прямой и обратный эффекты Пойнтинга. Кроме того, в соответствии с четностью зависимостей коэффициентов 51'1, s'n, л13, 533, 6, а0, а1, а2, а , Р?, Я±, k и нечетностью зависимостей s¡6, а3 от угла хиральности нано/микротрубок зависимость недиагональных коэффициентов т12, т21 оказывается нечетной, а зависимость диагональных коэффициентов ти, т22 — четной функцией угла %. Таким образом, прямой и обратный эффекты Пойнтинга (Г, Л) для нано/микротрубок из кубических кристаллов меняют знак при изменении знака угла хиральности. На рис. 1 приведено сравнение изменений коэффициентов Г и Л с изменением угла хиральности х и безразмерного параметра толщины трубки р на примере нано/микротрубок из кристаллов А1 и Сг. При фиксированном значении угла хиральности величина коэффициента |Г| монотонно растет с ростом параметра р для всех кристаллов, а коэффициент |Л| ведет себя противоположным образом — монотонно падает. Рисунки 1, а, б и 1, в, г являются типичными для нано/микротрубок из кубических кристаллов с А > 0 и А < 0 соответственно. Из рисунков ясно, что при положительном коэффициенте анизотропии А положительные эффекты Пойнтинга (прямой и обратный) для 0 <х<П 4 сменяются отрицательными для п/ 4 <х<П 2 • Обратная картина справедлива при А < 0.
3. От тетрагональных кристаллов с
прямолинейной упругой анизотропией к нано/ микротрубкам с криволинейной анизотропией
Упругие свойства тетрагональных кристаллов характеризуются матрицей минимум из шести различных коэффициентов податливости:
sii si2 si3 0 0 0 1
si2 sii si3 0 0 0
si3 si3 s33 0 0 0
0 0 0 s44 0 0
0 0 0 0 s44 0
0 0 0 0 0 s66 y
При повороте вокруг главной кристаллографической оси (оси 3) на угол х эта матрица переходит в матрицу вида (1) с семью независимыми коэффициентами податливости s'y, зависящими от исходных коэффициентов податливости s y и от угла поворота во многом аналогично (2):
s,i = s22 = s,, - 0.5Дsin2(2х),
si2 = si2 + °.5Д sm^xX s^6 = S66 + 2Д sin2(2x), s,6 = -s26 = -0^sin(4x),
s16 _ s26
/ _ / _
si3 = S23 = s!
(9)
s23
13, s33
s33, s44
S 44 = s55 = s.
s44,
Д = sii - si2 - 0.5s66.
Здесь также коэффициенты ^66 являются чет-
ными функциями, а нечетной функцией угла поворота. Коэффициенты податливости ¿у являются периодическими функциями угла с периодом л/2. Коэффициенты ¿16 и /26 обращаются в нуль при х = 0 и
х = П 4.
В итоге будем иметь для повернутых 6-константных тетрагональных кристаллов полностью аналогичное рассмотрение задачи кручения-растяжения для хираль-ных нано/микротрубок. Конечный результат для матрицы Цт^ будет одинаковым с полученным в предыдущем разделе. В силу общности (9) с (2) он, в частности, также указывает на нечетность зависимостей т12, т21 и четность тп, т22 от угла хиральности нано/ микротрубок х. Это означает согласно соотношениям предыдущего раздела, что прямой и обратный линейные эффекты Пойнтинга меняют знак при изменении знака угла хиральности. В частности, отсюда следует отсутствие эффектов в отсутствие хиральности. Эффекты пропадают при х = 0, а также при х = П 4.
Далее численные расчеты для нано/микротрубок из 6-константных тетрагональных кристаллов сделаны с использованием упругих коэффициентов из [21]. На рис. 2 приведены зависимости коэффициентов Г и Л от угла хиральности х и безразмерного параметра толщины трубки р для нано/микротрубок из кристаллов MoSi2 и FeGe2. Можно видеть, что для нано/микротрубок из 6-константных тетрагональных кристаллов, как и в случае нано/микротрубок из кубических кристаллов, величина |Г| при фиксированном значении угла хиральности монотонно растет с ростом параметра толщины р, а коэффициент |Л| монотонно падает. Рисунки 2, а, б и
Рис. 1. Зависимость коэффициентов Пойнтинга Г (а, в) и Л (б, г) от угла хиральности % и параметра толщины р для скручиваемых и растягиваемых нано/микротрубок из кубических кристаллов А1 (а, б) и Сг (в, г)
рис. 2, в, г являются типичными для трубок из 6-конс-тантных кристаллов с А > 0 и А < 0 соответственно. Эффекты Пойнтинга для нано/микротрубок из таких кристаллов имеют осциллирующий характер. Для кристаллов с положительным коэффициентом анизотропии А удлинение трубок при кручении (положительный прямой эффект Пойнтинга) при 0 <%<л/4 сменяется их укорачиванием (отрицательный прямой эффект Пойн-тинга) при п/ 4 <х<П 2- В случае кристаллов с А < 0 имеет место обратный порядок. Аналогичная картина справедлива и для обратного эффекта Пойнтинга.
Несколько иная ситуация возникает в случае 7-конс-тантных тетрагональных кристаллов. Исходная матрица коэффициентов податливости выглядит следующим образом:
s11 s12 s13 0 0 s16
s12 s11 s13 0 0 -s16
s13 s13 s33 0 0 0
0 0 0 s44 0 0
0 0 0 0 s44 0
s16 -s16 0 0 0 s66
При повороте вокруг главной кристаллографической оси 7-константная матрица тетрагонального кристалла
||s-1| не меняет общего вида 7-константной матрицы и записывается как (1) с матричными коэффициентами
податливости s'¡, линейно зависящими от s н и нели-
- -
нейно от угла поворота x следующим образом: sú = s11 - 0.5Д sin2 (2х) + 0.5s16 sin(4x), sÍ2 = S12 + 0.5Дsin2(2x) - 0.5,16 sin(4x), s^6 = ,66 + 2Д sin2 (2x) - 2Sí6 sin(4x),
sÍ6 = si6c0s(4x) - 0.5Д sin(4x), (10)
/ _ / _ / _
sÍ3 = sÍ3, s33 = s33, s44 = s44,
Д = sii - si2 - 0.5s66. Эти зависимости от угла остаются периодическими с прежним периодом п/ 2, но существенно отличаются от зависимостей (2). Однако в силу прежнего матричного вида (1) общий ход решения задачи кручения-растяжения остается таким же, как в разделе 2 для нано/ микротрубок из повернутых кубических кристаллов. Основные конечные формулы (6)-(8) вместе с выражениями для mÍÍ, mÍ2, m2Í, m22 остаются прежними. Изменяется их интерпретация из-за отличия (10) от (2).
В силу формул (10) штрихованный коэффициент податливости sÍ6 не обращается в нуль при x = 0, из чего следует в соответствии с (6)-(8) наличие эффектов
Рис. 2. Зависимость коэффициентов Пойнтинга Г (а, в) и Л (б, г) от угла хиральности х и параметра толщины р для скручиваемых и растягиваемых нано/микротрубок из 6-константных тетрагональных кристаллов МоБ^ (а, б) и РеОе2 (в, г)
Пойнтинга для нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов с нулевой хиральностью. Исчезновение этого коэффициента податливости, а следовательно, и отсутствие эффектов Пойнтинга возможны при ненулевых значениях угла хиральности, определяемых из решений уравнения tg(4х) = 2д16/А в интервале одного периода в л/ 2.
Численные расчеты для нано/микротрубок из 7-конс-тантных тетрагональных кристаллов сделаны с использованием упругих коэффициентов из [21]. На рис. 3 приведены зависимости коэффициентов Г и Л от угла хи-ральности х и параметра толщины р для нано/микро-трубок из кристаллов С14Н804 и №В^Мо04)2. Величина |Г| при фиксированном значении угла хиральности монотонно растет с ростом параметра толщины р, а коэффициент |Л| монотонно падает. Эффекты Пойнтинга для нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов имеют осциллирующий характер. В отличие от нано/микротрубок из кубических и 6-ти константных тетрагональных кристаллов для нано/микро-трубок из С14Н804 прямой и обратный эффекты Пойнтинга пропадают при углах хиральности х = 0.27 и 1.05, а для нано/микротрубок из №В^Мо04)2 при х = 0.47 и 1.25.
4. От орторомбических кристаллов с прямолинейной упругой анизотропией к нано/ микротрубкам с криволинейной анизотропией
Приведем теперь основные формулы, связанные с решением задачи растяжение-кручение хиральных на-но/микротрубок из орторомбических кристаллов. Матрица коэффициентов податливости таких кристаллов
( 511 512 ¿13 0 0 0 ^
512 ¿22 ¿23 0 0 0
¿13 523 533 0 0 0 0 0 0 544 0 0 0 0 0 0 555 0 0 0 0 0 0
66
при повороте вокруг главной кристаллографической оси на угол х принимает вид
Л
•41 42 43
0 0
42 522 523
' ' ' п
513 523 533 0
0 0
46
5 26
536
Л
0 0 0 £ 0 0 0
44 545
516 526536
545 555 0 0
566
Г 0
0 1---
Л Он'- '
Г0
п/2
Л0
п/2
Рис. 3. Зависимость коэффициентов Пойнтинга Г (а, в) и Л (б, г) от угла хиральности х и параметра толщины р для скручиваемых и растягиваемых нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов СИН804 (а, б) и №В^Мо04^ (в, г)
Здесь тринадцать коэффициентов податливости s'n, s^,
/////////// s22, si3, s23, s33, s44, s55, s66, s45, s16, s26, s36 ЗависЯТ °T
угла x и исходных девяти коэффициентов податливости
sj следующим образом: sii = su + § sin4 x-2A sin2 x cos2 x,
s22 = s22-§sin4 x-2Asin2 xcos2 x
s33 = S33, SI2 = S12 + (2A + Ai)sin2 x cos2 x,
s13 = s13 + (s23 — si3)sin x»
s23 = s23 + (si3 - s23)sin x»
s44 = s44 + (s55 - s44)sin2x» (11)
s55 = s55 + (s44 - s55)sin2 x»
2s45 = (s44 - s55)sin(2x)» s36 = (s23 - si3)sin (2x)»
Sj6 = (-Acos(2x) + Ai sin2x)sin(2x)» s26 = (A cos(2x) + Aicos2 x)sin(2x)» s66 = S66 + (2A + Ai)sin2(2x),
2A = 2sii -2si2 -s66 »Ai — s22 sii'
Из этих формул очевидна периодичность su, s 22, s^, ////// / _ si6,s26,s36, s23,s44,s55, s45 по xс периодом п и периодичность s^, s66 с периодом я/2. Коэффициенты sii, s22, s¡3, s^2, s23, s66, s44, s55 оказываются четными функциями угла x, а четыре коэффициента s45, s^, s26,
/36 — нечетными. Эти четыре коэффициента обращаются в нуль при х = 0 и х = П 2.
После сворачивания тонкой кристаллической пластины с упругими податливостями з'у получаем цилиндрически-анизотропную нано/микротрубку с упругостью, описываемой законом Гука вида
/
Г1баф2 ' /
у36афг'
- ^3багг,
2иг = - ^45афг , 2игф = + ^44°фг -
Задача о растяжении и кручении криволинейно-анизотропной полой нано/микротрубки из орторомбичес-кого кристалла в приближении Сен-Венана решается точно так же, как и в случае нано/микротрубки из кубического кристалла (см. раздел 2). Для нормального напряжения Gzz (г) и касательного напряжения Gфz (г) получается
г4
uzz = síi°zz + s12 афф + / "s13arr
ифф = = sÍ2a zz + " s22 афф + s23a^ -
urr = sÍ3Gzz + / s23 афф " !"s33^ -
2v = s66^z - sí6a zz - s26 афф
tii° zz (r) = [i - bi(ti2 + Íi3)]e-
¿2(^12 + ti3)
66
xxr
ír ^
Efe + ti2(i + ^± )]A
í r ^
56 6стф2 (г ) =
^ + К
' + ' — ' '12 + '13
е +
1+г
s66hl
' + ' — ' 212 + '13 Л 2526 + 536 - 516 "
'11
ТГп
Г г Л
' _ ' (13 4536 s16~_ + '11
„' '12
Л
526 46"
'11
(1 + Я+ )
А+
Г г Л
, р^--1 рЯ--р А+ = -— е + Ц--тг0
рЯ+-рЯ-
2 _I ^ "0'
А = К
1 -ря+ , р-ря+
е + Ь2 Я Я ТГ).
1 ря+-ря
Здесь Ь2 представляют собой различные комби-
нации из девяти эффективных коэффициентов подат-
ливости s11' 5
11' 42' 522' 43, 533' 46' 526' 536' 566 •
К = '11'33 '13 ь = ь0 = 2 ' Ь1 =
'"'22 - '12
'13 '12
'"('22 '33) + '13 '12
Ь2 = ^^ 516('13 2'12) + (2526 s36)'l1
(12)
566 '"(4'22 '33) + '13 4'12
/ /
= „ _ Шsн6 I =-1+ /Г"
тн тн
566
Осреднение этих напряжений (точнее ст(г) и гстф2 (г)) по сечению нано/микротрубки приводит к окончательному результату:
1 К
т11 ~~ -"~1('12 + '13) -'11 '11
" '13 + '12(1 + Я+ ) ря-- 1 ря++2
2Г1
"'17
-1
р2 -1
ря+-ря- я+ + 2
'13 + '12(1 + Я-) 1 -ря+ ря-+2 -1 ря+-ря- + 2
т12 =
2К2
р2 -1
s16
ь
566
2(р3 -1)
3'ц(р2 -1)
Я++2
-1
'13 + '12(1 + я+) ря--р р_
р^-р^ Я+ + 2
р2-1
'11
'13 + '12(1 + Я-) р-р'
я+ ря-+2 -1
р2-1
2лгп3
ря+-ря- 2
т21 ="
566
(
.р3-1
+Г
^^+г '11
' _ ' '13 ,
536 46' +
'12 + '13
' '12
'11
Л
526 46"
(1+я+)
ря--1 ря++3 -1
т---+ Ь1
^-р1- я++3 1
р + -р
(
с - 5
26 46"
' '12
Л
(1+Я-)
' _ ' '13 ,
536 s16 " +
1 -ря+ ря-+3 -1|
ря+-ря- 3
2лгп3
22
566
1 + -
■+Г
566'1
4
+ К,
66'11
г _ г '13
536 516 _ +
2526 + 536 - 516
2'12 + '13
526 5
16"
'12
(1+я+)
/
-р ря++3 -1
-ря- я++ 3
+Г
'13
536
46
526 5
16
'12
Л
'11
(1+Я-)
р-р
+
11
-11
3
_р + -р
Общая связь удельной растягивающей силы и крутящего момента с параметрами е, т имеет прежний вид (6), но содержит выписанные здесь выражения для коэффициентов Ш", т12, т21, ш22. При ограничении случаем продольного растяжения нано/микротрубок, свободных от крутящего момента (М = 0), получаем линейную связь (7) между е и т. Здесь безразмерный коэффициент пропорциональности Л, характеризующий обратный эффект Пойнтинга, зависит от относительной толщины стенки трубки (р - 1), безразмерных комбинаций семи коэффициентов податливости , s12, 522, 513, 523, 533,566 и угла хиральности х, причем при х = 0 и х = П2 связь между продольной деформацией и углом кручения исчезает.
В случае кручения нано/микротрубок под действием крутящего момента М в отсутствие продольной растягивающей силы (Р = 0) находим соотношение связи угла кручения т и продольной деформации е вида (8). Безразмерный коэффициент пропорциональности Г, характеризующий прямой эффект Пойнтинга, зависит от относительной толщины стенки трубки (р - 1), безразмерных комбинаций семи коэффициентов податливости s11' s12' 522, s13' 533, 566 и угла хиральности х, причем при х = 0 и х = П 2 связь между продольной деформацией и углом кручения здесь также исчезает.
В соответствии с указанной выше четностью зависимости части коэффициентов податливости ¿у от угла хиральности и нечетностью зависимости остальных (см. (10)) четными оказываются зависимости от угла х коэффициентов '12, '22, '13, '33, Я+ и нечетной зависимость коэффициента Ь2 (см. (12)). Этим определяется четная зависимость от угла хиральности диагональных коэффициентов шп, ш22 и нечетная недиагональных коэффициентов т12, т21. В итоге нечетными оказываются зависимости от угла хиральности х коэффициентов Л и Г, так что знаки прямого и обратного эффектов Пойнтинга для нано/микротрубок из ортором-бических кристаллов меняются при замене х ^ -х.
Расчеты коэффициента Г с использованием экспериментальных данных из [21] показывают, что прямой эффект Пойнтинга может иметь разные знаки. При кручении нано/микротрубок они могут как увеличивать, так и уменьшать свою длину. Более того, знак эффекта мо-
жет изменяться различное число раз с изменением угла хиральности для разных кристаллических материалов. Некоторые примеры такого осциллирующего поведения приведены на рис. 4, а и в. На них показаны зависимости эффекта от угла хиральности и от отношения радиусов внешней и внутренней стенок трубок из ZnSb и Мп^Ю4.
Аналогичное осциллирующее поведение обнаружено для коэффициента обратного эффекта Пойнтинга Л в случае нано/микротрубок из орторомбических крис-
таллов. Это проиллюстрировано на примерах с кристаллами ZnSb и Мп^Ю4 на рис. 4, б и г. Оба эффекта Пойнтинга пропадают при нулевом угле хиральности, при х = П2 и угле хиральности равном п в силу периодической зависимости от угла. Оба эффекта Пойнтинга оказываются положительными при 0 <х<П 2 и отрицательными при П 2 <х<п для нано/микротрубок из орторомбических кристаллов с положительным параметром анизотропии А. Обратная картина имеет место при А < 0. Из рис. 4 также видно, что в то время как
Г 0 ч
Л 0 . -
п/2
х
Рис. 5. Зависимость коэффициентов Пойнтинга Г (а) и Л (б) от угла хиральности х и параметра толщины р для скручиваемых и растягиваемых нано/микротрубок из орторомбических кристаллов Ка2804
коэффициент |Г| растет для ZnSb и Mn2SiO4 с ростом параметра р, величина коэффициента |Л| уменьшается с ростом этого параметра. Угловые осцилляции коэффициентов Пойнтинга Г и Л для нано/микротрубок из орторомбических кристаллов могут быть частыми, как это видно на примере кристалла Na2SO4 (рис. 5).
5. Заключение
Кручение хиральных нано/микротрубок даже в отсутствие растягивающих усилий сопровождается изменением их длины (прямой эффект Пойнтинга). Знак эффекта (удлинение или укорочение трубок) меняется при этом с изменением величины и знака угла хиральнос-ти для нано/микротрубок из кубических, 6-констант-ных тетрагональных и орторомбических кристаллов. Особыми являются хиральные нано/микротрубки из 7-константных тетрагональных кристаллов, у которых эффект Пойнтинга не исчезает при нулевом угле хираль-ности. В противоположной ситуации продольного растяжения имеет место закручивание нано/микротрубок из орторомбических кристаллов, т.е. обратный эффект Пойнтинга. Причем в зависимости от величины и знака угла хиральности закручивание может менять направление.
Наряду с линейным эффектом Пойнтинга кристаллические нано/микротрубки часто обнаруживают отрицательные коэффициенты Пуассона, оказываются аук-сетиками, например, в случае кубических кристаллов [20]. Сочетание двух эффектов может давать важное для приложений разнообразие режимов деформирования трубок. При положительном (отрицательном) эффекте Пойнтинга, когда кручение вызывает удлинение (укорочение) нано/микротрубок, в отсутствие ауксетичности будет происходить поперечное сжатие (расширение) и наоборот — в случае ауксетичности.
Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований OЭMMПУ РАН M IV.4.11, а также гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук MK-5891.2015.1.
Литература
1. Poynting J.H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening on loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1909. - V. 82. - No. 557. - P. 546-559.
2. Лypьe A.И. Нелинейная теория упругости. - M.: Наука, 1980. -512 с.
3. ГольдштейнР.В., ГородцовВ.А., Лисовенко Д.С. Линейный эффект
Пойнтинга при кручении и растяжении криволинейно-анизотропных трубок // Докл. РАН. - 2015. - Т. 464. - № 1. - С. 35-38.
4. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S., Volkov M.A. Negative Poisson's ratio for six-constant tetragonal nano/microtubes // Phys. Status Solidi B. - 2015. - V. 252. - No. 7. - P. 1580-1586.
5. Най Дж. Физические свойства кристаллов. - М.: Изд-во иностр. лит., 1967. - 386 с.
6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука,
1977. - 416 с.
7. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Chentsov A.V., Starikov S.V., Stegai-lov V.V., Norman G.E. Description of mechanical properties of carbon nanotubes. Tube wall thickness problem. Size effect. Part 1 // Lett. Mater.- 2011. - V. 1. - No. 4. - P. 185-189.
8. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Chentsov A.V,Starikov S.V, Stegai-lov V.V., Norman G.E. Description of mechanical properties of carbon nanotubes. Tube wall thickness problem. Size effect. Part 2 // Lett. Mater. - 2011. - V. 1. - No. 4. - P. 190-193.
9. Rao C.N.R., Nath M. Inorganic nanotubes // Dalton Trans. - 2003. -No. 1. - P. 1-24.
10. Tenne R. Inorganic nanotubes and fullerene-like nanoparticles // Nature Nanotechnology. - 2006. - V. 1. - P. 103-111.
11. Елецкий А.В. Углеродные нанотрубки и их эмиссионные свойства // УФН. - 2002. - Т. 172. - № 4. - С. 401-438.
12. Schmidt O.G., Eberl K. Thin solid films roll up into nanotubes // Nature. - 2001. - V. 410. - P. 168.
13. Schmidt O.G., Schmarje N., Deneke C., Muller C., Jin-Phillipp N.-Y. Three-dimensional nano-objects evolving from a two-dimensional layer technology // Adv. Mater. - 2001. - V. 13. - No. 10. - P. 756-759.
14. Prinz V.Ya., Seleznev V.A., Gutakovsky A.K. et al. Free-standing and overgrowth InGaAs/GaAs nanotubes, nanohelicies and their arrays // Physica E. - 2000. - V. 6. - P. 828-831.
15. Golod S.V., Prinz V.Ya., Mashanov VI., Gutakovsky A.K. Fabrication of conducting GeSi/Si micro- and nanotubes and helical microcoils // Semicond. Sci. Technol. - 2001. - V. 16. - P. 181-185.
16. Принц В.Я. Трехмерные самоформирующиеся наноструктуры на основе свободных напряженных гетеропленок // Изв. вузов. Физика. - 2003. - Т. 46. - № 6. - С. 35-43.
17. Mei Y., Huang G., Solovev A.A., Sanchez S., Urena E.B., Monch I., Ding F., Reindl T., Fu K.Y., Chu P.K., Schmidt O.G. Versatile approach for integrative and functionalized tubes by strain engineering of nano-membranes on polymers // Adv. Mater. - 2008. - V. 20. - No. 21. -P. 4085-4090.
18. Mey Y., Solovev A.A., Sanchez S., Schmidt O.G. Rolled-up nanotech on polymers: from basic perception of self propelled catalic microengines // Chem. Soc. Rev. - 2011. - V. 40. - P. 2109-2119.
19. Сасин М.Е., Ильинская Н.Д., ЗадирановЮ.М., Калитеевская Н.А., Лазаренко А.А., Мазлин В.А., Брунков П.Н., Павлов С.И., Кали-теевский М.А. Цилиндрические многослойные металлодиэлект-рические структуры // Письма в ЖТФ. - 2015. - Т. 41. - № 22. -С. 61-65.
20. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А. Отрицательный коэффициент Пуассона для кубических кристаллов и нано/микротрубок // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 6. -С. 13-31.
21. Landolt-Bornstein. Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology. Group III: Crystal and Solid State Physics. Second and Higher Order Constants. - Berlin: Springer, 1992. -V. 29a. - P. 11-188.
Поступила в редакцию 30.11.2015 г.
Сведения об авторах
Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., проф., чл.-к. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, [email protected] Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н., проф., внс ИПМех РАН, [email protected] Лисовенко Дмитрий Сергеевич, к.ф.-м.н., снс ИПМех РАН, [email protected]
