Тонкие однородные двухслойные пластины из кубических кристаллов с различной ориентацией слоев Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.31, 539.32

Тонкие однородные двухслойные пластины из кубических кристаллов с различной ориентацией слоев

Р.В. Гольдштейн1, В.А. Городцов1, Д.С. Лисовенко1'2, М.А. Волков1

1 Институт проблем механики РАН, Москва, 119526, Россия 2 Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, Москва, 119571, Россия

Дан теоретический анализ продольного растяжения тонкой прямоугольной двухслойной пластины, образованной из кубических кристаллов с различной ориентацией. Кристалл в одном из слоев предполагается имеющим ориентацию главных кристаллографических направлений, параллельную ребрам пластины. В другом слое кристалл повернут на некоторый угол в плоскости пластины. Показано, что более полусотни кубических кристаллов с положительным коэффициентом анизотропии образовывают подобные двухслойные пластины с эффективным модулем Юнга, превосходящим оба модуля Юнга исходных слоев. Такое продольное растяжение двухслойных композитов очевидным образом нарушает известное правило смесей, правило объемного осреднения Фойгта. Продемонстрировано, что аномальные эффективные упругие свойства (модули Юнга и коэффициенты Пуассона) зависят от таких свойств составляющих пластины кристаллов, как знак и величина коэффициентов анизотропии, знак и величина коэффициентов Пуассона, отношение модулей Юнга, угол относительной ориентации и отношение толщин слоев.

Ключевые слова: кубические кристаллы, ауксетики, слоистые пластины, растяжение, модуль Юнга, коэффициенты Пуассона

DOI 10.24411/1683-805X-2018-12001

Thin homogeneous two-layered plates of cubic crystals with different layer orientation

R.V. Goldstein1, V.A. Gorodtsov1, D.S. Lisovenko12, and M.A. Volkov1

1 Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia 2 The Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Moscow, 119571, Russia

The longitudinal stretching of a thin rectangular two-layered plate consisting of cubic crystals with different orientations has been analyzed theoretically. The main crystallographic directions of the crystal in one of the layers are assumed to be parallel to the plate edges. In the other layer, the crystal is rotated at a certain angle in the plane of the plate. It is shown that more than fifty cubic crystals with a positive anisotropy coefficient form similar two-layered plates with an effective Young's modulus exceeding the Young's moduli of the both original layers. Such longitudinal stretching of bilayer composites obviously violates the well-known mixture rule, or Voigt's averaging rule. The anomalous effective elastic properties (Young's moduli and Poisson's ratios) are shown to depend on such properties of the crystals constituting the plates as the sign and magnitude of the anisotropy coefficients, the sign and magnitude of Poisson's ratios, Young's modulus ratio, the relative orientation angle, and the layer thickness ratio.

Keywords: cubic crystals, auxetics, layered plates, stretching, Young's modulus, Poisson's ratios

1. Введение

Минимальное число определяющих упругих характеристик имеют изотропные материалы (два коэффициента). Описание упругого поведения анизотропных сред требует большего числа подобных параметров. Тем не менее и в общем случае по-прежнему две упругие характеристики имеют большое значение при растяжении материалов. Модуль Юнга характеризует продольные деформации, а коэффициент Пуассона — отноше-

ние поперечных деформаций к продольным. Модуль Юнга является положительным, и долгое время коэффициент Пуассона также считался неотрицательным (см., например, [1]). Однако выяснилось, что это не так. Было показано, что отрицательность коэффициента Пуассона имеет место у металлических и полимерных пен [2] и у многих метаматериалов, создаваемых искусственно [3, 4]. В дальнейшем анализ упругих свойств различных известных кристаллов показал, что отрицатель-

© Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А., 2018

ным коэффициент Пуассона может быть у очень многих растягиваемых кристаллов при определенных ориен-тациях. Материалы, проявляющие отрицательность коэффициентов Пуассона, стали называть ауксетиками [5]. Подкласс ауксетиков, изменяющих знак коэффициента Пуассона при изменении ориентации, именуют частичными ауксетиками, не меняющие знака — полными ауксетиками [6, 7]. Материалы с положительным коэффициентом Пуассона называют неауксетиками. Частичные ауксетики среди кристаллов различных кристаллических систем исчисляются сотнями [7-10]. Кристаллические материалы, свернутые в цилиндрические трубки, обладают аномальным кручением с крутильной жесткостью, меняющейся с изменением ориентации, и растягиваются при кручении (эффект Пойнтинга) [11, 12]. Много новых частичных ауксетиков возникает при образовании кристаллических композитов из различных кристаллов [13-15]. Ниже это демонстрируется на примерах тонких двухслойных пластин из пар кубических кристаллов.

В работе описано аналитическое решение задачи продольного растяжения тонкой двухслойной упругой пластины, образованной из различным образом ориентированных кубических кристаллов. Определено напряженно-деформированное состояние. Получены формулы для эффективного модуля Юнга и коэффициентов Пуассона, зависящих от величины и знака коэффициентов податливости, отношения толщины слоев и угла относительной ориентации кристаллов. Приведено обсуждение результатов численных расчетов эффективных коэффициентов по полученным формулам с использованием экспериментальных значений упругих постоянных различных кубических кристаллов, собранных в обширном справочнике [16]. Расчеты выполнены как при одинаковых, так и при различных кристаллах в слоях.

2. Продольное растяжение двухслойной пластины из кубических кристаллов с различной ориентацией слоев

Линейная упругость слоя 1 тонкой прямоугольной двухслойной пластины из кубических кристаллов, который ориентирован по главным кристаллографическим направлениям 1, 2, 3, определяется матрицей коэффициентов податливости вида

II4II

Í V1 s11 1 s12 1 s12

1 s12 1 s11 1 s12

1 s12 1 s12 1 s11

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

s44 0 0

0 0 0

0

1

s44 0

0 0 0 0

0

1

s44

Л

Если слой 2 повернут относительно кристаллографической системы координат в плоскости осей 1 и 2 на угол х и тем самым относительно слоя 1, то закон Гука будет характеризоваться преобразованной за счет поворота матрицей коэффициентов податливости:

Ítt 2

IWII

s11 s12 s13

Т 2 s12 S121 Т2з

S123 S123 Т 2 s33

0 0 0

0 0 0

о о 0 о о 0

Т2 Л s16

0 - Т2

Т 2 s44

s16

s16

0

0 0

2

s44 0

0 0 0

s66

Преобразованные коэффициенты податливости ~sj, отмеченные чертой сверху, следующим образом зависят от угла поворота % и исходных коэффициентов s2 кристаллов слоя 2:

Т121 = s?1 - 0.5Д sin2 (2х), sf2 = Т22 + 0.5Д sin2 (2%), Тб = -0.5Д sin (4%), Т626 = s424 + 2Д sin2 (2%), (1)

—2 _ 2 — 2 _ 2 —2 = ^^ , = S1 1, s.

'44 = s44, Д = s11 s12 0.5s424.

•43 _ 42' •33" лП' Продольное растяжение тонкой двухслойной пластины различным образом ориентированных кубических кристаллов упрощает при отсутствии сил на внешних горизонтальных поверхностях напряженное состояние в объеме слоев:

,1 „1 „1 п -2 „2 „2

OÍ3 = а2з = а3з = 0,

С3 = а2з = С33 =

В таком случае в рамках линейной теории упругости закон Гука для продольно растягиваемого слоя 1 и слоя 2, растягиваемого под углом х по отношению к кристаллографической ориентации кубического кристалла, позволяет записать

и11 = •п^п + •12^22' и22 = •12СТ11 + •цСТ22'

и33 = •12СТ11 + ^12^22'

2и12 = ^44^12' и13 = и23 = 0'

2 (11 —2 2 = S1W1 —2 2 —2 2 + s12C22 + s16C12,

2 22 II 22 1С _2 2 —2 2 + s11C22 - s16C12,

2 33 II 312 —2 2 + s13C22,

2и12 = 51б(СТ11 -а22) + •66^12' и13 = и23 = 0

Здесь и1' и2 — деформация слоев 1 и 2. Условия совместного растяжения слоев двухслойной пластины

1 2 1 2 1 2 и11 = и11' и22 = и22, и12 = и12 можно выразить через

компоненты напряжений:

11 1 1 _— 2 2 —2 2 —2 2 s11C11 + s12C22 = s11C11 + s12C22 + s16C12, 11 1 1 _— 2 2 —2 2 —2 2 s12C11 + s11C22 = s12C11 + s11C22 - s16C12, 1 1 _2 2 2 _2 2 s44C12 = s16(c11 -С22) + s66CT12.

(2)

Здесь и далее верхний индекс указывает номер слоя.

Условия равновесия при растяжении силой Р в направлении 1 при выборе единичной ширины пластины в направлении 2 записываются в виде

¿1^1 + = Р' А1о2а + ^2^22 = 0.

Замыкающее соотношение для напряжений получается из отсутствия крутящего момента, связанного со сдвиговыми напряжениями:

\ h2 М12 = | о{2гdг + | сс2 2dг = 0.

о \

Сдвиговое напряжение в приближении однородных сдвиговых напряжений сводится к следующей связи между сдвиговыми напряжениями в двух слоях:

а;2 —-^ц|ст-

Такая связь позволяет исключить сдвиговое напряжение в первом слое с|2 из ранее записанной связи между сдвиговыми и нормальными напряжениями в (2) и

2

выразить сдвиговое напряжение во втором слое с12 через разность нормальных напряжений во втором слое:

°?2 =Л(0?1 -о2и), —.

\ % + А2(2А1 + ¿2 >44 В свою очередь исключение второго сдвигового напряжения из системы соотношений (2) позволяет найти следующие выражения для сумм и разностей нормальных напряжений в каждом из слоев:

ст11 + ст22 — 1 1

(s11 + S12)S+

"> СТП + а22 =

11 ^ и22 " ~2 _2ч„ ' (s11 + S12)S+

_2 _2 P 1 1 P Л Й2 |

_ h1

k1 - k2

S11 + s12 SU + s12

2' H = h2 + h1-1 1

S11 s12

k1 = s121 + 4Л — s121 -

h12(3126)2

h12 s66 + h2(2h1 + ^>44'

k2 = s12 = SU +2_2

h2^)2

h1 s66 + h2(2h1 + h2)s44

Из этого находим напряжения

Стц =■

-+P-Í1 - h2

2(s{1 + s12)S+ 2h1 ^ H

_ p - P f1 - h2

22 2(sÍ1 + sÍ2)5+ 2" t H

1

—-

ст,, — -

2(s121 + 312)S+ 2H

CT22 2(s121 + 2H •

По напряжениям с помощью закона Гука получаем нормальные деформации

h2

u! = Ж —P + ps" s12 11 11 2S+

2h1

1 |, H 1

Un — U n —- P-1 1 -

22 22 2S+ 2h1 ^ H 12 U1 = p S12 S-1 u 2 = p S13 S -1 u33 = p 1 1 S+ ' u33 = p _2 _2 S+ •

(3)

Они определяют эффективные модуль Юнга и коэффициенты Пуассона для тонкой двухслойной пластины: Р

Eeff =

(h1 + h2 )u11 '

v = - un

v12 = ^

■1 u2 U1 u2

u22 ..1 _ _u33 ..2 _ _u33

T' v13 = ""T' v13 =

Mi 1 Mi i Mi

М2

1 М"11 М"11 М"11

С помощью соотношений (3) находим следующие зависимости эффективного модуля Юнга и коэффициентов Пуассона тонкой двухслойной пластины из различных пар кубических кристаллов от основных параметров:

(Ш!1! + ^)2 -(щ^ + k2)

(4)

Eeff —

(а + 1)[sÍ1 (k( -k2) + ak1 ((sÍ1 Y - (shГ)]

veff = - s/2 (k[2 - k2 ) +«k2[(s11)2 - (s/2)2] 12 sÍ1(k2 -k22) +«k1[(sÍ1)2 - (SÍ2)2]'

vf = - S12 (k + ¿2) X x (¿1 - ¿2) + g(sn - sj[2)

sÍ1(k2 - ¿22) + «k1[(sÍ1)2 - (SÍ2)2]' V13 = - s13(s11 + s12) X

x (¿1 - ¿2) + g(sn - sj[2)

sÍ1(k2 -¿22) + а^:111)2 -(SÍ2)2]'

(5)

где

a=h1 k —J2 tá)2

"1 s626 +а(2 + a)s44

¿2 = s12 + "_2

(S126)2

s66 + а(2 + a)s44

В частном случае с двумя различно ориентированными слоями (х Ф 0) из одинаковых кубических кристаллов выражения для коэффициентов податливости (1) упрощаются:

s121 — s11 -0.5Дsin2(2х), s122 — s12 + 0.5Asin2(2x)'

s126 — -0.5Д sin (4х), s"626 — S44 + 2Д sin2 (2х), (6)

—2 — —2 — —2 — s13 — s12' s33 — s11' s44 — s44'

Д — sn - s12 - 0.5s44.

Как было продемонстрировано в работе [7], удобными безразмерными характеристиками упругих свойств кубического кристалла являются параметры П и 8:

П = -2SU, 8 = —. Д S11

С их помощью предыдущие результаты для различно ориентированных слоев из одинаковых кубических кристаллов можно представить в упрощенном виде: ¿10 - ¿20 + а(1 + 0.5 П8)

S11Eeff —

¿10 - ¿20 + «¿10(1 + 0.5П8)'

(7)

Рис. 1. Зависимости эффективного модуля Юнга двухслойной пластины Е^(х) и модулей Юнга Е1' Е2(х) для двух слоев, заполняемых кубическим кристаллом 1пТ1 (25 ат. % Т1) с 5 > 0 (а) и Li с 5 > 0 (б) от угла относительной ориентации слоев X при относительной толщине слоев а = Н2/к1 = 0.1' 1.0' 10.0

12

= V

2 eff 12

ак20 (1 + 0.5П5) - 0.5П5(k10 - к20)

ак10(1 + 0.5П5) + k10 - к

V13 =V

1 eff 13

= V

к10

2 eff

к 20

(8)

13

= 0.5П5-

а(1 + 0.5П5) + к10 - к

20

Здесь

к = ^ = 1 к10 = =1

ак10(1 + 0.5П5) + к10 -к20 к

-К' к20 ="

= -0.5п5+к '

к = 0^ш2(2%) х

1 +

25 (2х)

(2 - 25 + П5)(1 + а)2 + 25 sin2 (2х).

Эти формулы показывают, что эффективные безразмерные модули Юнга •11Ее£Г и коэффициенты Пуассона двухслойных пластин из одинаковых различно ориентированных кубических кристаллов зависят только от безразмерных характеристик а = Н2/П 5 и х.

3. Результаты и обсуждение

Обсудим сначала численные результаты, основанные на формулах (7), (8) для двухслойной пластины из одинаковых различно ориентированных кубических кристаллов с положительным коэффициентом анизотропии, экспериментальные упругие константы которых собраны в известном справочнике Ландольта-Бернштейна [16]. Сравнение эффективных модулей

Юнга Ее^ (х) и величин модулей Юнга Е1' Е2 (х) для исходных слоев 1 и 2 из кубического кристалла 1пТ1 (25 ат. % Т1) (частичный ауксетик с 5 > 0, 1 > П > 0) при различных относительных толщинах слоев (при а = 0.1, 1.0, 10.0) дано на рис. 1, а. Из рисунка можно видеть, что в некоторых диапазонах изменения углов относительной ориентации и толщин слоев кристалла х и а эффективный модуль Юнга двухслойной пластины превосходит модули Юнга обоих слоев. Очевидно, что этот результат не соответствует результатам, получаемым по известным правилам смесей (по правилу объемного среднего Фойгта). Подобная ситуация оказывается типичной для 57 кристаллов с положительным коэффициентом анизотропии 5 > 0 ^Ь, К, Ы, Си2п (43 ат. % 2п), СиАи2п, 1пТ1 (25 ат. % Т1) и др.) из тысячи двухсот кубических кристаллов, собранных в справочнике [16]. Положение таких кристаллов показано точками на плоскости безразмерных параметров П, 5 в диапазоне 1.2 < 5 < 1.5 вблизи границы термодинамической устойчивости П5 = 1 на рис. 2. Аналогичный пример модулей Юнга пластин из кубического кристалла Ы (частичного ауксетика с 5 > 0) при а = 0.1, 1.0, 10.0 приведен на рис. 1, б. Вместе с тем найдено, что для двухслойных пластин из различно ориентированных одинаковых кубических кристаллов эффективный модуль Юнга не превосходит максимума модуля Юнга повернутого слоя, который достигается при х = П 4. Эффективные коэффициенты Пуассона V1e2 (х)' ve3F (х) двухслойной пластины в обсуждаемой ситуации различно ориентированных слоев из одинаковых кубических кристаллов с 5 > 0 сильно отличаются друг от друга. Зависимости, представленные на рис. 3 для кристалла 1пТ1 (25 ат. % Т1), являются типичными. Эффективный коэффициент Пуассона пластины Vle3 (х) оказывается положительным и всегда превосходит коэффициент Пуассона исходного первого слоя V1. Другой эффективный

0.65-

Рис. 2. Расположение на плоскости безразмерных параметров П, 5 кубических кристаллов, образующих двухслойные пластины с эффективными модулями Юнга, превосходящими модули Юнга обоих слоев при какой-либо относительной ориентации слоев. Сплошные кривые соответствуют границам устойчивости кристаллов

Рис. 3. Изменчивость коэффициентов Пуассона двух исходных пластин V1, ), и эффективных коэффициентов двухслойных пластин V 12Чх), V ^(Х) при различных относительных толщинах слоев пластин (а = 0.1, 1.0, 10.0), образованных из кубического кристалла 1пТ1 (25 ат. % Т1) с 5 > 0

коэффициент Пуассона V (х) всегда меньше V 1, может изменять знак и меньше коэффициента Пуассона повернутой пластины V 22(х) в определенных диапазонах углов поворота Х и отношений толщин слоев а. Эффективный коэффициент V ^(Х) оказывается также меньше коэффициента V 23(х) для исходного слоя 2 и коэффициента V 1 = V 12 = V 1 3 для исходного слоя 1 (кроме случаев х = 0 и Х = П2). Не удалось обнаружить двухслойные пластины из различно ориентированных одинаковых кристаллов с 5 > 0, у которых эффективный коэффициент Пуассона ^2Чх) был меньше значения коэффициента Пуассона исходной повернутой пластины V22(x) при Х = П 4.

Поведение двухслойных пластин с различно ориентированными слоями из одинаковых кубических кристаллов с отрицательным коэффициентом анизотропии 5 < 0 кардинальным образом отличается от описанного выше. Это демонстрируют результаты для эффективных модулей Юнга и коэффициентов Пуассона в случае кристалла Sm0.75Tm0.25S (полного ауксетика с 5 < 0, П > 1) на рис. 4. Эффективный модуль Юнга двухслойной пластины здесь при всех углах Х и относительных толщинах а меньше модуля Юнга первого слоя Е1 и больше модуля Юнга второго слоя Е2(х) (рис. 4, а). В отличие от максимума эффективного модуля при Х = п/4 для кристаллов с 5 > 0 (рис. 1) для кристалла с 5 < 0 он достигает минимума при таком значении х (рис. 4, а). Все эффективные коэффициенты Пуассона V1e2f (Х) и (Х) для двухслойной пластины из кристалла Sm075Tm025S, оставаясь отрицательными, изменяются в пределах между коэффициентами Пуассона V1 и V22(x) для исходных слоев, а при Х = П 4 достигают максимумов (рис. 4, б). Такое поведение сильно отличается от того, которое имеет место для кристаллов с 5 > 0 (ср. с рис. 3).

Поведение двухслойных пластин с различно ориентированными слоями становится более разнообразным при различных кубических кристаллах в слоях. В частном случае одинаковых толщин слоев (а = 1), заполненных кристаллическим неауксетиком А1 с 5 > 0 в слое 1 и кубическим кристаллом (частичным ауксети-ком) СиА1№ (14.5 вес. % А1, 3.15 вес. % №) также с 5 >0 в повернутом слое 2, эффективный модуль Юнга превосходит модули Юнга кристаллов в обоих исходных слоях при углах относительного поворота Х только в некоторой окрестности Х = П4 (рис. 5, а). Максимальное значение эффективного модуля Юнга 91.8 ГПа достигается при Х = П4, а = 1.02. Для двухслойной пластины с а = 1, заполненной неауксетиком А1 и неаук-сетиками с 5 > 0, был выявлен один случай (A1-AuGa2), когда эффективный модуль Юнга превосходил модули Юнга кристаллов в обоих исходных слоях в окрестности Х = П 4. Максимальное значение эффективного модуля Юнга при Х = П4 и а = 1 равно 64.3 ГПа с модулями Юнга Е1 = 62.5 ГПа для А1 и Е2 (х = п/4) = 62.9 ГПа для AuGa2. В другом случае двухслойной пластины из кристалла Sm0.9La0ЛS (частичного ауксетика с 5 < 0 и 1> П > 0) в слое 1 и повернутого кристаллического неауксетика Т^ (71 ат. % V) с 5 ~ 0 в слое 2 эффективный модуль Юнга превосходит модули Юнга обоих кристаллов для всех значений угла Х при а = 1

Е, ГПа-

■ - -е\Х) -ЕМ

Ш

Рис. 4. Эффективные модули Юнга двухслойных пластин Е^(х), модули Юнга исходных слоев Е1, Е2(х) (а) и коэффициенты Пуассона vl2f(x), V13f(x), V1, V22(x), Vl2з(x) (б) при различной толщине слоев (а = 0.1, 1.0, 10.0) из кристалла Sm0.75Tm0.25S с 5 < 0

Е, ГПа 13(Н

120

110

Ш

ЯейЮс)

71

Е1__

'Ё21%)

0

тс/4

X

Рис. 5. Эффективные модули Юнга двухслойных пластин из кристаллов А1 с 5 > 0 и СиА1М (14.5 вес. % А1, 3.15 вес. % М) с 5 > 0 (а) и из кристаллов Sm0.9La0.1S с 5 < 0 и Т^ (71 ат. % V) с 5 ~ 0 (б) при одинаковой толщине слоев (а = 1)

(рис. 5, б). Наибольшее значение эффективного модуля Юнга для такого типа пластины Е^ = 131 ГПа достигается при х = 0 и а = 0.87. Влияние знака коэффициента анизотропии на поведение эффективного модуля Юнга здесь очевидно.

Численные расчеты показывают, что эффективные

коэффициенты Пуассона ve2(х)' vJ^(х) и коэффи-

/

циент v123eff (х) для двухслойной пластины из разных кристаллов Sm075La025S (полного ауксетика с 5 < 0,

П > 1) и СиА1№ (14.5 вес. % А1, 3.15 вес. % N1) (частичного ауксетика с 5 > 0) со слоями одинаковой толщины (а = 1) ведут себя противоположным образом. Первые два коэффициента отрицательны при всех х и минимальны при х = П4' а коэффициент v123eff(х) всегда положителен и при х = П 4 достигает максимума, что соответствует характеру поведения коэффициентов v122(х)' v123(х) для исходного второго слоя (рис. 6).

Хорошей иллюстрацией разнообразия поведения Е^ (х' а) для двухслойных пластин со слоями различной толщины и различной ориентации может служить пример пластины из кристалла Sm065La0 35S (полного ауксетика с 5 < 0, П > 1) в слое 1 и повернутого кристалла серебра Ag (частичного ауксетика с 5 > 0) в слое 2. Как видно из рис. 7, эффективный модуль Юнга такой двухслойной пластины при отношении толщин слоев а = Н2/ Н1 <3.57 (относительно толстом слое с повернутым кристаллом) превосходит модули Юнга обоих слоев в окрестности значений угла х, равных 0 и п/ 2. Этот результат соответствует ранее опубликованному для подобной пластины с х = 0 (см. [15], рис. 4, а). При слоях одинаковой толщины (а = 1) упомянутая угловая окрестность составляет около п/ 8. Что касается эффективных коэффициентов Пуассона такой двухслойной пластины, то коэффициент vlf>f (х) минимален при х = П 4 и любом а, может менять знак при больших а и оказывается всегда отрицательным при а < асг = = 0.89 (рис. 8, а). Другой эффективный коэффициент Пуассона vef(х) в слое 1 0^3^ (х)) отрицателен при любых а и минимален при х = П4' а в слое 2 )) всегда положителен и при х = П4 достигает максимума (рис. 8, б). В случае двухслойной пластины со слоями одинаковой толщины (а = 1) и различной ориентации из кристалла Sm0.65La0.35S (полного ауксетика с 5< 0' П> 1 ) в слое 1 и повернутого кристалла серебра Ag (неауксетика с 5> 0) в слое 2 эффективный

1.0~1-1-1-1-

0 71/4 х

Рис. 6. Эффективные коэффициенты Пуассона двухслойной пластины V !2Чх)' V 13^(хХ V ^(х) и коэффициенты Пуассона V 1' V 22(х)' V 23(х) для исходных кубических кристаллов Sm0.75La0.25S и СиА1М (14.5 вес. % А1, 3.15 вес. % М) в слоях одинаковой толщины (а = 1)

Рис. 7. Изменение эффективного модуля Юнга Е^ (х) для двухслойной пластины из кристалла Sm0.65La0.35S в слое 1 и повернутого кристалла Ag в слое 2 и модулей Юнга исходных слоев Е 1' Е2(х) с изменением угла поворота во втором слое х и изменением относительной толщины слоев а. Для кривой Е^ (х) при а = 3.57 выполняется условие Е^(х = 0) = Е1

Рис. 8. Изменение эффективных коэффициентов Пуассона Vle2f(x) (а) и v13eff(x), v123eff(x) (б) для двухслойной пластины из кристалла Sm0.65La0.35S с 5 < 0 и кристалла Ag с 5 > 0 и коэффициентов Пуассона исходных слоев V1, ^2(х), v23(x) с изменением угла Х и параметра толщины а. Неравенство Ve2f(Х)<0 справедливо при любых х и а<а =0.89

модуль Юнга (Е1& (х = п/ 4) = 79.8 ГПа) может превосходить модули Юнга обоих слоев (Е1 = 50.8 ГПа для Sm0 6^а0 и Е2 (х = п4) = 71.8 ГПа для Ag) в окрестности значений угла Х, равного я/ 4.

Для двухслойных пластин изучена большая выборка в 104 пар из кубических кристаллов А1 (неауксетик с 5 > 0), W (неауксетик с 5-0), Са (частичный ауксетик с 5 > 0), Ge (частичный ауксетик с 5 > 0), Sm0.9La0ЛS (частичный ауксетик с 5 < 0), Sm0 85Tm0 ^ (частичный ауксетик с 5 < 0), Sm075La025S (полный ауксетик с 5 <0), Sm065La0 35S (полный ауксетик с 5-0), Sm075Tm025S (полный ауксетик с 5 < 0) для слоя 1 и всех остальных кубических кристаллов с экспериментальными данными из [16, 17] для повернутого слоя 2. Обнаружено большое количество двухслойных пластин, у которых эффективный модуль Юнга превосходит модули Юнга исходных пар при тех или иных значениях угла поворота Х. Оно составило в частном случае равных толщин слоев (а = 1) около 1/5 от общего количества рассмотренных пар кристаллов и главным образом при твердых растворах самария в первом слое.

В случае двухслойной пластины, заполненной двумя неауксетическими кристаллами Мо и Сг, оба из которых имеют отрицательный коэффициент анизотропии 5 <0, характер изменения эффективных коэффициентов зави-

сит от того, в каком из слоев находится кристалл с большим модулем Юнга, который составляет 380 ГПа для Мо и 328 ГПа для Сг. Для композита Мо-Сг оказывается справедливым неравенство Е1 > Е1±г(х, а) > Е2(х). В противоположном случае для композита Сг-Мо с менее жестким кристаллом Сг в слое 1 изменения эффективных коэффициентов имеют гораздо более сложный характер и, в частности, в некотором диапазоне Х и а выполняется неравенство Е1& (х, а) > Е1, Е2 (х), противоречащее простым правилам смесей. Аналогичное поведение эффективного модуля Юнга двухслойных пластин имеет место для пар неауксетиков № и LaA12 с 5 < 0 и модулями Юнга 152 и 132 ГПа. При заполнении слоя 1 неауксетиком с более значительным модулем Юнга в двухслойной пластине Nb-LaA12 эффективный модуль Юнга имеет промежуточное значение. При заполнении слоя 1 неауксетиком с меньшим модулем Юнга в двухслойной пластине для некоторых углов поворота и от-

Рис. 9. Зависимость эффективного модуля Юнга и модулей Юнга в двух различным образом ориентированных слоях двухслойных пластин Мо-Сг (а) и Сг-Мо (б) от угла порота слоя 2 х и отношения толщин слоев а. Эффективный модуль Юнга обозначен более темной заливкой. Модули Юнга для первого слоя отличаются постоянством

Рис. 10. Изменчивость эффективного модуля Юнга двухслойной пластины W-TiV (71 ат. % V) из кубических кристаллов с очень малой анизотропией, повернутых в слоях относительно друг друга. Модуль Юнга W в первом слое не меняется (равняется 408 ГПа), а изменение модуля Юнга другого повернутого кристалла во втором слое практически отсутствует. Эффективный модуль Юнга обозначен более темной заливкой

ношений толщин слоев эффективный модуль Юнга оказывается больше модулей Юнга повернутого слоев 1 и 2. Если двухслойные пластины образуются из кристаллических неауксетиков с 8 < 0 и частичных ауксетиков с 8 < 0 (например неауксетика Мэ с модулем Юнга 152 ГПа и частичного ауксетика TmSe с модулем Юнга 115 ГПа), то эффективный модуль Юнга может превосходить модули Юнга обоих слоев обоих комбинаций ауксетика и неауксетика (двухслойных пластин МЪ-TmSe и TmSe-Nb). Однако в случае кристаллов с сильно различающимися жесткостями, например неауксетика Сг с модулем Юнга 328 ГПа и частичного ауксетика TmSe с модулем Юнга 115 ГПа, эффективный модуль Юнга двухслойных пластин оказывается больше модуля Юнга одного из слоев, но меньше модуля Юнга другого слоя для обоих композитов Cr-TmSe и TmSe-Cr.

Имеется ряд кубических кристаллов с очень малым коэффициентом анизотропии 8 = 0, для которых важными остаются только два коэффициента упругости и которые можно назвать «изотропными кристаллами» в отношении упругих свойств. Примерами таких кристаллов являются кристалл W с 8 = 0.008 и кристалл TiV (71 ат. % V) с 8 = -0.05. В случае двухслойной пластины из таких «изотропных кристаллов» W-TiV (71 ат. % V) (а также пластины TiV (71 ат. % V-W)) эффективный модуль Юнга меняется с изменением относительной толщины слоев а от 121 ГПа (модуля Юнга кристалла TiV (71 ат. % V)) до 408 ГПа (модуля Юнга кристалла W) (рис. 10). Эффективный модуль Юнга двухслойной пластины W-Cr, образованной из «изотропного кристалла» и кристалла-неауксетика с 8 < 0, оказывается заключенным между 408 ГПа и Е2 (х), мо-

дулем Юнга повернутого на угол х слоя 2 из кристалла Cr.

4. Заключение

Дано описание особенностей таких характеристик двухслойных пластин из различно ориентированных кубических кристаллов, как эффективные модули Юнга и эффективные коэффициенты Пуассона. При этом использованы экспериментальные данные об упругих константах множества кубических кристаллов, собранные в известном справочнике [16]. Сильное различие зависимостей обоих типов эффективных коэффициентов двухслойных пластин от угла относительной ориентации и отношения толщин слоев установлено в случае заполнения обоих слоев одинаковыми кристаллами с положительными или отрицательными коэффициентами анизотропии 8 = (sn -s12 -OJs,^)/sn .

В частности, более полусотни кубических кристаллов с положительными коэффициентами анизотропии образовывали двухслойные пластины с эффективным модулем Юнга, который при некоторых значениях угла ориентации и толщин слоев превосходит оба модуля Юнга слоев, заполненных одинаковыми кристаллами. Тем самым эффективный модуль Юнга продольно растягиваемой двухслойной пластины превышает объемное среднее, так что прямое правило смесей (по Фойгту) не выполняется. Еще большее количество двухслойных пластин с такими особенностями упругого поведения обнаружено, когда слои заполнялись различными неаук-сетиками и ауксетиками с положительными, отрицательными и очень малыми коэффициентами анизотропии.

Анализ аномальных упругих свойств кристаллов и их слоистых композитов показывает, что отрицательный коэффициент Пуассона не является редкостью для известных реальных материалов вопреки бытовавшему до сих пор мнению. Большое разнообразие видов ауксе-тиков среди кристаллов и еще большее среди композитов позволяет рассчитывать на их широкое применение, расширение уже известных приложений материалов и метаматериалов (см. обзоры [3, 18, 19]).

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00325 и государственного задания АААА-А17-117021310373-3.

Статья посвящается памяти Роберта Вениаминовича Гольдштейна.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -248 с.

2. Lakes R.S. Foam structures with a negative Poisson's ratio // Science. - 1987. - V. 235. - No. 4792. - P. 1038-1040.

3. Kolken H.M.A., Zadpoor A.A. Auxetic mechanical metamaterials // RSC Adv. - 2017. - V. 7. - No. 9. - P. 5111-5129.

4. Гольдштейн Р.В., Лисовенко Д.С., Ченцов А.В., Лаврентьев С.Ю. Экспериментальное изучение влияния дефектов на ауксетическое поведение ячеистой конструкции с криволинейными элементами // Письма о материалах. - 2017. - Т. 7. - № 4. - С. 355-358.

5. Evans K.E., Nkansah M.A., Hutchinson I.J., Roger S.C. Molecular network design // Nature. - 1991. - V. 353. - No. 6340. - P. 124.

6. Ting T.C.T., Barnett D.M. Negative Poisson's ratios in anisotropic linear elastic media // J. Appl. Mech. - 2005. - V 72. - No. 6. -P. 929-931.

7. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Classification of cubic auxetics // Phys. Stat. Solid. B. - 2013. - V. 250. - No. 10. -P. 2938-2943.

8. Branka A.C., Heyes D.M., Wojciechowski K.W. Auxeticity of cubic materials // Phys. Stat. Solid. B. - 2009. - V. 246. - No. 9. - P. 20632071.

9. Lethbridge Z.A.D., Walton R.I., Marmier A.S.H., Smith C.W., Evans K.E. Elastic anisotropy and extreme Poisson's ratios in single crystals // Acta Mater. - 2010. - V 58. - No. 19. - P. 6444-6451.

10. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А. Отрицательный коэффициент Пуассона для кубических кристаллов и нано/микротрубок // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 6. -С. 13-31.

11. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Кручение цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из 7-константных

тетрагональных кристаллов. Эффект Пойнтинга // Физ. мезомех. -2015. - Т. 18. - № 6. - С. 5-11.

12. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Эффект Пойнтинга для цилиндрически-анизотропныж нано/микротрубок // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 1. - С. 5-14.

13. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А. Двухслойные трубки из кубических кристаллов // ДАН. - 2016. -Т. 471. - С. 414-420.

14. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S., Volkov M.A. Two-layered tubes from cubic crystals: Auxetic tubes // Phys. Stat. Solid. B. - 2017 - V. 254. - No. 12. - P. 1600815.

15. Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Longitudinal elastic tension of two-layered plates from isotropic auxetics-nonauxetis and cubic crystals // Eur. J. Mech. A. Solid. - 2017. - V. 63. - P. 122-127.

16. Second and Higher Order Elastic Constants. V. 29a // Landolt-Born-stein—Group III Condensed Matter / Ed. by D.F. Nelson. - Springer, 1992. - 743 p.

17. Scharer U., Jung A., Wachter P. Brillouin spectroscopy with surface acoustic waves on intermediate valent, doped SmS // Physica B. -1998. - V. 244. - P. 148-153.

18. Garneiro V.H., Meireles J., Puga H. Auxetic materials—A review // Mater. Sci. Pol. - 2013. - V 31. - No. 4. - P. 561-571.

19. Lim T.-C. Auxetic Materials and Structures. - Singapore: Springer, 2015. - 588 p.

Поступила в редакцию 15.12.2017 г.

Сведения об авторах

Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., проф., чл.-к. РАН

Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н., проф., внс ИПМех РАН, goгod@ipmnet.гu Лисовенко Дмитрий Сергеевич, к.ф.-м.н., зав. лаб. ИПМех РАН, доц. РАНХиГС, 1isovenk@ipmnet.гu Волков Михаил Андреевич, нс ИПМех РАН, vo1kovmikh1@gmai1.com