CC BY
146
УДК 539.32, 539.313
Отрицательный коэффициент Пуассона для кубических кристаллов и нано/микротрубок
Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, Д.С. Лисовенко, М.А. Волков
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
Систематизированы многочисленные кубические кристаллы, имеющие как положительные, так и отрицательные значения коэффициента Пуассона в зависимости от ориентации растягиваемых образцов (такие кристаллы именуют частичными ауксети-ками). Указано также несколько полных кубических ауксетиков, у которых коэффициент Пуассона всегда является отрицательным. Дана классификация частичных кубических ауксетиков с использованием двух безразмерных упругих параметров. Найдено критическое значение одного из параметров, при котором происходит качественное изменение ориентационного поведения кристаллов. Подробно обсуждается механическое поведение мезотрубок, получаемых сворачиванием пластин из кубических кристаллов (кристаллов с прямолинейной анизотропией). Такие мезотрубки с криволинейной кубической анизотропией могут иметь микронные и нанометровые поперечные размеры. Показано, что однородное растяжение нано/микротрубок из кубических кристаллов возможно только в частном случае нулевого угла хиральности (угла между кристаллографической осью и осью растягиваемой трубки). Продемонстрировано с помощью полуобратного метода Сен-Венана, что решение задачи о продольном растяжении цилиндрически анизотропной нано/микротрубки из кубического кристалла с ненулевым углом хиральности возможно при радиально неоднородных полях трех нормальных и одного сдвигового напряжений. В рассмотренных примерах цилиндрически анизотропные нано/мик-ротрубки из кубических кристаллов оказались ауксетиками даже в случаях соответствующих исходных кубических неауксетиков с прямолинейной анизотропией.
Ключевые слова: кубические кристаллы, прямолинейная анизотропия, цилиндрическая анизотропия, модуль Юнга, коэффициенты Пуассона, коэффициенты податливости, продольное растяжение, ауксетики
Negative Poisson's ratio for cubic crystals and nano- and microtubes
R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov, D.S. Lisovenko, and M.A. Volkov A.Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, RAS, Moscow, 119526, Russia
The paper systemizes numerous cubic crystals which can have both positive and negative Poisson's ratios (the so-called partial auxetics) depending on the specimen orientation in tension. Several complete cubic auxetics whose Poisson's ratio is always negative are indicated. The partial cubic auxetics are classified with the use of two dimensionless elastic parameters. For one of the parameters, a critical value is found at which the orientation behavior of the crystals changes qualitatively. The behavior of mesotubes obtained by rolling up plates of cubic crystals (crystals with rectilinear anisotropy) is considered in detail. Such mesotubes with curvilinear cubic anisotropy can have micron and nanometer lateral dimensions. It is shown that uniform tension of nano- and microtubes of cubic crystals is possible only in the particular case of zero chirality angle (the angle between the crystallographic axis and the axis of a stretched tube). It is demonstrated by the semi-inverse Saint-Venant method that solution of the longitudinal tension problem for cylindrically anisotropic nano- or microtubes of cubic crystals with a non-zero chirality angle is possible with radially inhomogeneous fields of three normal stresses and one shear stress. In the examples considered, the cylindrically anisotropic nano- and microtubes of cubic crystals are auxetics even if they are initially non-auxetics with rectilinear anisotropy.
Keywords: cubic crystals, rectilinear anisotropy, cylindrical anisotropy, Young's modulus, Poisson's ratio, compliance coefficients, longitudinal tension, auxetics
1. Растяжение кубических кристаллов с отрицательным коэффициентом Пуассона (кубических ауксетиков)
В то время как коэффициент Пуассона (под ним понимают взятое со знаком минус отношение поперечных
и продольных деформаций) для изотропных материалов в большинстве случаев является положительным, отрицательность такого коэффициента для анизотропных сред—явление частое. Особенно много ауксетиков (веществ с отрицательным коэффициентом Пуассона) среди кубических кристаллов [1-3].
© Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Волков М.А., 2013
Ниже анализируются особенности изменения коэффициентов Пуассона для кубических ауксетиков на основе большого числа упругих характеристик кристаллических материалов, приведенных в справочнике [4]. При одноосном растяжении «технические коэффициента» упругости кристаллов типа модуля Юнга и коэффициента Пуассона зависят от ориентации оси растяжения относительно кристаллографических осей. Эту ориентацию удобно описывать тремя углами Эйлера ф, 0, у. В случае кубических кристаллов упругость характеризуется тремя матричными коэффициентами податливости Фойгта s11, s12, s44 и (безразмерный) коэффициент Пуассона оказывается зависящим от трех углов Эйлера и только двух безразмерных комплексов П, 8:
1 = 1 -8 M (ф, 0),
V 82 (D
- = --[N(ф, 0, у) -П],
e 2
0 < M = sin2 (20) + sin4 0 sin2 (2ф) < 3,
П = -^12, 8 = —, A sn
0 < N = 3sin2 0 cos2 0 cos2 у + + (cos 0 ^(2ф) cos у - sin у )2 sin2 0 < 1.
При этом безразмерный модуль Юнга e = E/sn зависит от двух углов Эйлера и одного безразмерного комплекса 8 и остается положительным в силу положительности упругой энергии кристалла. Размерная комбинация коэффициентов податливости A = s11 -s12 --0.5 s44 известна как параметр анизотропии для кубических кристаллов.
Кристаллические ауксетики можно разделить на два типа: полные ауксетики, имеющие отрицательный коэффициент Пуассона при любой ориентации кристаллов, и частичные ауксетики, изменяющие знак коэффициента Пуассона при определенных ориентациях.
Таблица 1
Полные ауксетики
Кристалл 8 П V min V max
Ba 1 0.55 -0.176 -0.45 -0.05
2 1.05 0.737 -0.29 0.82
Sm0.7Y0.3S 1 -0.86 1.369 -0.59 -0.12
2 -0.99 0.987 -0.49 0.004
Sm0.75Y0.25S 1 -0.70 1.656 -0.58 -0.17
2 -0.60 2.251 -0.67 -0.30
3 -1.05 0.800 -0.42 0.07
Sm0.75La0.25S [5] -0.65 1.225 -0.40 -0.06
Sm0.65La0.35S [5] -0.05 12.785 -0.35 -0.32
Sm0.75Tm0.25S [5] -0.34 2.683 -0.46 -0.25
Среди кубических кристаллов, упругие характеристики которых приведены в [4-6], удалось выявить несколько полных ауксетиков, собранных в табл. 1. При этом из-за больших ошибок в экспериментальных результатах для коэффициентов упругости утверждение о полноте ауксетиков не всегда является достоверным. Так, согласно одним данным кристаллы Ba, $ш0 7У0 $ш0 75У0 должны быть полными ауксетиками, а согласно другим относятся к частичным ауксетикам (табл. 1).
Главной особенностью частичных ауксетиков является наличие поверхности ауксетичности, отделяющей угловую область с отрицательными значениями коэффициента Пуассона от области с положительными значениями. Из (1) ясно, что эта поверхность описывается уравнением
#(ф, 0, у) = П, 0 <П< 1. (2)
Следовательно, она характеризуется одним безразмерным комплексом П, составленным из трех коэффициентов упругости.
Из (1) также ясно, что для полных ауксетиков либо П< 0, 8 > 0, либо П > 1, 8 < 0 (здесь важна противоположность знаков двух безразмерных комплексов и величина комплекса П), а для неауксетиков П< 0, 8 < 0 или П > 1, 8 > 0. Это все отражено на диаграмме рис. 1, а. Требование положительной определенности упругой
и
№
Рис. 1. Классификационная схема для кубических ауксетиков (а) и классификационная схема с границами устойчивости кубических кристаллов (б)
П<
Полные ауксетики 1 Неауксетики
Частичные ауксетики
0 б
Неауксетики Полные ауксетики
/2 П8 = -2/ 2 = - е ..* П
---1 0 1/ 2 3 8
П8 = 1\
Таблица 2
Кубические кристаллы с 0 < П < 0.1
Кристалл S П v • mm v max
UTe -4.99 0.006 -0.01 0.71
GeTe-SnTe -3.16 0.007 -0.01 0.61
ReO3 -2.94 0.010 -0.01 0.59
SmB6 -1.68 0.020 -0.02 0.45
USe -7.04 0.023 -0.08 0.76
USb -4.50 0.024 -0.05 0.68
Sm0.85Tm0.15S [5] -1.06 0.056 -0.03 0.33
SnTe -3.06 0.058 -0.09 0.57
энергии накладывает следующие ограничения на коэффициенты упругой податливости:
> 0> .44 > 0> > > -0.5.%, которые переписываются через безразмерные комплексы в виде
s11 >0, П8>28-2, 1 >П8>-2, 8<2. (3)
Соответствующие границы устойчивости (3) нанесены на рис. 1, б. Зоны кристаллической неустойчивости на этом рисунке затенены.
Анализ показал, что среди кубических кристаллов частичных ауксетиков гораздо больше, чем полных аук-сетиков. Причем наиболее представительным оказывается подкласс с 8> 0 (табл. 6-9). Другой подкласс с 8< 0 включает одиннадцать кристаллов из табл. 2-5 и кристалл TmSe из табл. 6. Упорядоченное распределение частичных ауксетиков по таблицам выполнено в соответствии с величиной безразмерного комплекса П. Увеличение номера таблицы отвечает последовательному приросту П через 0.1 при полном единичном росте комплекса. Из таблиц видно, что наибольшее число
Таблица 3
Кубические кристаллы с 0.1 < П < 0.2
Кристалл S П v mm v max
Sm0.9La0.1S [5] -1.71 0.179 -0.15 0.38
Таблица 4
Кубические кристаллы с 0.2 < П < 0.3
Кристалл S П v mm v max
FeS2 -0.84 0.289 -0.12 0.21
Таблица 5
Кубические кристаллы с 0.5 < П < 0.6
Кристалл S П v mm v max
Тт09^е -1.79 0.520 -0.47 0.23
частичных ауксетиков приходится на зоны 0.7 < <П <0.8 (табл. 7) и 0.8<П<0.9 (табл. 8). В то же время мало частичных ауксетиков приходится на зоны с малыми значениями комплекса П (при 0 < П < 0.6).
К приведенному распределению ауксетиков в таблицах хорошо привязывается изменение формы ауксети-ческих поверхностей при изменении величины комплекса П, отраженное на рис. 2, где представлены поверхности нулевого уровня v(ф, 6, ^) = 0 в пространстве трех углов Эйлера при различных значениях комплекса П, изменяющегося через 0.1. Изображения ограничиваются угловыми ячейками, соответствующими периодам Тф = я/2, Т6 = 2п, =п функции 6, Совокупность фигур на рис. 2 дает достаточно полное представление о возможных формах ауксетических поверхностей для умеренных ауксетиков.
Таблица 6
Кубические кристаллы с 0.6 < П < 0.7
Кристалл S П v mm v max
ТтБе -1.75 0.620 -0.54 0.18
Мп85.3№8.8С5.9 1.34 0.664 -0.72 1.34
1пТ1 (27 ат. % Т1, 125 К) [6] 1.50 0.666 -7.41 7.83
СиМп (72 ат. % Мп) 1.29 0.670 -0.61 1.21
1пТ1 (27 ат. % Т1, 200 К) [6] 1.48 0.673 -2.09 3.01
Мп84.7№9.2С6.1 1.27 0.678 -0.57 1.18
FePd (28 ат. % Pd) 1.44 0.684 -1.04 1.87
1пТ1 (25 ат. % Т1) 1.45 0.684 -1.20 2.13
Yb 1.04 0.687 -0.34 0.75
1пТ1 (28.13 ат. % Т1) 1.44 0.687 -1.08 2.00
СиА1№ (Си - 14.5 вес. % А1 -3.15 вес. % №) 1.34 0.690 -0.66 1.41
А1№ (60 ат. % №) 1.38 0.690 -0.74 1.53
№СГ204 1.43 0.690 -0.95 1.83
1пТ1 (27 ат. % Т1, 290 К) [6] 1.43 0.691 -0.97 1.89
Си67.7^П19.4А112.9 1.38 0.692 -0.73 1.53
1пТ1 (27 ат. % Т1) 1.44 0.692 -1.02 1.98
CuAlZn (Си - 17 ат. % А1 -14.3 ат. % Zn) 1.34 0.693 -0.65 1.42
1пТ1 (30.16 ат. % Т1) 1.43 0.693 -0.94 1.85
PuGa (1 вес. % Ga) 1.22 0.694 -0.48 1.09
Си66.5^П20.8А112.7 1.33 0.695 -0.65 1.43
Cs 1.09 0.695 -0.36 0.83
СиЛи2п2 1.41 0.696 -0.81 1.68
Си25№252п50 1.35 0.699 -0.66 1.46
Таблица 7
Кубические кристаллы с 0.7 < П < 0.8
Кристалл 8 П V • шт V шах Кристалл 8 П V • шт V шах
А1№ (63.2 ат. % №) 1.29 0.701 -0.55 1.28 AgZn (51 ат. % Zn) 1.28 0.723 -0.50 1.29
1.49 0.668 -2.48 3.12 AgZn (49 ат. % Zn) 1.28 0.724 -0.49 1.29
Си30№202п50 1.33 0.703 -0.61 1.41 FeAl (23.6 ат. % А1) 1.18 0.725 -0.39 1.04
СиА1№ (Си - 14 вес. % А1 -4.1 вес. % №) 1.32 0.704 -0.58 1.37 Си45№^п50 1.26 0.725 -0.47 1.23
FeNi (32.1 ат. % №) 1.06 0.726 -0.31 0.82
С^п (43 ат. % 2п) 1.33 0.704 -0.59 1.38
FeNi (33.3 ат. % №) 1.08 0.726 -0.32 0.85
Ли30Си232п47 1.37 0.704 -0.67 1.52 FeNi (30.4 ат. % №) 1.03 0.728 -0.29 0.77
С^п (46 ат. % 2п) 1.32 0.705 -0.58 1.37 FeNi (34.2 ат. % №) 1.10 0.729 -0.33 0.89
С^п (47.8 ат. % 2п) 1.32 0.705 -0.57 1.37 С^п (48.8 ат. % Zn) 1.30 0.729 -0.50 1.34
P1-AgCd (47.9 ат. % Cd) 1.34 0.707 -0.61 1.45 AuZn (47 ат. % Zn) 1.31 0.729 -0.52 1.38
Ли23Си302п47 1.36 0.707 -0.65 1.51 FeNi (32.7 ат. % №) 1.08 0.731 -0.31 0.86
1пТ1 (35.15 ат. % Т1) 1.39 0.707 -0.71 1.63 FeAl (22.4 ат. % А1) 1.14 0.732 -0.36 0.98
Li 1.29 0.708 -0.54 1.29 С^п (47.5 ат. % Zn) 1.24 0.733 -0.43 1.19
FeNi (31 ат. % №) 1.18 0.708 -0.42 1.01 Na 1.24 0.733 -0.44 1.20
Си35№152п50 1.32 0.710 -0.56 1.37 С^п (50 ат. % Zn) 1.14 0.734 -0.35 0.96
С^п (44.3 ат. % 2п) 1.31 0.710 -0.55 1.35 FeAl (34 ат. % А1) 1.08 0.734 -0.31 0.87
LiMg (3.01 ат. % Mg) 1.29 0.711 -0.52 1.30 FeNi (29 ат. % №) 1.02 0.736 -0.29 0.77
LiMg (1.09 ат. % Mg) 1.29 0.711 -0.52 1.29 Ли50Мп222п28 1.25 0.737 -0.44 1.24
Си532п47 1.21 0.712 -0.53 1.30 AlNi (55 ат. % №) 1.20 0.738 -0.39 1.10
P1-AgCd (46.7 ат. % Cd) 1.30 0.712 -0.54 1.33 AgZn (50 ат. % Zn) 1.25 0.738 -0.43 1.22
FeAl (25 ат. % А1) 1.21 0.713 -0.44 1.10 Си2МпЛ1 1.13 0.739 -0.36 0.92
LiMg (4.28 ат. % Mg) 1.29 0.713 -0.53 1.31 К 1.24 0.740 -0.42 1.21
FeAl (27 ат. % А1) 1.20 0.713 -0.43 1.08 1.27 0.731 -0.46 1.26
AgZn (42 ат. % 2п) 1.32 0.713 -0.56 1.39 FePt (28 ат. % Pt) 1.14 0.741 -0.34 0.98
LiMg (2.26 ат. % Mg) 1.29 0.713 -0.52 1.29 Rb 1.22 0.742 -0.40 1.15
LiD 0.51 0.714 -0.10 0.25 FeAl (19.8 ат. % А1) 1.10 0.744 -0.32 0.92
FeAl (28.1 ат. % А1) 1.19 0.714 -0.42 1.04 Си502п50 1.21 0.744 -0.39 1.13
CuZn (48.2 ат. % Zn) 1.29 0.714 -0.52 1.31 FeNi (36.5 ат. % №) 1.12 0.745 -0.32 0.94
AuCuZn (Аи - 33 вес. % Си -47 вес. % Zn) 1.32 0.715 -0.55 1.39 AuZn (50 ат. % Zn) 1.26 0.748 -0.43 1.28
FeCrNi (70 ат. % Fe, 18 ат. % Сг, 12 ат. % Ni) 1.01 0.749 -0.26 0.77
AgZn (45 ат. % Zn) 1.31 0.715 -0.55 1.37
FePd (34 ат. % Pd) 1.31 0.716 -0.54 1.37 AgZn (46.5 ат. % Zn) 1.21 0.749 -0.38 1.14
Си2п (48.3 ат. % Zn) 1.28 0.716 -0.50 1.27 FeNi (38.8 ат. % Ni) 1.12 0.751 -0.32 0.96
AgZn (47 ат. % Zn) 1.31 0.716 -0.53 1.35 ^е (10 ат. % Fe) 1.14 0.752 -0.33 0.99
Ли20Си332п47 1.33 0.716 -0.65 1.51 СцМп (40 ат. % Мп) 1.08 0.752 -0.29 0.88
Си40№102п50 1.29 0.717 -0.51 1.29 AgZn (48.5 ат. % Zn) 1.18 0.753 -0.36 1.09
Ли15Си382п47 1.30 0.717 -0.53 1.34 FeNi (27.2 ат. % Ni) 0.99 0.755 -0.24 0.74
AgZn (53 ат. % Zn) 1.29 0.719 -0.51 1.31 FeAl (40.1 ат. % А1) 1.02 0.756 -0.25 0.78
MnFe (61.5 ат. % Fe) 1.02 0.720 -0.29 0.75 FeAl (17.8 ат. % А1) 1.06 0.757 -0.28 0.86
Си2п (48.1 ат. % Zn) 1.28 0.720 -0.49 1.27 Са 1.06 0.760 -0.27 0.86
Си2п (45 ат. % Zn) 1.32 0.720 -0.54 1.39 0.99 0.803 -0.19 0.78
LiH 0.52 0.721 -0.10 0.25 FeNi (41.3 ат. % №) 1.11 0.763 -0.30 0.95
CuSn (15 ат. % Sn) 1.30 0.721 -0.52 1.34 РЬТ1 (61.41 ат. % Т1) 1.26 0.763 -0.41 1.31
1пТ1 (39.06 ат. % Т1) 1.36 0.722 -0.61 1.54 №3Л1 0.90 0.765 -0.19 0.69
Таблица 7 (продолжение)
Кристалл 8 П V • mm V max
0.97 0.804 -0.18 0.76
Ni3AI 0.98 0.814 -0.18 0.78
0.98 0.815 -0.18 0.78
0.98 0.821 -0.17 0.78
Sr 1.05 0.766 -0.26 0.85
1.10 0.748 -0.31 0.92
PbTl (71.68 ат. % Tl) 1.22 0.771 -0.36 1.21
PbTl (52.66 ат. % Tl) 1.25 0.771 -0.38 1.27
FeCrNi (62.4 ат. % Fe, 19.5 ат. % Cr, 18 ат. % Ni) 0.98 0.779 -0.21 0.74
FeNiCrMo (14.5 ат. % Ni, 14.5 ат. % Cr, 2.5 ат. % Mo) 1.02 0.779 -0.23 0.81
FeAl (14.5 ат. % Al) 1.01 0.779 -0.22 0.79
Th 1.01 0.780 -0.22 0.79
1.00 0.799 -0.20 0.79
FeNi (44 ат. % Ni) 1.09 0.780 -0.26 0.93
FeCrNi (71 ат. % Fe, 19 ат. % Cr, 10 ат. % Ni) 1.09 0.781 -0.23 0.83
BaTiO3 1.04 0.782 -0.24 0.85
0.87 0.882 -0.09 0.68
CoAlNi (14.48 ат. % Al, 6.55 ат. %Ni) 1.06 0.785 -0.24 0.89
CoAl (13.7 ат. % Al) 1.07 0.785 -0.25 0.91
InTl (76.5 ат. % Tl) 1.22 0.785 -0.33 1.22
CoAlNi (13.3 ат. % Al, 2.92 ат. % Ni) 1.07 0.786 -0.25 0.90
CoAlNi (13.33 ат. % Al, 4.59 ат. % Ni) 1.06 0.787 -0.24 0.90
CoAlNi (12.5 ат. % Al, 4.66 ат. % Ni) 1.05 0.789 -0.24 0.88
PbTl (40.5 ат. % Tl) 1.20 0.789 -0.31 1.17
CoAlNi (12.68 ат. % Al, 6.57 ат. % Ni) 1.05 0.790 -0.23 0.87
CoAl (12.59 ат. % Al) 1.06 0.790 -0.24 0.89
CuAl (14 ат. % Al) 1.09 0.791 -0.25 0.94
1.03 0.791 -0.22 0.84
AlNi (50 ат. % Ni) 0.95 0.824 -0.16 0.74
0.96 0.826 -0.16 0.76
FeCrNi (67.3 ат. % Fe, 19.3 ат. % Cr, 13.3 ат. % Ni) 0.97 0.792 -0.20 0.81
FeCrNi (70.5 ат. % Fe, 17.5 ат. % Cr, 12 ат. % Ni) 1.01 0.792 -0.21 0.81
PbTl (31.77 ат. % Tl) 1.17 0.793 -0.29 1.13
Ni0.73Zn0.37Cr2°4 1.18 0.794 -0.30 1.14
Ce 0.89 0.794 -0.17 0.64
CoAlNi (10.58 ат. % Al, 6.57 ат. % Ni) 1.03 0.797 -0.22 0.85
CoAlNi (10.39 ат. % Al, 4.72 ат. % Ni) 1.03 0.798 -0.22 0.86
CoAl (10.49 ат. % Al) 1.04 0.799 -0.22 0.87
Из рис. 2 можно видеть, как ауксетические поверхности, имеющие при малых значениях комплекса П вид пары «открытых» поверхностей, т.е. продолжающихся непрерывно через соседние периодические ячейки за пределами (0, Тф ), (0, Te ), (0, T^ ), переходят в совокупность «замкнутых» поверхностей в пределе П —> 1. Замкнутость последних и открытость первых очевидны при выходе за пределы минимальной ячейки (рис. 3). Найдено, что такое топологическое изменение ауксетических поверхностей происходит при критическом значении безразмерного комплекса Пс = 0.745. Вид ауксетической поверхности при значении комплекса П = 0.75, близком к критическому, приведен на рис. 4. Знак другого безразмерного параметра 8 определяет, по какую сторону от ауксетической поверхности находится область с отрицательным коэффициентом Пуассона. При 8> 0 эта область находится внутри, а в противоположном случае — снаружи от ауксетической поверхности.
В таблицах указаны минимальные и максимальные значения коэффициентов Пуассона для всех кубических ауксетиков. Экстремальные значения можно определить анализом поверхностей уровня v(ç, e, у) = c при различных значениях постоянной с. Примеры таких поверхностей при с = 0, -2, -4, -6 даны для кристалла InTl (27 ат. % Tl, 125 K) на рис. 5. Экстремальные значения коэффициента Пуассона для этого кристалла 7.83, -7.41 привлекают особое внимание (табл. 6). Представляет интерес сравнение найденных здесь результатов для Vmin, Vmax с теми, которые получены для частного случая растяжения в направлении [110] и были указаны в [7]. В большинстве случаев различия не превышают 3 %, за исключением перечисленных в табл. 10. Наибольшие различия имеют место для InTl и Fe.
2. От кубических кристаллов с прямолинейной анизотропией к нано/микротрубкам с криволинейной анизотропией
Сворачивание тонкой кристаллической пластины в цилиндрическую трубку, являясь умозрительной процедурой, оказывается также реалистичным эффективным методом производства нано/микротрубок из разнообразных материалов [8-12], вызывающих большой интерес в современной науке и технике. Прямолинейно анизотропной пластине при сворачивании будет соответствовать аналогичная криволинейная анизотропная трубка. Это позволяет описывать механические свойства тонкостенных трубок вплоть до микронных и нано-метровых толщин в рамках классической теории упругости при толщинах стенок, существенно превосходящих атомные размеры и межатомные расстояния. Приемлемая точность описания методом сплошной среды достигается уже при десятикратном превышении.
При анализе упругих свойств таких тонкостенных мезотрубок из кубических кристаллов будем применять
Таблица 8
Кубические кристаллы с 0.8 < П < 0.9
Кубический кристалл 8 П V • шт V шах Кубический кристалл 8 П V • шт V шах
Ре№ (48.8 ат. % №) 0.97 0.803 -0.18 0.75 Си2п (17.4 ат. % 2п) 1.02 0.826 -0.18 0.87
FeSi (24.85 ат. % Si) 0.97 0.803 -0.18 0.75 FeSi (8.59 ат. % 'о Si) 0.93 0.827 -0.15 0.71
СиА1 (13.25 ат. % А1) 1.07 0.803 -0.23 0.92 К15о.бМ 0.98 0.828 -0.16 0.79
AgMg 1.00 0.803 -0.20 0.80 NiCo (32 ат. % Со) 0.95 0.828 -0.16 0.75
1.00 0.800 -0.20 0.79 CuSi (5.16 ат. % Si) 1.03 0.829 -0.18 0.87
1.00 0.803 -0.20 0.80 РЬ1п (5.5 ат. % 1п) 1.12 0.829 -0.22 1.05
С10Н16 0.88 0.906 -0.07 0.71 РЬТ1 (5.01 ат. 0, 'о Т1) 1.10 0.831 -0.21 1.02
0.77 0.981 -0.01 0.61 СиА1 (7.5 ат. % А1) 1.02 0.832 -0.17 0.86
CoFe (14 ат. % Fe) 1.03 0.805 -0.21 0.85 СиА1 (7.05 ат. % А1) 1.02 0.833 -0.17 0.86
СиА1 (12.55 ат. % А1) 1.06 0.805 -0.22 0.92 СиА1 (7.4 ат. % А1) 1.02 0.834 -0.17 0.86
FeSi (11.68 ат. % Si) 0.96 0.810 -0.17 0.75 СиА1 (6.5 ат. % А1) 1.01 0.834 -0.17 0.86
CoFe (12 ат. % Fe) 1.02 0.810 -0.20 0.84 Си2п (14.3 ат. % 2п) 1.02 0.834 -0.17 0.86
СиА1 (11.77 ат. % А1) 1.05 0.810 -0.21 0.90 Со 0.95 0.835 -0.15 0.76
Си2п (22.7 ат. % 2п) 1.05 0.810 -0.21 0.90 СиА1 (6.9 ат. % А1) 1.01 0.835 -0.17 0.85
FeNi (50.2 ат. % №) 1.02 0.811 -0.20 0.85 РЬТ1 (1.77 ат. 0, Т1) 1.10 0.835 -0.20 1.03
1пТ1 (81.5 ат. % Т1) 1.17 0.811 -0.26 1.13 РЬТ1 (6.1 ат. % Т1) 1.10 0.836 -0.20 1.03
FeAl (9.6 ат. % А1) 0.94 0.811 -0.17 0.72 РЬ 1.10 0.837 -0.20 1.02
FeSi (11 ат. % Si) 0.96 0.811 -0.18 0.76 РЬТ1 (3.5 ат. % Т1) 1.10 0.837 -0.20 1.02
Си2п (19 ат. % 2п) 1.07 0.812 -0.21 0.93 РЬТ1 (1.06 ат. 0, 'о Т1) 1.10 0.838 -0.20 1.03
FeSi (12.91 ат. % Si) 0.95 0.813 -0.17 0.74 FeSi (6.29 ат. % ■а Si) 0.92 0.839 -0.14 0.71
FeSi (8.89 ат. % Si) 0.96 0.814 -0.17 0.76 РЬТ1 (2.35 ат. ? Т1) 1.10 0.839 -0.20 1.02
FeSi (10.1 ат. % Si) 0.98 0.815 -0.18 0.78 FeSi (7 ат. % Si) 0.91 0.840 -0.13 0.71
СиА1 (10.8 ат. % А1) 1.05 0.815 -0.20 0.89 СиА1 (5 ат. % А1) 1.00 0.840 -0.16 0.85
SiC 0.70 0.816 -0.10 0.44 NiCo (62 ат. % Со) 0.93 0.841 -0.14 0.73
0.67 0.814 -0.09 0.41 РеА1204 0.97 0.841 -0.15 0.79
CoFe (8 ат. % Fe) 1.00 0.817 -0.18 0.81 СиА1 (4.85 ат. % А1) 1.00 0.841 -0.16 0.85
1.07 0.777 -0.26 0.89 СиМп (5.8 ат. % Мп) 1.00 0.842 -0.16 0.84
СиА1 (9.86 ат. % А1) 1.04 0.817 -0.20 0.89 NiFeSi (2.7 ат. % FeSi) 0.88 0.843 -0.12 0.66
Си2п (29 ат. % 2п) 1.05 0.817 -0.20 0.90 СиА1 (4.34 ат. % А1) 1.00 0.843 -0.16 0.84
LiIn 1.05 0.817 -0.20 0.90 СиА1 (4.0 ат. % А1) 1.00 0.843 -0.16 0.84
РЬТ1 (17.6 ат. % Т1) 1.14 0.817 -0.24 1.07 CuGe (1.71 ат. % Ge) 1.00 0.843 -0.16 0.84
FeCrNi (76 ат. % Fe, 1.00 0.818 -0.18 0.83 СиМп (5 ат. % Мп) 1.00 0.843 -0.16 0.84
12 ат. % Сг, 12 ат. % №) CuSi (4.17 ат. % Si) 1.01 0.843 -0.16 0.86
СиА1 (10.3 ат. % А1) 1.04 0.818 -0.20 0.89 СиБп (3.30 ат. % Sn) 1.01 0.843 -0.16 0.86
СиА1 (10.22 ат. % А1) 1.04 0.818 -0.20 0.89 СиА1 (4.81 ат. % А1) 1.00 0.844 -0.16 0.85
FeNi (58.8 ат. % №) 0.95 0.819 -0.16 0.74 FeCoCrMo (25 ат. % Со, 1.02 0.845 -0.06 0.32
СиА1 (9 ат. % А1) 1.04 0.819 -0.20 0.89 30 ат. % Сг, 3.4 ат. % Мо)
СиА1 (9.85 ат. % А1) 1.04 0.819 -0.20 0.89 Си2п (4.59 ат. % 2п) 1.00 0.845 -0.15 0.84
CoFe (6 ат. % Fe) 0.99 0.820 -0.17 0.80 Си2п (9.1 ат. % 'о 2п) 0.99 0.845 -0.15 0.83
0.98 0.812 -0.18 0.78 №8[А1^Ю24](ОИ)2 • пН20 0.96 0.845 -0.14 0.78
СиА1 (9.98 ат. % А1) 1.03 0.820 -0.19 0.88 FeSi (4.42 ат. % 'о Si) 0.89 0.846 -0.12 0.68
РЬТ1 (20.5 ат. % Т1) 1.14 0.820 -0.24 1.09 CuGa (5.9 ат. % 'о Ga) 1.00 0.846 -0.15 0.84
CuSi (7.69 ат. % Si) 1.05 0.822 -0.20 0.91 FeSi (25.1 ат. % ■а Si) 0.86 0.847 -0.12 0.64
FePd (37 ат. % Pd) 1.07 0.824 -0.20 0.94 СиА1 (3.1 ат. % А1) 0.99 0.847 -0.15 0.83
РЬТ1 (14.9 ат. % Т1) 1.12 0.824 -0.23 1.05 СиМп (3.5 ат. % Мп) 0.99 0.847 -0.15 0.83
СиА1 (8.4 ат. % А1) 1.03 0.826 -0.18 0.87 CuGa (4.15 ат. % Ga) 1.00 0.847 -0.15 0.84
Таблица 8 (npoдoлжeнue)
Кубический кристалл S П v min v max Кубический кристалл S П v min v max
FeSi (б.3 ат. % Si) G.89 G.848 -G.12 G.68 FeAl (4 ат. % Al) G.87 G.863 -G.11 G.66
FeSi (5.8б ат. % Si) G.89 G.848 -G.12 G.69 NiCo (38.45 ат. % Co) G.89 G.864 -G.11 G.69
CuAl (3.4 ат. % Al) G.99 G.848 -G.15 G.83 CuAu (G.23 ат. % Au) G.97 G.864 -G.13 G.82
CuSn (1.84 ат. % Sn) G.849 -G.15 G.84 CuNi (77.2 ат. % Ni) G.92 G.866 -G.11 G.74
CuZn (5 G ат. % Zn) G.99 G.85G -G.15 G.83 ^О^О^М^О0! G.87 G.869 G.67
CuAl (2.21 ат. % Al) G.99 G.85G -G.15 G.83 AgAl (5.2 ат. % Al) 1.GG G.869 -G.13 G.87
Т^СО.О63 G.92 G.85G -G.13 G.72 FeNi (73 ат. % Ni) G.88 G.87G G.69
CuNi (бЛ4 ат. % Ni) G.97 G.851 -G.14 G.81 CrNi (8G.4 ат. % Ni) G.88 G.871 G.68
CuZn (4.1 ат. % Zn) G.98 G.851 -G.14 G.82 Ni3Fe (73.8 ат. % Ni) G.89 G.871 G.69
CuGe (1^3 ат. % Ge) G.99 G.851 -G.15 G.83 CuNi (82.2 ат. % Ni) G.9G G.871 -G.11 G.72
CuGa (3.27 ат. % Ga) G.99 G.851 -G.15 G.83 AgIn (8.3б ат. % In) G.99 G.871 -G.13 G.86
CuMn (2.б ат. % Mn) G.98 G.852 -G.14 G.83 AgIn (7.9 ат. % In) G.98 G.872 -G.12 G.84
CuAl (2.14 ат. % Al) G.98 G.853 -G.14 G.83 FeNi (79.2 ат. % Ni) G.88 G.873 G.68
CuAl (G.75 ат. % Al) G.98 G.854 -G.14 G.82 NiCo (2б.35 ат. % Co) G.87 G.876 G.67
CuAl (1.95 ат. % Al) G.98 G.854 -G.14 G.83 AgIn (4 ат. % In) G.97 G.876 -G.12 G.83
CuMn (1.25 ат. % Mn) G.98 G.854 -G.14 G.82 AgSn (3.17 ат. % Sn) G.98 G.88G -G.12 G.85
CuGa (1.35 ат. % Ga) G.98 G.854 -G.14 G.83 NiAl (7.9 ат. % Al) G.88 G.881 -G.G9 G.69
CuGa (2.15 ат. % Ga) G.99 G.854 -G.14 G.83 CuNi (9 ат. % Ni) G.94 G.882 G.77
CuGa (1.58 ат. % Ga) G.98 G.854 -G.14 G.82 AgSn (5.9 ат. % Sn) G.99 G.883 -G.11 G.87
CuSn (G.86 ат. % Sn) G.99 G.854 -G.14 G.83 Ba(NO3)2 G.93 G.883 G.77
NiAl (12.5 ат. % Al) G.93 G.855 -G.13 G.74 AgMg (7.33 ат. % Mg) G.97 G.885 -G.11 G.83
CuNi (31.1 ат. % Ni) G.96 G.855 -G.13 G.79 AgZn (3.53 ат. % Zn) G.97 G.885 -G.11 G.84
CuNi (9.73 ат. % Ni) G.97 G.855 -G.14 G.81 AgAl (3.9 ат. % AI) G.98 G.885 -G.11 G.85
CuNi (3G ат. % Ni) G.98 G.855 -G.14 G.82 AgSn (4 ат. % Sn) G.98 G.885 -G.11 G.85
CuAl (1 ат. % Al) G.98 G.855 -G.14 G.82 AgSn (7.8 ат. % Sn) 1.G1 G.885 -G.12 G.89
CuZn (1.93 ат. % Zn) G.98 G.855 -G.14 G.82 Ag6Sn4P12Ge6 G.77 G.887 -G.G7 G.56
CuAu (Ю ат. % Au) G.855 -G.15 G.86 AgIn (б ат. % In) G.97 G.888 -G.11 G.84
G.859 -G.14 G.85 PdAg (Ю ат. % Ag) G.98 G.889 -G.11 G.85
CuNi (4.49 ат. % Ni) G.98 G.856 -G.14 G.82 AgIn (1.2 ат. % In) G.96 G.889 G.82
CuAl (G.2 ат. % Al) G.98 G.856 -G.14 G.82 AgMg (3^7 ат. % Mg) G.96 G.889 G.83
CuNi (53.8 ат. % Ni) G.95 G.857 -G.13 G.77 AgZn (2.4 ат. % Zn) G.97 G.889 G.84
CuNi (6G ат. % Ni) G.98 G.857 -G.14 G.82 MgAl2O4 G.79 G.89G -G.G7 G.59
CuGa (G.36 ат. % Ga) G.98 G.857 -G.14 G.82 CuNi (92.7 ат. % Ni) G.87 G.89G -G.G8 G.68
CuAu (2.8 ат. % Au) G.99 G.857 -G.14 G.83 AgAu (б ат. % Au) G.94 G.891 G.79
CuAu (5 ат. % Au) G.99 G.857 -G.14 G.83 AgAl (1.б ат. % Al) G.97 G.891 G.85
CuNi (2.34 ат. % Ni) G.98 G.858 -G.14 G.82 AgSn (G.9 ат. % Sn) G.96 G.892 G.83
CuZn (G.87 ат. % Zn) G.98 G.858 -G.14 G.82 AgCd (1.34 ат. % Cd) G.96 G.895 G.82
CuAu (7.5 ат. % Au) G.99 G.858 -G.14 G.85 AgIn (2 ат. % In) G.98 G.895 G.85
NiCo (43.5 ат. % Co) G.89 G.859 -G.11 G.7G CuAu (25 ат. % Au) G.96 G.896 G.83
CuAl ат. % Al) G.97 G.86G -G.13 G.82 AgCd (1.92 ат. % Cd) G.96 G.896 G.82
Cu G.98 G.86G -G.13 G.82 NiAl (4.1 ат. % Al) G.85 G.897 -G.G8 G.66
CuAu (2 ат. % Au) G.98 G.86G -G.13 G.83 AgAu (2 ат. % Au) G.96 G.897 -G.G9 G.82
CuNi (б5.5 ат. % Ni) G.94 G.861 -G.12 G.76 AgPd (б.22 ат. % Pd) G.95 G.898 -G.G9 G.82
CuNi (23 ат. % Ni) G.97 G.861 -G.13 G.82 AgAu (4 ат. % Au) G.95 G.899 -G.G9 G.81
K2PbCu(NO2)6 1.G7 G.861 -G.16 G.99 Ag G.95 G.899 -G.G9 G.81
Таблица 9
Кубические кристаллы с 0.9 < П < 1.0
Кристалл 8 П V • Ш1П V шах Кристалл 8 П V • Ш1П V шах
№Со (10.11 ат. % Со) 0.84 0.900 -0.07 0.65 Р^ 0.91 0.948 -0.04 0.80
FeNi (89.5 ат. % №) 0.84 0.900 -0.07 0.65 Pd 0.92 0.949 -0.04 0.81
AgSn (2 ат. % Sn) 0.98 0.900 -0.10 0.86 LiF 0.61 0.950 -0.02 0.41
ZnFe2O4 0.82 0.904 -0.07 0.63 Си1 0.85 0.954 -0.03 0.70
Ni 0.85 0.904 -0.07 0.66 Mg0 • 3.5А1203 0.73 0.957 -0.02 0.55
CeAg 0.95 0.905 -0.09 0.82 0.72 0.941 -0.03 0.53
а-Т1 (FCC) 1.00 0.906 -0.09 0.91 0.72 0.952 -0.03 0.53
в-Т1 (ВСС) 1.02 0.915 -0.09 0.94 HgTe 0.85 0.957 -0.03 0.71
Fe 0.81 0.911 -0.13 0.82 ZnS 0.81 0.959 -0.03 0.66
AlNi (47.5 ат. % Ni) 0.81 0.914 -0.06 0.62 ZnSe 0.78 0.960 -0.03 0.62
CeSn3 0.74 0.923 -0.05 0.54 FeCr (19.43 ат. % Сг) 0.72 0.962 -0.02 0.54
AgAu (25 ат. % Аи) 0.94 0.920 -0.07 0.81 AuNi (9.72 ат. % №) 0.95 0.962 -0.03 0.87
СиС1 0.96 0.924 -0.07 0.86 AuNi (2.95 ат. % №) 0.95 0.966 -0.03 0.87
AgAu (50 ат. % Аи) 0.93 0.928 -0.06 0.81 Au 0.95 0.969 -0.03 0.88
PdAg (2 ат. % Ag) 0.93 0.933 -0.06 0.82 Си^ 0.90 0.969 -0.03 0.79
^2.05Т10.9504 0.95 0.934 -0.06 0.85 1.02 0.870 -0.14 0.91
РЬ(Ш3)2 0.91 0.935 -0.05 0.78 AuNi (24.2 ат. % №) 0.91 0.976 -0.02 0.82
HgSe 0.91 0.935 -0.05 0.77 Си3Аи 0.86 0.983 -0.01 0.74
Ge0.72Si0.28 0.73 0.936 -0.04 0.54 0.96 0.895 -0.10 0.83
PdRh (1 ат. % ИЬ) 0.93 0.936 -0.06 0.82 0.91 0.930 -0.06 0.77
FeCrCo (35 ат. % Сг, 15 ат. % Со) 0.77 0.937 -0.04 0.58 0.88 0.962 -0.03 0.75
CuAu (80 ат. % Au) 0.92 0.983 -0.01 0.82
Mg0 • 2.61А1203 0.72 0.940 -0.03 0.53 CdTe 0.83 0.986 -0.01 0.70
AuNi (42.42 ат. % №) 0.93 0.940 -0.05 0.82 LаAg 0.84 0.994 -0.004 0.72
PdRh (5 ат. % ИЬ) 0.92 0.942 -0.05 0.80 PdRh (20 ат. % ИЬ) 0.82 0.999 -0.001 0.70
AgAu (75 ат. % Au) 0.94 0.942 -0.05 0.84 Sr(N03)2 0.82 0.999 -0.001 0.69
модель полого цилиндрического стержня теории упругости. Причем для решения задачи о продольном растяжении криволинейно анизотропного стержня используем полуобратный метод Сен-Венана.
Будем предполагать, что кристаллическая структура сворачиваемой тонкой прямоугольной пластины такова, что нормаль к наибольшей плоскости прямоугольной пластины совпадает с кристаллографической осью 3 кубического кристалла, а нормали к двум другим плоскостям отличаются от кристаллографических осей 1, 2 поворотом вокруг этой оси на угол а (рис. 6). Между исходным повернутым базисом прямоугольной пластины е1, е2, е3 и локальным ортогональным базисом свернутой цилиндрически анизотропной трубки е г, е ф, е2 имеет место соответствие е{ ^е2, е2 ^-еф, е3 ^ ^ ег (рис. 6). Угол а между осями 1, 1' (и 2, 2') и, соответственно, между кристаллографическими осями и осью нано/микротрубки именуют часто углом хираль-
ности (спиральности). Обсуждаемое соответствие определяет вид закона Гука для цилиндрически анизотропных нано/микротрубок.
При тензорной записи закона Гука в линейной теории упругости
иу = .¡, к, 1:1,2,3)
тензорные коэффициенты податливости при повороте системы координат с базисом е1 к системе координат с базисом е' = /гаеа преобразуются по формуле
Бук1 = Ьа^^кц ^ БаРцл> • При соответствующей матричной форме записи закона Гука Ei = Бу Gj через матричные коэффициенты податливости Фойгта б у у: 1,2,3, 4,5,6) последние
преобразуются по закону / _
Бу = qiа 9ув
с матрицей коэффициентов преобразования Цу, выражающихся через Ц следующим образом [13]:
12 '11 12 '12 ' 2 '13 '12 '13 '13'н
12 '21 ' 2 '22 ' 2 '23 '23'22 '23'21 hi'21
' 2 '31 ' 2 '32 ' 2 '33 '33 '31 132131
2131^1 2132122 2133123 '33'22 + '32'23 '33'21 + '31'23 131122 + 132121
2131'11 2132112 2'33'13 '33^2 + '32'13 133111 + 131113 '31 '12 +132111
^121111 2113123 113122 +112123 '13 '21 + 111123 111122 + '12 '21
В частном случае поворота кристалла вокруг главной оси (оси 3) на угол а матрица поворота ||/.|| и матрица преобразования щЛ имеют вид
N
9
cos a sin а 0: - sin a cos а 0
0
0
1
2 cos a 2 sin a 0
2 sin a 2 cos a 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
- sin а cos а 0
0.5sin(2a) -0.5sin(2a) 0 0 0
cos(2a)
=-sin(2а) sin(2а) 0 0 Для кубического кристалла матрица упругих коэф фициентов податливости в кристаллографических коор динатах
s11 s12 s12 0 0 0:
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s44 0 0
0 0 0 0 s44 0<
0 0 0 0 0 s44 >
в повернутой на угол а системе координат примет форму симметричной матрицы коэффициентов податливости Ц. для семиконстантного тетрагонального кристалла
s11 / s12 s13 0 0 / -s26
/ s12 s11 s13 0 0 / s26
s13 s13 / s33 0 0 0
0 0 0 / s44 0 0
0 0 0 0 / s44 0
/ -s2 6 / s26 0 0 0 / s66
с ограничениями на коэффициенты податливости s' вида
síi = su - 0.5А sin2 (2a), s(2 = s12 + 0.5A sin2 (2a), s26 = 0.5A sin(4a), s66 = s44 + 2A sin2 (2a),
s26
/ _
s13 = s
12, s33
= s
11, s44
SAA = S
44.
Частный случай нулевого угла хиральности (а = 0) соответствует кубическому кристаллу.
Таблица 10
Различие в глобальных экстремальных значениях коэффициентов Пуассона vmin, vmаx и экстремальных значениях коэффициента Пуассона при растяжении в напршшении [110] ^Цтах [7]
Кристалл V • min V max V(2)min V(1)max
Ре -0.13 0.82 -0.06 0.62
FePd (28 ат. % Pd) -1.04 1.87 -0.80 1.74
Mn85.3Ni8.8C5.9 -0.72 1.34 -0.68 1.34
1пТ1 (25 ат. % Т1) -1.20 2.13 -0.84 1.82
1пТ1 (27 ат. % Т1) -1.02 1.98 -0.79 1.78
1пТ1 (27 ат. % Т1, 125 К) -7.41 7.83 -1.00 1.99
1пТ1 (27 ат. % Т1, 200 К) -2.09 3.01 -0.94 1.93
1пТ1 (27 ат. % Т1, 290 К) -0.97 1.89 -0.78 1.75
1пТ1 (28.13 ат. % Т1) -1.08 2.00 -0.81 1.78
1пТ1 (30.16 ат. % Т1) -0.94 1.85 -0.77 1.73
1пТ1 (35.15 ат. % Т1) -0.71 1.63 -0.67 1.61
1пТ1 (39.06 ат. % Т1) -0.61 1.54 -0.59 1.54
CuAuZn2 -0.81 1.68 -0.72 1.64
^25^25^50 -0.66 1.46 -0.63 1.46
Cu66.5Zn20.8Al12.7 -0.65 1.43 -0.63 1.43
Cu67.7Zn19.4Al12.9 -0.73 1.53 -0.68 1.53
AuNi (2.95 ат. % №) -0.03 0.87 -0.03 0.83
^30^23^47 -0.67 1.52 -0.64 1.52
^23^30^47 -0.65 1.51 -0.62 1.51
^20^33^47 -0.65 1.51 -0.56 1.42
AlNi (60 ат. % №) -0.74 1.52 -0.68 1.52
Ni3Al -0.19 0.69 -0.19 0.63
NiCr2O4 -0.95 1.83 -0.77 1.72
FeCrNi (67.3 ат. % Ре, 19.3 ат. % Сг, 13.3 ат. % №) -0.20 0.81 -0.20 0.75
СиА1№ (Си- 14.5 вес. % А1-3.15 вес. % №) -0.66 1.41 -0.63 1.41
CuAlZn (Си - 17 ат. % А1 -14.3 ат. % Zn) -0.65 1.42 -0.63 1.42
Рис. 2. Граница ауксетичности V = 0 для кубических кристаллов с П = 0.1 (а), 0.2 (б), 0.3 (в), 0.4 (г), 0.5 (д), 0.6 (е), 0.7 (ж), 0.8 (з), 0.9 (и)
3. Однородное растяжение цилиндрически игг = б'11ст22 + .%стфф + б'13стгг + 46стф2, анизотропной тонкой трубки , , , ,
_ _ _ ифф = 2СТи + 1СТфф + 3СТгг - б26 СТфг,
Закон Гука для цилиндрически анизотропной трубки
из тетрагонального кристалла будет иметь вид игг = sl3стzz + Б13стфф + Б33стгг,
3п/2
V
л
' л/2 0
п/3Ч
Ф 0
Рис. 3. Пример открытой и замкнутой ауксетических поверхностей при П = 0.7 (а) и 0.9 (б), построенных в угловых ячейках Ф е [-л/6, л/3], 0 е [0, 2л], у е [-л/4, 7п/4]
fn/2
п/4
Ф о
Рис. 4. Топологическое изменение ауксетической поверхности при критическом значении Пс ~ 0.75
2ифг = zz -СТфф ) + s6
s66u фz,
"фг Б26(
" б44стгг > 2игф = Л44стгф.
При однородном растяжении трубки удельным усилием Р вдоль оси г напряженное состояние будет простым:
СТгг = P, СТгг = СТфф = СТ гф = СТ гг = СТфг = 0
В силу закона Гука простым однородным должно быть и поле деформации
= s11P> urr = s13 P> ифф = s12P>
2uфz = s26P,
гф
= Uz = 0.
Из дифференциальных связей компонент деформации с компонентами вектора смещений
диг дг ди,
duz
1 Ч
r дф
.= и__i_ i ~ r = и
"" dz Uzz' r дф + r ифф'
^ +1Э^ = 2Uфz = const;
дz r дф т
9 и :
Эг дur
ф
1 дur
+ Г1ф = гф= 0
r
д + 1Г = 2Urz = 0 дг Эг
для смещений с учетом выражения для закона Гука находим
иг = Р^у+/1(ф)+г/2(ф),
иф = P(s12 - ^13)гф +
д/1(ф) Э/2(ф)
-+ z
+ Cir,
■^ф V~12 -13/' ^ ■ ■ -
дф дф
Uz = Ps'nz - Г/2 (ф) + C2,
/1 (ф) = C3 sin ф + C4 cos ф,
/ (ф) = C5 Sin ф + C6 cos ф,
Ct = const
при дополнительном ограничении
2%z = s26P = 0
Однозначным найденное поле смещений может быть только при выполнении еще одного условия:
ифф- игг = (s13 - s12)P = 0
Для тетрагональных кристаллов указанные два условия не выполняются, и, следовательно, для семиконс-тантной тетрагональной системы однородное растяжение цилиндрически анизотропной трубки невозможно.
п
^п/2
п/4
ф0
¥
п/2-
п/4"\ ф 0
¥п/2-
\ t 1 1 L \
f Г г к г |
Л 0 {- и 1| \
¥
п/2
2п
п/4
ф0
0 - 0 Рис. 5. Поверхности уровня v(ф, 9, у) = с для InTl (27 ат. % Tl, 125 K) при с = 0 (а), -2 (б), -4 (в), -6 (г)
п
п
п
п
Рис. 6. Сворачивание кристаллической пластины вокруг оси Г в цилиндрическую нано/микротрубку
В частном случае криволинейно анизотропной трубки из кубического кристалла с углом хиральности а эти дополнительные условия принимают вид
*26:
: 0.5sin(4a) = 0, sí
13 s12
0.5Д sin2 (2а) = 0.
В таком виде они могут быть выполнены в вырожденном случае изотропной упругости (при А = 0), или для кубического кристалла с нулевым углом хиральности (при а = 0). Таким образом, при отличном от нуля угле хиральности однородное растяжение нано/микротрубки из кубического кристалла также невозможно. Только когда базис цилиндрически анизотропной трубки соответствует кристаллографическому базису кубического кристалла, однородное осевое растяжение имеет место и характеризуется модулем Юнга и двумя одинаковыми коэффициентами Пуассона вида
Е = = —, V =-^^ =-= -М
4. Невозможность радиально неоднородного растяжения нано/микротрубок из кубических и тетрагональных кристаллов при отличных от нуля нормальных напряжениях
Рассмотрим теперь неоднородное растяжение цилиндрически анизотропной трубки из тетрагонального кристалла. Предположим напряженное состояние ра-диально неоднородным с отличными от нуля нормальными напряжениями агг (г), афф (г), а22 (г)
агФ = atz = %z = 0
(4)
В таком случае уравнение равновесия сводится к дифференциальной связи д
афф (Г) = дГ[Гагг (Г)]. (5)
При продольном растяжении полого круглого стержня удельной силой Р в отсутствие радиальных усилий на боковых поверхностях г = г0, г = R0 должны выполняться условия
R 1
J г a (г ^г = -(Ro2 - ro2) Р,
го
агг (г)|г=агг (г)|г=r = 0
(6)
Закон Гука при отличных от нуля нормальных напряжениях примет вид
^ 22 = 1а 22 (г) + ¿12а фф ( г) + гг (г), ифф = ^2а22 (г) + %афф (г) + ^'3агг (гX игг = 513а 22 (г) + 513афф (г) + 4а гг ( Г),
2Пф2 = ^2б[а 22 (г )-афф (г )], Пг2 = 0, Ыгф = 0
Из него в силу радиальной неоднородности напряжений следует радиальная неоднородность поля деформаций. По этому полю деформаций находим поле смещений
иг = и фф (г ) г + /1( ф) + 2/2( ф),
Э/1( ф) , / Ф)
-+ z
иф = с0г" + дф ~ Эф
Uz = 8z-г/2 (Ф) + с2,
+ С1г,
(7)
Uгг (г) = — [гЫфф (г)],
(8)
/1 (ф) = C3 sin ф + C4 cos ф, f2 (ф) = C5 sin ф + C6 cos ф, Ct = const при следующих ограничениях: uzz (г) = 8 = const, _д дг
2uфz (г) = C0 г
В рассматриваемом здесь случае неоднородной деформации в отличие от однородной деформации растяжения п. 3 поле смещений оказывается однозначным.
Из закона Гука и соотношений (5), (8) удается получить следующие выражения uTT, uфф и u^z через компоненту напряжений a гг:
uw =
Sil S11
8 + (s'n -(гaгг)
дг
s33
' 2 ^ S13
д г \ s12
=дг (тфф) ' 8+
S11
Si i -
S12 S11
дг
^ (гагг ) о г
+ "Т1(S11 - S12 (гагг X s i дг
2uфz = C0г = S26
-8-
1 + S2
—oa,) a
дг sn
Разность двух первых соотношений дает дифференциальное уравнение второго порядка для напряжения а
2 S12
дг
s33
S13
( га гг )
дг
a + 8:
S11
В то же время третье соотношение является уравнением первого порядка для агг. В итоге из этих двух уравнений находим следующее простое выражение для нормального напряжения а гг: агг = а£ + ЬС0 г,
' ' _i_ ' ' —"У f2
Si i+ Si "f S'T 2S-
11^33 "г б12б33 2Б13
Ь = (б11 - б12)(б11 + ¿12 - 2б13) 3б26 (б11б33 + ¿33 - 2б13 )
Для такой зависимости компоненты напряжений от радиальной координаты и двух параметров е и С0 невозможно выполнить два условия на внутренней и внешней стенках трубки (последние два условия (6)). Таким образом, при радиально неоднородном растяжении криволинейно анизотропных нано/микротрубок из кубических и тетрагональных кристаллов предположение о трех ненулевых компонентах напряжений оказывается несправедливым.
5. Радиально неоднородное растяжение цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из кубических и тетрагональных кристаллов
Как было продемонстрировано в п. 3, растяжение цилиндрически анизотропных трубок из кубических кристаллов при отличии ориентации кристаллов от кристаллографической не может быть однородным. Поэтому здесь мы будем рассматривать неоднородное растяжение. При этом ограничимся случаем радиально неоднородного напряженного состояния. Уравнения равновесия при таком состоянии имеют вид
дстгг (г) ст гг(г) -стфф(г)
dr
= 0,
дСТ„ (Г) , ^rz (Г) = 0 ЭСТГФ (r) + 2 ^ф (r)
= 0.
дг г ' дг г
При продольном растяжении круглой трубки удельной силой Р в отсутствие скручивающего момента эти уравнения дополняют краевые условия
ст„ (г)|г=г0 = 0, ст„ (г)|^ = 0, (9)
^0
J razz(r)dr = P(R2 _ ro2),
Ro
(10)
J r2aVz (r)dr = 0.
Решения последних двух уравнений равновесия для касательных напряжений имеет степенной вид стгг = = С1г"1, стгф = С2 г-2, и с учетом краевых условий обращения в нуль на стенках трубок (9) эти напряжения должны исчезать. Тем самым ненулевыми остаются только три нормальных напряжения и одно касательное
(ср. п. 4) стгг (г), стфф (г), стгг (г), ^ (г), Стгф = СТгг = 0 В таком случае закон Гука для криволинейно анизотропных цилиндрических нано/микротрубок, полученных сворачиванием пластин из тетрагонального кристалла, принимает вид
игг = Б11СТ гг (г) + Б12СТфф (г) + ¿13 гг (г)+¿26ст фг ( г),
ифф = ¿12стгг (г) + Б11стфф (г) + ^'эСТг (г) - 4йСТфг (гX
игг = Б13СТгг (г) + Б13СТфф (г) + ¿33СТгг (г) 2ифг = ¿26 [СТгг (г) - СТфф (г)] + ¿66СТфг (гX игг = 0 игф =
Поле деформаций оказывается радиально неоднородным с четырьмя ненулевыми компонентами игг (г), ифф (г), игг (г), ифг (г), и поэтому смещения имеют прежний вид (7) и справедливы прежние дополнительные соотношения (8).
Пользуясь соотношениями закона Гука, дополнительными соотношениями (8) и следствием уравнений равновесия (5), четыре искомых компоненты напряжений можно выразить через одну компоненту стгг (г): _д_ дг
2
(Б11Б66 - ¿26)СТгг = ¿66е- ¿26С0г -
афф (rarr X
- (s12s66 + (rarr ) - S13S66arr ,
dr
2
(S11S66 - S26)СТфг = _s26е + S11C0r + д
+ S2 6 (s11 + S12) 3 (rarr ) + S13S2 6arr.
dr
С помощью этих выражений, второго и третьего соотношений закона Гука и дифференциальной связи urr = d(ruw у dr находим дифференциальное уравнение второго порядка для компоненты напряжений arr:
dr
r^- ( r^rr ) dr
+ a1arr + a2e + a3C0 r = 0, (11)
a0 - (S11 + S12)(S11S66 S12S66 2s26),
_ ' '2 _ ' ' ' + ' '2
a1 - S66S13 S11S33S66 + S33S26,
a2 - S66S1 2 _ S13 S66 + S26, a3 - _S26 (2s1 1 + 2s1 2 _ S1 3 ).
Это уравнение имеет степенное решение вида
(12)
arr = —
a2
a3
-е_-
a0 + a1 4a0 + a1
-C0r +
+A+
r + A_ r
= r0 , r0 ,
(13)
А±=_1 ±k, k = ^/_a1/a0, зависящее от четырех параметрических коэффициентов е, C0, A+, A_. Два из них определяются из условий отсутствия нормальных напряжений arr на внутренней (при r = r0) и внешней (при r = R0 - pr0) поверхностях трубки (9)
A+ =
Р_Я__ 1
a0 + a1 ря+ я_ _ 1
е +
р1_я_ _1
4a0 + a1 р
A_ = -
р"я+ _ 1
a0 + a1 рх_ _ 1 4a0 + a1 р
_ 1
е + -
C0 ro,
р1"я+_ 1
_ 1
(14)
С (15)
Используя найденное выражение для компоненты агг (г), получим остальные три отличные от нуля компоненты напряжений в виде а „ а3
афф = -
а0 + а1
-е-2-
4а0 + а1
С0г +
9 „:
+ кА+
9
9 .У
г - кА_ г
,г0| , г0|
(16)
а =
а2
а0 + а1
а
е +
9
"^26 +
4а0 + а1
-а 2
С0г -
-акА+
аф2^ = ^2 6
9 г Г+ 9 г -а-кА-
чг0у
1+-а2- Р'
а0 + а1
чг0у
(17)
е +
а3
6в2
41 ' л26^2
4а0 + а1
С0г +
+ 4 6РкА+
9 г:
V г0 у
+4 6р-кА-
9 г:
V г0 у
2
0 = Я11Я66 - Я26,
2
а q = 513566 + Ч( Я12 Я66 + Я26),
(18)
(19)
(20)
- 'Ч3'566 т Ч(42Л66~Т л26)
= + Ч(¿12 + ^пХ Ч = 1 2 ± к-
Интегральное краевое условие отсутствия скручивающего момента (второе из условий (10)) позволяет найти линейную связь между параметрами С0 и е:
С0 =М е.
0 г> N
При этом М и N имеют вид:
/ I Р3 -1 а2
I 3 а0 + а1
(21)
Р'
Р3 -1
-Рк
-Р-;
(р3+Я+ - 1)(р_Я_ -1) _ (3 + А+ )(рЯ+-Я--1)
(р3+Я_ - 1)(р_Я+ -1) (3+А_)(ря--я+-1)
(22)
N=^п - 4 6
4а0 + а1
Р4-1
-в
-Р-;
, (Р3+Я+ - 1)(Р1"Я- -1) _ к (3+А+)(ря+-я--1)
(р3+Я_ - 1)(р'_Я+ -1)
(23)
(3 + А_ )(рЯ__Я+-1)
При этом параметры А± также оказываются линейно связанными с деформационным параметром е:
А+ = а+е, А. = а_е,
а2 р_я_-1 а =-2--■--
+ а0 + а1 ря+_я_-1
р'_я_ -1 м
4а0 + а1 рЛ+_Л_ -1 N
а Р_Я+ _1
+
(25)
а0 + а1 ря_ я+ -1
р'_я+ -1 м
! ! (26)
4а0 + а1 рл__л+ -1 N
С помощью первого интегрального краевого условия (10) после этого можно найти зависимость модуля Юнга Е = Р/ е от радиуса трубки, толщины ее стенки и упругих податливостей:
9 :
Е = 1 0
6 +"
а0 + а1
-а1 +
^2 6 + а 2
4а0 + а1
2М р3 -1 рЯ++2 -1 ^--;;— 2ака+-г-■
3N р2 -1 к + (А+ + 2)(р2 -1)
_ 2а_ка_
-1
(27)
(А_ + 2)(р2 -1) _ По соотношениям закона Гука и выражениям для напряжений (13) и (16)-(20) определяются компоненты деформации ифф, иг, и тем самым коэффициенты Пуассона vг2 = -игг/е и Vф2 = _ифф/е:
у =_ Я13Я66 + Я13Я26 М
9 „л
а0 + а1 а3
0 N 0
+1 Б ак - Ь'Ц - ^33 |а+
/ + 2/ _ м а |М
. , | Я33 +243 „ а2 | ,г
4а0 + а' = Б | N
9 ,, I
9 г I
я+
+| Б а_к + к% - 3 | а_
9 г I
(28)
V = -1 [-(4Я6 6 + 4б) + 4 6(я11 + Я12) Х
м <-
N
Р'
I -1 = г01
а2
+ (я11я66 Я12Я66 2Я26) Х
а3 м
9„ I
+ Р2
а0 + а' 4а0 + а' N
-Рка+
г -р_ ка_ г
, г0 , г0 I
(29)
Оба коэффициента Пуассона оказываются зависящими от радиальной координаты, радиуса трубки, толщи-
+
ны ее стенок и коэффициентов упругой податливости (см. (19)-(29)).
В пределе бесконечно тонкой трубки эти выражения значительно упрощаются, но остаются довольно громоздкими. Большое упрощение происходит в частном случае угла хиральности а = п/ 4. При таком угле ки-ральности связь между коэффициентами податливости тетрагонального кристалла s' и кубического кристалла Sj, поворачиваемого на угол хиральности, имеет следующий вид (см. п. 2)
sii = s11 -0.5Д, s(2 = s12 + 0.5Д, s[3 = s12,
s33 = s11, s44 = s44, s26 = 0, s66 = s44 + 2Д.
В силу этой связи результаты для модуля Юнга и коэффициентов Пуассона тонкой нано/микротрубки становятся крайне простыми: „ 1 2
S11
v = —
V = —
2s11 — Д '
/ s13 2s12
S11 2s11 —Д '
/ s12 2s12 + Д
S11 2s11 —Д '
В безразмерном виде они переписываются следующим образом:
E 2 П8
s11 2 — 8
v„ =-
2 — 8
v. = <П—. (30)
2 — 8
Термодинамические ограничения > 0,8 < 2 (см. (3)) обеспечивают положительность модуля Юнга, а для отрицательности одного из коэффициентов Пуассона vrz и vфz при 8> 0 необходимо выполнение неравенств П< 0 и П< 1 соответственно, а при 8< 0 — обратных неравенств. Наглядно это изображено на рис. 7, на котором затенены зоны положительности коэффициентов Пуассона. Из рисунка можно видеть, что в случае а = п/4 оба коэффициента Пуассона отрицательны при 8 > 0, П< 0, а также при 8< 0, П > 1. Оба коэффициента положительны при 8> 0, П> 1 и при 8< 0, П< 0. Наконец, при 0 <П< 1 знаки двух коэффициентов противоположны, а именно, при 8> 0 имеем V гг > > 0,VфZ <0, а при 8< 0 будет V<0, vфz >0.
Численные расчеты коэффициентов Пуассона Vrz и Vфz для целого ряда нано/микротрубок из кубических кристаллов, использующие вышеприведенные формулы (28), (29), позволили установить, что поведение практически всех трубок характеризуется сменой положительных и отрицательных значений коэффициентов Пуассона с изменением их толщин и углов хиральности, т.е. все они являются частичными ауксетиками. Например, кубические кристаллы из алюминия, железа и соединения самария Sm065La0з5S, которые в условиях прямолинейной анизотропии являются неауксетиком, частичным ауксетиком и полным ауксетиком соответственно, после сворачивания в цилиндрически анизотропные трубки все оказываются частичными ауксе-
тиками (рис. 8-10). Это верно и в отношение других проанализированных нами кубических кристаллов.
На рис. 8-10 показано изменение коэффициентов Пуассона Vrz и vфz с изменением толщин и углов хиральности для трубок из А1 (П = 2.795, 8 = 0.259), Бе (П = 0.911,8 = 0.81) и Бт0.65Ьа0.35Б (П = 12.785,8 = = 0.054). У трубок из алюминия (рис. 8) наблюдается смена знака коэффициента Vфz на внутренней поверхности трубки (при г = г0). Отрицательным этот коэффициент становится, например, при р = R0/г0 >10 и угле хиральности а = п/ 4. При таком же значении угла коэффициент vфz на внешней поверхности тонкой трубки положителен и возрастает с увеличением параметра толщины р. В то же время коэффициент Пуассона Vrz остается положительным как на внутренней, так и на внешней поверхностях трубки.
Общий характер изменений коэффициентов Пуассона для трубок из железа (рис. 9) и алюминия (рис. 8) аналогичен. При угле хиральности а = я/4 коэффициент Пуассона Vфz на внешней поверхности отрицателен для тонкой трубки и уменьшается с увеличением параметра толщины. Уже при р> 1.21 он становится положительным. На внешней поверхности коэффициент vфz в случае тонкой трубки при а = п/4 принимает отрицательное значение и увеличивается с увеличением параметра толщины вплоть до смены знака.
Рисунок 10 иллюстрирует поведение коэффициентов Пуассона и Vфz для трубок из Бт0.65Ьа0358. Трубки из этого кубического кристалла имеют отрицательные значения обоих коэффициентов Пуассона на внешней поверхности при любых углах хиральности и параметрах толщины. В то же время они меняют знак на внутренней поверхности при больших значениях параметра толщины. Это в случае угла хиральности а = = п/4 происходит для коэффициента vфz при параметре толщины 5.2-105, а для коэффициента Vrz при еще большем значении такого параметра.
Упрощение аналитических результатов для модуля Юнга и коэффициентов Пуассона в частном случае угла
П
П
Рис. 7. Зоны отрицательности коэффициента Пуассона Vrz и коэффициента Пуассона Vфz (незакрашенные области (а) и (б) соответственно) для тонких нано/микротрубок при угле хиральности а = п/ 4
8
5
Рис. 9. Изменение коэффициентов Пуассона vгz на внутренней (а) и внешней (б) поверхностях и vфz на внутренней (в) и внешней (г) поверхностях нано/микротрубок из железа Ре
Рис. 10. Изменение коэффициентов Пуассона vгz на внутренней (а) и внешней (б) поверхностях и vфz на внутренней (в) и внешней (г) поверхностях нано/микротрубок из Sm0 65Ьа 35Б
хиральности а = п/ 4 позволяет с большей простотой проанализировать поведение нано/микротрубок из кубических кристаллов. В табл. 11 даны значения коэффициентов Пуассона уг2 и vфz для тонких трубок при угле хиральности а = п/4 (см. (30)), а также приведены величины параметра толщины, при котором происходит смена знака коэффициента Пуассона. Численные расчеты показывают, что отрицательность коэффициента Пуассона будет проявляться у всех проанализированных кристаллов.
Для кристаллов с П > 1, 8 > 0 коэффициенты Уг2 и vф2 для тонкой трубки положительны и смена знака (с положительного на отрицательный) возможна для vф2 на внутренней поверхности. Отметим, что кубические кристаллы с П> 1, 8> 0 в случае прямолинейной анизотропии являются неауксетиками. Кристаллы с 1 > >П> 0, 8> 0 имеют отрицательный коэффициент Пуассона для тонкой трубки, и смена знака будет наблюдаться у vфz на внешней поверхности. При этом коэффициент Пуассона vфz на внутренней поверхности остается отрицательным и уменьшается с увеличением параметра толщины Р.
Среди кристаллов с П > 0, 8 < 0, представленных в табл. 11, выделяются ТтБе и Тт0 99Бе. Для них будет наблюдаться смена знака у двух коэффициентов Пуассона, а именно, vгz на внутренней поверхности меняет
знак с отрицательного на положительный, а для vфz на внешней поверхности справедлива обратная ситуация. Для остальных кристаллов с П > 0, 8 < 0 смена знака имеет место только для коэффициента Пуассона уг2 на внутренней поверхности.
Для кристаллов с П < 0, 8 < 0 отрицательный коэффициент Пуассона наблюдается для Уг2 на внутренней поверхности, и при этом величина коэффициента уменьшается с увеличением параметра толщины. В случае прямолинейной анизотропии кристаллы с П < 0, 8< 0 являются неауксетиками.
Выполненный численный анализ показал, что из прямолинейно анизотропных кубических неауксетиков ZnO, А1, Р^ Та, 1г, Rh, AuGa2, Ge, Cd0.55Mn0.45Te, РЬ071Бп0.29Те, П20, AgCl, Сг, РеТ^ СеА12, Мо при сворачивании образуются нано/микротрубки типа частичных ауксетиков. Такого же типа трубки соответствуют сорока одному прямолинейно анизотропному кубическому ауксетику из табл. 11.
6. Заключение
По мере усложнения структуры материалов и конструкций растет аномалия их механического поведения. Это, в частности, справедливо в отношении особенностей анизотропного поведения, например, кубических кристаллов. Около половины таких кристаллов обла-
Таблица 11
Коэффициенты Пуассона Vrz и vфz для тонкой кубической нано/микротрубки и значения параметра толщины р0, при которых происходит смена знака коэффициентов Пуассона
Кристалл П 8 V фг Ро пРи Чгг = 0 Ро при V = 0
р-1 <<1 г II 0 г II 0 г II 0
ZnO 3.060 0.233 0.40 0.27 - 13.30 -
А1 2.800 0.259 0.42 0.27 - 10.00 -
Pt 1.590 0.528 0.57 0.21 - 2.50 -
Та 1.510 0.496 0.50 0.17 - 2.26 -
1г 1.280 0.469 0.39 0.08 - 1.78 -
Si 1.220 0.457 0.36 0.06 - 1.47 -
кь 1.190 0.533 0.43 0.07 - 1.41 -
AuGa2 1.080 0.786 0.70 0.05 - 1.16 -
Ge 1.070 0.506 0.36 0.02 - 1.15 -
С^О^^О^ 1.020 0.796 0.68 0.02 - 1.05 -
CdTe 0.986 0.829 0.70 -0.01 - - 1.01
Pd 0.981 0.953 0.81 -0.04 - - 1.04
Аи 0.969 0.953 0.88 -0.03 - - 1.07
AuNi (2.95 ат. % №) 0.966 0.950 0.87 -0.03 - - 1.07
ZnSe 0.960 0.783 0.62 -0.03 - - 1.09
LiF 0.950 0.608 0.41 -0.02 - - 1.11
CeSnз 0.923 0.741 0.54 -0.05 - - 1.77
Fe 0.911 0.810 0.62 -0.06 - - 1.21
а-Т1 (FCC) 0.906 1.00 0.92 -0.09 - - 1.22
Ni 0.904 0.846 0.66 -0.07 - - 1.23
Ag 0.900 0.948 0.81 -0.09 - - 1.24
CrNi (80.4 ат. % №) 0.871 0.879 0.68 -0.10 - - 1.33
Си 0.860 0.977 0.82 -0.13 - - 1.37
CuGe (1.71 ат. % Ge) 0.843 0.996 0.84 -0.16 - - 1.43
РЬ 0.837 1.100 1.02 -0.20 - - 1.45
Со 0.835 0.954 0.76 -0.15 - - 1.46
LiIn 0.817 1.050 0.90 -0.20 - - 1.53
SiC 0.816 0.701 0.44 -0.10 - - 1.54
FeNi (48.8 ат. % №) 0.803 0.966 0.75 -0.18 - - 1.60
Се 0.794 0.895 0.64 -0.17 - - 1.64
ТЬ 0.780 1.010 0.79 -0.22 - - 1.72
Sr 0.766 1.050 0.85 -0.26 - - 1.80
Са 0.760 1.060 0.86 -0.27 - - 1.83
AgZn (46.5 ат. % Zn) 0.749 1.210 1.14 -0.38 - - 1.90
№ 0.742 1.220 1.15 -0.40 - - 1.95
К 0.740 1.240 1.21 -0.42 - - 1.96
Аи50Мп222п28 0.737 1.250 1.24 -0.44 - - 1.98
Ва 0.737 1.050 0.82 -0.29 - - 1.99
Na 0.733 1.240 1.20 -0.44 - - 2.02
Li 0.708 1.290 1.29 -0.53 - - 2.25
Cs 0.695 1.090 0.83 -0.36 - - 2.41
Таблица 11 (продолжение)
Кристалл П § V rz v 9z P0 при vrz = 0 P0 пРи V = 0
p-1 <<1 r II 0 r I 0 r I 0
Yb 0.687 1.040 0.750 -0.34 - - 2.51
FePd (28 ат. % Pd) 0.684 1.440 1.740 -0.80 - - 2.48
CuMn (72 ат. % Mn) 0.670 1.290 1.210 -0.60 - - 2.88
Mn85.3Ni8.8C5.9 0.664 1.340 1.340 -0.68 - - 3.08
TmSe 0.620 -1.750 -0.290 0.18 7.03 - 3.03
Tm0 99Se 0.520 -1.80 -0.250 0.23 6.50 - 5.60
Sm0.9La0.1S [5] 0.179 -1.710 -0.080 0.38 5.32 - -
Sm0.85Tm0.15S [5] 0.056 -1.060 -0.020 0.33 9.24 - -
SmB6 0.020 -1.680 -0.009 0.45 6.68 - -
Pb0.71Sn0.29Te -0.008 -3.040 0.005 0.61 2.63 - -
Li2O -0.331 -0.586 0.080 0.30 26.5 - -
Nb -0.523 -1.330 0.210 0.61 3.91 - -
AgCl -0.621 -1.210 0.230 0.61 4.16 - -
Cr -0.676 -0.475 0.130 0.32 41.3 - -
FeTi -0.734 -0.594 0.170 0.40 19.2 - -
CeAl2 -0.858 -0.395 0.140 0.31 75.7 - -
Mo -1.050 -0.490 0.210 0.40 12.72 -
дают смешанным поведением по коэффициенту Пуассона, который может менять знак при изменении ориентации кристаллов (частичных ауксетиков). Коэффициент Пуассона другой значительной части кубических кристаллов при всех изменениях сохраняет положительный знак, т.е. они являются неауксетиками. При сворачивании прямолинейно анизотропных кубических кристаллов в криволинейно анизотропные трубки последние почти всегда оказываются частичными ауксетиками на нано- и микромасштабах. Цилиндрически анизотропные трубчатые частичные ауксетики образуются как из прямолинейно анизотропных частичных кубических ауксетиков, так и полных ауксетиков и, что особенно замечательно, из кубических неауксетиков.
Нано/микротрубки-ауксетики (с неположительным коэффициентом Пуассона), без сомнения, окажутся важными в прикладных отношениях в различных конструкциях и в теории поведения материалов из-за аномалии своей упругости и из-за особенностей гидропро-водности.
Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 25 и гранта МК-565.2012.1.
Литература
1. Baughman R.H., Shacklette J.M., Zakhidov A.A., Stafström S. Negative Poisson's rations as a common feature of cubic metals // Nature. - 1998. - V. 392. - P. 362-364. 05.07.2013 г.
Сведения об авторах
Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н, проф., чл.-корр. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, goldst@ipmnet.ru Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н, проф., внс ИПМех РАН, gorod@ipmnet.ru Лисовенко Дмитрий Сергеевич, к.ф.-м.н, нс ИПМех РАН, lisovenk@ipmnet.ru Волков Михаил Андреевич, асп., инж. ИПМех РАН, voLkovmikhl@gmail.com
2. Branka A.C., Heyes D.M., Wojciechowski K.W. Auxeticity of cubic materials // Phys. Status Solidi B. - 2009. - V. 246. - P. 2063-2071.
3. ГольдштейнP.B., ГородцовB.A., Лисовенко Д.С. Кубические ауксе-
тики // ДАН. - 2011. - Т. 439. - С. 184-187.
4. Landolt-Bornstein Group III. Condensed Matter. - B.: Springer, 1992. V. 29a. - P. 11-188.
5. Scharer U., Jung A., Wachter P. Brillouin spectroscopy with surface acoustic waves on intermediate valent, doped SmS // Physica B. -1998. - V. 244. - P. 148.
6. Gunton D.J., Saunders G.A. Stability limits on the Poisson ratio: Application to a martensitic transformation // Proc. R. Soc. Lond. A. -1975. - V. 343. - P. 63-83.
7. Гольдштейн P.B., Городцов B.A., Лисовенко Д.С. Ауксетическая механика кристаллических материалов // Изв. РАН. МТТ. - 2010. -№ 4. - С. 43-62.
8. Schmidt O.G., Eberl K. Thin solid films roll up into nanotubes // Nature. - 2001. - V. 410. - P. 168.
9. Prinz V.Ya., Seleznev V.A., Gutakovsky A.K. et al. Free-standing and overgrowth InGaAs/GaAs nanotubes, nanohelicies and their arrays // Physica E. - 2000. - V. 6. - P. 828-831.
10. Golod S.V., Prinz V.Ya., Mashanov V.I., Gutakovsky A.K. Fabrication of conducting GeSi/Si micro- and nanotubes and helical microcoils // Semicond. Sci. Technol. - 2001. - V. 16. - P. 181-185.
11. Принц В.Я. Трехмерные самоформирующиеся наноструктуры на основе свободных напряженных гетеропленок // Изв. вузов. Физика. - 2003. - № 6. - С. 35-43.
12. Mey Y., Solovev A.A, Sanchez S., Schmidt O.G. Rolled-up nanotech on polymers: from basic perception of self propelled catalic microengines // Chem. Soc. Rev. - 2011. - V. 40. - P. 2109-2119.
13. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
Поступила в редакцию
