Несвязанная осесимметричная динамическая задача электроупругости для радиально поляризованного цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

116 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 2(83)

УДК 539.3

НЕСВЯЗАННАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ РАДИАЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО ЦИЛИНДРА

(?) 2011 Д.А. Шляхин1

Рассматривается несвязанная осесимметричная нестационарная задача прямого пьезоэффекта для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра при действии на его внешних радиальных поверхностях нормальных напряжений, являющихся произвольными функциями по аксиальной координате и времени. Новое замкнутое решение построено методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Полученные соотношения позволяют определять частоты собственных колебаний, напряженно-деформированное состояние элемента, а также потенциал и напряженность индуцируемого электрического поля.

Ключевые слова: несвязанная задача электроупругости, пьезокерамический цилиндр, осесимметричная динамическая нагрузка.

Введение

Исследование вынужденных осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра конечных размеров при радиальной поляризации материала приводит к формированию сложной системы дифференциальных уравнений и начально-краевых условий. Поэтому большинство работ в этой области посвящено более простым задачам электроупругости об осесимметричных колебаниях бесконечного цилиндра при гармоническом [1-3] и произвольным динамическом [4] воздействиях. Допущения, связанные с использованием кинематических гипотез, приводят к разработке прикладных теорий пластин и оболочек [1; 3; 5; 6] , а также исследованию поверхностных волн в пьезоэлектрических средах [7].

Результаты, справедливые для пьезокерамического цилиндра конечной длины для установившегося режима вынужденных колебаний, получены в [1; 5; 8]. В [1] для снижения размерности используются системы базисных функций с последующим численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория распространения нормальных электроупругих волн излагается в [5]. При этом решение строится в виде бегущих волн с последующим представлением расчетных соотношений в виде степенных рядов. Краевая задача для пьезоактивных

1Шляхин Дмитрий Аверкиевич (sgasu@sgasu.smr.ru), кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

сред с нерегулярными структурами в [8] решается методом последовательных приближений с использованием функции Грина. Метод сплайн-интерполяции позволяет исследовать свободные колебания пьезокерамических полых цилиндров [9].

В настоящей работе приводится новое замкнутое решение несвязанной осесимметричной динамической задачи в трехмерной постановке для пьезокерамического цилиндра. Данный подход можно использовать при низкочастотном внешнем воздействии для тонкостенных элементов, а в случае исследования вынужденных колебаний толстых полых цилиндров эффектом взаимной связанности силовых и электрических полей можно пренебречь при высокочастотном нагружении [10]. Существенным представляется также то, что решение построено для произвольных смешанных краевых условий по торцам элемента. Данный прием был предложен и впервые использован в работах Ю.Э. Сеницкого при исследовании короткого анизотропного цилиндра [11; 12].

1. Постановка задачи

В данной статье исследуется полый анизотропный цилиндр, занимающий в цилиндрической системе координат (г*,в,г*) область О : {а ^ г* ^ Ь, 0 ^ в ^ 2п, 0 ^ г* ^ к} и выполненный из пьезокерамического материала с наведенной радиальной поляризацией.

Для рассматриваемой задачи можно сформулировать различные физически реализуемые краевые условия. Для определенности принимаем неэлектродирован-ные торцевые плоскости свободными от механических напряжений, а радиальные поверхности — электродированными с заземлением закрепленной внутренней ее части.

Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах прямого пьезоэффекта при действии на внешней криволинейной поверхности цилиндра нормальных напряжений д(г*,г*). В результате механическое воздействие трансформируется в электрический сигнал, при этом радиальные плоскости подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением, что соответствует режиму ’’холостого хода” [3; 5] (отсутствию свободных электрических зарядов).

В общем случае дифференциальные уравнения осесимметричного движения и электростатики однородной упругой анизотропной среды в цилиндрической системе координат записываются в виде [3; 5]:

дагг дагг агг — авв д2Т *

дг* + дг* + г* Р дг2* 0

дагг дахх агх д2Ш *

Г. + « — р=0, (1.1)

дг* дг* г* дг*

дБг Вг дБг

"я------------------+-+ "я— =

дг* г* дг*

При радиальной поляризации материала уравнения состояния пьезокерамического тела определяются следующими равенствами [3; 5]:

агг = С33 дТ* + С13 (— + д!\ — еззЕг,

дг* г* дг*

ди * и * дШ *

авв = С13^-----------------+ С11-+ С12^-е31Ег0

дг г дг

— Сіз

ди* „V* „ дШ*

-Т.----+ С12-+ Си_Я

дг* г* дг%

— ЄзіЕг ,&тг — С55

(дШ

V дг.

* ди* +

вт

(и* дШ *

Є33Ет + е31----------+ —К

V г* дх%

+ е33

ди *

дг*

дг* дф* дг*

— е15Ег, (1-2)

(1.3)

Є11 Ег + е15

дШ* ди* +

Е — — дф*

’ 2 дг*

дг* дг* / дг*

В соотношениях (1.1)-(1.3) а^к (г*,г*,Ь*) ,и* (г*,г*,Ь*) * (г*,г*,Ь*) — со-

ответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора перемещений (],к = г,в,г); Б г (г*,г*,Ь*), Вг (г*,г*,Ь*), Ег (г*,г*,Ь*) ,Ег (г* ,г*,Ь*), ф* (г*, г*,Ь *) — компоненты векторов индукции, напряженности и потенциал электрического поля; р,Ст8,втд — объемная плотность, модули упругости, а также пьезомодули анизотропного электроупругого материала (т, в = 1, 5); £ц,£зз — диэлектрические проницаемости.

При решении несвязанной задачи прямого пьезоэффекта используется допущение, что индуцируемое в пьезокерамической среде электрическое поле не оказывает влияния на механические напряжения. Таким образом, в равенствах (1.2) следует исключить компоненты вектора напряженности электрического поля

0.

(1.4)

В результате подстановки равенств (1.2), с учетом (1.4), в (1.1) получаем систему дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия динамической задачи теории упругости в безразмерной форме:

Г^- — д2и — 0, (1.5)

у2и_С11 и + С55д2и . (С13 + С55) д2Ш + (С13 — С12)1 дШ С33 г2 С33 дг2

+

С33

дгдг

+

С55

С33

У2Ш +

С11 д2Ш ' (С13 + С55) д2и

+

С33

дгдг

+

С33 г дг

(С 12 + С55) 1 ди

С33 г дг

дШ

г|т = 1

С33 дг2

г — 0,Ь — С13 —------+ С12-+ Си^— — 0

дг г дг

и (г, 0, і) — и1 (г, Ь), и (г, Ь, Ь) — и2 (г, Ь); г — 1, к и (к,г,Ь) — Ш (к, г, Ь) — 0, дШ к

дЬ2 д 2Ш дЬ2

С ди + С С33-т.—+ С13 дг

и +

Ч (г,^) , атг|т=1 С1

, ^ , ^т2іт=1 ^55 » гл

дг ) 1 \ дг

Ь — 0 и (г, г, 0) — ио (г, г), І (г, г, 0) — ІІо (г, г), Ш (г, г, 0) — Шо (г, г), Ш (г, г, 0) — Шо (г, г),

и,Ш,и1,и2,ио ,ио,Шо,Шо}

где

дг )

(1.6)

(1.7)

(1.8)

и*,Ш*, и*, и2*, и*, и*, Шо*, Шо* | /ь,

{г,г,Ь,к} = {г*,г*,Н,а} /Ь, £ = £*Ь 1 ^С33/р, и*,и* — известные радиальные перемещения на торцевых поверхностях; и*,и*, Ш*,\¥* — известные

в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений.

Точка означает дифференцирование по £.

На втором этапе исследования рассматривается задача электроупругости, считая известными (найденными) компоненты вектора перемещений и, Ш.

В результате подстановки (1.3) в (1.1) получаем такое дифференциальное уравнение и краевые условия для электрического потенциала в безразмерной форме:

Є15

£33 дг2 С33Є33

У;

(1.9)

а

гг

а

г = 0,Ь = -^зеие-1 дд-ф + ^ ^(Т. + дг^ = 0; (ОО)

г =1,к ф (k, г,Ь) = 0, Бг\г=1 = -Сззеззе151 дф + е31 ^г + ~д)^) + езздг = 0, (1.11)

где у = eззV2u + е311 дг + е15 др2 + (е15 + е31) + е311 дг , ф = .

Соотношения (1.5)—(1.11) представляют математическую формулировку рассматриваемой несвязанной начально-краевой задачи электроупругости.

2. Построение общего решения начально-краевой

задачи теории упругости

Решение осуществляется методом интегральных преобразований, используя последовательно синус- и косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной г [13] и обобщенное конечное интегральное преобразование (КИП) [14] по радиальной координате г.

Приводим краевую задачу (1.5)—(1.8) к стандартной форме (однородным граничным условиям на торцах цилиндра) на основе такого представления:

и (г, г, г) = Н1 (г, г,г) + и (г, г,г) ,Ш (г, г, г) = Н2 (г, г,г) + и (г, г, г), (2.1)

где Н (г, г, г) = /1 (г) Щ (г, г) + /2 (г) Щ (г, г),

Н2 (г,г,г) = /з (г) (и1 + ^г-1гЛ + / (г) (щ + ^г-1иЛ .

С1з С1з

Здесь и ниже ”штрих” означает дифференцирование по соответствующей координате.

В результате подстановки (2.1) в (1.5)—(1.8) и учитывая условия

/1 (Ь) = /2 (0) = /3(Ь) = /4(0) = 0, /1 (0) = /2 (Ь) = 1, (2.2)

' ' С13

/з(0) = /4(Ь) = --3,/3 (0) = -/3 (Ь), /4 (0) = -/4 (Ь),

получаем новую краевую задачу относительно функций и (г, г, г), и (г, г, г) с соответствующими (1.6) однородными граничными условиями. При этом дифференциальные уравнения (1.5), граничные условия (1.7) становятся неоднородными с правыми частями В1,В2, -Н1, -Н2,Нз,Н4, а в начальных условия (1.8) вместо Го, ио^о, * следует считать ио,ио,и*,иио:

п = „2„ , -11 Н1 С55 д2Н1 (-13 + С55) д2Н2 (С13 - -12)1 дН2 , д2Н1

В1 — — \/ Н1 ~+-------—---------------------------------—-—---------------~+ -----,

С33 г2 С33 дг2 С33 дгдг С33 г дг дг2

В = (С 13 + С55) д2Н1 (С12 + С55) 1 дНг_ С55 2Н _£п дН + д2Н

2 С33 дгдг С33 г дг С33 2 С33 дг2 дг2 ,

ГГ Я дН1 С13 („ , дН2 \ и (дН2 , дН1

Н3 = С33-"5Г - С33 Г1 + -ж)’Н4 = ч+ ж

ио (г, г) = Го (г, г) - Н1 (г, г, 0), и о (г, г) = Го (г, г) - Н1 (г, г, 0),

V* (г, г) = ^о (г, г) - Н2 (г, г, 0), и* (г, г) = IVо (г, г) - Н2 (г, г, 0) .

Функции /1 (г) + /4 (г) определяются из дифференциальных уравнений

Л (г) = й(г) = 0/3'(г) = /4 (г) = °. (2.3)

К преобразованной краевой задаче применяем синус- и косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной г, вводя следующие трансформанты:

“е (г,п,Ь) — и (г, г,Ь)віп(іпг) (1г, (2.4)

о

С ь

тс (г,п,Ь) — у т (г,г,і)со&(іпг) сіг ^П — ^^п — 0, ^

о

с соответствующими формулами обращения

и (г, г, Ь) — ь^2“е (г, п, Ь) віп іпг, (2.5)

п=1

т (г, г, Ь) — , 1тс (г,п,Ь)совіпг, ,п — | ^ (П ^

В результате получаем следующую задачу в пространстве изображений:

2 Сц и8 С55 ,2 (С13 + С55) . дтс (С 13 — С12) . тс д2иа

4 “■—С33^ — е33іЛ-----------------С33 іп~дТ-----С33 ,пТ—-дё = в(2 6)

С55 2 Сц ,2 + (С 13 + С55) . ди8 + (С 12 + С55) . “е д2тс

С33у тс— С33]п'ис + С33 ’"ТТ + —С33—— "Ж — в-с;

г — 1, к “е (к, п, Ь) — —Н1е (к, п, Ь), тс (к, п, Ь) — —Н2с (к, п, Ь) , (2.7)

д“е С13 .

+ УТ~ (“е — іптс) дг С33

— Н3е (1,п,Ь),(дт + іп“Л — Н4с (1,п,Ь);

|т=1 дг |т=1

при Ь — 0:

“е (г, п, 0) — “ое, “е (г, п, 0) — “оя, (2.8)

тс (г, п, 0) — тос, тс (г, п, 0) — тос.

Здесь {“ое (г, п) , “ое (г, п) , В1е,Н1е,Н3е} —

— {“о (г, г),“ о (г, г) ,ВЬНЬН3 } віп іпгйг,

о

{тос (г, п) , тос (г, п), В2с, Н2с, Н4с} —

( ь

— / {то (г, г) ,т о (г, г) ,В2,Н2,Ні} сов іпгйг.

о

На втором этапе решения описанную выше процедуру стандартизации проведем для краевой задачи (2.6)—(2.8) по координате г, используя такое представление:

“е (г, п, Ь) — Н5е (г, п, Ь) + ие (г, п, Ь), тс (г, п, Ь) — Н6с (г, п, Ь) + Шс (г, п, Ь), (2.9)

где Н5е (г, п, Ь) — /5 (г) Н1е (1, п, Ь) + /6 (г) Н3е (к, п, Ь),

Нбс (г, п, Ь) — /5 (г) Н2с (1,п,Ь) + /б (г) НАс (к, п, Ь) .

Если теперь подставить (2.9) в (2.6)-(2.8) и учесть условия

/5 (1) — /5 (1) — /6 (к) — /6 (1) — 0, —/5 (к) — /6 (1) — 1, (2.10)

то получим новую начально-краевую задачу относительно ие (г,п,Ь), Шс (г,п,Ь)

с однородными граничными условиями по координате г. При этом функции

Bls,B2c,uos,Uos,wos,WosCледует заменить на B*s,B*c,Uos,Uos, Wos.Wos по формулам:

Р* = Р V2H + C11 H5s + C55 .2 М + (C13 + C55) . H' +

B1s = B1s — V H5s + 7;-------2-+ 7^—jnH5s +----p;-------jnH6c +

+ (C13 — C12) . Hec + f

+------7----------jn---------+ H5s,

C33 r

B22c = B2c — ^ V2 Hec + C^J2n Hec —

C33 C33

(C13 + C55) . TT' (Cl2 + C55) . H5s + fT

jnH5s--------------------—-Jn--+ Hec,

г'-у ль^^ 5й ^ ль

С33 С33 г

Гоз = и*с - (г, п, 0), иоя = и Ос - Н58 (г, п, 0),

Шос = и*с - Н6с (г, п, 0), VОс = и*с - Н6с (г, п, 0).

Функции /5 (г) , /6 (г) определяются из следующих уравнений:

/5" (г) = (г)=0. (2.11)

Преобразованную начально-краевую задачу (2.6)—(2.8) относительно Гз (г,п,г), Шс (г, п,г) решаем, используя структурный алгоритм метода КИП [14]. Введем на сегменте [к, 1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами вектор-функции ядра преобразования К1 (\п,г), К2 (\п,г):

С (\п,п,г)=( [и8 (г,п,г) К1 (Хы,г) + Шс (г, п,г) К2 (Х^,г)} гйг, (2.12)

■)к

k

ж

G (Xin.n.t) {Kl (Xin.r) , K2 (Xin.r)} ||Kin|| ^

i=1

{Us (r, n, t), Wc (r, n, t)} = J2 G (Xin, n, t) {Ki (Xin, r), K2 (Xin, r)} ЦКЩ-2 , (2.13)

\\Кіп\\2 — [ [К2 (\іп,г) + К| (Хіп,г)] гйг,

■Ік

где Хіп — положительные параметры, образующие счетное множество (і — 1, то).

При этом круговые частоты осесимметричных колебаний цилиндра шіп связаны с Хіп зависимостью

— Хіп IС33 ^іп — ~~і А / .

ь ^ Р

В результате использования структурного алгоритма метода КИП, подробно изложенного в работе [14], получаем выражение для трансформанты

-1, іп

G (Xin. n. t) Go (Xin. n) cos Xint + Go (Xin.t) Xin sin Xint

—Knf F (Xin ,n,T )sin Xin (t — T) dT, (2.14)

o

и с учетом однородных граничных условий вида (2.7) однородную краевую задачу для компонент ядра КИП Ki (Xin,r), K2 (Xin,r):

v?2 K Ci1 Kl C55 j2 k (Cl3 + C55) j k! + \2 K 0 (2 15)

V K1 — 7;-------7 — 77-JnK1-----------7----------JnK2 + XinKi = 0. (2Л5)

C33 r2 C33 C33

C55V2K C11 -2 K + (C13 + C55) . (+ КЛ + X2 K = 0.

y^V K2 — JnK2 + 7 Jn [ K1 + + XinK2 = 0;

C33 C33 C33 \ r )

r = 1,k : Kl (Xin,k)= K2 (Xin,k)=0, (2.16)

К + ^ (Ki - jnK2)

C33

— 0; (К2 + 3nKl)\r=i — 0

|r=l

Здесь F (Xin, n,t) — fk (B*sKi + B2K2) rdr,

Г1

{Со (Хы,и), О о (хп,н)} = ^ [\UosKi + ШогК2], \UosKi + Ш0сК2]} твт.

Система (2.15) сводится к следующему разрешающему дифференциальному уравнению IV порядка относительно функции К (Х^п,т) :

2

3

3

KiV + rKi + ( &iin - r ) K1 + ( ~T~ + Г3 ) Ki + ( b2in - ~rr - Г4 ) Ki —0; (2Л7)

biin 3

где biin — X2n (1 + §3) + J Cl3(CieS5)-C323 ,

, _ C3^4 .2\2 Л C3^ .4

b2in — -pr~ Xin - jnXin I 1 + ~Fr~ ) + jn ■

C55

При приведении краевой задачи относительно Us {г,п,Ь), Шс (т,п,1) к (2.17) использовались условия:

С12 = С13, Сц = С33, (2.18)

первое из которых позволяет получить самосопряженными исходную относительно и'ц {г,п,Ь), Шс {г,п,Ь) и преобразованную (2.15) системы уравнений, а второе — привести (2.15) к (2.17).

Дифференциальное уравнение (2.17) допускает факторизацию на коммутативные сомножители

d2 1 d 2 1

+ Ain-------о

d2 1 d ( d2 1

dr2 + r dr + T in r2

Ki (Xin, r) —0 (2.19)

при удовлетворении двух основных случаев отношения коэффициентов для расчета пьезокерамического цилиндра

где

^ S ' jn < Xin < jn; 2) jn < X

biin fb2,.

(2.20)

A

iin

~2~

+

in - b2i

Din — (A2n T bin)2 ,

S — C33 - Ci3 (Ci3 + 2C55)

C33 (C33 + C55)

Верхний знак в равенстве (2.19) соответствует первому варианту отношения коэффициентов (2.20), нижний — второму случаю. Кроме того, для пьезокерамического материала [3] постоянная S б]0, 5;0, 8[.

Общий интеграл равенства (2.19) определяется выражением:

1) Ki (Xin; r) — NiinJi (Ainr)+N2inYi (Ainr)+N3inIi (Dinr) + N4inKi (Dinr) ; (2.21) 2) Ki (Xin,r) — NiinJi (Ainr) + N2inYi (Ainr) + N3in Ji (Dinr) + N4inYi (Dinr) ;

Jv (■■■) ,Yv (■■■),Iv (■■■), Kv (■■■) — обыкновенные и модифицированные функции Бесселя 1-го и 2-го родов порядка v.

3

Располагая выражениями (2.21), из системы (2.15) находим К2 (Xin,r)

^ К2 (Xin,r) — b3in {Ain (b4in — Afn) [NiinJ0 (Ainr) + N2inY0 (Ainr)] + (2.22)

+N3inDin (b4in + Din) I0 (Dinr) - N4inDin (b6in + Din) K0 (Dinr) j ;

2) K2 (Xin, r) — b3in {Ain (b4in — Ain) [Niin J0 (Ainr) + N2inY0 (Ainr)] +

+Din {p4in - Din) [N3inJ0 (Dinr) + N4inY0 (Dinr)]} ;

C55 Л 2 , -2 Ci3 (Ci3 + 2C55)

—зіп =---------r

-4in = Xi2n + jn2

jn (Ci3 + C55) (X2n + b2injnУ m Jn C33C55

Подстановка (2.21), (2.22) в граничные условия (2.16) формирует однородную систему уравнений относительно постоянных Nnn + N4in. Разыскивая ее нетривиальные решения, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений Xin, а также выражения постоянных Niin + N4in:

det [Bsu] —0 (s — 1,4; ш — 1,4) ,

(2.23)

B

1.

B

C

Z1 (Pink) , B2. = Pin (-6in — Pin) Zo (Pink) ,

1 — C13jn-sin (-6in — Pin) Ьзз

Zo (Pin) ■.

В4ш — [jn - b5inPin (b6in - PL)] Zi (Pin) ,

ш —1, 2 Pin — Ain, Ш — 3,4 Pin — Din,

ш — 1, 3 Zv — Jv (■■■) , ш — 2, 4 Zv (■■■) — Yv ^■^ ■

Без ограничения общности принимая

Niin — 1,

(2.24)

оставшиеся постоянные интегрирования определяются при решении следующей системы неоднородных уравнений:

(2.25)

B22 B23 B24 N2in B21

B?^2 ^з B34 x N3in =— B31

B42 B43 B44 N4in B41

S. Расчетные соотношения

Заключительным этапом исследования является определение функций /і (г) + /4 (г), /5 (г), /б (г), входящих в представления (2.1), (2.9). Для этой цели воспользуемся дифференциальными уравнениями (2.3), (2.11) и соответствующими граничными условиями (2.2), (2.10). В результате имеем

/і (г) = І1 - Ю , /2 (г) = V

f ( ) = C^( z2 +3L

/з (z) = оГЛ2L — z + T

/s (r) = — (1 — k)-2 (r — 1)2 , /s (r)

f ( )= CW( z2 L

/4 (z) = — аТЛ2L — 8

(1 - к)-1 [т2 - (к +1) т + к]. (3.1)

Применяя к трансформанте (2.14) последовательно формулы обращения КИП (2.13) , а затем конечных синус- и косинус-преобразований Фурье (2.4), получаем с учетом (2.1), (2.9) следующие разложения для и (т,г,Ь), Ш (т,г,Ь):

и (т, х, Ь) = Н1 (т, х, Ь) +

>г-1

н5а (г, п,г) + ^ о (Хи,п,г) к.1 (\ги,г) ||К

иг2

г=1

Зиг, (3.2)

Ш (г, г, г) = Н2 (г, г, г) +

Ж

1

и=0

соб Зиг.

н6с (г, п,г) + ^2о(\т,п,г) К2 (Хи,г) \\Ки\\

1=1

Равенства (3.2) удовлетворяют дифференциальные уравнения (1.5), краевые (1.6), (1.7) и начальные (1.8) условия, т. е. представляют замкнутое решение рассматриваемой начально-краевой задачи теории упругости.

4. Построение общего решения краевой задачи электростатики

Решение осуществляется методом интегральных преобразований, используя последовательно конечные косинус-преобразование Фурье по переменной г и преобразование Вебера по радиальной координате г [13].

Приводим краевую задачу (1.9)—(1.11) к стандартной форме на основе такого представления:

ф (г, г, г) = Н7 (г, г,Ь) + х (г, г, г), (4.1)

где

, г . , (ЗШ ди\ . . (дШ ди"

Н (г,г,1) = Л м е,5 (^ + д^)и=а+Л Ы «.4 тг +

Подстановка (4.1) в (1.9)—(1.11) преобразует их к следующему виду:

у2х + — дх = ¥*; (4.2)

£33 дг2

г = 0,Ь дХ =о; (4.3)

1 дх

г = 1,к х (к,г,г) = -Н (к, г, г), —33£33«-5 — = Н8 (1,г,г), (4.4)

дг \т=1

н (и + дШ\ + ди с _1 дн л„ «15 У ^2 н £11 д2Н7

Не = «31------+ — + «33-----—33£33«-5 —— ,У = —-----------У — V Н7------—2-.

\г дг ) дг дг -33833 £33 дг2

Функции / (г), / (г) удовлетворяют краевым условиям

/7 (0) = /8 (Ь) = , /7 (Ь) = / (0) = 0, (4.5)

—33£11

/7 (0) = —/7 (Ь) , /8 (0) = —/8 (Ь) , и определяются при решении следующих дифференциальных уравнений:

/7"(г) = /88'(г) = °. (4.6)

В результате имеем

; ( )= «15 ( г2 , Ь\ г ( ) = «15 (г2 Ь

/7 (г) = -33£Т Г 2Ь +г — -/8 (г) = -3£т( 2Ь — 4.

Применяем к (4.2)—(4.4) косинус-преобразование Фурье по переменной г. В результате получаем следующую задачу:

V2Хc — —З2т Хс = Ус; (4.7)

£33

дх

г = 1,к Хс (к,т,г) = -Н7с (к,т,г), С33Є33Є—1—- = Н8с (1,т,г), (4.8)

ОТ |г=1

{хс (г,т,г) ,У-,Н7с,Н8с} = I {х (г, г, г), У*,Н7,Н8} совз„Мг

тп

Зт = т = 0, го) .

Используя процедуру стандартизации по координате г к краевой задаче (4.7), (4.8), представляем трансформанту Фурье в виде

Хс (г, т, г) = Щс (г, т,г) + Ъс (г, т, г), (4.9)

где Ндс (г, т, г) = —Н7с (к, т, г) + /9 (г) Н8с (1,т,г) , и, если учесть условия

/9 (к) = 0/9 (1) = , (4.10)

-33£33

получаем новую краевую задачу относительно Ъс (г, т, г)

V2 Ъ — — З2т Ъ = Ес; (4.11)

£33

дЪ

г = 1,к Ъс (к, т,г) = 0, с =0. (4.12)

дг \г=1

Здесь Ес = Ус — У2Н9с + ^з1Н9с.

Решение уравнения

/9 (г)=0 (4.13)

при удовлетворении условий (4.10) позволяет определить

/9 (г)= г«1£5 (г — к). (4Л4)

-33£33

Применяем теперь к задаче (4.11), (4.12) конечное интегральное преобразование Вебера [13] по переменной г, вводя следующую трансформанту:

Ън (£х,т,г)= ( Ъс (г,т,г)[Уо (£хк) ^1о ($хг) — ^1о (£хк) Уо (£жг)] гйг (4.15)

1к

с соответствующей формулой обращения

Ъ(гтг) = 2п2 V Ън (*х, т, г) [Уо (£хк) Jо (£хг) — ^ (£хк) Уо (&)] (4 16)

х= п2 [Уо (Схк) .7о (х — (£хк) Уо (£х)]2 — 4С12 '

Здесь £х (х = 1, то) — положительные параметры, образующие счетное множество, определяемые из такого трансцендентного уравнения

^ (£хк) У1 (&) — ^ (Ь) Уо (£хк) = 0. (4.17)

В результате получаем следующее алгебраическое уравнение для Ън

Ън (€х, т,г) = — ^ + £13зт^ ^ Ес [Уо (£хк) 1о (£хг) — ^ (£хк) Уо (£хг)] • гйг.

к (4.18)

Заключительным этапом исследования краевой задачи (1.9)—(1.11) является определение электрического потенциала ф (г, г, г). Применяя для этого к трансформанте (4.18) последовательно формулы обращения (4.16) и косинус преобразования Фурье, с учетом (4.1), (4.9) получаем

Ф (г, г,г) = Н7 (г, г,г) +^2 пт сов(Зтг) {Щс (г,т,г)+ (4.19)

+2п2 у Ън (Сх, т, г) [Уо (Схк) ^ (Схг) — Jо (Схк) Уо (Схг)] )

П п2 [Уо (Схк) ^ (Сх) — ^ (Схк) Уо (Сх)]2 — 4£-2 ) ,

где П = I Ь (т = 0),

где \1т = | ь/2 (т = 0).

Разность потенциалов Q (г) между электродированными радиальными поверхностями определяется по формуле [15]

Q (г) = Ь-1 I ф (1,г,г) йг, (4.20)

о

которая с учетом отсутствия касательных напряжений при г = 1 и разложения (4.19) окончательно принимает следующий вид:

Q (г) = Ь-1 \щс (1, 0, г) + 2п2 У2 Ън ^ 0,г)[Уо (Схк) ^ (Сх) — J0 (Щ Уо (Ы] ) .

\ х=1 п2 [Уо (Схк) ^ (Сх) — ^ (Схк) Уо (Сх)]2 — 4С-2 /

5. Численный анализ результатов

В качестве примера рассматривается пьезокерамический цилиндр (Ь = Н = = 1, а = 0, 5) из состава ЦТС-19 [4] с мембранным закреплением его торцов (и = = и2 ) при действии на внешней радиальной поверхности следующего воздействия:

д (г, г) = д (г) бш вг.

Рассматриваются различные варианты приложения нагрузки: 1 — по всей поверхности д (г) = до, 2 — на нижней половине д (г) = до [1 — Н (г — Ь/2)], 3 — на нижней и верхней трети д (г) = до [1 + Н (г — 2Ь/3) — Н (г — Ь/3)] исследуемого элемента.

Здесь до — амплитудное значение нагрузки, в — частота вынужденных колебаний (в = 0, 2Хц, Ап — собственное значение основного тона колебаний цилиндра [14]), Н (...) — единичная функция О. Хэвисайда соответствующего аргумента, т. е.

1 при г ^ 0,

Н(г)

у ' 1 0 при г < 0.

На рис. 5.1, 5.2 приведены графики, описывающие изменение амплитудных значений электрического потенциала ф (г, г, г) вдоль аксиальной и радиальной координаты. Результаты расчета показывают, что характер загружения цилиндра оказывает существенное влияние не только на величину ф (г, г, г), но и на закон его изменения.

На рис. 5.3 показаны эпюры электрического импульса Q (г) + г. Следует отметить, что даже при низкочастотном внешнем воздействии (в = 0, 2Ац) допущение о стационарном режиме вынужденных колебаний, как правило, используемое при исследовании подобных динамических задач электроупругости, приводит к искажению реальной картины.

Для оценки достоверности полученных результатов был рассмотрен незакрепленный цилиндр состава PZT-4 [1] (к = 0, 6, Ь = 4) при и = и2 =0 и определены частоты собственных колебаний. Численные значения сравнивались с величинами, полученными вариационно-разностным методом и подтвержденными экспериментальными измерениями. В [1] были представлены безразмерные частоты при исследовании связанной задачи, соответствующие одной Пц = 0, 424 и трем

Рис. 5.1

<>(і,г,г)хС»?і

Рис. 5.3

Піз = 0, 818 полуволнам по высоте цилиндра (Піп = шіп, .-X = 1010, Н/м2). Частоты собственных колебаний шц,шіз полученные в настоящей работе, соответственно на 8,3 и 2,1 % ниже результатов, приведенных в [1], поскольку связанность электрических и механических полей напряжения приводит к ”ужесто-чению”материала [10].

В заключение следует отметить, что данный алгоритм позволяет также решить

несвязанную задачу обратного пьезоэффекта. При этом используется допущение,

что механические деформации не оказывают влияния на электрическое поле.

Литература

[1] Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук. думка, 1990. 228 с.

[2] Мельник В.Н., Москальков М.Н. О связанных электроупругих нестационарных колебаниях пьезокерамического цилиндра с радиальной поляризацией // Вычисл. математика и мат. физика. 1988. Т. 28. № 11. С. 1755-1756.

[3] Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических

и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

[4] Шляхин Д.А. Динамическая осесимметричная задача прямого пьезоэффек-

та для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра // ПМиТФ. 2010. Т. 51. № 1. С. 153-161.

[5] Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в эле-

ментах конструкций. Киев: Наук. думка, 1989. 279 с.

[6] Радиальные колебания цилиндрической пьезокерамической оболочки / В.С. Дидковский [и др.] // Электроника и связь. 2009. № 6. С. 31-40.

[7] Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник Н.А. Распространение волн в электромагнитоупругих средах. УРСС, 2003. 336 с.

[8] Паньков А.А., Соколкин Ю.В. Решение краевой задачи электроупругости для пьезоактивных композитов методом периодических составляющих // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. № 3. С. 365-384.

[9] Лоза И.А. Свободные колебания пьезокерамических полых цилиндров с радиальной поляризацией // Математические методы и физико-механические поля. 2009. Т. 52. № 4. С. 138-144.

[10] Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Лоза И.А. Об одном подходе к исследованию колебаний полых пьезокерамических цилиндров // Доклады Национальной академии наук Украины. 2009. № 6. С. 61-67.

[11] Сеницкий Ю.Э. Осесимметричная динамическая задача для короткого толстостенного цилиндра // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Горький: Горьковск. гос. ун-т, 1980. С. 127-135.

[12] Сеницкий Ю.Э. К решению осесимметричной задачи динамики для анизотропного короткого толстостенного цилиндра // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 8. С. 95-100.

[13] Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. М.: Иностр. лит., 1955. 668 с.

[14] Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. 173 с.

[15] Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

Поступила в редакцию 25//V/2010;

в окончательном варианте — 20/1/2011.

UNJOINTED AXIALLY SYMMETRIC DYNAMICAL PROBLEM OF ELECTROELASTICITY FOR RADIALLY POLARIZED CYLINDER

© 2011 D.A. Shlyakhin2

The unjointed axially symmetric nonstationary problem of direct piezoelectric effect for non-isotropic piezoceramic radially polarized cylinder at action of its external radial surfaces of the normal stresses being arbitrary functions of axial coordinate and time is regarded. The new closed solution is constructed by the method of expansion in eigen vector-functions in the form of structural algorithm of finite transformations. Received correlations allow to define the natural-vibration frequency, the stress-strain state of the element, and also the potential and intensity of the induced electric field.

Key words: unjointed problem of electroelasticity, piezoceramic cylinder, axially symmetric dynamic stress.

Paper received 24/IV/2010. Paper accepted 25/I/2011.

2Shlyakhin Dmitry Averkievich (sgasuSsgasu.smr.ru), the Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russian Federation.