Динамическая осесимметричная задача прямого пьезоэффекта для круглой биморфной пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Шляхин Д. А. Динамическая осесимметричная задача прямого пьезоэффекта для круглой биморфной пластины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 1. -С. 164-180. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.1.10

Shlyakhin D.A. Dynamic axisymmetric problem direct piezoeffect for round bimorph plate. PNRPUMechanics Bulletin. 2017. No. 1. Рр. 164-180. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.1.10

ПНИПУ

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА

№ 1,2017 PNRPU MECHANICS BULLETIN

http ://vestnik.pstu. ru/mechanics/ab out/inf/

001: 10.15593/регш.шесЬ/2017.1.10 УДК 539.3

ДИНАМИЧЕСКАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ КРУГЛОЙ БИМОРФНОЙ ПЛАСТИНЫ

Д.А. Шляхин

Самарский государственный технический университет, Самара, Россия

О СТАТЬЕ АННОТАЦИЯ

Рассматривается динамическая осесимметричная задача для круглой биморфной конструкции, состоящей из металлической подложки и пьезокерамической аксиально поляризованной пластины. Ее изгибные колебания осуществляются за счет действия на торцевой поверхности механической нагрузки (нормальных напряжений), являющейся произвольной функцией радиальной координаты и времени. Учитывается жесткое и шарнирное закрепление цилиндрической поверхности пластины. Исходные расчетные соотношения сформулированы для пьезокерамического материала с гексагональной кристаллической решеткой класса 6 mm. Для решения задачи теории электроупругости в трехмерной постановке используются конечные интегральные преобразования Ханкеля по аксиальной координате и обобщенное преобразование (КИП) по радиальной переменной. При этом на каждом этапе решения проводится процедура стандартизации, которая позволяет реализовать соответствующий алгоритм преобразования. В первом случае краевые условия представляются в смешанной форме, а во втором приводятся к однородным путем введения вспомогательных функций. Данный подход позволяет получить точные, в рамках используемых моделей, расчетные соотношения в наиболее общем виде.

Построенное замкнутое решение позволяет определить частотный спектр собственных осесимметричных колебаний, напряженно-деформированное состояние и характер изменения индуцируемого электрического поля биморфной пластины. Это дает возможность на основании анализа связанности электрических и механических полей напряжений научно обосновать конструктивные решения проектируемых приборов, определить способ фиксации электрического сигнала, подобрать все геометрические, а также физические характеристики типовых элементов пьезокерамических преобразователей.

Разработанный алгоритм решения позволяет также решать задачи теории упругости и электроупругости для круглых толстых и тонких пластин с произвольным количеством слоев при наиболее общих условиях загружения без использования кинематических гипотез.

© ПНИПУ

Получена: 26 ноября 2016 г. Принята: 15 марта 2017 г. Опубликована: 30 марта 2017 г.

Ключевые слова:

биморфная пластина, задача прямого пьезоэффекта, теория электроупругости, динамическая нагрузка, конечные интегральные преобразования

© Шляхин Дмитрий Аверкиевич - доктор технических наук, доцент, e-mail: d-612-mit2009@yandex.ru Dmitry A. Shlyakhin - Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, e-mail: d-612-mit2009@yandex.ru

DYNAMIC AXISYMMETRIC PROBLEM OF A DIRECT PIEZOEFFECT FOR A ROUND BIMORPH PLATE

D.A. Shlyakhin

Samara State Technical University, Samara, Russian Federation

ARTICLE INFO

Received: 26 November 2016 Accepted: 15 March 2017 Published: 30 March 2017

Keywords:

bimorph plate, direct piezoelectric effect, theory of electro-elasticity, dynamic load, finite integral transformations.

ABSTRACT

The dynamic axisymmetric problem for a round bimorph structure consisting of the metal substrate and the axially polarized piezoceramic plate is considered. Its bending modes are caused by the action of the mechanical loading (normal tension) on the side surface; the loading is a function of the radial coordinate and time. The rigid and hinge supports of the plate are considered. The initial design relations are formulated for the piezoceramic material with the hexagonal crystal lattice of the 6 mm class. In order to solve the problem of the theory of electrodynamics in a three-dimensional formulation, the finite integral Hankel transformations along the axial coordinate and a generalized transformation (FIT) over the radial variable is used. At each stage, the standardization is carried out which allows implementing an appropriate transformation algorithm. In the first case the boundary conditions are presented in a mixed form; and in the second case they are homogeneous by introducing auxiliary functions. This approach allows gaining precise (within the used models) calculated ratios in a most general form.

The built closed solution allows defining the frequency range of the axisymmetric oscillations, the stress-strain state and the nature of the changing induced electric field of the bimorph plate. This makes it possible to establish the conventional solutions of the designed devices, determine a way of fixing the electrical signal, pick up all the geometrical and physical characteristics of the typical elements of the piezoceramic transducers

Also, the developed solution allows solving the problems of the elasticity and elec-troelasticity theory for circular thick and thin plates with an arbitrary number of layers under most general loading conditions without the use of kinematic hypotheses.

© PNRPU

Введение

В различных технических устройствах используются пьезокерамические датчики в виде тонких биморфных пластин [1-8]. Как правило, они состоят из двух жестко соединенных круглых пьезокерамических пластин с противоположной или параллельной направленностью вектора поляризации. Для повышения механической прочности в рассматриваемой конструкции применяется металлическая подложка [9, 10].

Расчет пьезокерамических многослойных конструкций в основном выполняется с помощью прикладных теорий для тонких пластин [11-13], в которых кинематические гипотезы дополняются аналогичными допущениями о характере изменения электрического поля [14-21]. Для более полного учета связанности физических полей в многослойных пьезокерамических пластинах в работах [22, 23] было проведено исследование и получено замкнутое решение нестационарной задачи обратного пьезоэффекта в трехмерной постановке. На основании численных результатов сделан вывод, что при аксиальной поляризации материала напряженность электрического поля по высоте тонкой пластины изменяется по линейному закону. Кроме того, установлено, что при использовании сплошного электродного покрытия касательными напряжениями, возникающими в конструкции, можно пренебречь.

В настоящей работе рассматривается нестационарная задача прямого пьезоэффекта для асимметричной (отсутствует симметрия физических свойств материала относительно нейтральной плоскости) сплошной биморфной пластины с жестким, а также шарнирным закреплением ее цилиндрической поверхности.

1. Постановка задачи

Пусть круглая двухслойная пластина, занимающая в цилиндрической системе координат (г*, 0, г*) область О: (0 < г* < Ь, 0 <9<2л, 0 < г* < И*}, состоит из пьезокерамиче-

ского элемента высотой И*, выполненного из аксиально поляризованного (электроупругого) материала с гексагональной кристаллической решеткой класса бшш , и металлической (упругой) заземленной подложки толщиной И* (И* = И* + И*). Изгибные осесимметричные колебания возбуждаются за счет действия на лицевой поверхности конструкции (г, = 0) механической динамической нагрузки (нормальных напряжений)

д (г*, /*), являющейся произвольной функцией радиальной координаты г* и времени t* (рис. 1). Подключение электродов к измерительному прибору позволяет зафиксировать величину и форму электрического напряжения V*(/*). Рассматриваются случаи жесткого, а также шарнирного закрепления цилиндрической поверхности конструкции.

Рис. 1. Биморфная пластина Fig. 1. Bimorph plate

Дифференциальные уравнения движения и электростатики в цилиндрической системе координат и безразмерной форме имеют следующий вид [24, 25]*:

±VU+ddU, (c()+ C55}) a2W + (ез1 + ei5) а2ф _)dU

dr dz2 C1(1s) drdz e33 drdz dt2

C5|)Vdw + C£dW,(c(s)+ c55)))VU+£15Ф(s)d2W=0

C1(1s) dr Ctf dz2 Ctf dz e33 dr dz2 dt2 :

(£31 + e.5) AVU + Ъ VdW + dW _Cfeu = 0.

e33 dz e33 dr dz2 e^3 dr e^3 dz2

* При исследовании упругой среды (5 = 1) система (1.1) состоит только из уравнений движения, сформулированных относительно компонент вектора перемещений.

Граничные условия на цилиндрической поверхности определяются равенствами

г = 0,1

Ж (0, г,г)<ю, и (0, г, г)<да, ф( 0, г, г)<ю.

Ягг=1 = "

С1(1)в11 дф е15 (дЖ ди

е33 дг

е33 V дг дг

= 0;

(1.2)

жесткое защемление

шарнирное закрепление

Ж (1, г, г ) = 0,

Ж (1, г, г ) = 0, и (1, г, г ) = 0;

Я = + СЦи + СЦЗЖ+ £»дФ = 0

°гг|г=1 С<? дг С« г С« дг езз дг '

(13)

(1.4)

Первые три неравенства (1.2) являются условиями регулярности решения для сплошной пластины, а последнее учитывает отсутствие электродного покрытия.

Граничные условия по аксиальной координате формулируются следующим образом:

г = 0

г = И

=

С(2) С(2) дЖ Уи 1

С

(1) 11

С« дг 4 ' °гг С« I дг

С5(52) (дЖ ди

= 0;

( С(!)

уи+СИдК+дф] =( С? уи+дЖ + дф

Л

С

V11

(1)

С^ дг дг

( С (2)

С55 ГдЖ ди] е^дф С1(11) V дг + дг Г е33 дг

С

V 11

г+0

(1)

С1(1) дг дг

(15) (1.6)

-0

С5(52) ГдЖ | ди4 Сф V дг + дг ,

|г-0

и (г + 0) = и (г - 0), Ж (г + 0) = Ж (г - 0), ф(г + 0) = 0;

г = И

С(1) Суч дЖ дФ

=

С}? С^ дг дг

(1.7)

С

=

55'(дЖ ди'

е15 дФ

с1|)833 дф

с111} V дг дг

~15^.= 0, А =-^3!^ уи +

е33 дг

£ 3 дг £33

дЖ дг

= 0.

Равенства (1.6) являются условиями совместности напряжений, деформаций и заземления подложки. Кроме того, последнее равенство (1.7) учитывает подключение электро-дированной поверхности пьезокерамической пластины к измерительному прибору с большим входным сопротивлением, что соответствует режиму «холостого хода» (отсутствию свободных электрических зарядов).

Начальные условия задаются в общем виде и позволяют определить состояние пластины в момент приложения нагрузки:

г = 0

ди

и (г, г,0) = и0 (г, г), — = ио (г, г),

дг |г=0

Ж (г, г,0) = Ж0 (г, г), ^ = Ж0 (г, г).

(1.8)

дг

г=0

Перевод размерных функций и переменных в безразмерные величины производится по формулам

{и ,ж, и,,иг, 7, и,и,, и2 } = {и *,ж *, и;, и; , г*, г», и*, и*, и;} / ь

ф(г, г, Г) = ф* (г, г, Г) -езз/(ЬС«), t = КЬ"VС1(12Ур(2) .

1

Ч

Ч = ■

В равенствах (1.1)—(1.8) приняты следующие обозначения: и" (г*,г*,4), Ж" (г*,г*,4), арт (г*,г*,t*) - компоненты вектора перемещений и тензора напряжений (р,т = г,г); Д. (г*,г*,4), Д (г*,г*,4), ф * ( г*,г*,4) - компоненты вектора индукции и потенциал электрического поля; етк, в11, в33 - пьезомодули и коэффициенты диэлектрической проницаемости электроупругого материала (т, к = 1,5) ; р(4), С^ - объемная плотность, модули упругости электроупругого (4 = 1) и упругого (4 = 2) материалов; и,,и,, Ж*,Ж,* - извест-

() С(2)р(1)

ные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений; Ф ; =—, , ,

С1(11)р(2)

ф(2)= 1, у^д.

дг г

Соотношения (1.1)—(1.8) представляют математическую формулировку рассматриваемой краевой задачи электроупругости.

2. Построение общего решения

На первом этапе решения краевой задачи (1.1)—(1.8) используется метод конечных интегральных преобразований Ханкеля по радиальной координате г [26]. При этом данное преобразование позволяет удовлетворить только смешанные граничные условия. Для выполнения данного требования необходимо:

— для жесткого закрепления первое равенство (1.3) заменить на условие отсутствия на цилиндрических поверхностях пластины ( г = 1) касательных напряжений:

а С^(д№ Ю У е,5 дф

а="=' = сят*г ез; »=0' (21)

— для шарнирного закрепления последнее соотношение (1.2) заменить условием наличия потенциала электрического поля ф1 (г, t) на цилиндрической поверхности при г = 1:

ф(1, г, t) = ф1 (г, t) . (2.2)

Кроме того, вводятся новые функции и (г, г, t), w (г, г, t), ф(г, г, t), связанные с и (г, г, t), Ж (г, г, t), ф(г, г, t) соотношениями

и(г, г, t) = N1 (г, г, t)Н (г -И2) + Ы2 (г, t) + и (г, г, t), (2.3)

Ж (г, г, t) = Р (t) + w (г, г, t), ф( г, г, t) = Ф1 (г, t) + ф (г, г, t),

N (г, г, г) = -

въх 5ф! ^г) ( 5ф1

2е33 дг

дг

= 0 фц^ = 0|, N2 (Г, г) = (г2 - г) д (г, г).

Здесь Н (.)-единичная функция Хэвисайда [27]; Р1 (г), ф1 (г, г) - неизвестные функции,

определяемые в процессе решения задачи соответственно из условий отсутствия вертикальных перемещений цилиндрической поверхности (г = 1) пластины при г = 0 (первое равенство (1.3)) и радиальной компоненты вектора индукции электрического поля при г = 1 (последнее равенство (1.2)).

В результате подстановки (2.3) в (1.1)—(1.8), (2.1), (2.2) получаем новую краевую задачу относительно функций и, м/, ф . При этом дифференциальные уравнения (1.1), первое условие (1.5), первые два условия (1.6) и равенства (1.7) становятся неоднородными с правыми частями Я1 ^Я3,В1 ^В6, а начальные условия и0,1!0,Ж0,Цг0 следует заменить на и0,й0,м>0,мм0:

' д С(1) д2 _у + 55

дг Сф дг2

-ф (1)^1

дг2

N1Н (г -2 )-

АУи -ф «^и

дг дг2

N.

2

^ =

( + С(5) + г.:е»+( + ) +1

С (1)е 11

33

33

д2ф1 Н(г-И2) + Ф« д2Р

дг

дг2

Я3 =

^^1(1)^33 + (31 + е15 )е31 д ^ ц/ 7 \ п -¡2-'2), В1

1 -

С

13

С (1) 11

( - 2 )

g,

С (2) - СI1) В2 = 43 (143 (3г-2)д-

С«

С(1)е I

1 - ^ 13 С31

с

(1)

В4 = -с^у(3г -2К В6 =

С (1)е V ^1^33 у

^33 I ¡321 дф1 ¡'

^ В3 = В5 = г ^^ф^!

дг 3 5 2С(1)е33 дг2

¡3 3 дг ¡33

(3г -2)д, М0 = Ж0 -Р,г

=0 '

мм 0 = Ж - Рр,г=0, и0 = и0-[NlH (г - Ъ2) + N2 ]|г=0, щ = Й0-[^Н (г - И2) + N.

г=0 '

а краевые условия (1.2)—(1.4) принимают следующий вид: — жесткое закрепление

и (1, г, г ) = 0,

дЖ = 0 дф = 0.

дг |г=1 ' дг |г=1

шарнирное закрепление

Ж (1, г, г ) = 0, ф(1, г, г ) = 0 Щг=1 = 0.

(2.4)

(2.5)

Здесь следует отметить, что в отличие от классической постановки задач теории упругости в настоящем исследовании «жесткое» закрепление (2.4) характеризуется также отсутствием угла поворота. Кроме того, последнее условие (2.5) получается при С^ = С^. Только в этом случае, в дальнейшем, дополнительные внеинтегральные члены в первом трансформированном уравнении (1.1) равны нулю.

Применяем к краевой задаче (1.1)—(1.8), (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) относительно функций и, w, ф конечные интегральные преобразования Ханкеля, используя следующие трансформанты:

1

ин ((,гt) = |и(г,гt) ( (пг)Лг, (2 6)

0

1

{{ ( (п , г, t) , фн ( (п, г, t)} = | { (г, ^ t) , ф (г, г, t)} г^0 (Лг)Ж,

и формулы обращения

!(г,г,t) = 2]Г .г), (2.7)

п=1 Л (Л )

{ ( Л ( t)} О^К (Jn, г, t) , фн (Л, г, t)} , (. )

{ (г, г, t), ф(г, г, t)} = -——о-Ч (.„г),

п=0 Л (.п )

где .п - положительные нули функций J1 (.п), J0 (.п) соответственно при жестком и шарнирном закреплении пластины, расположенные в порядке их возрастания (п = 0, да; .0 = 0); Л (.п )= Jo (.п) при жестком и £ (.п ) = Jl (.п) при шарнирном закреплении.

В пространстве изображений получаем новую краевую задачу:

- . 2и + С5? Л 2ин - (^В^5/) (е31 + е15 ) . Л фн - ф(,) д 2ин = р (2 8)

.ин с?^2 <? ■/п~л е3~Ф иг"Кш, (8)

- с£ ^ + С3? Л2wн (<СВ}+ С(}) Лин - е^ .2ф + Л2фн - Ф(4) д2н = Р

<(?) Л^ + <(?) Лг2 + с« . Лг е33 .фн + Лг2 Ф дt2 ^,

(е31 + е15) . Лин е15 2w + Л2wн + С^ц 2ф СП1}В33 Л2фн = р .

-Л "Л---Jnwн +-— Лфн--2--~Т— - р3н ;

е33 &<г е33 Лг е3 3 е33 лг

7 = 0 С1(32) + С332) ^н = Б С52) Г дин . 1 = 0 (2 9)

г=0 Ж .пин + =Б1н, ШТ - JnWн 1 =0; (2.9)

с;?-_С;2) . + С33}- c3з2)дwн + дфн

"11

г = И2 13 " 13 .пин + 33 "33 н +^ = Бзн, (2.10)

2 гф н С1 дг дг 2 н V 7

С55) - С5 З' Г дин . ^ е-

'55 55 у ,„ 15 .. _ о

~СТ" - Jnwн е^ . фн = Б3н,

( г + 0)-ин( г - 0) = 0, Wн(г + 0)-Wн(г - 0) = 0, фн = 0;

г = И СИ . и + ^^ + 3Фн = Б (211)

г И С? .ин + С{? дг + дг "Б4н, (2.11)

ин

С55)ГдиН . | ¡15 • ф = В ¡31 Ли +дмН ^33 дфН = В Лпмн I--ЛпфН = В5Н , -Лпин +-Г---2--Т" = В6

С(1)1 дг п Н) ¡ ~5Н' ¡ ->п"Н дг ¡2 дг

11 33 33 33

г = 0 и ((п , г,0)= и0Н (Л , г) , Щ (Jn , г,0)= и0Н (Jn , г) , (212)

МН ( (п , г,0) = М0Н (Л , г) , МН (Л , г,0) = М0Н (Л , г) .

где {{,В3Н,В5Н> ^ /^,КВ5> ((), {{

Н , ^ Н , В1Н , В2 Н , В4 Н , В6 Н } = {{{ ^ В1, В2 ,

0 0

В4, В6} гУ0 (лг) ¿г.

На втором этапе решения используется обобщенный метод конечных интегральных преобразований (КИП) [28] по координате г. Предварительно выполняется процедура стандартизации, связанная с приведением граничных условий (2.9)—(2.11) к однородным, с помощью следующих разложений:

иН ( (п , ^ г ) = 51н ( ^ г ) + иН ( Л , г, г ) ,

Мн ( Л, г, г) = Г2Н (г, г) + Жн (Лп, г, г), (2.13)

фн ((п , г, г) = ^3Н ( г, г )+Хн (Л , г, г) .

С(1) - С(2)

В случае жесткого закрепления, принимая во внимание ф1 = 0, В2Н = —12— 13 В1Н ,

С1 •

13

С(1) C(1)¡ В4Н = С!) В1Н , В6Н = С^ В1Н , имеем

С13 С13 ¡33

*1н = 0, ^ = / (г)В1н [1 -Н (г -И2)] + / (г)ВШН (г -И2), 73Н = / (г)ВшН(г-'), а при шарнирном закреплении, с учетом Р1 = N2 = 0, получаем

!1н = / (г )Дн [1 - Н ( г - К )] + У2 ( г ) ВЪнН ( г - Ь2), 72н = /3 (г)В6нН (г -Н2) , 73Н = / (г) В^Н (г -К2).

В результате подстановки (2.13) в (2.8)—(2.12), при учете соотношений: при жестком закреплении

С (1)

/1'(0)= /1(К2 )= (2.14)

С33

/1 ('2)=/2('2)=/ЛК)=0, /;{н2)=л, /;(н)=4, /;(л)=^3,

п * 0: /1 (0) = 0, /2 (К) = 0 /3 (К) = 0,

С(1)С(1) С(1)(С(1)8 + ¡ ¡ ) (С(l)¡ - С(l)¡ ) ¡

а = ^ 1^13 а = 4_'- А =

С33 С13 С13 ) (С33))^33 + ¡33 ) С13 ) (С33))^33 + ¡33 )

при шарнирном закреплении

C

(1)

f (0) = f (h2 )= fl(K )- 0, fi'(0)= Ci2)

C33

(2.15)

C

(i)

f (h2 ) = f2 (h ) = 0, f2 ' (h ) = f2' (h , f3' (h ) =

C

C3(3)s33 + e323

C

(i)

fl (h) = --3yf/ (h), f (h) = Г (h2) = fm (h) = 0 (m = 1,2)

С (?)

получаем новую краевую задачу относительно функций ин , Жн , хн с однородными граничными условиями по координате г. Правые части дифференциальных уравнений (2.8) и начальные условия и0н, и0н, w0н, тг0н заменяются на Е?н ^ ^3н , и0н ,1!0н, Ж0н ,Ж0н :

F1H - R1H +

i2Y —

Jn11H

C55) d^ . (C1(3S)+ C5s}) .. dYH , (e31 + e15) . dY>H + ^SYL

C^ dz2

с

dz

33

dz

F2 H R2 H +

с(s) с(s) d2 Y

55 i2y — ^33 " J2H "A7 2H '

11

C(s) dz2

(C1(3s)+ C55}] . ^ e, J.

d Y

St2

a Y

11

F - R —

^ 3H 1V3H

(e31 + e15) . dYx

1H — j 2 y + Jn1 2H

dz e3

d Y2 H с11)

1H + jn^ i2 Y J3H + ф^) ^ "2H

3H -

dz

St2

2 H , M1 °11 ,'2

33

dz e33dz2

i 2Y —

Jn1 3 H

2 3H

e33

C(1V d 2Y

1^ 3^ 3H

e323 dz2

U0 H U0 H (jn , z ) Y1H\t-0, U0 H U0 H ( Jn , z ) ^^LH |t-0 , W0H — W0H ( Jn , z) — Y2H\t-0 , W0H — W0H ( Jn , z) — Y2H\t-0 .

Функции f (zf4 (z), входящие в разложения (2.13), определяются с помощью сле-

дующих равенств:

k , _.

fm (z )-Z apzp~l (m -1,4), p-1

(2.16)

где ар - постоянные; к — параметр, соответствующий количеству граничных условий для

функций /т (г).

Подстановка (2.16) в (2.14),(2.15) позволяет определить функции /т (г) : — жесткое закрепление

/4 (г ) = 0;

n - 0

f (z)-^(z — h2 ) f3 (z)-(z2'2h2z + h22 )

f2 (z) - (2h )—1 {(A, — A1) z2 + 2 (Ah — A2h2 )z + h2 [A1 (h — 2h) + A,h2 ]};

(1)

A3

2

e

33

п * 0

1

/1 (г ) = ТСКТ (2 г3 - 3К2 г2 + И2 г )

С33 К2

/2 (г) = К-2 {(А + А)г3 -[(2А1 + А2)И + (А1 + 2А2)]г2 +

+ [ А1К2 + А^,И22 + 2 ( А1 + Аз ) ИИ2 ] г - ИИ2 (А1К + А2И2)},

/3 (г) = А[г3 - (К + 1Н2)г2 + Н2 (2И + И2)г-М2]; И

шарнирное закрепление

/1 (г) = СС!((3 - г2 + г), /4 (г) = -С|/3 (г)

•з А/-

33 2

С

/2 (г) = С-[2г3 -3(И + '2)г2 + (И2 + К + 4ИИ)г-ИИ2 (И + '2)] ,

(1) Г-

С V И2 L

55 1

/3 (г) =

33

(33)833 + ¡33 ))

(г3 -(И + 2И2)г2 + И2 (2И + И2)г-ИИ22).

Начально-краевую задачу (2.8)—(2.12) относительно функций ин ,ЖН, хН решаем, используя обобщенный метод конечных интегральных преобразований (КИП) [28] с использованием неизвестных трансформанты О(Хп,п,г) и компонент К1 ,г), К2 ,г),

К3 (п, г) вектор-функции ядра преобразования (Хп — положительные параметры, образующие счетное множество (/ = 1, да)).

Общее решение краевой задачи (2.8)—(2.12) для электроупругого ( = 1) и упругого ( = 2) слоев представлено в работах автора [22, 29, 30].

Здесь следует отметить, что в отличие от стандартной процедуры разложения по собственным функциям [26] метод КИП [28] позволяет в процессе решения динамической задачи определить частоты и формы собственных колебаний конструкции.

Окончательные выражения функций и (г, г, г), Ж ( г, г, г), ф( г, г, г) получим, применяя последовательно формулы обращения КИП [28] и метод конечных преобразований Ханкеля (2.7). В результате с учетом (2.3), (2.13) имеем

Л (лг)

и (г, г, г) = N1 (г, г, г) Н (г - И2) + N. (г, г) + 2^

п=1

* (Л )2

¥ш (г,г) + £ОтК1т\\Кп

г=1

Ж (г, г, г) = р (г) + 2£

Л (Лпг)

* (Л )2 Л (Лг)

п=0

ф(г, г, г ) = ф1 (г, г) + 2^

2

* (Л)

72н (г,г) + £ОтК2т\\Кт\

1=1

да

¥3Н (г,г) + 2ОтКЪт\\Кп

(2.17)

2

Заключительным этапом исследования является определение неизвестных функций

P () , Ф1 ^ t).

В случае жесткого закрепления пластины, когда ф1 (z, t) = 0, функция P1(t) определяется из условия отсутствия вертикальных перемещений цилиндрической поверхности пластины при z = 0 и на основании (2.17) принимает вид

ад ад

p () = -2£Л (ЛГЕGlnK2ln(Л1П,0)|Kш||-2. (2.18)

п=0 г=1

При шарнирном закреплении P1 ^) = N2 (z, t) = 0. Для упрощения расчета функция

ф1 (z, t) определяется из условия равенства нулю суммарного значения тока смещения на

к

цилиндрической поверхности пьезокерамической пластины | Ог]г=1ёг = 0 . Для этого пред-

К

ставляем ее в виде следующего многочлена:

Ф1

1

(г, t) = А0 (г2 - 2к2г + к22) ) д(г, t)гёг . (2.19)

С

Данное выражение учитывает условия неразрывности деформаций —1 = 0 и за-

Сг |г=к2

земление металлической подложки ф1|г=к2 = 0. Постоянная А определяется при удовлетворение условия

'е^Ш + ди) - ФцСф '

е33 ^ Сг Сг X=1 е323 Сг \г=1

ёг = 0 . (2.20)

3. Численные результаты. Выводы

В качестве примера рассматривается биморфная пластина, имеющая следующие физические и геометрические характеристики аксиально поляризованных пьезокерамиче-ских пластин состава ЦТС-19 [24] и металлической стальной подложки:

{с;;),С«,С?,С?,с55)} = {10.9, 9.1, 6.1, 5.4, 2.4}х1010 Н/м2, (е^,¿33,^} = = {-4.9, 14.9, 10.6} Кл/м2, {в11,в33} = {7.73, 7.2б}х10-9Ф/м, р(1) = 7730 кг/м3,

С),С3(32),с(2),с(2),с552)}={21, 21, 2, 2, 9.3}х1010 Н/м2,

р(2) = 7800 кг/м3, к2 = 0,5 х10-3 м, Ь = 3 х10-2 м. Рассмотрим случай действия равномерно-распределенной гармонической нагрузки

Я (г, t) = д ^) = ),

где д0 - амплитудное значение интенсивности в безразмерной форме; ю - относительная

колебаний (ш = ш*Ь^ р(2)/ ,

ш - круговая частота вынужденных

частота вынужденных колебаний).

На рис. 2-4 изображены графики, характеризующие изменение напряженно-деформированного состояния и характер распределения электрического поля в рассматриваемой конструкции при ю = А,и/5 (А,п - положительный параметр, соответствующий

первой частоте собственных колебаний). Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

1) При жестком закреплении конструкции на лицевой поверхности пьезокерамиче-ской пластины одновременно образуются зоны растяжения и сжатия, что приводит к появлению электрических зарядов разных знаков. Поэтому использование сплошного металлического покрытия нецелесообразно в связи с индукцией на электроде электрического потенциала небольшой величины. Для решения данной проблемы, когда частота внешнего воздействия ю< А,п, для регистрации разности потенциалов V (/) необходимо использовать два разрезных круговых электрода (радиус Я раздела электродов определяет нулевое значение функции J0 (у1г), Я = 0,63). Подключение электродов к измерительному прибору позволяет определить V (/):

V ( ) = 2

R 1

J ф(, h, t) rdr - J ф(,h, t) rdr

Рис. 2. Зависимость амплитудных значений VI — I от толщины пьезокерамической

пластины h" : а - шарнирное закрепление; б - жесткое защемление Fig. 2. The dependence of the amplitude values of the thickness of the piezoceramic plate: a - securing hinge; b - hard pinching

Рис. 3. Изменение амплитудных значений crr I r,z, — I по радиальной

I raj

координате (1-z = 0, 2-z = h ): а - шарнирное закрепление; б - жесткое защемление Fig. 3. The change in the peak values of the radial coordinate (1-z = 0, 2-z = h ): a - securing hinge; b - hard pinching

£HO,z,-lcp(o,zf-|xlO'%

coy v CD

1 /.......................

2

800 600 400 200 0

-200

0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

Рис.4. Изменение амплитудных значений ф| 0,z,— I — 1, Ez I 0,z,— I — 2,

I raj I raj

по высоте пьезокерамической пластины (шарнирное закрепление) Fig. 4. The change in amplitude values, the height of the piezoceramic plate (hinge fixing)

При шарнирном закреплении пластины разность потенциалов V (t) между электро-

дированными поверхностями пьезокерамических пластин (в данном случае одна плоскость заземлена) определяется равенством

1

V (t ) = 2|ф(г , h, t )rdr.

2) Для конструкции с заданной толщиной подложки можно определить оптимальную высоту пьезокерамической пластины, позволяющей наиболее эффективно преобразовать

внешнее механическое воздействие в индуцируемый электрический сигнал. На рис. 2 по-

казаны графики изменения амплитудных значений разности потенциалов V

— I для раз-

личной толщины пьезокерамической пластины. В данном случае для металлической подложки толщиной ¿2 = 0,5 х 103 м необходимо использовать пьезокерамическую пластину

высотой ¿1 = 0,6 х!0~3 м.

3) Амплитудные значения электрического импульса V

м

— I при шарнирном закрепление пластины существенно больше, чем в случае жесткого защемления ее контура (см. рис. 2, а, б). Однако шарнирное закрепление характеризуется также большими нормальными механическими напряжениями агг в центре пластины (см. рис. 3, а, 1-г = 0,

2- г = И ). Данная особенность вводит ограничения на величину интенсивности нагрузки

При жестком защемлении контура пластины величина агг значительно меньше (см. рис. 3, б) (агг = 0 при г = Я ), что приводит к увеличению диапазона изменения интенсивности нагрузки д0.

4) Амплитудное значение потенциала электрического поля ф

'0

U, z,— I по высоте пье-

ш J

V

зокерамической пластины при разных случаях закрепления изменяется по параболической зависимости (рис. 4, кривая 1, шарнирное закрепление), соответственно график,

описывающий изменение аксиальной компоненты вектора напряженности Ez

' o,z, ш-

V ш-

представляет прямую линию (см. рис. 4, 2). Аналогичная картина наблюдается при анализе биморфных пластин в задачах обратного пьезоэффекта [22].

В заключение отметим, что разработанный в настоящей работе алгоритм расчета позволяет исследовать биморфные конструкции с произвольным количеством упругих и электроупругих слоев.

Библиографический список

1. Piezoelectric bimorph bending sensor for shear-stress measurement in fluid flow / D. Roche, C. Richard, L. Eyraud, C. Audoly // Sensors and Actuators. - 1996. - Vol. 55. - P. 157-162.

2. Yoo J.H., Hong J.I., Cao W. Piezoelectric ceramic bimorph coupled to thin metal plate as cooling fan for electronic devices // Sensors and Actuators. - 2000. - Vol. 79. - P. 8-12.

3. Sharapov V. Piezoceramic sensors. - Springer Verlag, 2010. - 498 p.

4. Jurenas V., Bansevicius R., Navickaite S. Piezoelectric bimorphs for laser shutter systems: optimization of dynamic characteristics // Mechanika. - Kaunas: Technologija, 2010. - No. 5(85). - P. 44-47.

5. Seung-Bok Choi, Young-Min Han. Piezoelectric actuators: control applications of smart materials. - N.-Y.: CRC Press, 2010. - 280 p.

6. Шарапов В., Сотула Ж. Пьезокерамические преобразователи. Новые технологи проектирования // Электроника:НТБ. - 2012. - № 5. - С. 96-102.

7. Ультразвуковые колебательные системы для синтеза полимерных композиционных материалов / Д.А. Негров, Е.Н. Еремин, А.А. Новиков, Л.А. Шестель. - Омск: Изд-во Омск. гос. техн. ун-та, 2012. - 128 с.

8. Шикина В. Е. Расчет частоты колебаний пьезокерамического первичного преобразователя для массового расходомера жидкостей // Изв. высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2014. - № 1 (29). - С. 54-63.

9. Ивина Н.Ф., Тагильцев А.А. Анализ собственных колебаний дисковых изгибных пьезопре-образователей с произвольным соотношением размеров [Электронный ресурс] // Электронный журнал «Техническая акустика». - 2005. - № 2. - С. 1-9. - URL: http:// webcenter.ru/ eeaa/ejta.

10. Янчевский И.В. Минимизация прогибов электроупругой биморфной пластины при импульсном нагружении // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. - Харьков, 2011. - Вып. 16. - С. 303-313.

11. Никофоров С.Н. Теория упругости м пластичности. - М.: Госиздат. по арх. и стр-ву, 1955.-284 с.

12. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,1985. - 174 с.

13. Mohammad Amin Rashidifar, Ali Amin Rashidifar. Vibrations Analysis of Circular Plate with Piezoelectric Actuator Using Thin Plate Theory and Bessel Function // American Journal of Engineering, Technology and Society. - 2015. - No. 2(6). - P. 140-156.

14. Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov K. Disk bimorph-type piezoelectric energy harvester // J. of Power and Energy Eng. - 2015. - No. 3. - P. 63-68.

15. Jafar Eskandari Jam, Mahmood Khosravi, Nader Namdaran. An exact solution of mechanical buckling for functionally graded material bimorph circular plates // Metall. Mater. Eng. - 2013. -Vol. 19 (1). - P. 45-63.

16. Adelman N.T., Stavsky Y. Flexural-extensional behavior piezoelectric cilcular plates // J. Acoust. Soc. Amer. -1980. -Vol. 67. - No. 3. - P. 819-822.

17. Karlash V.L. Resonance Electro-Mechanic Vibration of Piezo-Ceramic Plates // Int. Appl. Mech. - 2005. - Vol. 41. - No. 7. - P. 535-541.

18. Ватульян А.О., Рынкова А.А. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложениях // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 4. -С. 114-122.

19. Wang Y., Xu R.Q., Ding H.J. Analytical solutions of functionally graded piezoelectric circular plates subjected to axisymmetric loads // Acta Mechanica. - 2010. - Vol. 215. - Iss. 1-4. -P.287-305.

20. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамической тонкой биморфной пластины // Изв. РАН. МТТ. - 2013. - № 2. - С. 77-85.

21. Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. Non-Stationary Flexural Fluctuations of a Round Flat Bimorph Plate with Graded-Varying Thickness // Procedia Engineering. - 2014. - Vol. 91. - P. 69-74. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.014

22. Шляхин Д.А. Динамическая осесимметричная задача электроупругости для жестко закрепленной биморфной пластины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2015. - № 2. - С. 164-178. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.11.

23. Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. A dynamic axially symmetric goal and its extended solution for a fixed rigid circular multi-layer plate // Procedia Engineering. - 2016. - Vol. 153. - P. 662-666. DOI information: 10.1016/j.proeng.2016.08.219

24. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. - Киев: Наук. думка, 1989. -279 с.

25. Партон В.З. Кудрявцев Б.А. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука,1988. - 470 с.

26. Снеддон И. Преобразование Фурье. - M.: Изд-во иностр. лит., 1955. - 669 c.

27. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1978. -318 с.

28. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Изв. вузов. Математика. - 1991. - № 4. -С. 57-63.

29. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-науч. серия. - 2011. -№ 8 (89). - С. 142-152.

30. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-науч. серия. - 2012. - № 6 (97). - С. 124-135.

References

1. Roche D., Richard C., Eyraud L., Audoly C. Piezoelectric bimorph bending sensor for shear-stress measurement in fluid flow. Sensors and Actuators, 1996, vol. 55, pp. 157-162.

2. Yoo J.H., Hong J.I., Cao W. Piezoelectric ceramic bimorph coupled to thin metal plate as cooling fan for electronic devices. Sensors and Actuators, 2000, vol. 79, pp. 8-12.

3. Sharapov V. Piezoceramic sensors. Springer Verlag, 2010, 498 p.

4. Jurenas V., Bansevicius R., Navickaite S. Piezoelectric bimorphs for laser shutter systems:optimization of dynamic characteristics. Mechanika. Kaunas: Technologija, 2010, no. 5 (85), pp. 44-47.

5. Seung-Bok Choi, Young-Min Han. Piezoelectric actuators: control applications of smart materials. - N.-Y.: CRC Press, 2010, 280 p.

6. Sharapov V., Sotula J. Piezoceramic transducers. New design technology. Electronics: STB, 2012, no. 5, pp. 96-102.

7. Negrov D.A., Eremin E.N., Novikov A.A., Shestel L.A. Ultrasonic oscillatory systems for the synthesis of polymeric composite materials. - Omsk: Publisher OmsSTU, 2012, 128 p.

8. Shikina V.E. Calculation of the frequency of oscillation of piezoceramic primary Converter for mass flowmeter for liquids. Proceedings of higher educational institutions. Povolzhskiy region. Technical Sciences, 2014, no. 1 (29), pp. 54-63.

9. Ivina N.F., Tagil'tsev A.A. Analysis of natural vibrations of the Flexural disk pied-superoverlay with arbitrary aspect ratio. Electronic journal "Technical acoustics"(http:// webcenter.ru/ eeaa/ejta), 2005, no. 2, pp. 1-9.

10. Yanchevskii I.V. Minimizing electroelastic bimorph deflection plates under impact loading. Problems of computational mechanics and structural strength, Kharkiv National Automobile and Highway University, 2011, vol. 16, pp. 303-313.

11. Nikiforov S.N. The theory of elasticity and plasticity. Mockow : State Publishing House. Architecture and Construction, 1955, 284 p.

12. Senitsky Yu.E. Study of the elastic deformation of structural elements under dynamic impacts finite integral transformations. Saratov: Publisher SSU, 1985, 174 p.

13. Mohammad Amin Rashidifar , Ali Amin Rashidifar. Vibrations Analysis of Circular Plate with Piezoelectric Actuator Using Thin Plate Theory and Bessel Function. American Journal of Engineering, Technology and Society, 2015, no. 2 (6), pp. 140-156.

14. Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov K. Disk bimorph-type piezoelectric energy harvester. J. of Power and Energy Eng., 2015, no. 3, рр. 63-68.

15. Jafar Eskandari Jam , Mahmood Khosravi, Nader Namdaran. An exact solution of mechanical buckling for functionally graded material bimorph circular plates. Metall. Mater. Eng., 2013, vol. 19 (1), pp. 45-63.

16. Adelman N.T., Stavsky Y. Flexural-extensional behavior piezoelectric cilcular plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1980, vol. 67, no. 3, pp. 819-822.

17. Karlash V.L. Resonance Electro-Mechanic Vibration of Piezo-Ceramic Plates. Int. Appl. Mech., 2005, vol. 41, no. 7, pp. 535-541.

18. Vatulyan A.O., Rynkova A.A. A model of bending vibrations of piezoelectric bimorphs with split electrodes and its applications. Mech. Solids, 2007, vol. 42, no. 4, pp. 595-602.

19. Wang Y., Xu R.Q., Ding H.J. Analytical solutions of functionally graded piezoelectric circular plates subjected to axisymmetric loads. Acta Mechanica, 2010, vol. 215. Issue 1-4, pp. 287-305.

20. Shlyakhin D.A. Forced nonstationary axisymmetric vibrations of a piezoceramic thin bimorph plate. Mech. Solids, 2013, vol. 48, no. 2, pp. 178-185.

21. Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. Non-Stationary Flexural Fluctuations of a Round Flat Bimorph Plate with Graded-Varying Thickness. Procedia Engineering, 2014, vol. 91, pp. 69-74. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.014

22. Shlyakhin D.A . Dynamic axisymmetric problem of electroelasticity for a rigidly fixed bimorph plate. PNRPU Mechanics Bulletin, 2015, no. 2, pp.164-178. D0I:10.15593 /perm. mech/2015.2.11

23. Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. A dynamic axially symmetric goal and its extended solution for a fixed rigid circular multi-layer plate // Procedia Engineering, 2016, vol. 153. pp. 662-666. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.08.219.

24. Grinchenko V.T., Ulitko A.F., Shul'ga N.A. Mechanics of coupled fields in structural elements, Kiev, Naukova Dumka, 1989, 279 p.

25. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A. Electro-elasticity of piezoelectric and conductive bodies.Moscow, Nauka,1988, 470 p.

26. Sneddon, I. Fourier Transforms, McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto-London, 1951.

27. Vladimirov C.C. Generalized functions in mathematical physics. Moskow, Science, 1978, 318 p.

28. Senitsky Yu.E. Multicomponent generalized finite integral transformation and its application to non-stationary problems of mechanics. Izvestiya vuzov: Mathematics, 1991, no. 4, pp. 57-63.

29. Shlyakhin D.A. The compelled axisymmetric bending fluctuations of thick round rigid plate. Vestnik of Samara state University. Estestvennonauchn. Series, 2011, no. 8 (89), pp. 142-152

30. Shlyakhin D.A. Forced axisymmetric bending vibrations of a thick circular piezoceramic plate rigidly fixed. Vestnik of Samara state University. Estestvennonauchn. Series, 2012, no. 6 (97). pp. 124-135.