Вынужденные колебания пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:534.143

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА С ОКРУЖНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ МАТЕРИАЛА

Д. А. Шляхин

Самарский государственный архитектурно-строительный университет,

443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

E-mail: d-612-mit2009@yandex.ru

Рассматривается нестационарная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического цилиндра конечных размеров при окружной поляризации материала в случае действия на его внешней радиальной поверхности тангенциальных напряжений и электрического потенциала, являющихся произвольными функциями аксиальной координаты и времени. Новое замкнутое решение получено методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Построенный алгоритм позволяет определять частоты собственных колебаний, напряженно-деформированное состояние элемента, а также все компоненты индуцируемого электрического поля.

Ключевые слова: связанная задача электроупругости, цилиндр конечных 'размеров, осесимметричная динамическая нагрузка.

Введение. Основным элементом широкого класса импульсных преобразователей энергии является пьезокерамический цилиндр конечных размеров, работа которого основана на связанности механических и электрических полей напряжения. В случае окружной поляризации пьезоматериала данный эффект наблюдается только при распространении нестационарных волн кручения. В связи с определенной сложностью данного исследования большинство работ сводится к задачам электроупругости для бесконечного цилиндра при установившемся режиме вынужденных колебаний [1], а также исследованию нормальных осесимметричных и неосесимметричных волн кручения [2,3] в элементе конечных размеров. Также можно отметить решение, справедливое для неоднородных кристаллов тетрагональной симметрии 422 класса при действии на криволинейных поверхностях элемента динамической нагрузки в виде электрического потенциала или касательных напряжений [4].

1. Постановка задачи. В настоящей работе исследуется полый анизотропный цилиндр, занимающий в цилиндрической системе координат (г*, 9, £*) область Q: {а ^ г* ^ Ь, 0 ^ в ^ 27т, 0 ^ z* ^ h} и выполненный из пьезокерамического материала с наведенной окружной поляризацией.

Для рассматриваемой задачи можно сформулировать различные физически реализуемые краевые условия. Для определённости принимаем неэлек-тродированные торцевые плоскости свободными от механических напряжений, а радиальные поверхности полагаем электродироваными с заземлением закрепленной внутренней её части.

Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах прямого и обратного пьезоэффекта при действии на внешней криволинейной поверхно-

Дмитрий Аверкиевич Шляхин (к.т.н., доц.), доцент, каф. сопротивления материалов и строительной механики.

сти цилиндра соответственно тангенциальных напряжений <?*(<£*, £*) (вариант «а» краевых условий) и потенциала £*) (вариант «б»). В первом

случае механическое воздействие трансформируется в электрический сигнал, при этом радиальные плоскости подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением, что соответствует режиму «холостого хода» [5] (отсутствию свободных электрических зарядов), а во втором — электрическая нагрузка приводит к деформации образца.

В общем случае дифференциальные уравнения движения и электростатики однородной упругой анизотропной среды в цилиндрической системе координат записываются в виде [2]

догв дохв 2 д2и* _ дОг Бг дОх

<9г* дх* гЛ* ^ ’ <9г* г* дх*

При окружной поляризации уравнения состояния пьезокерамического тела определяются следующими соотношениями [1,2]:

(ду* V* \ ду*

(Тг0 — С55 ( ~ ) С\х,Ег, 0x0 — С55— в!5ЕХ1

V дг* г*/ дх*

(ду* у* \ _ ^ ду*

Ег — £цЕг -Ь в!5 ( — ], Е)х — £цЕх С15— , (2)

V дг* г* / дх*

к*

р - - Р - дф*

2 — Я > г — О

(УХ* ОТ *

В соотношениях (1), (2) используются следующие обозначения: —вре-

мя; <7гв{г*, х*, t*), (Тхв{г*, х*, £*) — компоненты тензора механических напряжений; V*(г*, г*, £* — тангенциальная составляющая вектора перемещений; А-(г*, -г*, £*), Дг(?%, х*, £*), Ег(г*, г*, £*), Ег(г*, г*, £*), </>*(г*, г*, £*) — компоненты векторов индукции, напряжённости и потенциал электрического поля; Р> С55, в15 — объёмная плотность, модуль упругости и пьезомодуль анизотропного электроупругого материала; ец —диэлектрическая проницаемость.

После подстановки (2) в (1) получаем систему дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия рассматриваемой динамической задачи теории электроупругости в безразмерной форме:

/ д2 1 д 1 \ д2и { д2 2 д д2 \ д2и

\дг2 г дг г2) дх2 г дг дх2) сЯ2

/ д2 д2 \ _2 / д2 1 д д2 \

\№ + д*Г~ Си£пе15 (аз + гё~г + а* г ~ '

'ди

-дх ' дх

^ (бУ бф\

х = 0 ,Ь: охв = С55 ^ = О,

г, ^ -1

Е>г — — С^£це1Ъ — + е15^ — 0;

(3)

(4)

г = 1, к : и (к, х, £) = 0, ф(к, х, £) = 0,

ч 1 V 9ф\ *,

а (?гв г_!= С55 ------+ —)=д(2, *),

Кдг гяа дг) я

п | „ _1 дф /ди и\ (5)

°г 1=1- -С55£це15 — + в15 (— - - ) - 0;

с) дсЬ

б) ^|г=1=Си(^-^ + ^)=0, 0(1, М)=1ф,*);

£ = 0 : и(г, г, 0) = щ(г, г), й(г, г, 0) = щ(г, г), (6)

где V = 1У*/Ъ, г = г*/Ь, г = г*/Ь, Ь = И/Ь, к = а/Ъ, ф = ф*е15/(ЪС55), V = = У*е\ъ/{ЪС^)1 £ = ^д/С^/р/б; г/о, г>о — известные в начальный момент времени тангенциальные перемещения и их скорости. Здесь и ниже точка обозначает дифференцирование по времени.

Соотношения (3)—(6) и представляют математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи электроупругости.

2. Построение общего решения. Применяем к начально-краевой задаче (3)—(6) косинус-преобразование Фурье с конечными пределами по переменной г. В пространстве изображений получаем следующую краевую задачу:

/ d2 1 д 1 ,2\ / гг 2 0 ,2\

V дт2 г дг г2 ^ / с \дг2 г dr ^п) с dt2

-’'«2 19

\дг2

г = 1, к : vc{k, п, t) = 0, фс(к, п, t) = 0;

д2 2 д

д2і

= 0,

- Сььєпе152(^2 + -Q-r - іп)фс = 0;

(7)

dvc , дфс

----------Vr H------------

dr dr

= Nr

Г= 1

n -і дфс (dvc

-СььЄ\\е15 — + Є15 - 1/£

dr

dvc , дфс

----------гл- H-----------

<9r dr

Г= 1

= 0;

r=l

= 0, 0c(l, n, t) = Vc(n, t)]

t = 0 : z/c(r, n, 0) = v0c(r, n), vc(r, n, 0) = z>0c(r, n),

(9)

где

rL rL

vc(r,n,t)= / v(r, Z, t) COS jnzdz, фс(Ту n, i) = / ф(г, z, t) cos jnzdz,

Jo Jo

Щc(r, n) = / v0(r, z) cos jnzdz, ]>0c(r, n) = / ]>o(r, z) cos jnzdz,

Jo Jo

rL rL

Nc(n,t)= / q*(z, t)C^5l cos jnzdz, Vc(n, t)} = / V(z, t) cos jnzdz,

Jo Jo

jn = rm/L, n = 0,1,2,....

Следует заметить, что при действии равномернораспределенной динамической нагрузки по всей радиальной поверхности цилиндра с незакрепленными и неэлектродированными торцевыми плоскостями трансформанты Nc(n, t), Vc(n, t) принимают ненулевые значения только при п = 0. В этом случае рассматривается более простая задача, связанная с анализом длинного цилиндра.

На следующем этапе решения к начально-краевой задаче (7)-(9) применяется процедура стандартизации по переменной г (приведение краевых условий к однородным). Для этого трансформанты Фурье z/c, фс представляются в виде

vc(r, п, t) = Hic(r, п, t)+pc(r, п, t), , .

фс{г, п, t) = н2с{г, п, t) + Xc(r, n,t), 1 J

где

а) #1С(г, п, £) = /1 (г)Л^, Я2с(г, п, £) = /2(г)Жс

б) Я1С(г, та, £) = 0, Я2с(г, п, £) = /3(г)К

С?

С*

Подстановка (10) в (7)—(9) с учётом условий

а) /1(1) — Ь(к) — 0, /((1) — С,55вц(е|5 + Сббвц) 1,

/2 (Л) = о, /£(1) = е?5(е?5 + Сббвп)-1;

б) /з(1) = 1, /з (к) = /£(1) = 0,

(П)

позволяет получить начально-краевую задачу относительно функций рс, %с с однородными граничными условиями по координате г:

сЯ2

/ д2 1 д 1 ,2\ ( д2 2 д ,2\ д2рс

\дг2 + — ^2 — г ~дг ~ ^п)^с

{^2 ~ Зп)Рс ~ С55£ПеТ52 Зп)хс = В2с,

г = 1, к : рс(к, п, £) = 0, Хс{к, та, £) = 0;

~др,

= В

1 С)

Я ~Рс I дг

-дРс _

. дг ^с дг .

= 0 ^

г=1 ’ дг

дх.

= 0;

Г= 1

Г= 1

= 0, Хс( 1, та, 4) = 0;

(12)

(13)

£ = 0 : рс(г, п, 0) = рос(г, та), рс(г, п, 0) = р0с(г, та),

(14)

где

д2 19 1

дг2

92 29

В2с —

р0с(г, п) = и0с(г, п) - Я1С|4=0, Р0с(г, та) = г>0с(г, п) - #1С|4=(Г

В равенствах (11) и ниже штрих обозначает дифференцирование по переменной г.

Функции /1 (г), /г(0> /з(г) определяются из дифференциальных уравнений

/ГМ = о, /£(г) = о, Л"(г) = о.

(15)

Начально-краевая задача (12)—(14) относительно рс(г, п, £), %с(г, п, £) решается при помощи структурного алгоритма метода конечных интегральных преобразований (КИП) [6]. Введём на сегменте [к, 1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами К\{ХгП, г), К2(Хт, т) вектор-функции ядра преобразования:

-2

гп || >

-2

гп || >

(16)

С{\іп, п, і) = / рс(г, п, ї)Кі{\іп, г)г(1г.

■)к

с©

Рс(г, п, і) = ^2с(\іп, п, і)Кі(\іп, г)\\К,

г=1 оо

Хс(г, П, і) = ^2с(\іп, п, і)К2{\іп, г)\\к,

1І=1

ІІ^тІІ2 = / К"ї(\іп, г)Ыг,

■)к

где Хіп, г Є N — положительные параметры, образующие счётное множество;

11К%п 11 — норма вектор-функции вырожденного преобразования. При этом круговые частоты осесимметричных колебаний цилиндра Шіп связаны с \п зависимостью

_ Ат / Сбб

^іп — ~; \ / •

ъ у р

Подвергая систему уравнений (12) преобразованиям в соответствии со структурным алгоритмом [6], получаем счётное множество задач Коши для трансформанты С(\іп, п, і):

С^(Ат, Т1, £) А^гаСг(Агга, П, £) — -^(Агп, И, £),

п = 0,1,2,..., г = 1,2,3,..., ^(Ат, 0) — Со(Агга, п), П, 0) — Сто(Хт,

и однородную краевую задачу для компонент К1, К2 ядра КИП:

(17)

(18)

/с?2 1 с? 1

(I2 2 (I

[Лг2 + п):Г Г2 + + (йг2 + Г* °’

г = 1,к: Кі(\іп,к) = 0, К2(\іп, к) = 0;

<1К2

а)

б)

- ^] = °> аг і г=і - Кі +

г= 1

= 0;

<іг

(ІГ .

Г= 1

гіг

= 0, К2(Ат, 1) = 0.

(19)

(20)

Здесь

^(Ліга, п, і) = / [-В1К1 + В2К2\г(1г, О0{\іп, п) = / р0сКіГ(Іг,

■)к -ік

б0(\іп,п)= / РосКіГСІГ.

■)к

С учётом (18) решение уравнения (17) записывается в виде

G(Xin, n, t) = Go cos Aint + G0Xin sin

+ Kn [ F(^in, П, t) sin Лin(t - т)dr. (21) Jo

Система (19) сводится к следующему разрешающему дифференциальному уравнению относительно K\(Xin, г):

jcr + + »|КГ + 7«i +&(ь + %)к,=0, (22)

где bi = X2inb4-2j2, b2 = 364—4j2, 63 = j2-X2inb4, 64 = (055^11)(C'ss^i 1 + e?5)_1.

Частное решение дифференциального уравнения (22) находится методом разложения функции К\ в степенной ряд:

С©

К\ = г13 ^ a,frf, /3 = const. (23)

/=0,2,4

После подстановки (23) в (22), приравнивая нулю все множители с одинаковой степенью, получаем систему алгебраических уравнений относительно a,f, решение которых позволяет определить все коэффициенты относительно oq. Полагая ао = /3(/3 + 1), получаем выражения для определения (if.

bi/3(/3 - 1) + b2f3 + j%h

a 2 —

(/3 + 2) (/3 + 3)

_ Зrfiзaf—4: + [&1 (/3 + / — 2)(/3 + / — 3) + Ь2(/3 + / — 2) + ^64] а/-2

Й/ “ (/5 + / + 1)(/5 + /)(/? + / - 1)(/5 + / - 2) ’

/ = 4, 6, 8...,

а также характеристическое уравнение для определения параметра /3:

/3(/3 + 1)(/5 - 1)(/5 - 2) = 0.

При (3 = 0 и (3 = 1 получаем первые два линейно независимых решения. Оставшиеся решения будем искать в следующем виде:

С© СО

К\ = 1п(г) ^ а/г^+/3 + ^ , (24)

/=0,2,4 /=0,2,4

где /3 = 0 И /3 = 1.

Принимая во внимание (24) и приравнивая все множители разложения (22) с одинаковой степенью, определяем коэффициенты т/:

6fl2 а п 2а° /5 1

т° = ПРН £ = °> т0 = TTT----. | -о г. при /3 = 1,

Jn&4 26i - Ъ2 +

т2 = 1,

т/ = —| [&і(2/ - 2/3 - 5) + 62]а/-4+

+ [4/3 + 6(1 - 4/3)/2 + (24/3 - 2)/ + 2 - 8/3] а/_2+

+ + [Ьі(/ - /3 - 2)(/ - /3 - 3) + 62(/ - Р ~ 2) + і264]т/_2| х

х [/(/ - 1)(/ - 2)(/ - 4/3 + 1)]-1 / = 4,6,8,....

В результате общее решение дифференциального уравнения (22) имеет вид

К\ (Аіп, г) — ^ ' Dw (in^ Nw (Лin, г),

(25)

где

/+1

ЩХгп, г) = ^2 а/Г7, Л^2(АгП, г) = ^ а/Г

/=0,2,4,... /=0,2,4,...

^з(Ат, 0 = 1п(г)Ж1(ЛгП, г) + ^ Ш/Г7,

/=0,2,4,...

^(Ат, Г) = 1п(г)/У2(Лт,г) + X! т^~1-

/=0,2,4,...

Используя зависимости между ^(Ат, г) И К2(Аггг, г), полученные в процессе приведения (19) к (22), получаем выражения для второй компоненты ядра преобразований:

4

-?^2(Ато) 0 = ~(ЬаЗп) 'У ; -^ги(т)-Рги(Ат)

о 9 го=1

.^ . d „ сг 9 , ,о\ d

Pw{Xin, г) = r—з + 3^2 + (АггАї - +

'т ~ ) — 2Nw(Xin, г).

. dr3 ' "dr2 +64 (2A2ra — j2

(26)

Подстановка (25), (26) в граничные условия (20) формирует однородную систему уравнений относительно ПОСТОЯННЫХ -Dim, -D2m, -^Зт, D^in. Разыскивая её нетривиальные решения, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений Xin:

det[-Bsw]=0, s,w = 1,2, 3,4;

B\w — NW(Xin, fc), -B2w — _PW(Ajra, fc),

а) B3w = N'w(Xin, 1) - Nw(Xin, 1), = P^(Am, 1);

б) -Взад = ^(Atni 1) — NW(X in, 1) + P4(Am, 1), i?4w = Pw(Xin, 1).

Без ограничения общности принимая -Dim = 1> оставшиеся постоянные интегрирования определяются при решении системы неоднородных уравнений

Б22 Б2 з Б24 -D2m В21

в 32 В33 В34 D3in = — В 31

В42 В43 -£>44 Diin в 41

записанной в матричном виде.

3. Расчётные соотношения. Заключительным этапом исследования является определение функций /і(г), /г(0) /з(г)> входящих в представления (10). Для этой цели воспользуемся дифференциальными уравнениями (15) и соответствующими граничными условиями (11). В результате имеем

а) /і(г) = Ь4[г2 - (к + 1)г + к}(1 - к)~\ /2(г) = 2 -----(г - к);

е15 + ЬббЄц

б) /з(г) = (А: — 1)_2[—г2 + 2г + А: (А: — 2)].

Применяя к трансформанте (21) последовательно формулы обращения КИП (16), а затем конечных косинус-преобразований Фурье, с учётом (10) получаем следующие разложения для и(г, г, і), ф(г, г, і):

и-2 in II

COSJnZ,

COSJnZ,

г/(г, г, г) = ^2^1 1 Нх{г, п, £) + ^С(Лт, п, г)\\К,

п=0 г=1

сю сю

ф(г, г, г) = Н2(г, П, г) +^2с(\гп, П, г)К2(\гп, г)\\к,

п=0 г=1

Г £, п = 0,

где Пп = <

уь/2, п/0.

Разность потенциалов ф(£) в задаче прямого пьезоэффекта определяется следующим образом [7]:

^2

Q(t) = (z2 - zi) 1 f 0(1, z, t)dz,

J z-\

fzi

где Zi, z2 —соответственно нижняя и верхняя границы внешней цилиндриче-ской поверхности, на которую действует нагрузка q(z, t).

4. Численный анализ результатов. В качестве примера рассматривается пьезокерамический цилиндр из состава ЦТС-19 [2] при действии на внешней радиальной поверхности следующего электрического воздействия:

V(z, t) = V[H(z — z\) — H(z — z2)\ sin 0t,

где V — амплитудное значение нагрузки, в — частота вынужденных колебаний, H(z) —единичная функция Хэвисайда.

В таблице приведены собственные значения Ain свободных осесимметричных колебаний элемента для различных значений относительной толщины

Собственные значения Ain свободных осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра

краевые условия «а» краевые условия «б»

Ъ/а = 2 Ъ/а = 5 Ъ/а = 2 Ъ/а = 5

і = 1 і = 2 і = 1 і = 2 і = 1 і = 2 і = 1 і = 2

п = 0 2,50 11,63 0,75 7,41 2,05 11,50 0,63 7,09

п = 1 4,68 12,27 3,99 8,30 3,91 11,93 3,40 8,02

п = 3 8,32 14,07 7,95 10,78 7,16 13,58 6,98 10,43

Ь/а (/?. = Ь). При увеличении параметра Ь/а жёсткость конструкции понижается и соответственно наблюдается уменьшение АгП. Кроме того, подтверждаются известные экспериментальные и теоретические [1,2] результаты, что электрические краевые условия оказывают влияние на частоту собственных колебаний, и более низкие значения наблюдаются при подключении электро-дированных поверхностей к источнику электрического напряжения (краевые условия «б»).

1/(1, г, О/У

Рис. 1. Зависимость тангенциальных перемещений внешней криволинейной поверхности цилиндра от времени

1/(1,2,;)/у

На рис. 1 показаны графики изменения по времени I тангенциальных перемещений внешней криволинейной поверхности г/(1, г, £). Цифрами обозначены кривые, соответствующие следующим вариантам: 1) в = 0,6Аю,

2) в = 0,2Аю (Аю — собственные

значения основного тона колебаний, Ь/а = 5, = 0, х-2 =

= Ь). Результаты расчёта показывают, что даже при действии гармонической нагрузки допущение об установившемся режиме вынужденных колебаний [1,2] можно использовать только тогда, когда частотные характеристики внешнего воздействия 9 существенно меньше собственного значения Аю цилиндра.

На рис. 2 изображены амплитудные значения тангенциальных перемещений внешней радиальной поверхности цилиндра при различной степени его за-гружения. Цифры соответствуют следующим случаям: 1)21 = = 0, 22 = Ц 2) х\ = 0, 22 = 3£/4;

3) 21 = 0, 22 = Ь/2; 4) г\ = О, Х2 = Ь/4. Следует подчеркнуть, что область внешнего воздействия оказывает существенное влияния как в количественном, так и в качественном отношениях на деформированное состояние системы.

В заключение можно отметить, что рассмотренный метод решения позволяет также получить результаты для случая «короткого замыкания» [2], используемые при определении электроакустической чувствительности пьезопреобразователей, работающих в резонансном режиме.

Рис. 2. Изменение амплитудных значений тангенциальных перемещений по высоте цилиндра при различных загружениях

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Партон В. З., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с. [Parton V.Z., Kudriavcev В. А. Electromagnetoelasticity of Piezoelectric and Electroconductive Bodies. Moscow: Nauka, 1988. 470 pp.]

2. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шулъга Н. А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5: Электроупругость. Киев: Наук, думка, 1989. 279 с. [Grinchenko V. Т., Ulitko A.F., Shul’ga N.A. Mechanics of Coupled Fields in Structural Elements. Vol. 5: Electroelasticity. Kiev: Nauk. Dumka, 1989. 279 pp.]

3. Шулъга H.A., Болкисев А. М. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук, думка, 1990. 228 с. [Shul’ga N. A., Bolkisev A.M. Vibrations of Piezoelectric Bodies. Kiev: Nauk. Dumka, 1990. 2228 pp.]

4. Сеницкий Ю. Э. Динамическая задача электроупругости для неоднородного цилиндра // ПММ, 1993. Т. 57, №1. С. 116-122; англ. пер.: Senitskii Yu. Е. The dynamic problem of electroelasticity for a non-homogeneous cylinder// J. Appl. Math. Mech., 1993. Vol. 57, no. 1. Pp. 133-139.

5. Ермолов И.Н. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля. М.: Машиностроение, 1986. 280 с. [Ermolov I. N. Ultrasonic transducers for nondestructive testing. Moscow: Mashinostroenie, 1986. 280 pp.]

6. Сеницкий Ю. Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Изв. вузов. Матем., 1991. №4. С. 57-63; англ. пер.: Senitskii Yu. Е. A multicomponent generalized finite integral transformation and its application to nonstationary problems in mechanics // Soviet Math. (Iz. VUZ), 1991. Vol. 35, no. 4. Pp. 55-61.

7. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с. [Tamm I.E. Basic Theory of Electricity. Moscow: Nauka, 1989. 504 pp.]

Поступила в редакцию 28/XII/2010; в окончательном варианте — 29/IV/2011.

MSC: 74B05; 74F15, 74S20

FORCED OSCILLATION OF PIEZOCERAMIC CYLINDER WITH CIRCUMPOLARIZATION OF MATERIAL

D. A. Shlyakhin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering,

194, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443001, Russia.

E-mail: d-612-mit2009@yandex.ru

The nonstationary elasto-electrodynamics problem for an anisotropic piezoceramic cylinder of finite size with circumpolarization of material is considered for the case when the tangential stresses and the electric potential influence on the radial outside of the cylinder as the arbitrary functions of axial coordinate and time. The new closed solution is obtained by the method of expansion in vector eigenfunctions in the form of structural algorithm of finite transformations. The constructed algorithm allows to determine the eigenfrequencies, stress-strain state of the element, and all the components of the induced electric field.

Key words: coupled problem of electric elasticity, cylinder of final sizes, axisymmetric dynamic load.

Original article submitted 28/XII/2010; revision submitted 29/IV/2011.

Dmitriy A. Shlyakhin (Ph.D. (Techn.)), Associate Professor, Dept, of Resistance of Materials & Construction Mechanics.