Несвязанная осесимметричная динамическая задача обратного пьезоэффекта для радиально поляризованного цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

НЕСВЯЗАННАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОБРАТНОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ РАДИАЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО ЦИЛИНДРА

Д. А. Шляхин

Самарский государственный архитектурно-строительный университет,

443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

E-mail: [email protected]

Рассматривается несвязанная осесимметричная нестационарная задача обратного пъезоэффекта для анизотропного пъезокерамического радиально поляризованного цилиндра при действии на его внешних радиальных поверхностях электрического потенциала, являющегося произвольной функцией по аксиальной координате и времени. Новое замкнутое решение построено методом 'разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Полученные соотношения позволяют определять частоты собственных колебаний, напряжённо-деформированное состояние элемента, а также потенциал и напряжённость индуцируемого электрического поля.

Ключевые слова: задача обратного пьезоэффекта, пьезокерамический цилиндр, осесимметричная динамическая нагрузка.

Введение. Исследование вынужденных осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра при радиальной поляризации материала приводит к формированию сложной системы дифференциальных уравнений. Проблемы интегрирования расчётных соотношений решаются путём анализа более простых задач электроупругости о колебаниях бесконечного цилиндра [1,2], исследования тонких пластин и оболочек [1—3]. Кроме того, используются численные методы расчёта [2,3].

В настоящей работе приводится новое замкнутое решение осесимметричной несвязанной динамической задачи обратного пьезоэффекта в трёхмерной постановке. Построенный для пьезокерамического цилиндра алгоритм позволяет удовлетворить смешанные краевые условия. Данный подход был предложен и впервые использован в работах Ю. Э. Сеницкого при исследовании короткого анизотропного цилиндра [4-6].

1. Постановка задачи. В работе исследуется полый анизотропный цилиндр с наведённой радиальной поляризацией, выполненный из пьезокерамического материала, и занимающий в цилиндрической системе координат (г*, 0,2*) область Q: {а ^ г* ^ Ь, 0 ^ в ^ 27т, 0 ^ z* ^ h}.

Для рассматриваемой задачи можно сформулировать различные физически реализуемые краевые условия. Для определённости принимаем неэлек-тродированные торцевые плоскости свободными от механических напряжений, а радиальные поверхности — электродированными с заземлением закреплённой ее внутренней части.

Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах обратного пьезоэффекта при действии на внешней криволинейной поверхности цилин-

Дмитрий Аверкиевич Шляхин (к.т.н., доц.), докторант, каф. сопротивления материалов и строительной механики.

дра электрического потенциала У*(,г*, £*). В результате данного воздействия исследуемый элемент деформируется.

В общем случае дифференциальные уравнения осесимметричного движения и электростатики однородной упругой анизотропной среды в цилиндрической системе координат записываются в следующем виде [2,3]:

догг дагг сгг - авв д2Ц* _

<9г* дг* г* Р сЯ“1

дстгг . дстхх (тгх д2\¥* т

Ж+ &7 + 77-"^Г = 0' (1)

дИг Иг дИг

~я----1---^ ~я— =

аг* г* дг*

При радиальной поляризации материала уравнения состояния пьезокерамического тела определяются следующими равенствами [2,3]:

&вв — С із

ди*

дг

ди*

и* <9И^*\ дф* бзз"

Г*

и*

я + с II-----------\-C\2

аг* г*

агг — С33 —-------Ь Сіз (--------1—-— ) +

аг* V г* а,г* /

<9г*

„ +езіт;—)

ОХ* ит *

ди* и* д\¥* дф*

— ^13—-------V С12------V С-ц—---------Ь Є31——,

аг* г* а,г* аг*

(2)

_ /аН7

агх — С55І —----------V —— I +

V дг* ехг* /

Є15

9-г*

90* /С/* ди*

Ог = —Єззтт---------Ь Є31-------1- —— + Є33

<-і I '-''о 1 I 1 о / 1 О о ^ 5

аг* V г* аг* / аг* ,„ч

9С7*' 1 ;

х = ~Єі1 Я--------^ Єі5 ( -----^ ~Я--- ) '

дг* V дг* аг* /

Здесь сг^'А;(^*, ^*, ^*), и*(г*, г*, £*), И^*(г*, г*, £*) — соответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора перемещений, к € {г, 0,-г}; А-(г*, -г*, £*), Дг (г *, 2*, £*), 0*(г*, 2*, £*) — компоненты вектора индукции и потенциал электрического поля; р, Ст5, ет5 — объёмная плотность, модули упругости и пьезомодули анизотропного электроупругого материала, т, 8 € {1,2, 3,4,5}; £ц, £33 — диэлектрические проницаемости.

При решении несвязанной задачи обратного пьезоэффекта используется допущение, что механические деформации не оказывают влияние на электрическое поле. Таким образом, в равенствах (3) следует исключить компоненты вектора перемещений:

и* = IV* = 0. (4)

В результате подстановки (3) в (1) с учётом (4) получаем дифференциальное уравнение и краевые условия для электрического потенциала:

, £цд2ф п ^

У = °> 5

е33 дг2

где V2 = д2/д2г + г 1д/дг\ при г = 0 и г = Ь имеем

Пг = -Сззепе^1^ = 0, (6)

а при г = к и г = I —

ф(к,г,г)= 0, ф(1,г,г) = У{г,Ь). (7)

Здесь используются следующие безразмерные величины: г = г*/Ь, г = г*/Ъ, Ь = И/Ь, к = а/Ъ < 1; 4 = и^/Сзз/р/Ъ\ ф = ф*ег5/(ЬСзз), V = V* е^/(ЬСзз).

На втором этапе исследования рассматривается начально-краевая задача теории упругости в предположении, что потенциал электрического поля ф известен (найден).

В результате подстановки равенств (2) в (1) получаем систему дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия для динамической задачи теории упругости в безразмерной форме:

Х/Ьт _ + С13 + С55 д2\у С13 - Си 1 д\¥ д2Ц _

Сззг2 Сзз дг2 С3з дгдг С3з г дг 942 Ь

С55 2 Си 9^ С\з + С55 д2и С12 + С55 1 дЦ д2\У =

Сзз С33 9,г2 С33 9г9,г С33 г дг дг2 2’

где

в _ _^33у2 , , ^31_1 дф_ _^ф_ _ в!5 + е31 920 1 90 _

1 в15 в15 г 9г дг2 ’ 2 в15 9г9,г г дг ’

при г = 0и2 = 1 имеем

= сЖ + «Д + С,Ж + См^ = 0,

9г г ог е\5 дг (9)

и{г, 0,4) = САМ), и(г,Ь,г) = и2(г,1);

при г = /сиг = 1 —

С/ (/г, г, £) = (/г, г, 4) = 0,

ди „ (гг гШ\ „ езз

I ^ ои „ / \ „

(7"1=1 - Сзз~д^ + См(и + —) + С33

в15 9г (Ю)

, /9И^ 9С/\ „90

<Тг-г г-1 — 55 ( “я------^ 33 я- — >

1Г-1 V 9г 9г / ог

при 4 = 0-

(П)

С/ (г, г, 0) = и0(г, г), и (г, г, 0) = Щ (г, г);

(г, г, 0) = \¥о(г, г), IV(г, г, 0) = \¥о(г, г).

Здесь используются следующие безразмерные величины: V = II*/Ъ, V = = V*/Ь, 11\ = и{/Ь, 112 = Щ/Ь, С/о = и$/Ь; точка означает дифференцирование по 4; и£, [/| —известные радиальные перемещения на торцевых поверхностях; С/о, Щ, И^о, И^о —известные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений.

Соотношения (5)—(11) представляют собой математическую формулировку рассматриваемой несвязанной начально-краевой задачи электроупругости.

2. Построение общего решения краевой задачи электростатики. Решение осуществляется методом интегральных преобразований с последовательным использованием конечного косинус-преобразования Фурье по координате г и интегрального преобразования Вебера [7] по переменной г.

Применяя к (5)—(7) косинус-преобразование Фурье по переменной г, получаем следующую задачу в пространстве изображений:

V2(/>c - —&фс = 0, (12)

£зз

где фс(г, т, 4) = ^(ф(г,г,г)), Ус(т,г) = 4));

^Г(-) = / ]т = пт/ц те{0}иМ;

при г = к и г = 1 имеем

фс(к,т,г) = 0, фс(1,т,г) = Ус(т,г). (13)

Используя процедуру стандартизации (приведение к однородным граничные условия) по координате г к краевой задаче (12), (13), представляем трансформанту Фурье в виде

фс(г, т, 4) = (1 - к)~1(г - к)Ус + %с(г, т, 4) (14)

и получаем новую краевую задачу относительно %с(г, т,£):

V2XC - —з1хс = Ес, (15)

£зз

где Ес = [вцвзз1]т(г ~ к) ~ г~11\Ус{ 1 — Л)-1; при г = к и г = 1 имеем

Хс(к,т,1) = хс(1,т,4) = 0. (16)

Применяем теперь к задаче (15), (16) конечное интегральное преобразо-

вание Вебера [7] по переменной г, вводя трансформанту

'фн((к,т,г)=[ Хс(г,т,г)[Уо((Кк)М(Кг) - М£Кк)У0(£Кг)]г& (17)

Jk

с соответствующей формулой обращения

(г т г) = - М^к)Уо(^г)]

ХсГ,Ш’ _ * Ьх 7г2[1о(£кВД(б,)- М^к)¥0((К)]2 -

Здесь £ге, к € N — положительные параметры, определяемые из трансцендентного уравнения

МЬШЬк) - МЬШЬ) = о. (19)

В результате получаем следующее выражение для трансформанты:

.)т

£зз

'фн(£к,т,$ = -(& + — х V Еяя /

х [ Ес[У0(Скк)МСкг) - М&к)¥о(£кг)]г (1г. (20)

' к

Используя последовательно формулы обращения (18) и косинус-преобра-зования Фурье, с учётом (14), (20) получаем выражение для ф(г,г,Ь):

С© ,

г, г, г) = ^ ^ со^тг)\ (1 - к)~1(г - к)Ус+

т=0 ^

+ 27г2 Фн(£к,т^) [Уо(^к),1о(^г) - МСкк)Уо(^г)] |

П Ь *2[М^к)Ми-Ч^к)У0(и]2-Ч*2 У

„ ( Ь, при т = 0,

где пт = (

I ь/2, при т ф 0.

3. Построение общего решения начально-краевой задачи теории упругости. Решение осуществляется методом интегральных преобразований при последовательном использовании синус- и косинус-преобразований Фурье с конечными пределами по переменной г [7] и обобщённого конечного интегрального преобразование (КИП) [6] по радиальной координате г.

Приведём краевую задачу (8)—(11) к стандартной форме на основе следующего представления:

и{г, г,Ь) = Нг(г, г,Ь) + и(г, г,Ь), \¥(г, г,1) = Н2(г, г,1) +и)(г, г,1), (22)

где

Нг(г,г,г) = /1(г)иг(г,г) + /2(г)и2(г,г),

Н2(г,г,г) = + ^-г 1и1^ +

+ /4(*) (и' + ^Г~1и2) + Ш^=о + /6(*)^

г=Ь

Здесь и ниже «штрих» означает дифференцирование по соответствующей координате.

В результате подстановки (22) в (8)—(11) с учётом условий

№) = /2(0) = /т = /'(о) = о, /,(0) = МЬ) = 1,

/з(о) = -№), т) = пщ = -с13сй\ , ,

/4(0) = -и(Ь), Ш0) = /'(£) = -Сззез^Сце^)-1, 1 ;

т) = т = о, /5(о) = -/5(ь), /6(о) = -/6 щ

получаем новую краевую задачу относительно функций и(г,г,Ь), из(г,г,1) с однородными граничными условиями по координате г. При этом дифференциальные уравнения (8), граничные условия (9) становятся неоднородными

с правыми частями Bf, В%, —Н—Н2, Н3, Я4, а в начальных условиях (11) вместо Uo, Uo, Wo, Wo следует брать uo, йо, wo, wo-

р* р Т72и , Си Hi C55d2Hi

С13 + С55 д2 Н2 С13 — С12 1 дН2 d2Hi

С33 drdz

С33 г dz

dt2

В* = В2-

Сіз + С*55 д2Ні Ci2 + С55 1 дНі

С33 drdz

С33 г dz

С55^2 СцгЭ2Н2 d Н2 Сзз 2 Сзз dz2 + dt2 ’

„ _ дНг С13 ( 0Н2\ _ (дН2 дН1

3 дг Сзз V 1 дг ) ’ 4 I дг дг

и0(г, г) = и0(г, г) - Н^г, г, 0), й0{г, г) = й0(г, г) - Н^г, г, 0);

Ц]0{г,г) = Wo(г, г) - Н2(г,г, 0), гЬ0(г,г) = \¥0(г,х) - Н2{г,г, 0).

Функции /1(2), /2(2), • • •, /б(-г) определяются из следующих дифференциальных уравнений:

№) = /ЭД = 0, /"'(*) = Г” {г) = Г” {г) = /"'(*) = 0. (24)

Применяя к краевой задаче относительно и(г,г,Ь), из(г,г,1) синус- и ко-синус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной г, получаем следующую задачу в пространстве изображений:

2 Сци3

V Us „ 2

с33 Г2

С*55 ,2 Jn^'s

L-33

Сіз + С55 . 9wc

С*13 — С12 . wc

Сзз Г

C55 2 Си -2 С13+С55 .

. C12 + C55 .

H-------------------Jn —

с 33 Г

<9i2

<92wc

<9i2

— Bis,

— B2c,

(25)

где us{r,n,t) = J^(u(r,z,t)), u0s(r,n) = J7(u0(r,z)), u0s(r,n) = J^(uo(r,z)), Bis = ??№), His = ^r(tfi), Яз, = ^Г(Яз);

J^(-)= [ (■) sin jnzdz, jn = mr/L; ne{0}UN;

Jo

wc(r,n,t) = J^(w(r,z,t)), w0c{r,n) = J^(w0(r,z)), W0c{r,n) = F?{w0{r,z)), B2c = ^с{В2), H2c = 7^(Я2), tf4c = FciHi)-, при r = br = l имеем

us(fc, n, t) = -His{k, n, t), wc(k, n, t) = —H2c(k, n, t);

= H3s(l,n,t),

13 Jr=l

■dwc . 1

JnUs

. r= 1

<9r

- Г= 1

= tf4c(l,n,i);

(26)

при t = 0 —

Us (т, П, 0) — UQs, ilsij'5 /2-5 0) — "йоз, (27)

wc(r,n,0) = w0c, wc(r,n, 0) = w0c. 1 J

На втором этапе решения описанную выше процедуру стандартизации проведем для краевой задачи (25)-(27) по координате г, используя представление

us(r, п, t) = H5s(r, п, t) + Us(r, п, t), wc(r, n, t) = H6c(r, n, t) + Wc(r, n, t), (28) где

H5s(r,n,t) = f7(r)Hls(l,n,t) + fs(r)H3s(k,n,t),

H6c(r, n, t) = /7(r)tf2c(l, n, t) + f8(r)H4c(k, n, t).

Если теперь подставить (28) в (25)—(27) и учесть условия

/7(1) = /т(1) = /8(*0 = /8(1) = 0, -/7(Л) = й(1) = 1, (29)

то получим новую начально-краевую задачу относительно Us{r, п, t), Wc(r, п, t) с однородными граничными условиями по координате г. При этом функции Bis, в2с, u,0s, ii,0s, Wos, Wos следует заменить на B\s, Б|с, U0s, Uos, W0s, W0s по таким формулам:

Bis = Bis - V2H5s + + §^/nH5s +

C*i3 + C55 . . Си — C12 . Hqc -

—СM-------- c —C33-------------Jn~

C55

С11

B*2c = B2c - TpV Я6с + -ii

C33

C33

с

С*із + C55 C33

jnH^s

С12 + C55 . і?!

Сзз

5s

+ #<

6c?

t/os = Uoc - H5s(r, n, 0), u0s = Uo с - H5s(r, n, 0);

W0c = w0с ~ H6c(r, n, 0), W0c = w0с ~ H6c(r, n, 0).

Функции /7(г), /в(0 определяются из следующих уравнений:

f"'{r) = Ґі'{г) = 0. (ЗО)

Преобразованная начально-краевая задача (26)-(27) относительно Us{r,n,t), Wc(r,n,t) решается с помощью структурного алгоритма метода КИП [6]. Введём на сегменте [к, 1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами вектор-функции ядра преобразования Ki(\in,r), K2(\in,r):

G(\in,n,t) = f [Us(r,n,t)Ki(\in,r) + Wc(r,n,t)K2(\in,r)]rdv, (31) Jk

-2

гп || >

-2

т|| >

(32)

Us(r,n,t) = ^G(Ain,n,t)Ki(Ain,r)||K,

г=1

С©

Wc(r,n,t) = ^G(Ain,n,t)K2(Am,r)||K,

i=l

\\Kin\\2 = [ [Kj(\in,r) + K%(\in,r)]rdr,

Jk

где \in, i € N —положительные параметры.

После использования структурного алгоритма метода КИП, подробно изложенного в работах [5-7], получаем следующее выражение для трансформанты:

G( Xin, п, t) = Go (Am, п) COS A int + Go(Am, t)Kn sin

~ Kn [ ПЪ», T)sin _ T)dr (33)

Jo

и с учётом однородных граничных условий вида (26) — однородную краевую задачу для компонент ядра КИП Ki(Xin,r), K2(Xin,r):

2 Gn Ki G55 .2 G13+G55. , 2 ^ n

^ - —JnKi-------7^----JnK2 + AiraKi = 0,

VzKx -

Cu 2 Cis + C55a (j„ , KV

гі v Jn±v* '

Ьзз О33 ^33

G33 г2 Сзз''"' ^ G33

-jn(K[ + — j + A2raK2 = 0;

при г=киг=1—

(34)

^l(Am, Л) — K2{\ini k) — 0,

КІ + ^ІКг-^К2)

L-33

0,

r=l

0.

(35)

r= 1

Здесь

Р{\1П,п,1) = ['(В^Кг + B*2cк2)rdr■

Jk

Со(Хгп,п)= [ [UosK1 + WocK2}rdr, 6о(\гп,п)= [ ^Кг + \¥0сК2]г dr.

Jk J к

Система (34) сводится к следующему дифференциальному уравнению 4-го порядка относительно функции К\(\гП,г):

кг + \к'! + (би„ - |)«г + (b-f + І) к[+

где

&1т — А2га ^1 + ^7^) + І

33

C33C55

Ь2ш = (А2га - %) (^А?га - .

' С55

Для приведения краевой задачи относительно [/Дг, п,£), \¥с(г,п,1) к (36) используются условия

С12 = С13, Си = Сзз, (37)

первое из которых позволяет получить самосопряженные исходную относительно С/в(г, гг, ^), }¥с(г, п, £) и преобразованную (34) системы уравнений, а второе — привести (34) к (36).

Дифференциальное уравнение (36) допускает факторизацию на коммутативные сомножители

(12 1(1 / 2 1

с?г2 г г1г V т г2

^1(Ат,г) = 0 (38)

при удовлетворении двух основных случаев отношения коэффициентов для расчёта пьезокерамического цилиндра:

1) ^ А< ]п', 2) ^ Агга, (39)

где

^7р + - &2гп) 7 , Ап = Т &1гп) 1/2;

_ С|3 - С13(С13 + 2С55)

Сзз(Сзз + С55)

Верхний знак в равенстве (38) соответствует первому варианту отношения коэффициентов (39), нижний — второму случаю. Кроме того, следует отметить, что для пьезокерамического материала [3] постоянная Б изменяется в пределах от 0,6 до 0,8.

Общий интеграл равенства (38) определяется одним из следующих выражений:

1) (\гП, Г) = N1^1 (АгПГ) + Л^ггЛ (40 +

“Ь-^Зт-^1 (-АгоО 1^ЦПК\ (ДлГ) , (40)

2) К1(Ат, Г) = (40 + Л^ггЛ (40 +

(Ап?1) ~\~ Л?4т^1 (-Ап О

в зависимости от случая в (39). Здесь Л,(-), ^(')> ^(')> ^(') — обыкновенные и модифицированные функции Бесселя 1-го и 2-го родов порядка V [8].

Используя зависимости между ^(А^, 0 и ^2(Ат, 0, полученные в процессе приведения (34) к (36), получаем выражения для второй компоненты ядра преобразований:

1) -^2(Ат,0 = Ьзт{А т(р4т А^п)1^ИпЛо(АтГ) + ^2гпУо{АтГ)] +

-^Зт-Агг(^4т + ^2га)/о(АпО-

-^4т-Аго(^6т “Ь А^^З-Ко (-ОщГ) }, (41)

2) -?^2(Ат,0 = ^Зт{^4

т(р4т -А%п)№ип^(АтГ) + Л^2т^о(^4т^)] +

-Ап(^4т -^?п)[-^Зт<Л)(Агг0 + ^4т^о(Ага^)] }

в зависимости от случая в (39). Здесь

С*55

Ь'ііп —

jn(C 13 + С'5б)(А21 + ЬїіпЗп,

h . _ х2 .2^13(^13+2(755)

> ^4in ^in \ Jn'

C33C55

Подстановка (40), (41) в граничные условия (35) формирует однородную систему уравнений относительно ПОСТОЯННЫХ Nlin, Л^2т, N3in, Nnn. Разыскивая её нетривиальное решение, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений Xin, а также выражения для этих постоянных:

det[Aj = 0, s,u € {1,2,3,4}, (42)

где

Bioj = Zi(Pink), В2ш = Pinihin — Pin) Zo(Pink),

Р>3ш = (^зС^1 — l)Zi(Pin) + Pin[ 1 — С13 C33 jn b^inipQin — Pin)\ Zo(Pin),

Р>4ш = [jn b^inPin ipdin -Pm)] (.Pin) ,

при w = 1 и w = 2 имеем Pin = A^, ПРИ ш = 3иш = 4 — Pin = Дп, при ш = 1

и oj = 3 — Zv(•) = Jv( •), при oj = 2 и w = 4 — Zv{-) = YV(- ).

Без ограничения общности, принимая Nun = 1, оставшиеся постоянные интегрирования определяются из решения следующей системы неоднородных уравнений:

£>22 £>23 £>24 1 Г N2in 1 Г -£>21

(43)

-£>22 -£>23 -£>24 -^2т -£>21

-£>32 -£>33 -£>34 X -^Зт = — -£>31

-£>42 -£>43 £>44 -^4т Б41

4. Расчётные соотношения. Заключительным этапом исследования является определение функций /1(2), /2(2), ..., /6(0, /7(г),}8(г), входящих в представления (22), (28). Для этой цели воспользуемся дифференциальными уравнениями (24), (30) и соответствующими граничными условиями (23), (29). В результате имеем:

ш = ~Шк~ !)■ ш = ей(к-г+1)' (44)

Л(2) = ~! )■ Мг) = -<> ~К)Лг ~1)2-

/8(г) = (1 — к)~1[г2 — (к + 1)г + &].

Последовательно применяя к трансформанте (33) формулы обращения КИП (32), а затем конечных синус- и косинус-преобразований Фурье, с учё-

том (22), (28) получаем следующие разложения для U(r,z,t), W(r,z,t):

U(г, z, t) = Hi(r, *,t)+£ П,

-i

П

п=О

H5s(r,n,t) +

+ ^ G(Ain, n, t)Ki(Xin, г) || H6c(r,n,t)+

1-2

г=1 оо

smjraz,

(45)

W(г, z, t) = H2{r, z,t) + £ Q

п=0

С©

+ £ G{\in,n,t)K2{\in,r)\\K,

г=1

1-2

COSJnZ.

Равенства (45) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (8), краевым (9), (10) и начальным (11) условиям, т. е. представляют замкнутое решение рассматриваемой начально-краевой задачи теории упругости.

5. Численный анализ результатов. В качестве примера рассматривается пьезокерамический цилиндр (L = 1, к = 0,5) из состава ЦТС-19 [2] с мембранным закреплением его торцов (U\ = IJ2) при следующем воздействии на внешней радиальной поверхности: V(z,t) = V(z) sin 0t.

Рассматриваются различные варианты приложения нагрузки (соответствуют номерам кривых на рис. 1-4):

1) по всей поверхности V(z) = Vo;

2) на нижней половине V(z) = Vo[l — H(z — L/2)];

3) на нижней и верхней трети V(z) = Vo [1 + H(z — 2L/3) — H(z — L/3)] исследуемого элемента.

Здесь Vo — амплитудное значение нагрузки, в — частота вынужденных колебаний (в = 0,ЗАц, Ац—собственное значение основного тона колебаний цилиндра [6]), Н( - ) — функция Хэвисайда соответствующего аргумента.

На рис. 1, 2 показаны зависимости, характеризующие изменение во времени t радиальной и аксиальной компонент вектора перемещений U(l,L/2,t),

Рис. 1. Зависимость радиальных перемещений внешней криволинейной поверхности цилиндра от времени

О тт/в 27г/0 Зтт/в t

Рис. 2. Зависимость аксиальных перемещений внешней криволинейной поверхности цилиндра от времени

И^(1 ,£,£); штриховой линией обозначена осциллограмма приложенной нагрузки. Следует отметить, что при действии осесимметричной по высоте (кривые 1, 3) гармонической нагрузки возможно использование допущения о стационарном режиме вынужденных колебаний, применяемое при исследовании большинства подобных динамических задач электроупругости. Однако во втором случае (кривая 2) рассматриваемые точки совершают более сложное движение.

На рис. 3, 4 приведены графики, описывающие изменение амплитудных значений и( 1,г,Ь), \¥(1,г,Ь) вдоль аксиальной координаты. Результаты показывают, что для кривых 1 и 3 наблюдается одинаковая качественная картина, а численные значения пропорциональны площади, на которую действует электрический потенциал. При действии нагрузки на нижней половине цилиндра (кривая 2) наблюдается более сложная зависимость. Можно отметить, что эпюра деформаций 11(1, г, £) ~ г имеет разные знаки, а максимальные перемещения \¥(1,г,£) на верхней части элемента, в отличие от симметричной по аксиальной координате нагрузки, наблюдаются не в крайних точках, а при г = 0,6Ь.

Рис. 3. Изменение амплитудных значений радиальных перемещений по высоте цилиндра

О 0,25 0,5 0,75 г/Ь

Рис. 4. Изменение амплитудных значений аксиальных перемещений по высоте цилиндра

В заключение следует отметить, что построенный алгоритм позволяет рассчитать коэффициенты электромеханической связи пьезокерамических преобразователей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шулъга Н. А., Болкисев А. М. Колебания пьезоэлектрических тел. — Киев: Наукова думка, 1990. — 228 с.

2. Партон В. 3., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. — М.: Наука, 1988. — 470 с.

3. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шулъга Н. А. Механика связанных полей элементах конструкций. — Киев: Наукова думка, 1989. — 279 с.

4. Сеницкий Ю. Э. Осесимметричная динамическая задача для короткого толстостенного цилиндра / В сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. — Горький: Горьков, гос. ун-т, 1980. — С. 127-135.

5. Сеницкий Ю. Э. К решению осесимметричной задачи динамики для анизотропного короткого толстостенного цилиндра // Прикладная механика, 1981. — Т. 17, № 8. — С. 95-100.

6. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. — Саратов: Саратов, ун-т, 1985. — 173 с.

7. Снеддон И. Н. Преобразования Фурье. — М.: Иностр. лит., 1955. — 668 с.

8. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. — М.: Наука, 1977. - 342 с.

Поступила в редакцию 12/Х/2009; в окончательном варианте — 29/1Х/2010.

MSC: 74B05, 74S20

UNTIED AXISYMMETRIS DYNAMIC PROBLEM OF THE RETURN PIEZOEFFECT FOR THE RADIALLY POLARISED CYLINDER

D. A. Shljakhin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering,

194, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443001, Russia.

E-mail: [email protected]

The non-stationary problem of the return piesoeffect for anisotropic piesoceramic radially polarized cylinder is considered untied axisymmetris at action on its external radial surfaces of the electric potential which is any function on axial co-ordinate and time. The new closed decision is developed, by a decomposition method to its own vector-functions in the form, of structural algorithm of final transformations. The received ratios allow to define frequencies of own fluctuations, the is intense-deformed condition of an element, and, also potential and, intensity of induced electric field.

Key words: problem of the return piezoeffect, the piezoceramic cylinder, axisymmetris dynamic loading.

Original article submitted 12/X/2009; revision submitted 29/IX/2010.

Dmitry A. Shljakhin (Ph. D. (Techn.)), Doctoral Candidate, Dept, of Resistance of Materials & Construction Mechanics.