Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЛСТОЙ КРУГЛОЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ

© 2011 Д.А. Шляхин1

Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи теории упругости для жестко закрепленной сплошной круглой анизотропной пластины. Расчетные соотношения получены методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Численные результаты позволяют проанализировать влияние толщины пластины на частотный спектр собственных колебаний, а также определить напряженно-деформированное состояние исследуемого элемента.

Ключевые слова: вынужденные колебания, осесимметричная динамическая нагрузка, толстая анизотропная пластина.

Введение

Исследование вынужденных осесимметричных колебаний круглой анизотропной пластины в рамках теории упругости связано с проблемой интегрирования сложной системы дифференциальных уравнений при удовлетворении начальных и краевых условий. Наиболее эффективным математическим аппаратом, позволяющим преодолеть данные трудности, является метод разложения по собственным вектор-функциям. В работах [1-4] при исследовании изотропного цилиндра на основании принципа суперпозиций используется набор частных решений, который с заданной точностью удовлетворяет краевые условия с помощью бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Построенные решения позволяют описать гармонический процесс распространения упругих волн.

В исследованиях [5; 6] методом конечных интегральных преобразований построены замкнутые решения нестационарных осесимметричных задач для короткого анизотропного цилиндра при смешанных краевых условий на его торцах. Существенным представляется то, что построенный алгоритм справедлив для произвольного динамического воздействия. В [8] рассматривалась динамического задача для полого цилиндра с закреплением торцов в виде скользящей заделки. Использовался подход, основанный на дискретизации по времени уравнений движения с последующим использованием интегрального преобразования Фурье. Полученная

1Шляхин Дмитрий Аверкиевич (sgasu@sgasu.smr.ru), кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

векторная краевая задача решалась с помощью построения матричной функции Грина.

В настоящей работе исследуются вынужденные установившиеся колебания сплошной круглой пластины с жестким закреплением ее цилиндрической поверхности. Данное исследование проведено для материалов с гексагональной кристаллической структурой, которой соответствует большое количество материалов и сплавов [9]. Напряженно-деформированное состояние таких систем описывается с помощью пяти модулей упругости.

1. Постановка задачи

Пусть круглая сплошная пластина, занимающая в цилиндрической системе координат (г*, в, г*) область П: {0 ^ г* ^ Ь, 0 ^ в ^ 2п, 0 ^ г* ^ к}, представляет линейно-упругое анизотропное тело. Рассматривается случай, когда цилиндрическая поверхность (г* = Ь) элемента жестко закреплена, а на его торцевую плоскость (г* = к) действует осесимметричная динамическая нагрузка (нормальные напряжения) д* (г* ,г*).

В общем случае дифференциальные уравнения осесимметричного движения однородной упругой среды в цилиндрической системе координат записываются в виде :

до„ + дагх + агг - оее д2Ц* =о (11)

дг* дг* г* Р дг* , .

дотг + дохх + от^ _ д2Ш* =о дг* дг* г* Р дг*

Уравнения состояния анизотропного тела гексагональной системы с осью симметрии относительно аксиальной координаты определяются следующими равенствами [10]:

* * *

(1.2)

Сп ди* и* ^ дШ*

0тт = дг* 12 г* ' °13 дг* ,

: С12 ди* С и* ^ дШ*

о ее = дг* 11 г* ' °13 дг* ,

ди * и * \ \ „ дШ* ^ ( дШ *

дг* г* ) )+ Сзз дг* ,о т* = М дг*

= С13 ( + ~ ) + = С55 ( + ди

В соотношениях (1.1)—(1.2) г*—время, Ojtk (г*, г*,г*), и * (г*, г*,г*), Ш* (г*, г*, г*) — соответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора перемещений (у, к = г,в, г); р, Ста — объемная плотность и модули упругости (т, а = 1, 5).

В результате подстановки (1.2) в (1.1) получаем систему дифференциальных уравнений и краевые условия рассматриваемой задачи теории упругости в безразмерной форме при установившемся режиме вынужденных колебаний:

у2и + С55 д'и + (С13 + С55) д2Ш + и (1 3)

+ С1 + Сй дТог +Л и = 0, (1.3)

^ У2Ш + С33 + ^^ V ^ + Л2Ш = 0;

С11 С11 дг2 С11 дг

г = 0,1 и(0, г) < ж, Ш(0, г) < ж, (1.4)

и(1, г) = 0, Ш (1, г) = 0;

о

С13 С33 дШ г = 0,1 агг| = С3Уи + С3 — = д (г), (1.5)

Си Си дг

С13 С33 дШ С55 (дШ ди \

| *=0 = С11Уи + С11 ~дГ = 0, аг*I*=0'ь = С11 V+ ж) =0

В равенствах (1.3)-(1.5) общий для всех функций временной множитель ехр(—1Ж*) опускается, в — частота вынужденных колебаний, {и,Ш,г,г,Ь} = = {и*,Ш*,г*,г*,Н} /Ь, Л2 = рв2Ь2/Сп, д (г) = д* (г) /Сп, V = д + 1, V? = +

+1 дГ - £, V? = VI +1.

Соотношения (1.3)-(1.5) представляют математическую формулировку рассматриваемой краевой задачи теории упругости.

2. Построение общего решения

Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований Хан-келя по координате г. Для реализации данной процедуры разделения переменных краевая задача (1.3)-(1.5) приводится к стандартной форме путем замены последнего условия (1.4) на равенство

С55 ( дШ + ди \ к ()

а"1'=1 = Сй{+ ж) = К (г) ■ (2.1)

Здесь К (г) = К* (г)/Сц, К * (г) — касательные напряжения, приложенные к боковой поверхности пластины и определяемые в процессе решения задачи из условия отсутствия вертикальных перемещений при г =1.

Функция К (г) должна удовлетворять также следующую зависимость:

[ К (г) 3,г = — I д (г) гйг, (2.2)

00

которая является условием самоуравновешенности пластины при действии осесим-метричной нагрузки.

Кроме того, компоненты вектора перемещений и, Ш представлены в виде следующих разложений:

и (г, г) = (г — г3) д (г) + и (г, г), (2.3)

С11 г2

Ш (г, г) = —--— К (г) + V (г, г),

С55 2

позволяющих в дальнейшем построить решение для произвольной функции д (г) , а также сформировать однородные краевые условия по координате г.

В результате подстановки (2.3) в (1.3)-(1.5), (2.1) получаем новую краевую задачу относительно функций и (г, г), V (г, г):

*и+С? £^+Ли=(2,)

С55 ут2 + С33 д+ (Сз + С55) ди + 2 „

С1 у2ш + С1 + с 11 У дг + Лш = Р2;

г = 0,1 и(0, г) < ж ш(0, г) < ж, (2.5)

дш

и(1, г)=0, ~зт |г=1=0;

г = 0,Ь Огф=ь = ^V« + ^ ^ = N1 (г,Ь), (2.6)

С11 С11 дг С13 С33 дт

огг\г=0 = Vи + — = N2 (г, 0) ,

Сц Сц дг

С55 (д~ш ди\ ( С55 (д~ш ди\ (

°"\'=ь = Сп{д) + аг) = М3(г,ь), о-\*=0 = СЦ дг + дг) = ^ (г,0),

где Л = - (V? + Л2) [(г - г3) д (г)] - гКг,

Я = - (2 + Л2 г!^ к (г) - С33 г2 (г)

С55 2) к ' С55 2 йг2 '

лт ( т) ( ) С13у7 [( 3) ( )] С33 У2 йк(г) Ж1 (г,Ь) = д (г) - — ^ (г - г )д (г)] - — — ^

лТ ( 0) С13у7 [( 3) ( )] С33г2 йК (г)

^(г,0) = - Сй ^ (г - г^д (г) - Сп \ ^

М3 (г, Ь) = -гК (Ь), N4 (г, Ь) = -гК (0).

К краевой задаче (2.4)—(2.6) применяем преобразование Ханкеля с конечными пределами по переменной г, используя следующие трансформанты:

ин (Зи,г) = и (г, г) гЛ (Зиг) йг, (2.7)

0

0

1

Зи-, ь) — I ш , л I I 1П1 I йг

0

и формулы обращения

оо

™н (Зи,г) = т (г, г) гЛо (Зиг) >

0

и (г, г) = 2^2 Л (Зиг), (2.8)

„=1 Л0 (]и)

( ) 2 ^ ™Н (3и,г) т ( . ) т (г,г) = 2^ „ Л (Зиг).

и=0 Л0 (3и)

В равенствах (2.7), (2.8) Зи корни такого трансцендентного уравнения

Л (Зи)=0 (п = ТЖ; Зо = 0). (2.9)

В пространстве изображений получаем следующую краевую задачу:

.2 С55 ¿2—н (С13 + С55) . йтН , Х2 р (плгл

-Зиин + СЦ^ - С11 З-¿г + Лин = Р1н, (2.10)

С55 .2 , С33 3?тн , (С13 + С55) . йин 2

- ~С\~1 Зишн + Сг^ + Сц Зи +Лшн = Р2н;

г = 0Ь Ст-Зиин + ^^ = ^н (Зи,Ь), (2.11)

С13 С33 дтн

у,—Зп—Н + ^--д— = N2H (Зи, 0),

С11 С11 дг

^и (- Зи^) = ^н (Зи, Ь), С55 {й—Н - Зи™^ = ^н (Зи, 0);

где {^1н, Nзн, ^н} = /01 ^,N3, N4} гЛ (Зиг) ¿г,

{^2н ,Nlн ,тн } = I ^,N1 ,N2} г л (Зиг) ¿г.

0

В случае, когда n = 0, трансформанта wh определяется равенством

wh (jo, z) = Dw cos (pz) + D20 sin (pz) + p-1 F*h (t) sinp (z - t) d£, (2.12)

J o

где Dio = - [psin (pL)]-1 |j + tf K (t) cosp (L - t) d£ , D20 = --Cu. dK (z) p2 = Л2 Cii

8C55p dz \z=o C33'

F* ( ) C11 ( C11 \ K ( C11 d2K (z)

F2H (z) = 1 + K (z) -

Сзз\ 8С55) У ' 8С55 Сг2 • При п = 0 система уравнений (2.10) приводится к следующему разрешающему уравнению относительно шн:

С4шн сРшн

йг4 + а1п сг2 + а2пШн = кн, (2.13)

С С 3+^55)2 <2 С 2

где аы = С55а3п + С33а4п + с33с55 Зп, а2п = с33с55 Я3пЯ4п,

2 2 2 С55 2

а3п = Л — Зпу а4п = Л — Зпу

С11

Сп С21 Сц (С13 + С55) . Ск1н

кН = 7;--Т"2--+ п П а3пк2Н--п п-Зп^-■

С33 Сг2 С33С55 С33С55 Сг

Для установившегося режима вынужденных колебаний, как правило, выполняется следующее соотношение коэффициентов а2п < 4а2п. В этом случае общий интеграл дифференциального уравнения (2.13) определяется таким выражением:

wh (jn, z) = exp (xnz) [D1n cos (finz) + D2n sin (finz)] + exp (-Xnz) [D3n cos (finz) +

+ D4n sin (n)] + [2xnPn (хП + en)]-1 / Fh (0 {Xnch [xn (z - £)] x

o

x sin [en (z - 0] - ¡3nsh Xn (z - 0] cos [en (z - Ш dt (2.14)

1

Здесь Xn = 1

1

2(a2n) /2 - a1

/2 1

Pn [ 2" + Xn]

2 1 /2

Располагая (2.14), из системы (2.10) находим трансформанту uh:

uh (jn,z) = b 1n d^ + b2n^dzH + b3nF1H + b4n dlH, (2.15)

где b1n = § ^l+Csj «Зп1, Ьзп = «зП

b2n = «зП

C13 + C55 C55«4n

jn +

, _ -1 C55

, b4n = -a3n

(C13 + C55) jn

С11 (С 13 + С55) Зп J

Подстановка (2.14), (2.15) в краевые условия (2.11) позволяет определить постоянные интегрирования П^ ^ П^п.

n

3. Расчетные соотношения

Применяя к трансформантам (2.14), (2.15) формулы обращения (2.8), получаем, с учетом (2.1), следующие разложения для и (г, г), Ш (г, г):

и (г, г) = (г - г3) д (г) + 2 V ^ (и\г) Л (Зиг),

Л0 (3и)2

Ш (г, г) = ^ ^К (г) + 2тн (Зо, г) + 2 V ™Н ^ Л (Зиг) .

(3.1)

Си г2

С55 2

^ Л (Зи)2

и=1

Заключительным этапом данного исследования является определение функции К (г), которую для упрощения расчета можно представить в виде следующего многочлена:

К (г) = ]Т Акгп

к = 1

.-к

(3.2)

Принимая во внимание (3.2), приравниваем нулю вертикальные перемещения Ш (1,г) в т - 1 точках по высоте сечения пластины и с учетом (2.2) получаем систему неоднородных алгебраических уравнений относительно постоянных А1 + Ат. Ее решение позволяет определить А1 + Ат и функцию К (г).

Разложения (3.1) удовлетворяют исходные дифференциальные уравнения (1.3), краевые условия (1.4), (1.5) (последнее условие (1.5) с заданной точностью) и являются замкнутым решением рассматриваемой краевой задачи.

Следует отметить, что построенный алгоритм справедлив для установившегося режима вынужденных колебаний, который выполняется, когда частота вынужденного гармонического воздействия существенно меньше низшей частоты собственных колебаний.

Для определения спектра частот собственных колебаний пластины шик (п = 1, ж; к = 1, ж) необходимо исследовать однородные дифференциальные уравнения и краевые условия (2.10), (2.11) с учетом замены Л на \ик (Аик собственные значения осесимметричных колебаний).

Система (2.10) приводится к однородному дифференциальному уравнению вида (2.13), общее решение которого имеет вид:

тн (Зи, г) = ^2 ОриНр (Зи, г) . р=1

(3.3)

При этом могут иметь место три случая отношения коэффициентов: а) а1и <

< 4а2и; б) а1и > 4а2и, а^ > 0; в) а^ > 4о,2г,

2и

< 0.

Тогда частные решения Нр (Зи,г) определяются следующими функциями:

Н1 (Зи, г)

Н3 (Зи, г)

где Х1г

а) ехр (хиг) сов (виг)

б) ехр(х1иг)

в) ехр(х1иг)

Н2 (Зи, г)

а) ехр (-Хиг) сов (виг)

б) ехр(х3иг) , Н4 (Зи, г)

в) сов(х3иг)

а) ехр(хиг)вт(виг)

б) ехр(х2иг)

в) ехр(х2иг)

а) ехр(-хиг)вт(виг)

б) ехр(х4иг)

в) вт(х3иг)

-2- /2

01и - (о2и - 4о2и)

72

/2

, х2и

-х1и

х3и

2-1/2

01и + (о2и - 4о2и)

1/2

/2

, х4и

-х3и.

Подстановка (3.3) с учетом зависимости ин (зп,г) от шн (зп,г), аналогичной (2.15), в однородные граничные условия вида (2.11) позволяет сформировать однородную систему уравнений относительно постоянных Пцп + Оцп. Разыскивая ее нетривиальное решение, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений Лп:

det \\Бтк\\ =0, (ш =1,4, к = 14)

„ , й3Нк (зп, г) ( Сзз \ СНк (Зп, г) Б1к = Ь 1п-г^--+ Ь2п + '

ш

ш =1, 2 3,4 :

Б

3к

Ь

1п

Сг3 С4Нк (Зп, г)

Сг4 г=0;

+ Ь2п

С13Зп

С2Нк (Зп, г)

Сг2 2, 4 : г

Сг

— ЗпНк (Зп, г);

ш =1, 3: г = 0; ш = 2,4: г = Ь. Частота собственных колебаний ипк определяется равенством

Лпк

ипк =

Ь

1Сп

4. Численный анализ результатов

В качестве примера рассматривается пластина, выполненная из керамики состава РЬТЮ3 — PbZrOз р = 7, 73 ■ 103 кг/м3 при следующих значениях упругих постоянных: {С11,С13,С33,С55 } = = {10, 9; 5, 4; 9, 3;2, 4} ■ 1010 Н/м2.

В таблице приведены собственные значения Лп1 осесимметричных колебаний анизотропной пластины различной толщины, полученные на основании точного решения и приближенной теории Тимошенко [7].

Таблица

Лп1 Теория упругости Модель Тимошенко [7]

£=0,05 £=0,1 £=0,2 £=0,4 £=0,05 £=0,1 £=0,2 £=0,4

п = 1 0,177 0,348 0,648 1,057 0,146 0,285 0,521 0,811

п = 2 0,586 1,101 1,838 2,324 0,555 1,017 1,654 2,154

п = 3 1,203 2,147 3,244 3,370 1,202 2,060 3,045 3,644

п = 4 2,001 3,381 4,413 4,414 2,064 3,342 4,540 5,152

Многочисленные исследования по определению спектра собственных частот круглых жесткозакрепленных изотропных пластин позволяют сделать вывод о хорошем совпадении результатов, полученных в рамках теории упругости и прикладной теории Тимошенко. Однако при анализе анизотропных элементов наблюдается более сложная картина. Это связано с тем, что в точном решении для вычисления ипк используется большее количество упругих постоянных. Для тонких пластин (Ь = 0, 05; 0,1;) данный факт оказывает влияние в основном на первую частоту колебаний. Вместе с тем варьирование коэффициентами С13, С33, которые не учитываются в теории пластин, позволяет получить точное совпадение всех значений.

Для толстых элементов (Ь = 0, 2; 0, 4 ) разница в численных значениях увеличивается, что объясняется, в том числе, неполным соответствием краевых условий в рассматриваемых теориях. В рамках модели Тимошенко, а также в построенных ранее точных решениях [2] допускается большая податливость плиты при

изгибе и не обеспечивается равенство нулю на ее цилиндрической поверхности (последнее условие (2.5)).

На рис. 1, 2 приведены графики изменения касательных напряжений агх по высоте пластины для случаев Ь = 0,4; 1. Расчеты выполнялись при действии равномерно-распределенной гармонической нагрузки интенсивностью до с частотой вынужденных колебаний в = 0,5шц. Цифрами 1-4 обозначены результаты при г = 1; 0, 75; 0, 5; 0, 25.

°Лг>2У<1о

1

2

-Г"

4 -з—

О 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

Рис. 1

Рис. 2

Следует обратить внимание, что в работе [11] при исследовании напряженно-деформированного состояния круглых пластин для лучшего схождения бесконечных рядов нарушалось условие парности касательных напряжений в угловых точках (г =1,2 = 0, К), справедливое для симметричной теории упругости. Аналогичный подход используется также при вычислении функции К (г) (рис. 1,2 — кривые 1). В результате происходит существенное уменьшение численных значений \х—о ь, входящих в краевые условия (2.6), и полученное решение становится устойчивым.

Анализ рис. 1, 2 показывает, что в областях, удаленных от защемленного края, распределение касательных напряжений по высоте пластины без большой погрешности можно описать параболической зависимостью. В тонких пластинах (Ь = = 0, 4) только непосредственно около закрепленной поверхности характер распре-

деления данного напряжения меняется со смещением максимальных величин к торцевым поверхностям и значительным увеличением численных значений. В толстых элементах (Ь = 1) данная особенность наблюдается в более широкой области, а именно при г ^ 0, 75.

Особенности поведения радиальных напряжений агг по координате г (Ь =1) отражает рис. 3. Цифрами 1-3 обозначены кривые, соответствующие сечениям 2 = Ь, Ь/2, 0. При 2 = Ь, Ь/2 в областях, примыкающих к заделке, наблюдаются уменьшение напряжений по сравнению с внутренними точками и смена знака. В нижней части пластины (кривая 3) область г ^ 0, 8 характеризуется отсутствием данного вида напряжений.

агг(Ь 2У <7о

20С 100

1001---------'—

"1 "0,8 "0,6 -0,4 "0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 3

Графики изменения вертикальной компоненты вектора перемещений Ш (г, г)^г приведены на рис. 4 (Ь =1) соответственно для случаев 2 = Ь,Ь/2, 0 (кривые 1-3). Разница в численных значениях характеризует сжатие пластины по высоте сечения.

Н^Уяо

2 /

1 /

"1 "0,8 "0<6 "0,4 "0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 4

В заключение следует отметить, что построенный алгоритм позволяет исследовать также статические задачи. При этом представление Ш (г, 2) в виде

с г2

Ш (г, 2) = Ао + С1 — К (2) + ю (г, 2) С55 2

дает возможность с помощью постоянной Ао и функции К (2) удовлетворить

последнее краевое условие (1.4) без нарушения парности касательных напряжений

в угловых точках [12].

Литература

[1] Пространственные задачи теории упругости и пластичности / под ред. А.Н. Гузя. Киев: Наук. думка, 1986. Т. 5. 286 с.

[2] Фридман Л.И. Динамическая задача теории упругости для цилиндра конечных размеров // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 3. С. 37-43.

[3] Высокочастотные колебания цилиндра конечных размеров / М.С. Якименко [и др.] // Доклады НАН Украины. 2009. № 5. С. 83-86.

[4] Макарян В.С., Симонян В.В. Об одной динамической задаче для кругового упругого цилиндра конечной длины // Mechanics. Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia. 2009. № 51(1). P. 26-31.

[5] Сеницкий Ю.Э. К решению осесимметричной задачи динамики для анизотропного короткого толстостенного цилиндра // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 8. С. 95-100.

[6] Сеницкий Ю.Э. Динамическая задача теории упругости для анизотропного конечного толстостенного цилиндра с учетом сил вязкого сопротивления // Вестник СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2008. № 2(61). С. 248-263.

[7] Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1985. 173 с.

[8] Вайсфельд Н.Д. Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки // Акустичний в^ник. 2003. Т. 6. № 3. С. 18-25.

[9] Атомно-дискретное описание влияния анизотропных взаимодействий на упругие свойства ГПУ металлов / М.А. Баранов [и др.] // Физика твердого тела. 2004. Т. 46. Вып. 2. С. 212-217.

[10] Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Наука, 1961. 219 с.

[11] Пространственные задачи теории упругости и пластичности / под ред. А.Н. Гузя. Киев: Наук. думка, 1985. Т. 3. 280 с.

[12] Шляхин Д.А. Осесимметричная задача теории упругости для круглой жестко закрепленной пластины // Известия вузов. Сер.: Строительство. 2011. № 7. С. 3-9.

Поступила в редакцию 22/IV/2011;

в окончательном варианте — 22/IV/2011.

152

ff.A. LUmTMH

THE COMPELLED AXISYMMETRIC BENDING FLUCTUATIONS OF THICK ROUND RIGID PLATE

©2011 D.A. Shlyakhin2

The new closed solution of axially symmetric nonstationary problem of the theory of elasticity for thick round anisotropic plate with rigid of its external radial surface is constructed. Calculated relations are obtained by method of expansion in eigen vector-functions in the form of structural algorithm of finite transformations. Numerical results allow to define the natural-vibration frequency, and also the stress-strain state of the testing element.

Key words: compelled fluctuations, axisymmetric dynamic stress, thick anisotropic plate.

Paper received 22/IV/2011. Paper accepted 22/IV/2011.

2Shlyakhin Dmitriy Averkievich (sgasuSsgasu.smr.ru), the Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russian Federation.