CC BY
34
Приложения дифференциальных уравнений
УДК 539.3: 517.956
Ю.Э. Сеницкий, А.Ю. Сеницкий
К ПРОБЛЕМЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯМ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Показана принципиальная возможность применения метода разложения по собственным вектор-функциям (в форме конечных интегральных преобразований) в нестационарных осесимметричных задачах динамики оболочек вращения с произвольным меридианом при наиболее общих условиях нагружения и закрепления на контуре. Исследование основано на гиперболических системах дифференциальных уравнений уточненной теории, учитывающей деформации сдвига и инерцию поворота поперечных сечений. Получающаяся при этом начально-краевая задача является несамосопряженной, что не дает возможности воспользоваться обычной процедурой разложения по собственным функциям, основанной на известных соотношениях ортогональности.
Рассматриваемая в настоящей работе начально - краевая задача является несамосопряженной, что не дает возможности воспользоваться обычной процедурой разложения по собственным функциям, основанной на известных соотношениях ортогональности [1-4]. Поэтому для достижения поставленной цели применяется специально построенное одним из авторов биортогональное конечное векторное интегральное преобразование (КИП), а также структурный алгоритм [5], в процедуре которого формируются две однородных сопряженных системы линейных дифференциальных уравнений для ядровых функций, определяющих искомые спектральные разложения. В качестве примера приводится замкнутое решение осесимметричной динамической задачи для упругозащемленной непологой сферической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью.
1. Поскольку формальная процедура предлагаемого метода является новой [5], то сначала сформулируем в общем виде матричный структурный алгоритм биортогональных КИП применительно к линейной начально-краевой задаче, описывающей, в частности, нестационарное осесимметричное напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочек вращения. Для этой цели в классе вектор-функций с интегрируемым квадратом в метрике сепарабельного вещественного пространства L2p (I) на сегменте I = [ü,01 ] области W : {I, x, t > 0} построено следующее биортогональное КИП [5]:
01
,t)(u,G) =f p(ey (0,t)G,e)e , (1)
0
¥
u (e,t)=Z j(l, t K (m, e XK,,G )p • (2)
i=1
Здесь u - искомая вектор-функция (матрица-столбец порядка mx1); K, G - две ядровые вектор-функции того же порядка, являющиеся ненулевыми решениями инвариантной и сопряженной однородных краевых задач, а , ßj - соответствующие им собственные значения; p(ß^)> 0 -
диагональная матрица (mxm) весовых функций; T - знак транспонирования. j(lt, t) представляет трансформанту, а разложение (2) - формулу обращения биортогонального КИП. Компоненты {uk (0, t), Kk (m, 0 ), Gk (l, 0 )}e Lp при этом являются элементами пространства L2p (I)
(k = 1,2...m).
Для упрощения дальнейшего рассмотрения включим p(ß) в ядровые вектор-функции, т.е.
К, =[Р(в)}',4K(m„в), С, =[р(#G(1,6), ul = [р(е)Р2и(Є„t),
и сохраним для К; , Оі , и1 прежние обозначения. Таким образом, имеем
6,
,і) = (и,С) = |ит (,і)С(Я( ,6)6 , (I,)
0
а в (2) вместо скалярного произведения (К,, С,) следует считать (К,, с,).
Формула обращения (2) основана на таком соотношении биортогональности:
(К, С)р = «/ (К,, С, )р или (К, с ) = в; (К(, С,), (3)
где 5- - символ Кронекера.
Было показано [5], [6], что при условии ограниченности трансформант (I) обеспечивается
~ т2 ~
единственность представлении и сходимость в метрике пространства Ьр разложении, определяемых формулой обращения (2).
Рассмотрим начально-краевую задачу, описываемую системой дифференциальных уравнении гиперболического типа:
А[и ]- Еи = / (6, і); (4)
и(б,0) = и0 (б), и = и0 (б), і=0 ; (5)
і=0
ё,и + е,и = 0, 6 = 0;
ё2и + е2и = 0; 6 = 6, , (6)
где А [и ] - дифференциальный оператор вида
А[и] = аи + Ьи + си, (7)
а, Ь, с, сіі2 , е 12 - квадратные матрицы, причем первые три из них функциональные, а - диагональная, Е - единичная и а, ЛІі2 - невырожденные матрицы. Все они имеют порядок (тхт).
/, и0, и0 - известные вектор-функции (тх1). Штрих и точка обозначают дифференцирование по пространственной переменной 9 и времени і. Соотношения (5), (6) представляют начальные и граничные условия.
К (4) приводится исходная система дифференциальных уравнений движения после деления на диагональную неособенную матрицу коэффициентов при инерционных членах. В случае,
когда оператор А сингулярный на одном из концов интервала, например 6 = 0, то соответст-
вующее равенство (6) заменяется на условие ограниченности (регулярности решения).
Если теперь подействовать интегральным оператором (1) на уравнения (4) и начальные условия (5), то в результате получаем
л2
(А [и ], С)- ^ (и, С)=(/, С), (8)
(“• ОЛ,.о =("о.О), ^(“• ОЛ,.о = ("»• О]• =0 ■ (9)
После выполнения интегрирования по частям первого слагаемого (8) с учетом (7), удовле-
творяем обычным двум условиям структурного алгоритма метода КИП [2], т.е.
Ф*", о]0 =1"'Уатв - "т (ато) + "т (¿га)]01 = 0; (10)
(", А* [О])=-Аг2 (", О) . (11)
Здесь А сопряженное А дифференциальное выражение
А* [О ] = (атО)’’ -(ьтО) + стО . (12)
Равенство (10) представляет обращение в нуль билинейной формы на концах интервала, а (11) - операционное свойство.
Имея в виду обозначение трансформанты (11) и соотношения (10), (11), равенства (8), (9) образуют счетное множество задач Коши относительно (р(1,,,):
j(l >t) +12,t) = -F, t), i = 1,¥ ,
,0) = jo (1), j(l, t) = j 0 (li) > t=0■
I t=0
Ее решение записывается в виде
t
j(l,t) = j0(l)cos1it + j0(ll-1 sin 1t -1-11F(l,r)sin Яг-(t -t)ít , (13)
где F,ф0,ф0 - соответствующие трансформанты (1х), т.е.
Ыя,,/)(я,)(я, )} = /1/т (,^«т (0 ),«0 (0 )]с(я,, в)йв . (14)
^1 2 е1 2 , (18)
в =0, 0,
-'0 1 J
Из операторного равенства (11) следует такая система дифференциальных уравнений для компонентов вектор-функций О ядра КИП:
А* [О] = -Я2О . (15)
Выражая из (6) производные и и подставляя их значения в (10), получаем следующие граничные условия для О:
1)атО + g1О = 0, в = 0; 2)атО + g 2 О = 0, в = в1. (16)
Здесь
g1,2 = (а ^ + (й1,2 е1,2 ^ а — Ь . (17) Соотношения (15), (16) представляют сопряженную краевую задачу для определения компонентов Ок вектор-функции ядра О КИП. В случае, когда
ат\ = й,2 , (а Г — Ь
в=0, в1 1-2 !■' '
причем матрицы йг<2 - симметричные, граничные условия (16) являются самосопряженными, т. е.
1)й1О + ехО = 0, в = 0; 2)й 2О + е2О = 0; в = в1 . (161)
Составляем теперь скалярное произведение для членов равенства (15) с ядровой вектор-функцией А”. Имеем
(А* [О], *) = —Я2О(О, к). (19)
Выполняя интегрирование по частям и используя аналогичные (10), (11) два условия
Ф ** [От, К ] 01 =[(атО)ТК — (ЬТО} К — (атО^к] ^ = 0, (20)
(О, А** [К])=— (О, К) , (21)
из (19), (21) получаем соотношение биортогональности (3):
(Я — т )(о, К )= 0, , * ].
В операторном уравнении (21) А представляет сопряженное к А дифференциальное выражение [7], т.е.
А**[К] = А[К] = аК + ЬК + сК . (22)
Если теперь воспользоваться операционным свойством (21), а затем равенством (20) с учетом граничных условий (16), то получаем инвариантную исходной однородную краевую задачу для компонентов Кк второй ядровой вектор-функции КИП К. Имеем:
А [К ] = — т? К, (23)
1)й1 К + е1 К = 0, в = 0; 2)й2К + е2 К = 0 , в = в1. (24)
После вычисления собственных вектор-функций О и К и соответствующих им собственных значений Яi, Л] из однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (15),
(16) и (23), (24), общее решение и рассматриваемой начально-краевой задачи (4)-(6) находится по формуле обращения (2) с учетом (13), (14). Таким образом, возможность построения замкнутого решения задачи (4)-(6) определяется интегрируемостью систем обыкновенных уравнений (15) и (23).
i(, <) = &(, tG 1, в |G(f-, (25)
i=1
где Gil2 =(G , Gt ) p - квадрат нормы в метрике L2p .
и (3) при этом
(G(, Gj), = 5/|G(f . (26)
Замечание. Если К= G, то биортогональное КИП (1), (2) становится обычным КИП [2], причем трансформантой по-прежнему является скалярное произведение (1), а формула обращения принимает такой вид:
¥
,W„ „-2
i=1
112 =(G. G /р ____^......F________^
Соотношение биортогональности (3) при этом превращается в известное условие ортогональности
-X =
КИП (1), (25) предназначены для исследования самосопряженных начально-краевых задач (4)-(6), когда
A* [G ] = A[G ],
и справедливо тождество Лагранжа [7]
(A [и 1G)=(и, A[G]) . (27)
2. Будем рассматривать в сферических координатах (в, j) упругую оболочку вращения, имеющую толщину h и главные радиусы кривизны срединной поверхности R1 (в ), R2 (в ). Известно [8], что для поверхности вращения с произвольным меридианом коэффициенты ее первой квадратичной формы и соотношение Кодацци-Г аусса вычисляется по формулам
A1 = R1, B1 = R2 sin в , (R2 sin в ) = R1 cos в . (28)
При учете поперечных сдвигов по Р. Миндлину [9], а также выражений (28), геометрические и физические уравнения для случая осесимметричной деформации определяются следующими равенствами [10]:
eв = ее + zCe , = ej + zcj, g0 = y + R1-1 ,
e° = R1-1 (и* + W*), ej = R2-1 (u*ctgв + W*), cl = R^y' , cj = R2-1yctgв ,
N* = cR-1 (и* + W*) + vR-1 (u*ctg в + W*)], M * = ^(R1-1y' + nR2-1yctg в), (29)
Nj = c[r2-1 (и*ctg в + W*) + vR— (и* + W*)], M j = d(r2-Vctg в + vR1-1y'),
Q*e = 0.5^1c(1 - v)[y + R1-1 (w*' - и*)].
Здесь и*, W* - тангенциальная и нормальная компоненты вектора перемещений; у - угол поворота в меридиальной плоскости; eв ,ej,g0z - относительные линейные деформации и угол сдвига, а св, Cj - соответствующие изменения кривизны, причем индекс «0» относится к срединной поверхности оболочки; z - координата в направлении толщины; k¡ - коэффициент поперечного сдвига; N*,Nj,Q* - нормальные и поперечное усилия; Mg,Mj - меридиальный и кольцевой изгибающие моменты;
C Eh D Eh3
C=(Tv) • D=T2FV^
E,v - модуль упругости и коэффициент Пуассона.
Для оболочки вращения загруженной произвольной осесимметричной динамической нагрузкой X* (в, t), Z * (в, t), M * (в, t) дифференциальные уравнения движения с учетом инерции поворота поперечных сечений записывается в виде [10]:
( U2 \ ..
(n* R2 sin в )'- Nj (R2 sin в ) + Q* R2 sin в - ph|
1 +- h
R1 R2 и* sin + X * R1 R2 sin 0 ;
Q* R2 sin в ) - Nj R1 sin в - N* R2 sin в - ph 1 +-------------R1R2 W* sin в + Z * R1R2 sin в =0; (30)
12R R2
1 2 /
(m* R2 sin ^ ) _ Mj (R2 sin в ) - Q* R2 sin в
12
ph3 1 + (320)h 2
R1R2 y* sin в + M * R1R2 sin в = 0,
R1R2
где р - плотность материала оболочки.
Вводим безразмерные величины по формулам
и и* Rimax:
W = WR-1
" "*JV1max:
t = t* R11
^ imax
P(1 -v1
P1 = r1 R1-max ,
P2 = R2R^ax, X = X*R2 (R1max С)-1, Z = Z*R2 (^ax C)" M = M*R*a2D-\ a2 = h2(12R1max)-2, k = 0.5k1 (1 -v)
Ne = N*C 1 = p11 (u + W)+vp21 (uctge + W), Nj = NjC-1 = P2-1 (uctg в + W) +vP- (u + W) ,
*
'0 _ J,el
Г*(
' j - j
M в = M * R1max D ^ = РГУ + VP 2 Ctg в , Mj = Mj R1max D - = P2-Vctg в +VPlV ,
<Р
о„ = о„*с= к у + р,-1 (г- и)|, (31)
притом Д|ш,х = тах Я, (0 )
Пусть замкнутая в вершине оболочка вращения опирается на упругий относительно углов поворота и линейных смещений контур, коэффициенты жесткости которого ¡л*, /3*,у*. Соответствующие этому случаю закрепления граничные условия формулируются следующим образом:
Ж* <¥ , и* <¥ , у < ¥ , 0 = 0,
N = Р*и*, о* = 7>*, М* = лУ , 0 = 0| . (32)
Первые три неравенства являются условиями ограниченности в полюсе оболочки = 0 . После подстановки выражений (29) в уравнения (30) и условия (32) с учетом (31) и последнего равенства (28) приходим к начально-краевой задаче (4)-(6). Получающиеся при этом
матрицы u,f,и0,и0,d2,e2, a = ||ask||, b = ||b и
sk II
c = \\c
sk
имеют следующий вид:
(в, t) = и (в, t)W(в, t)y (в, t)|T, f (в, t) = ||X(в, t)Z(в, t)M(в, t)|T ,
(33)
u,
(в )= ||U0 (в )W0 (в У0 (в )T , u 0 (в ):
u 0 (в )W 0 (в )y0 (в
P- 0 0 (VP2-1 ctg в1 - ß ) (P1-1 + vP2-1 J 0
d 2 0 kP1-1 0 , e2 - £ - k
00 P1-1 00 c t OQ 1 - )
(34)
a11 = a33 = k la22 = p12, ask = 0, (s ^ k), b11 = b33 = k lb22 = p12 (ctg в 1 -1 ~ 1
22
b12 = b21 = ГГ2 (1 + k + VP1 P—1
c21 = p
'22 ~ P1~ (ctg в + P2 P2‘ - P11P1-1 ) , l), b13 = b31 = 0, b23 = -a2 b32 = kp1-1 ,
cn + kp1-2 = C33 + ka~2 =-(p1P2 )-1 V + ctg2 в + P2 P-1 ctg в ),
12 = P1-2 [(1+v)(1 - P1P2-1 )ctgв + p\P2-1 (1 -v - P1P2-1)-p1p2-1 J, (35)
-P1-2 [k(P1P2-1 + P^P1-1 + ^в)+ P1P2-1 v + P1P2-1 )ctgвJ, c13 = a2c31 = kPl-1,
kP1-1 (P2P1-1 + ctg в) , c32 = 0, c22 =-(P1P2 )-1 (P 2 P1-1 + P1P2-1 + 2v).
Элементы матриц (34) постоянные величины, т.к. P1 = P1 (в1 ), P2 = P2 (в1 ) .
В соответствии с (32) вместо первого равенства (6) следует иметь в виду условия регулярности решения, т.е.
u(0, t )<¥ или u <¥ , W <¥ , y <¥ , в= 0. (36)
c23 =
T
f (0 ) 0 0 Р1 p2 sin 0 00
Р(0 )= 0 f (0 ) 0 = 0 p1 р2 sin 0 0
0 0 a2 f (0 ) 0 0 a2p1 р2 sin 0
Соотношения (4)-(6), (36) при наличии (33)-(35) и известных матрицах f, u0, u0 представляют математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи в безразмерной форме. m - безразмерные коэффициенты жесткости опорного контура относительно
линейных смещений и углов поворота
b = ЬХ-С“1, у = у*RimaxC_1, m = rn*Rlmaxc-1.
3. Воспользуемся биортогональным КИП (1), (2), в котором весовая функция f (в) , зависящая от коэффициентов системы уравнений (4), (34), (35), определяется с точностью до постоянной такой квадратурой [2], [11]:
f q ) = exp(я- Jbkkde)= exp|p!2 q )JPl2 q )(ctgp + p\ q)p- q )- pj q )p- q ))deJ= Piq)p2 q)sin в , а ее матрица р(в ) соответственно
(37)
Если теперь подействовать интегральным оператором (1), (37) на уравнения (4), (34), (35) и начальные условия (5) в соответствии с алгоритмической процедурой пункта 1, получаем счетное множество задач Коши, разрешаемое относительно трансформанты <р(Яі, Ї) в виде (13), а также сопряженную краевую задачу (15) для вектор-функции ядра КИП 0(ЯІ, 0) и граничные условия (16), т.е. имеем:
а \\ (0 К + Ь„ (0 £; + оп (0 £, + Ъ„ (0 £; + 4 (0 )02 + с„ (0 )0, = -Я;0„
а 22 (0 К + »22 (0 £; + С 22 (0 )Сг + »21 0 К + 4 0 К + »23 (0 К + €„ (0 = -я? а,
а33 (0 )К1 + »33 (0 )К1 + с33 (0)К1 + с31 (0)К1 + Ь32 (0~)02 = —Я2С3 , (38)
01 (о) < ¥, 02 (о) < ¥, G3 (о) < ¥, 0 = 0,
01 + р1 (ур201 — + (1 + уар—1 К = 0, 0 = 01,
К2 — К1 — /к 1 р1С2 + р1К3 = 0, (39)
о3 + р1 ур—01 — ^ = о,
где 0(яг, 0 ) = 1^1 (Яі, 0 К (Яі, 0 К (Яі, 0 )|г
[(1 — г2 р—2 0 — р^ р;1 + (1 + к )р\р21 + (1 + 2£ )р11р1—1 ]
С12 = рГ21
с2*1 = -РГ2 tk -V + (2v + Орр-1 Jctg 0 + (k +v)pp-1 + кРІРі-1 + PiPp-2},
а в выражении (13) для <р(Яг-, t) соответственно имеем:
01
F (l, t) = J [Х (0, t )G1 (l, 0 ) + kZ (0, t )G2 (l, 0 ) + M (0, t )G3 (l, 0 )Jp1-1 p2 sin 6Ш ,
p1 p2 sin 0J0 .
(40)
(41)
j0 ) j0 (l) 01" = 0 0 0 0 0 Gi (Я, ,0 )+ W (0 ) W 0 (0 ) G 2 (Я0 )+ W00 ) v/00 І G3 (Я,0 І
Хотя при соответствиях и ~ С1, Ж ~ G2, у ~ G3 краевые условия (39) совпадают с (6), (34), (36), однако из равенств (35), (40), (41) следует, что
* * С12 * С12 , С21 * С21
Следовательно дифференциальный оператор А [и] для оболочек вращения с произвольным меридианом несамосопряженный, причем левая часть уравнений (38) совместно с (39) представляет А ^].
Применяя к дифференциальным уравнениям (38) аналогичное (1) КИП с весом (37) и ядровой вектор-функцией
к (т, в )=|к, (т, в )к (т, в )к, (ц,, в)г,
в соответствии с процедурой (19), (21) и учитывая (39), находим
L2 + C13 (ß )К 3 = Hi K1 ,
b23 (ß )К3 + C23 (ß )К3 = m K2 ,
ап (в К1' + ¿11 (в )К1 + Сц (в К + ¿12 (в )К2 + С12 (в )К2 °22 (в )К2 + ¿22 (в )К2 + С22 (в )К2 + ¿12 (в )К1 + С21 (в )К 1
а33 (в)к3 + Ь33 (в )к3 + с33 (в )к3 + с31 (в )к1 + Ь32 (в )к2 = -тг2К3.
Граничные условия для К(т, в ) при замене G1, 02 , 03 соответственно на К1, К2 , К3 тож-
дественно совпадают с (39), и вместе с (42) образуют оператор А**[К] = А[К]. В результате интегрирования однородных краевых задач (38), (39) и (42) с аналогичными граничными условиями получаем биортогональный базис G и К, а затем по формулам обращения (2) с учетом равенства (13) искомые функции перемещений и(в, ^), Ж (в, ^), у(в, ^). Таким образом, показана принципиальная возможность решения нестационарных задач динамики для оболочек вращения путем разложения в ряды по собственным вектор-функциям.
4. В качестве примера рассмотрим загруженную произвольной осесимметричной динамической нагрузкой упруго-защемленную относительно углов поворота непологую сферическую оболочку с конечной сдвиговой жесткостью. Для нее имеем
Я1 (в )= Я2 (в ) = Я = еот1, р1 = р2 = 1, р1 = р2 = 0. (43)
С учетом (43) матрицы коэффициентов (34) системы уравнений (4) п
эинимают такой вид:
1 0 0 ctg (1 +v + k) 0
a = 0 k 0 , b = -(1 + v + k) kctg k
0 0 1 0 - ka -2 ctga
с =
- (v + k + ctg2 0 )
-(l + v + k )ctg 0 - 2(l + v)
ka 0
(44)
k
kctg
- (v + ka -2 + ctg2 )
Краевые условия (5), (33) сохраняются, а (6), (36), (32) для соответствующего закрепления на контуре формулируются следующим образом:
{u,W,y}<¥, 0= 0, и = W = 0, y + (vctg01 - тУ = 0, 0= 01. (45)
Соотношения (45) получены из (6), (32) путем деления первых двух равенств на ß, у и предельных переходов ß ® ¥ , g ® ¥ .
Применяя к уравнениям (4), (44) и начальным условиям (5), (33) КИП (1) с весовой функцией f (0 ) = sin 0 по структурному алгоритму (8)-(24), находим A*[G\ = A**[K\ = A[G\.
Таким образом, начально-краевая задача (4), (5), (44), (45) является самосопряженной, т.е. G=K, и ядро преобразования есть нетривиальное решение следующей однородной краевой задачи (15):
L(G1) - (v + k + ctg2 0 )G + (1 + v + k )G2 + kG3 + A2 G1 = 0,
L(G2)-(2 +v)G2 -(1 + v + k)(g1 + G1ctg 0)+ k(g3 + G3ctg0)+ A2G2 = 0 L(G3)- (у + ka-2 + ctg2 0 )G3 + ka - (G1 - G2)+ A2G3 = 0,
{G1, G2, G3 }<¥, 0 = 0, G1 = G2, G3 + (vctg 01 - m)G3 = 0, 0 = 01.
(46)
(47)
Здесь Z(...) = —(-) + ctg в ("') . Трансформанта j(li,t), как и прежде, определяется равен-
de de
ствами (13) и (14), (33) с весом sinö.
Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений (46). Для этой цели вводим потенциалы смещений U и усилий V по формулам
G1 = U', G3 = k-lV + U' - G-, (48)
а также замечаем, что
_d_
d0
L(.-.)= L
d (...)
d0
- sin -2
d (...)
d0 '
(49)
После подстановки соотношений (48) в (46) с учетом (49), выражаем из второго равенства
G2, т.е.
G2 =-k„L(U + k 4iV).
(50)
В результате приходим к такой системе уравнений:
L(U)+кш U + k„,L(V)+ku,V = 0,
L2 (U) + кш L(U)+ k14,U + k 4, L2 (V) + кш L(V)+ km V = 0, (51)
исключая из которой U получаем разрешающее дифференциальное уравнение для V. Имеем
L (V)+ к24,L2 (V)+ k25, L(V) + k26, V = 0 . (52)
В процессе приведения (51) к (52) установлена связь U с V, т.е.
U = -к21,L2(V)-к22,L(V) к23,V . (53)
В соотношениях (50)-(53) приняты такие обозначения:
к1, = 1 — V + 1 , к 2, = 1 + V , к3, = Ь к 4, =-(1 +V)-1. к5, = (1 + V)-1 [2(1 + v) — 12 J k6, = кЛ k7, = k-1 [(1 — v) — ka - + Я2 J, k8, = -k9l = ku , кш, = k1,k5, (k5, — k2, )-1 , k11, = k2,k4, (k5, — k2, ) , k12, = k3,k5, (k5, — k2, ) , k13, = k5, — k9, , k14, = k5, k8, ,
k15, = k5, k6, — k4,k9, , k16, = k5, k7, , (54)
k17, = к14, (к13, — k10, ) , k18, = (k4, — k11, Xk13, — k10, ) , k19, = (k15, — k12, Xk13, — k10, ) ,
k20, = k16, (k13, — k10, ) , k21, = k18, (k10, — k17, ) , k22, =(k11, — k19, )(k10, — k17, ) ,
k23, = (k12, — k20, Xk10, — k17, ) , k24, = k21, (k22, — k18, + k17,k21, ) ,
k25, = k21, (k23, — k19, + k17,k22, ), k26, = k21, (k17,k23, — k20, )
Вводим порождающее дифференциальное уравнение
L(V )= —X ,2 V, X = сш (c„ +1). (55)
В результате подстановки (55) в (52) формируется бикубическое уравнение относительно
xn:
(Л ) — k„(x; )2 + к 25 —* 26, = 0. (56)
Если учесть, что при x=cos9 (55) является уравнением Лежандра, и из (56) определить корни X , X, 2, X, 3, а затем сп, с, 2, с,3, то общее решение уравнения (52) можно представить в виде
V = Z (cos 0)+д„бсг„ (cos 0)J,
n=1
где Pc,n (c0S 0 ) , бсш ( cos 0) - функции Лежандра степени c,n первого и второго рода; C,n , D,n -произвольные постоянные.
Принимая во внимание условия регулярности (47), а также соотношения (53), (48), (50), (55), определяем компоненты вектор-функции ядра КИП:
G11, 0 )=—Z E,nC,nPL (cos 0 ), G2 (1, 0 ) = —Z F,nC,nPL (cos0 ),
n =1 n =1
G3 (l , 0 ) = —Z H,nCin (c,n + 1)(sin 0 )—1 [C0S0Pc,n (C0S 0 ) — Pc,n+1 (C0S 0 )J , (57)
n =1
где P1n - присоединенная функция Лежандра первого порядка степени с ,n.:
En = k 21 ,i,n — k 22Л,n + k F,n = k[k 21 Л!, — k 22,X‘n +(k 23, — k 4, )E,n J.
H„ = k+ k 4,k -X —(1—k—л, E .
Дальнейшее решение очевидно, поскольку рассматривается задача на собственные значения. В результате подстановки равенств (57) в оставшиеся граничные условия (47) формируется однородная система алгебраических уравнений для C n:
Z CmEmPL (cos 01) = 0; Z CmFmPL (cos 01) = 0;
n=1 n=1
Z CmHm i Си(Си0+ ^ PL+1 (cos 01 ) + [(v — cm — 1)ctg01 — mPn (cos 01 )} = 0.
n=1 I sin 01 J
Из условия нетривиальности решения системы (58) составляется трансцендентное уравнение относительно 1 :
Det (l ) = 0 ; 1 = 1, ¥
и находятся постоянные Cin. Имеем:
сп = E, 2 Fil Pin (c°s qi )P„ 3 (cos qi)- Et 3F 2 p\3 (cos qi )PC12 (cos qi ),
C,2 = Ei3F1 PC'3 (c0S qi )Pc1 (c0S qi ) - Ei1F3PCl (c0S qi )Pc3 (c0S qi ) 5
C3 = Ei1 F,2PCn (c0S qi )Pc2 (c0S qi ) - Ei2FPC-2 (c0S qi )Pc1 (c0S qi ) .
Применяя теорему обращения к выражению (13) и учитывая равенства (57), определяются искомые компоненты вектора перемещений
¥
{«(в, t ),W (в, t )у(в, t )}=£j(l. t ){G,(1, в ),G2 (1, в ),GS (1, в )J|G,r3,
i=1
а затем по формулам (31) внутренние усилия в оболочке.
Полученные результаты справедливы и при исследовании неосесимметричных начальнокраевых задач динамики оболочек вращения с конечной сдвиговой жесткостью.
Широкий класс несамосопряженных линейных краевых задач динамики образуют также математические модели неоднородных или многослойных тонкостенных конструкций [5], [12], для решения которых эффективным представляется рассмотренный здесь метод биортогональ-ных КИП.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. 264 с.
2. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Издательство СГУ, 1985. 176 с.
3. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1986. 393 с.
4. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Известия высших учебных заведений. Математика. 1991, №4. С. 57-63.
5. Сеницкий Ю.Э. Обобщенные биортогональные конечные интегральные преобразования и их приложение к нестационарным задачам механики // Доклады РАН. 1995. Т. 341. №4. С. 474-477.
6. Сеницкий Ю.Э. Сходимость и единственность представлений, определяемых формулой обращения многокомпонентного обобщенного конечного интегрального преобразования // Известия высших учебных заведений. Математика. 1991 №9. С. 53-56.
7. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: ГИТТЛ, 1954. 352 с.
8. ГольденвейзерА.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.
9. Сеницкий Ю.Э., Еленицкий Э.Я. О физически непротиворечивой модели уточненной теории пластин и оболочек. // Доклады РАН. 1993. Т. 331. №5. С. 580-582.
10. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек. // Механика деформируемых твердых тел. М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 5. 272 с.
11. Сеницкий Ю.Э. О некоторых тождествах, используемых при решении краевых задач методом конечных интегральных преобразований // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, №9, с. 1636-1638.
12. Колесников С.В. Уточненная теория колебаний многослойной ортотропной пластины // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 5. С. 160-165.
Поступила 28.05.2004 г.
