СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА С ЧЕРВЯЧНЫМ РЕДУКТОРОМ В РЕЖИМЕ ВЫБЕГА Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

of two methods, namely the analytical calculation method and the finite element method for calculating elastic deformations of rings and bushings, is carried out. The influence of elastic deformations on the manufacturing accuracy of rings and bushings is determined.

Key words: Elastic deformations (displacements) of rings and bushings, fastening of rings, precision machining, engineering calculations in SolidWorks, mechanical engineering, mechanical engineering technology.

Serkov Alexander Sergeevich, design engineer of the 1st category, postgraduate, junior researcher, Sanya_93@bk.ru, Russia, Omsk, JSC «Omsk Plant of transport Engineering», Omsk State Technical University

Masyagin Vasily Borisovich, candidate of technical sciences, professor, Masaginvb@mail.ru, Russia, Omsk, Omsk State Technical University

Serkova Lyubov Borisovna, postgraduate, senior lecturer, Lubashka_2010@mail.ru, Russia, Omsk, Omsk State Technical University

УДК 621.833.38

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-552-561

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА С ЧЕРВЯЧНЫМ РЕДУКТОРОМ В РЕЖИМЕ ВЫБЕГА

В.А. Крюков, Ч.З. Нгуен

В статье, на основе составленной ранее математической модели, исследуются вопросы существования и единственности решения уравнений движения машинного агрегата с червячным редуктором в режиме выбега. На плоскости моментов на входе и выходе червячной передачи построены области отсутствия решений, существования одного или двух решений уравнений движения. Показано, что выбег может происходить в одном режиме, при смене режимов движения, в том числе, и с динамическим заклиниванием передачи. Приведены примеры решений уравнений движения.

Ключевые слова: передача червячная, динамика, математическая модель, выбег, нелинейные системы, существование решения, заклинивание.

Объект исследования и постановка задачи. Любая механическая система является нелинейной системой. В ряде случаев для исследования динамики системы используется её линеаризация, что позволяет получить решение с достаточной точностью. Однако существует ряд существенно нелинейных механических систем, в которых использование линеаризации может привести не только к получению количественно неверных результатов, но и к качественным ошибкам. Характерным примером такой системы является машинный агрегат с червячным редуктором в приводе.

Нелинейность механических систем такого типа, обусловленная значительными силами трения, соизмеримыми с активными силами, вызывает ряд явлений, принципиально невозможных в линейных системах [1], в частности, кажущееся нарушение принципа механического детерминизма, что проявляется в отсутствии решения или существовании нескольких решений уравнений движения [1-4].

В работах [5-8] рассматривались общие теоретические вопросы, связанные с исследованием существования решений систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих механические системы с трением. Применительно к машинным агрегатам с различными видами передаточных механизмов влияние трения и возможного самоторможения на динамические свойства машины исследовались в [9-12]. Для машин с червячными передачами в приводе при допущении о постоянстве силы трения, что допустимо в режиме установившегося движения, такие задачи решались в [13-19].

В червячных кинематических парах сила трения в зацеплении существенно зависит от скорости скольжения, что не позволяет применить в этом случае полученные ранее результаты. В статьях [20, 21] на конкретных примерах с использованием метода припасовывания решения были решены две задачи о выбеге машинного агрегата с червячным редуктором при учете переменной силы трения, и показано, что изменение силы трения может привести к изменению режимов движения и, как следствие, к изменению динамических нагрузок в системе. В работах [2224] были рассмотрены частные вопросы о влиянии переменной силы трения на силовые и энергетические параметры передачи и приведена силовая передаточная функция червячной кинематической пары, учитывающая зависимость силы трения в зацеплении от скорости скольжения. Вопросы существования и единственности решения уравнений движения в указанных работах не рассматривались. Целью данного исследования является построение областей существования и единственности решения уравнений движения машинного агрегата с червячным редуктором при учете переменной силы трения, позволяющих определять режимы движения и рассчитывать динамические нагрузки при любых значениях параметров системы.

Расчетная схема и математическая модель машинного агрегата. Простейшая расчетная схема объекта исследования приведена на рис. 1.

С

м РМ

Рис. 1. Расчетная схема машинного агрегата с жесткими звеньями

На схеме обозначены: Д - двигатель; ЧР - червячный редуктор; РМ - рабочая машина; Ф1 ф2, ®2 - углы поворота и угловые скорости червяка и червячного колеса соответственно; Jд - момент инерции ротора двигателя; JpM - приведенный к входному валу момент инерции всех подвижных звеньев рабочей машины; Mi, M2 - моменты на валах червяка и червячного колеса. Положительные направления моментов и углов поворота соответствуют показанным на рисунке. В режиме выбега двигатель выключен, но на валу двигателя имеется тормоз, поэтому тормозной момент на валу двигателя Мд < 0 . Момент на валу рабочей машины Mрм

принимаем постоянным, МрМ = const; МрМ < 0.

Исходные уравнения движения ротора двигателя и рабочей машины имеют вид [25]:

dra1

J Д-71 = М Д - Ml; ^ dt А (1)

d&2

JРМ-Г" = MPM -M2-dt

Червячная передача описывается кинематическим

/12 = u =V =ф/ = V

12 /®2 /Ф2 Al

и силовым передаточными отношениями

M 2 = utg (у)

u (ra1) = —

м1 [У" км (®1) -Р(®1)]

где у - делительный угол подъема; р - переменный угол трения, зависящий от скорости скольжения; км = sgn(M 2 ) - коэффициент, характеризующий направление передачи мощности.

Режимы работы привода с червячным редуктором. В зависимости от соотношения силовых и инерционных характеристик элементов машины червячная передача при выбеге может работать в трех режимах [26]. Характеристики этих режимов и направления моментов на входе и выходе червячной передачи приведены на рис. 2.

Существование и единственность решения при постоянной силе трения [27]. Полученная в работе [25] математическая модель, описывающая движение машинного агрегата с червячным редуктором в режиме выбега, была приведена к одному нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка относительно угловой скорости червяка Ю1

(—Д

+ -

РМ

и • и (ю^) Ж

) ^ = м Д + м РМ

(2)

и (ю^)

Направление потока мощности

©ееиее

М[ в.

РМ

о 2 м2

®ееЕП~

М1 Ш,

РМ

Ч>2 М ,

©ееоее

Л/; и.

РМ

»2 Л./,

Характеристика режима

М\ > 0; М2 < 0

тяговый режим

Мх <0,М2 >0 инверсный тяговый режим

М1 >0;М2 >0 режим оттормаживания

Рис. 2. Режимы работы червячной передачи: Д - двигатель; ЧР - червячный редуктор; РМ - рабочая машина; » - направление потока мощности

Для построения областей существования и единственности решений уравнений движения в качестве основных переменных рациональнее использовать моменты на входе и выходе червячного редуктора. В этом случае математическую модель машинного агрегата можно преобразовать к системе двух нелинейных алгебраических уравнений

Г—РМ • М1 " —Д •и •М2 = —РМ •МД " —Д •и • МРМ;

[М 2 = —ИМ 1, Решение этой системы запишем в виде:

— кМ • Р)(—РММД — —ДиМРМ ) .

(3)

М1(М РМ, М д) = ■

Д

и 2tg(у) + 4м • tg(y — кМ •Р)

М 2 (М РМ, М д) = ■

— Д

—РМ М д — — д иМ

(4)

РМ

Д

и у) + 4м

• tg(У — кМ •Р)

Особенностью системы (3) и его решения является то, что входящий в них коэффициент кМ сам зависит от знака момента М2. Это приводит к тому, что в зависимости от соотношений

между инерционными и силовыми характеристиками система (3) может иметь единственное решение, два решения или не иметь решений.

Для проведения анализа возможности существования решения (4) нелинейной системы алгебраических уравнений (3) введем вспомогательные функции:

^ (М РМ, М Д) = и ^(у) + — РМ

• ^(у — кМ • Р);

Д

М РМ, М Д ) = — РММ Д — — диМ рм; (МРМ,М Д ) = ^(У — кМ •Р); ^3 (Мрм,Мд) = иМД tg(у) + Мрм tg(У + Р). Тогда на основе (4) можно записать следующие соотношения:

sgn|M 2 (Мрм, Мд )] = — sg4.F1 (Мрм, Мд )]• sgn[Fr (Мрм, Мд )]

sgn|Ml (Мрм, Мд )] = sgn.F1 (Мрм, Мд )] • (Мрм, Мд )] х

х sgn.Fr (М рм, М д)]

(5)

(6)

Алгоритм определения возможности существования решения и числа решений показан в виде блок-схемы (рис. 3).

Существование или отсутствие решения зависит от соотношения инерционных и силовых параметров системы. В зависимости от значений этих параметров разделим машинные агрегаты с червячной передачей на три типа:

- тип А: несамотормозящаяся червячная передача, у > р;

- тип В: самотормозящаяся червячная передача, у < р; и2 tg(у) - 3РМ • tg(р - у) > 0;

3

Д

- тип С: самотормозящаяся червячная передача, у < р; и2 tg(у) — 3РМ • tg(р — у)

3

| — у) < 0.

Д

^ Начало )

¡Г

кг- = +1

1

М2(МрМ = Мд) =

Есть решение 1

1 <

кг~- -1

Есть решение 2

Рис. 3. Блок-схема алгоритма определения существования решения

Для графического представления результатов исследований введем плоскость существования решений (Мрм, Мд ), на которой условия конкретной задачи отображаются точкой

МI с координатами: Мрм, Мд;- . Графическая интерпретация областей существования решений системы (3) и характеристика этих решений представлены на рис. 4 и в табл. 1.

Существование и единственность решения при переменной силе трения. Важной особенностью червячной передачи является наличие двух нелинейностей. Первая нелинейность связана со скачкообразным изменением силовой передаточной функции при изменении направления передачи мощности. Вследствие этой нелинейности дифференциальные уравнения движения могут иметь одно или два решения или не иметь решений.

Вторая нелинейность связана с существенно нелинейной зависимостью силы трения в передаче от скорости скольжения в зацеплении и, следовательно, от угловых скоростей червяка и червячного колеса [26, 28]. Изменение силы трения в зацеплении описывается зависимостями [20, 22, 23, 26]:

зависимость угла трения р от скорости скольжения У1

ск •

рОск) = (с + а• УЪСК) 1; а = 0,239,Ь = 0,586, с = 0,157;

зависимость скорости скольжения уск от угловой скорости червяка Ю1

■хк

(®1) =

2

1ч2 +

(7)

где ч - коэффициент диаметра червяка; 21 - число витков червяка. С учетом этих зависимостей решение (4) примет вид:

555

М1(ш1) =

Ш[у - кМ (ш О • Р(ш 1)](3РМММ - 3МиМРМ ) .

3 М

и 2tg(у) + 3м 3 М

tg[У- кМ (ш0 Ф(ш1)]

(9)

М 2(©1) = ■

3РМММ - 3МиМРМ

3М

tg(у) + 3рм • tg[у - км (®1) • р(®1)]

3

М

Общий вид областей существования решений и расположение изображающей точки МI на плоскости существования решений по сравнению с приведенными на рис. 4 не изменятся.

Изменение силы трения может привести к изменению наклона прямой, разделяющий области II и III (расширению области II и, соответственно, сужению области III), а также типа машины. Возможные варианты изменения типа машины в режиме выбега приведены в табл. 2. Начальная угловая скорость обозначена = ®1(0); угловая скорость в конце выбега - ю^ = 0. Ж (Ш1) - вспомогательная функция,

Ж(ш1) = и21в(у)-^РМ • 1в|р(ш1) + у].

3

Д

2

и

Рис. 4. Области существования решений уравнений движения при постоянной силе трения

Таблица 1

Режимы выбега машинного агрегата при постоянной силе трения_

Тип машины А

Область на графике I II III

Число решений 1 1 1

Характеристика дви- Выбег в инверсном Выбег в тяговом ре- Разгон

жения тяговом режиме жиме

Тип машины В

Область на графике I II III

Число решений 1 1 1

Характеристика дви- Выбег в режиме от- Выбег в тяговом ре- Разгон

жения тормаживания жиме

Тип машины С

Область на графике I II III

Число решений 0 2 2

Характеристика дви- Заклинивание пере- Выбег в тяговом ре- Разгон в тяговом ре-

жения дачи жиме или режиме от- жиме или выбег в ре-

тормаживания жиме оттормажива-

ния

Таблица 2

Изменение типа машины при переменной силе трения

Вари- Угол трения Инерционные и кинематические Тип машины

ант характеристики

1 PO»IO) <Y; p(®ir) <У любые A

2 PO»IO) <Y; p(®ir) >У W(ю10) > 0; W(ю1Т) > 0 A ^ B

3 p(®io) <Y; p(®ir) >У W(ю10) > 0; W(ю1Г) < 0 A ^ B ^ C

Изменение режимов движения при выбеге будет зависеть от варианта (см. табл. 2) и расположения изображающей точки в начальный момент времени (табл. 3).

Таблица 3

Режимы выбега машинного агрегата при переменной силе трения_

Вариант (табл. 2) Начальное расположение изображающей точки Режимы движения

1 I Выбег в инверсном тяговом режиме

II Выбег в тяговом режиме

2 I Выбег в инверсном тяговом режиме ^ выбег в режиме оттормаживания

II Выбег в тяговом режиме

3 I Выбег в инверсном тяговом режиме ^ выбег в режиме оттормаживания ^ заклинивание передачи

II Выбег в тяговом режиме

Угловые скорости, при которых происходит переход от выбега в инверсном тяговом режиме к режиму оттормаживания Ш1от и к заклиниванию передачи Ш1з, определяются как корни уравнений:

р(®1от) = у; Ж(®1з) = Примеры. Рассмотрим несколько примеров использования приведенных выше теоретических зависимостей.

Пример 1. Исходные данные:

УД = 1,63• 10-2 кг• м2; J

РМ

= 293,4 • 10-2 кг • м2; МД =-0,55 Н • м;

Мрм = —27,5 Н• м; и = 40; ¿1 = 1; у = 3°; т = 4; й10 = 50рад/с. Изображающая точка М1 находится в области II (см рис. 4). Проверяем условия изменения типа машины (см. табл. 2):

р(50) = 1,975° < у; р(0) = 6,369° > у; Ж(50) = 87,072; Ж(0) = 73,255. Согласно табл. 3 выбег будет происходить в тяговом режиме; знаки моментов М1, М^ не меняются. На рис. 5 представлены графики зависимостей М^Ш!), М2(ш1).

М2(»]>20

М1 (ю1)1.2

ral col

Рис. 5. Графики зависимостей моментов на входе и выходе червячного редуктора М2 l); М2 (®l) от угловой скорости червяка - пример 1

Пример 2. Исходные данные:

3Д = 0,652•Ю-2 кг• м2;3РМ = 293,4• 10-2 кг• м2;МД =-0,55Н• м;

Мрм =-2,75 Н • м; и = 30; zl = 1; у = 3°; т = 6; шю = 40рад/с. Изображающая точка М 2 находится в области I (см рис. 4). Проверяем условия изменения типа машины (см. табл. 2):

р(50) = 1,833° < у; р(0) = 6,369° > у; Ж(40) = 56,337; Ж(0) = 20,673. Согласно табл. 3 начало выбега будет происходить в инверсном тяговом режиме, М1 < 0, М2 > 0. При угловой скорости Ш1 = Ш1от = 10,383 рад/с выбег перейдет в режим от-

тормаживания. На рис. 6 представлены графики зависимостей М1(ш1), М2^1).

М2(ш1)

0 10 20 30 40

«1 (о 1

Рис. 6. Графики зависимостей моментов на входе и выходе червячного редуктора М 2(ш1); М 2(ш1) от угловой скорости червяка - пример 2

Пример 3. Исходные данные:

3д = 0,6•Ю-2 кг• м2;3РМ = 40кг• м2;Мд =-0,55Н• м;

Мрм =-2,75 Н • м; и = 30; zl = 1; у = 3°; т = 6; шю = 40рад/с. Изображающая точка М1 находится в области I (см рис. 4). Проверяем условия изменения типа машины (см. табл. 2):

р(40) = 1,833° < у; р(0) = 6,369° > у; Ж(40) = 183; Ж(0) = -345. Согласно табл. 3 выбег начнется в инверсном тяговом режиме, при Ш1 = ш 1от = 10,383 рад/с перейдет в режим оттормаживания, сопровождающийся резким ростом моментов на входе и выходе червячного редуктора, и при Ш1 = Ш1з = 6,72 рад/с передачу

заклинит. На рис. 7 представлены графики зависимостей М1(ш1), М2^1).

600

400

М2(ш1)

200

М1(<о1)

30

40

сй1з

к

0 ю. 0 '

0 ш1з10 20

СО 1 0) 1

Рис. 7. Графики зависимостей моментов на входе и выходе червячного редуктора М2 (Ш1); М2 (Ш1) от угловой скорости червяка - пример 3

Аналогично было выполнено решение ряда других примеров при разных соотношениях инерционных, силовых параметров машины и геометрических параметров передачи. Результаты решения этих примеров в статье из-за ограниченности объема не приводятся.

Сравнение результатов решения с приведенными выше результатами теоретических исследований, а также результатами решения двух аналогичных задач, полученных ранее другими методами и подтвержденных экспериментальными исследованиями [20], доказывает достоверность выполненных теоретических исследований.

Выводы и результаты.

1. В зависимости от соотношений между инерционными, силовыми параметрами машины и геометрическими параметрами червячной передачи выбег машинного агрегата может происходить в одном режиме или при последовательном чередовании нескольких режимов.

2. При определенных значениях параметров машины и передачи может происходить динамическое заклинивание передачи.

3. Построены области значений параметров машины, позволяющие определять режимы выбега, возможность заклинивания передачи, и получены зависимости для расчета динамических нагрузок в приводе.

4. Сравнение результатов решения с результатами решения аналогичных задач, полученных ранее другими методами и подтвержденных экспериментальными исследованиями, доказывает достоверность выполненных теоретических исследований.

Список литературы

1. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1979. Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И.И. Блех-мана. 1979. 351 с.

2. Леви-Чевита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика систем с конечным числом степеней свободы. М.: Изд-во ин. лит., 1951. 435 с.

3. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гос. изд-во тех.-теор лит. 1954. 316 с.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

5. Бутенин Н.В. Рассмотрение «вырожденных» динамических систем с помощью гипотезы «скачка» // ПММ. 1948. Т. 12. Вып. 1. С. 3-22.

6. Ivanov A.P. Bifurcations in Systems with Friction: Basic Models and Methods // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. V. 14. № 6. P. 656-672.

7. Ле С.А., Фам Ч.Д.Ш. Истолкование принципа Гаусса для систем с кулоновым трением // Теория Механизмов и Машин. 2006. Т. 4. № 1. С. 66-71.

8. Матросов В.М., Фигоненко И.А. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения // ПММ. 1994. Т. 58. № 6. С. 3-13.

9. Timofeev G.A., Panjukhin V.V., Yaminsky A.V. Self-braking criteria analysis // Изв. вузов. Машиностроение. 2017. № 2 (687). С. 12-18.

10. Тимофеев Г.А., Самойлова М.В., Панюхин В.В. Анализ критериев самоторможения с точки зрения их обоснованности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Машиностроение. 2013. № 4 (93). С. 27-42.

11. Тимофеев Г.А., Панюхин В.В., Сащенко Д.В. Самоторможение планетарных передач с трёхвенцовыми сателлитами // Изв. вузов. Машиностроение. 2008. № 10. С. 3-16.

12. Лушников Б.В., Котельников В.Я., Жакин А.И. Исследование динамики системы с сухим некулоновым трением при фрикционных автоколебаниях // Изв. Юго-западного гос. университета. 2012. № 1 (40) Ч. 2. С. 27-35.

13. Колчин Н.И. Некоторые вопросы динамики кинематических цепей с самотормозящимися механизмами // Тр. / Ленинград. политехн. ин-т. 1960. № 211. С. 20-25.

14. Вейц В.Л., Гидаспов И.А., Царев Г.В. Динамика машинных агрегатов с самотормозящимися передачами. Саранск: изд-во Саратовского ун-та, 1989. 195 с.

15. Вейц, В.Л. Шнеерсон Е.З. Об одной обобщенной модели ударного взаимодействия в самотормозящейся системе // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. № 1. С. 16-22.

16. Крюков В.А. Особенности динамики приводов автоматических роторных линий с червячными редукторами // Изв. ТулГУ. Сер. Машиностроение. 1998. Вып. 3. Ч. 2. С. 65-73

17. Крюков В.А. Исследование движения червячного привода с учетом упругости звеньев // Изв. ТулГУ. Сер. Машиностроение. 1998. Вып. 4. С. 140-148.

18. Крюков В.А., Булатова М.Н., Летучев С.А. Динамика червячного привода в режиме установившегося движения // Сборник трудов XIII международной научно-технической конференции «Машиностроение и техносфера XXI век». В 5-ти томах. Т. 2. Донецк: ДонНТУ. 2006. С. 218-222.

19. Крюков В.А. Теория, моделирование и синтез приводов автоматических роторных линий для обработки давлением: дис. ... доктора технических наук. Тула, 2000. 424 с.

20. Вейц В.Л. Динамика самотормозящихся червячных механизмов при силах трения, зависящих от скорости // Теория машин и механизмов. 1965. Вып. 105-106. М.: Наука. C. 5-19.

21. Veitz V.L., Kolchin N.I., Martynenko A.M. Some questions of the dynamics of self-locking mechanisms // Journal of Mechanisms. 1969. Vol. 4. Issue 2. P. 93-104.

22. Крюков В.А., Нгуен Ч.З. Анализ зависимости характеристик червячной передачи от скорости // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2020. Вып. 12. С. 509-516.

23. Крюков В.А., Нгуен Ч.З. Анализ силовых и энергетических характеристик червячной передачи // Вестник Тульского государственного университета. Автоматизация: проблемы, идеи, решения: сб. научных трудов национальной заочной научно-техн. конф.: АПИР-25, 10-12 ноября 2020 года / под ред. В.В. Прейса. Тула: Изд-во ТулГУ, 2020. С. 204-208.

24. Крюков В.А. Ктиторов Д.А. Уточненная математическая модель червячной кинематической пары // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 10. С. 297-305.

25. Крюков В.А., Нгуен Ч.З. Математические модели машинного агрегата с червячным редуктором в режиме выбега // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 2. С. 503 - 510.

26. Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет К.В. Фролов (пред.) и др. М.: Машиностроение. Детали машин. Конструкционная прочность. Трение, износ, смазка. Т. IV-1 / Д.Н. Решетов, А.П. Гусенков, Ю.Н. Дроздов и др.; Под общ. ред. Л.Н. Решетова. 1995. 864 с.

27. Булатова М.Н. Переходные процессы в червячном приводе автоматических роторных линий: дис. ... кандидата технических наук. Тула, 2009. 169 с.

28. Трение, изнашивание и смазка: Справочник. В 2-х кн. Под ред. И.В. Крагельского, В.В. Алисина. М.: Машиностроение, 1978. Кн. 1. 1978. 400 с.

Крюков Владимир Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, va.krukov@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Нгуен Чыонг Занг, аспирант, giang.nguyen0607@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет

EXISTENCE OF THE SOLUTIONS TO THE EQUATIONS OF MOTION OF THE MACHINE WITH WORM GEAR IN RUNNING-OUT MODE

V.A. Krukov, T.G. Nguyen

In the article, on the basis of the mathematical model compiled earlier, the questions of the existence and uniqueness of the solution of the equations of motion of a machine with a worm gear in the running-out mode are investigated. On the worm gear input and output moments plane the regions of the absence of solutions, the existence of one or two solutions of the equations of motion were constructed. It is shown that the running-out mode can occur in one mode, or with changing driving modes, including dynamic self-locking of the transmission. Examples of solutions of equations of motion are given.

Key words: worm gear, dynamics, mathematical model, running-out mode, nonlinear system, existence of a solution, self-locking.

Krukov Vladimir Alekseevich, doctor of technical sciences, professor, va.krukov@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,

Nguyen Truong Giang, postgraduate, giang.nguyen0607@,gmail.com, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.01

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-561-568

ДВИЖЕНИЕ ВЕДОМОГО КРИВОШИПА 5R БЕННЕТТА ПРИ &=0

Т.А. Мустафаев, Ф.Ф. Хабибуллин , М.Р. Фаизов

В данной статье представлен пятизвенный пространственный механизм Беннетт. Определяются кинематические параметры под влиянием дополнительного, виртуального шарнира с заданным углом механизма. В работе рассматривается возможность использования второго ведомого звена в роли рабочего органа с заданной зависимостью призрачного угла механизма. Полученные результаты представлены графически при помощи программного обеспечения Maple, где показана зависимость вращения входного ведущего звена к выходному.

Ключевые слова: пятизвенный механизм, Беннетт, призрачный угол, два ведущих звена, кривошип.

Большинство механизмов подвергается деформации связанной с функционалом конструкции, где данное влияние нуждается в характеристиках, согласно структурной классификации [1-2]. Моделирование мехатронных систем с высокой точностью имитации является перспективным и востребованным направлением в рамках междисциплинарного изучения, которое развивает прогрессивное целенаправленное движение к цифровым двойникам [3-4]. По аналогии создания силовых агрегатов в авиационной промышленности, а также продуктов нефтеперерабатывающей отрасли, очевидна корреляция схожих характеристик, позволяющая использовать универсальные решения при проектировании механизма рабочей установки [5-6]. В данной статье исследуется стандартный вариант механизма Беннетта, анализ его условных оптимальных значений, которые в перспективе возможно применить в рабочих режимах установок с вышеупомянутой конструкцией [7-10]. Кинематика и количество звеньев, напрямую связаны с динамическими характеристиками проектируемого объекта [11-13]. Также важно учитывать пространственное местоположение рабочего, связанное с непосредственными задачами адаптации в различных средах [14-15].

Основа расчета. На рис. 1 представлена структурная схема пятизвенного Беннетта. Данный механизм ранее был описан и изучен, но не имел оптимального расчета результатов из-за отсутствия определенного коэффициента неравномерности для наиболее длительной автономной работы.