CC BY
13
МАШИНОВЕДЕНИЕ, СИСТЕМЫ ПРИВОДОВ И ДЕТАЛИ МАШИН
УДК 621.833.38
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-503-511
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАШИННОГО АГРЕГАТА С ЧЕРВЯЧНЫМ РЕДУКТОРОМ В РЕЖИМЕ ВЫБЕГА
В.А. Крюков, Ч.З. Нгуен
В статье приведены математические модели, описывающие движение машинного агрегата с червячным редуктором в режиме выбега. Для составления уравнений движения использованы расчетные схемы без учета и с учетом упругости звеньев. Полученные математические модели, представляющие собой системы дифференциальных и алгебраических уравнений, приведены в первом случае к одному нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, во втором - системе двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Предложены методы решения уравнений движения. Для метода последовательных приближений найдено начальное приближение.
Ключевые слова: передача червячная, динамика, математическая модель, выбег, силовое передаточное отношение, расчетная модель, нелинейные системы.
Объект исследования и постановка задачи. Современные машины характеризуются постоянным увеличением рабочих скоростей и мощностей. Это приводит к всё большему влиянию динамических процессов на качество и надежность работы машины. Необходимым этапом проектирования современных машин становится решение задач динамического анализа и синтеза. Основными этапами динамического анализа являются составление расчетной схемы объекта исследования, разработка математической модели, решение системы уравнений, представляющих разработанную математическую модель, и анализ этого решения. В качестве объекта исследования выбрана технологическая машина, в состав которой входят источник механического движения - двигатель Д, рабочая машина - РМ и передаточный механизм - ПМ (рис. 1). Математическая модель такого объекта представляет собой связанную систему уравнений, описывающих структурные элементы машинного агрегата: двигатель, передаточный механизм и рабочую машину [1].
ПМ РМ
Рис. 1. Функциональная схема машинного агрегата
Динамические нагрузки зависят от режима движения: разгона, установившегося движения, выбега. В данной статье ограничимся рассмотрение только последнего режима - выбега. В этом режиме двигатель отключается (момент на валу двигателя равен нулю), может быть включен тормоз (момент на валу двигателя отрицателен). В рабочей машине могут находиться предметы обработки (в этом случае момент на валу рабочей машины отрицателен). Если предметы обработки отсутствуют, то момент на валу рабочей машины равен нулю.
В качестве передаточных механизмов, преобразующих вращательное движение, чаще всего используются зубчатые передачи. Наибольшую сложность при исследовании динамики создает использование в качестве передаточного механизма червячной передачи, которая является существенно нелинейной механической системой.
Целью данного исследования является выполнение первых этапов динамического анализа - разработка расчетных схем и математических моделей машинного агрегата с червячным редуктором в приводе в режиме выбега.
В качестве расчетной схемы червячной передачи может использоваться ей аналог -клиновой механизм [2-7]. Такой подход позволяет наглядно представить распределение сил в механизме. На основе этой расчетной схемы был получен ряд важных результатов, но он создает определенные трудности при составлении математической модели машинного агрегата в целом, из-за использования разных видов движения: поступательного движения в клиновом механизме, вращательного движения вала двигателя и входного вала рабочей машины. Использование обычной схемы передачи с вращательным движением [8-12] позволяет легко объединить математические модели основных элементов машинного агрегата. Именно такая схема и используется в дальнейшем.
Геометрические параметры червячной передачи. Для червячной передачи с цилиндрическим червяком и межосевым углом, равным 90 градусов, основными исходными параметрами, определяющими геометрию передачи являются: модуль в осевом сечении червяка т; коэффициент диаметра червяка q; коэффициент смещения червяка Х1; число витков червяка
передаточное отношение передачи /'12 =®1/ , где Ш} - угловая скорость червяка; Ш2 -
угловая скорость червячного колеса. Диапазоны изменения значений данных параметров определяются действующими стандартами и опытом проектирования [13-17]: 0,1 < т < 25 мм; 8 < q < 25 (по первому ряду; коэффициент диаметраq = 25 согласно ГОСТ 19672-76 применять не рекомендуется); 0 < х < 1 (рекомендуемые значения для силовых редукторов); 1 < 21 < 4; 8 < /12 < 80 (в серийных редукторах).
Расчет геометрических параметров передачи выполняется согласно действующему стандарту ГОСТ 19650-97. Делительный угол подъема
у = агС£ 21. (1)
q
Начальный угол подъема
(2)
q + 2 X
В работе [9] показано, что влиянием смещения на скорость скольжения можно пренебречь, поэтому в дальнейшее принимаем х = 0 . Тогда уw = у .
Число зубьев червячного колеса 22 = /12 ' 21. Делительные диаметры червяка и червячного колеса:
dl = qm; d2 = 22т . (3)
Значения остальных геометрических параметров передачи при составлении математической модели не используются и поэтому здесь не приводятся.
Кинематические зависимости. Преобразование скорости в червячной передаче характеризуется передаточными отношениями:
если входным звеном является червяк
У w = агс^"
/12 =Ш/ =Ф/ = 22/ ; (4)
12 / Ш2 /Ф2 /21
если входным звеном является червячное колесо
/21 =Ш2/=ф2>= 1/ . (5)
21 /Ш1 /ф1 //12 Здесь ф1, ф2 - углы поворота червяка и червячного колеса соответственно. Передаточное число червячной передачи не зависит от направления передачи движения
и=/12=2221. (6)
Скорость скольжения в полюсе определяется известной зависимостью [16]
^ск =
(7)
2^ у w
или после элементарных преобразований с учетом приведенных выше зависимостей
-ск . (8)
Допускаемое значение скорости скольжения зависит от точности изготовления передачи. Для степеней точности, применяемых для силовых передач: степень точности 9 -
< ; степень точности 8 - < 5м/ ; степень точности 9 - < 10^ [161. /с / с /с
Трение в червячной передаче. Трение между витками червяка и зубьями червячного колеса является сложным физико-химическим явлением, зависящим от процессов, протекающих на границе раздела в зонах фактического контакта и в тонких поверхностных слоях. Сила трения также зависит от вида деформации в зоне контакта, величины нормальной нагрузки, шероховатости поверхностей, механических свойств контактирующих материалов, температуры и ряда других факторов [18]. Несмотря на многочисленные теоретические и экспериментальные исследования общей зависимости для определения силы трения пока не предложено. Наиболее существенно трение в червячной передаче зависит от скорости скольжения. Для аппроксимации соответствующих экспериментальных данных предложено несколько зависимостей [16, 18-21], имеющих приблизительно одинаковую точность. В статье [9] показано, что наиболее удобно аппроксимировать зависимость угла трения в зацеплении червячной передачи функцией
р(-ск ) = + а • -Ьск )-1. (9)
Коэффициенты в этой функции, определяемые из условия минимизации суммарного квадратичного отклонения аппроксимирующей функции от экспериментальных данных, соответственно равны а = 0,239 ,Ь = 0,586, с = 0,157 . Угол по функции (9) рассчитывается в градусах.
Силовые и энергетические зависимости. Преобразование энергии в передачах обычно характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД) ^ = Рвых/Рвх , где Рвых -
мощность на выходном звене передачи; Рвх - мощность на входном звене передачи. В червячной передаче значение КПД зависит от направления передачи мощности [2, 16].
Для прямого тягового режима при ведущем червяке
Л12 = Р = ; (10) Р2 *ё(у + р)
для инверсного тягового режима при ведущем червячном колесе
=Л=Мх-р), (11)
Р2 18 X
где р - приведенный угол трения.
Для червячной передачи возможен режим движения, при котором оба звена должны являться ведущими (режим оттормаживания). КПД как энергетическая характеристика в этом случае теряет смысл, и в работах [2, 3, 16] было предложено использовать в этом случае коэффициент оттормаживания
| =
Р = Ртр - Р2
тр| 2, (12)
Ртр - Р Р2
где Р - мощность потерь на трение. Или в другом виде -
1 =
1§(Р-Х) (13)
X
Индексы у коэффициента оттормаживания не имеют смысла.
Преобразование сил в передаче характеризуется силовым передаточным отношением и . При вращательных движениях входного и выходного звеньев оно имеет вид
~ = -М2/ , (14)
/М1
где М2,Му - моменты на выходном и входном звеньях соответственно.
Использование энергетических характеристик (10)-(12) [2, 3, 20] позволило решить ряд задач динамического анализа машин с червячными редукторами, однако такой подход приводит к составлению нескольких математических моделей для различных режимов движения и необходимости сшивания решений при переходе от одного режима к другому. Если при установившемся движении направление передачи мощности, как правило, не меняется, то при выбеге изменение режима движения имеет большую вероятность. В этом случае более удобно использовать универсальную силовую передаточную функцию червячной передачи
и = —М.2 • М—^ которую можно представить в виде [8]
~ =-—----(15)
^ (у- кг р)
Изменение направления передачи мощности и направления вращения характеризуются коэффициентом режима
кг = кМ • кю, (16)
где кМ = ^п(Мкю = ^«о.
В режиме выбега направление угловой скорости не меняется, скорость скольжения и, соответственно, трение в зацеплении существенно меняются, поэтому силовая передаточная функция примет вид
_dz__
d1^[y- kM РОск)]
и(Уск) =
а с учетом (7), (8) и возможности изменения ведущего и ведомого звеньев -
и(Ш1) =-------(17)
d1tg[[- kM (raD 'Р(®1)]
Используя (1), (2), (3), (6) можно преобразовать (17) к виду,
= ---. (18)
tg[y- kM (ra0 -Р(®1)]
Математическая модель машинного агрегата с жесткими звеньями. Расчетная схема машинного агрегата с жесткими звеньями приведена на рис. 2. На схеме обозначены: Д -двигатель; ЧР - червячный редуктор; РМ - рабочая машина; Jд - момент инерции ротора двигателя; JpM - приведенный к входному валу момент инерции всех подвижных звеньев рабочей машины; M1, M2 - моменты на валах червяка и червячного колеса. Положительные
направления моментов и углов поворота соответствуют показанным на рисунке. В режиме выбега двигатель выключен, но на валу двигателя имеется тормоз, поэтому тормозной момент на валу двигателя Мд < 0. Момент на валу рабочей машины Мрм принимаем постоянным,
Мрм = const; Мрм < 0.
С
ч>2 М2 М2 Фг Л'/рм
Рис. 2. Расчетная схема машинного агрегата с жесткими звеньями
Уравнения движения ротора двигателя и рабочей машины имеют вид:
dra
^ - МД —М1; (19)
т dю2
3 РМ-Т~ = М РМ — М 2. dt
Система дифференциальных уравнений (19) совместно с приведенными выше геометрическими, кинематическими и силовыми соотношениями (1), (4), (6), (8), (9) описывает движение машинного агрегата в режиме выбега. Решение смешанной системы уравнений (дифференциальных и алгебраических) может вызвать определенные трудности и снизить точность решения, поэтому приведем данную систему к одному дифференциальному уравнению.
Если в качестве основной переменной выбрать угловую скорость червяка ш^, то система уравнений приводится к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка
JРМ ч dш1 , , Мрм
(зД + ) ^ = MД +M1
и • и (ш^) dt и (ш^)
Моменты на валах червяка и червячного колеса будут определяться зависимостями:
dшl
(20)
Ml(i) = M Д - JД
dt
(21)
M2 (t) = Mрм -
J рм d®i
и dt
Для определения начальных условий примем, что выбег начинается из режима установившегося движения. В режиме установившегося движения колебания угловой скорости отсутствуют Qi =шуд = const (юуд - угловая скорость установившегося движения); момент
У t-*\ У АК
двигателя и момент на валу рабочей машины уравновешены, MpM = —~(q уд)Mд. В начале выбега двигатель отключают (Mд = 0), и может быть включен тормоз (Mд < 0). Выбег может происходить под нагрузкой (Mрм < 0) или без нагрузки (Mрм = 0).
Тогда начальные условия запишутся в виде:
t = 0; Ю1(0) = шуд. (22)
Математическая модель машинного агрегата с упругими звеньями. Деформации звеньев могут привести не только к количественному изменению динамических характеристик машины, но и вызвать качественные изменения. Для оценки достоверности и точности расчета динамических характеристик, полученных на основе расчетной модели с жесткими звеньями, необходимо учитывать податливость звеньев. Наименьшей жесткостью в приводе обладают валы. Расчетная схема машинного агрегата, учитывающая деформации валов, приведена на рис. 3, а.
м д ^
ф|
<?2
{fi
Г г ЧР Г г
1
РМ
РМ
Мл фд Ф)М| Л/, Ф, Ф2М2
п
Рис. 3. Расчетная схема машинного агрегата с упругими звеньями: а - исходная схема; б - разбиение на подсистемы
Дополнительно к введенным ранее обозначениям на схеме обозначены: фд, фрм -углы поворота ротора двигателя и входного вала рабочей машины; шд, Шрм - угловые скорости ротора двигателя и входного вала рабочей машины; о\, с 2 - коэффициенты жесткости валов. Для составления математической модели разбиваем систему на отдельные подсистемы (рис. 3, б). Подсистемы двигателя (Д) и рабочей машины (РМ) обладают инерционными характеристиками, но являются абсолютно жесткими. Валы являются упругими; деформации валов описываются законом Гука; моментами инерции валов пренебрегаем.
Математическая модель для рассматриваемой расчетной схемы будет состоять из: - системы дифференциальных уравнений движения ротора двигателя и рабочей машины
J
dra
Д"
Д
dt
= M д — Mi;
J РМ —■рМ = MPM — M2. dt
- уравнений, описывающих деформации валов:
М1 = С1(Фд — Ф1); (24)
М 2 = С2(ФРМ — Ф2);
- передаточного отношения (4), силового передаточного отношения (18), кинематического соотношения (8), закона изменения угла трения (9) и дополнительных очевидных соотношений:
Ю = ^1. Ю = dФ2 . Ю = dфД. Ю = dФРМ (25)
Ю1 =^Г; Ю2 = ^Г; Юд = ^Г; Юрм =^Т. ()
Система 13 дифференциальных и алгебраических уравнений содержит 13 неизвестных двух типов: силовые - моменты М1, М2, угол трения р и силовое передаточное отношение ~
; кинематические - углы поворота фд, фрм, Ф1, Ф2, угловые скорости шд, Юрм, ®1, ®2 и
скорость скольжения уск.
С помощью ряда преобразований данная система уравнений приведена к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Д фд +к(фд)Фд — ик(ф д )ФРМ = Мд; (26)
I3 РМ фРМ — ~к(ф Д)ФД + ~ик(ф Д)ФРМ = MРМ,
где к(ф д) --
^ иис1 + С2
Начальные условия соответствуют установившемуся движению машины: t = 0; Ш1(0) = шуд; <»2(0) = Юуд/;
Фд (0) = 0: ФРМ (0) = ~(уд )1-- • Мрм .
ии (Юуд)С1С2
После интегрирования системы дифференциальных уравнений (26) можно определить моменты на входе и выходе червячного редуктора:
М1 = к(ф д)Фд — ик(ф д)Фрм; М 2 = —~к(ф д)фд + ~к(ф д)Фрм.
Методы решения уравнений движения. Полученные уравнения движения машинного агрегата являются существенно нелинейными, включающими нелинейности двух типов:
- нелинейную зависимость угла трения от скорости скольжения;
- нелинейную зависимость силовой передаточной функции от направления передачи мощности.
Используемые ранее методы решения этих уравнений основаны на замене точных интегралов приближенными, нахождении решений для конкретного направления передачи мощности и дальнейшем сшивании полученных решений [2, 3, 20]. Более точным и универсальным методом является использование современных программных продуктов, например, сотавление и использование имитационных моделей с использованием МАНАВ^тиИпк [22-25].
Так как колебания в приводе, вызываемые упругостью звеньев, являются высокочастотными и имеют малую амплитуду, то для решения уравнений движения при отсутствии заклинивании можно использовать метод последовательных приближений. для определения начального приближения можно принять, что выбег происходит равнозамедленно. Начальное ускорение определяется на основе простейшей модели с жесткими звеньями при постоянном трении в червячной передаче. Силовая передаточная функция принимается равной её значению при средней угловой скорости ротора двигателя
I Ют
Тогда
и0 = и^ у/2
М д +Мрм/ р : 2
д /и0 . „ „и/ ^
8д0 =-у—у-^-; Юд(:) = Юуд—8д0 •ф(:) = юуд:
3д + ' ду / уд д0 ' ™ уд 2 д /и•и0
Выводы.
1. Получены математические модели, описывающие движения машинного агрегата с червячным редуктором в режиме выбега, на основе расчетных моделей с учетом и без учета упругости звеньев.
2. для расчетной модели с жесткими звеньями уравнения движения приведены к одному нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка относительно угловой скорости ротора двигателя; для модели с упругими звеньями - к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно углов поворота на входе и выходе червячного редуктора.
3. Предложены методы решения уравнений движения. для метода последовательных приближений найдено начальное приближение.
Список литературы
1. Крюков В.А., Ктиторов д.А., Сидоров П.Г. Особенности протекания динамических процессов в нелинейных электромеханических системах // Проблемы механики современных машин: Материалы V международной конференции. 2012. С. 223-226.
2. Вейц В.Л., Гидаспов И.А., Царев Г.В. динамика машинных агрегатов с самотормозящимися передачами. Саранск: Изд-во Саратовского ун-та, 1989. 195 с.
3. Гидаспов И.А., Вейц В.Л. динамика самотормозящихся механизмов. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1987. 144 с.
4. Крюков В.А. Исследование движения червячного привода с учетом упругости звеньев // Известия Тульского государственного университета. Серия: Машиностроение. 1998. № 4. С. 140-148
5. Крюков В.А. Особенности динамики приводов автоматических роторных линий с червячными редукторами // Известия Тульского государственного университета. Серия: Машиностроение. 1998. № 3-2. С. 65-73
6. Крюков В.А. Решение уравнений движения червячного привода // Известия Тульского государственного университета. Серия: Машиностроение. 2002. № 7. С. 39-49.
7. Крюков В.А. Теория, моделирование и синтез приводов автоматических роторных линий для обработки давлением: дис. ... доктора технических наук. Тула, 2000. 424 с.
8. Крюков В.А. Ктиторов д.А. Уточненная математическая модель червячной кинематической пары // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 10. С. 297-305.
9. Крюков В.А., Нгуен Ч.З. Анализ зависимости характеристик червячной передачи от скорости // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2020. Вып. 12. С. 509-516.
10. Крюков В.А., Нгуен Ч.З. Анализ силовых и энергетических характеристик червячной передачи // Вестник Тульского государственного университета. Автоматизация: проблемы, идеи, решения: сб. научных трудов национальной заочной научно-техн. конф.: АПИР-25, 10-12 ноября 2020 года / под ред. В.В. Прейса. Тула: Изд-во ТулГУ, 2020. С. 204-208.
11. Крюков В.А., Прейс В.В. Вынужденные колебания в приводе с червячными редукторами технологических роторных машин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2019. № 3. С. 10-18.
12. Крюков В.А., Прейс В.В. Моделирование движения червячного привода автоматических роторных линий // Машиностроение и техносфера XXI века. Сборник трудов XII международной научно-технической конференции. 2005. С. 155-158.
13. ГОСТ 19650-97. Передачи червячные цилиндрические. Расчет геометрических параметров. Минск: Межгосударственный совет по стандартизации, метрологии и сертификации, 2005. 10 с.
14. ГОСТ 2144-76. Передачи червячные цилиндрические. Основные параметры. М.: Изд-во стандартов, 1992. 3 с.
15. Левитан Ю.В., Обморнов В.П., Васильев В.И. Червячные редукторы: Справочник. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1985. 168 с.
16. Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет К.В. Фролов (пред.) и др. М.: Машиностроение. детали машин. Конструкционная прочность. Трение, износ, смазка. Т. IV-! / д.Н. Решетов, А.П. Гусенков, Ю.Н. дроздов и др.; Под общ. ред. Л.Н. Решетова. 1995. 864 с.
17. Иванов М.Н., Финогенов В.А. детали машин. М.: Высш. шк., 2008. 408 с.
509
18. Трение, изнашивание и смазка: Справочник. В 2-х кн. Под ред. И.В. Крагельского,
B.В. Алисина. М.: Машиностроение, 1978. Кн. 1. 1978. 400 с.
19. Часовников Л.Д. Передачи зацеплением. М.: Машиностроение, 1969. 486 с.
20. Вейц В.Л. Динамика самотормозящихся червячных механизмов при силах трения, зависящих от скорости // Теория машин и механизмов. 1965. Вып. 105-106. C. 5-19.
21. Крагельский И.В., Виноградова И.Э. Коэффициенты трения. Справочное пособие. М.: Машгиз, 1962. 220 с.
22. Крюков В.А. Разработка и тестирование имитационной модели червячной передачи // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2017. № 6 (326). С. 10520.
23. Крюков В.А., Нгуен Ч.З. Имитационное моделирование выбега машинного агрегата с червячным редуктором // Современное машиностроение. Наука и образование. 2021. № 10.
C.151-164.
24. MathWorks [Электронный ресурс] URL: https://www.mathworks.com (дата обращения 19.01.2022)
25. MATLAB & Toolboxes [Электронный ресурс] URL: http://matlab.exponenta.ru (дата обращения 19.01.2022)
Крюков Владимир Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, профессор, va.krukov@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Нгуен Чыонг Занг, аспирант, giang.nguyen0607@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODELS OF THE MACHINE WITH WORM GEAR IN RUNNING-OUT MODE
V.A. Krukov, T.G. Nguyen
The article presents mathematical models describing the movement of a machine with a worm gear, in running-out mode. To form the equations of motion, design model were used without taking into account and taking into account the elasticity of the links. The obtained mathematical models representing a system of differential and algebraic equations are reduced in the first case to one non-linear differential equation of the first order, in the second case to a system of two non-linear differential equations of the second order. Methods for solving equations of motion are proposed. An initial approximation is found for the convergence method.
Key words: worm gear, dynamics, mathematical model, running-out mode, force ratio, design mode, nonlinear systems.
Krukov Vladimir Alekseevich, doctor of technical sciences, professor, va.krukov@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,
Nguyen Truong Giang, postgraduate, giang.nguyen0607@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University
