CC BY
22
_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №4/2015 ISSN 2411-7161_
7. Абатуров В.Г. Физико-механические свойства горных пород и породоразрушающий буровой инструмент: Учеб. пособие для вузов. — Тюмень : Изд-во «Нефтегазовый университет», 2007. — 238 с.
© Калуш Ю.А., 2015
УДК 514.75
Матиева Гулбадан
доктор ф.-м.н., профессор ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан e-mail: gulbadan_57@mail.ru Курбанбаева Нуржамал ст.препод., каф.АиГ, ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан e-mail: Nurj_07@mail.ru
СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНЫХ ЛИНИЙ ОДНОГО ЧАСТИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Е4
Аннотация
В области Q С Е4 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X £ Q проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ю = (X, ei) (i,j,k=1,2,3,4) в
области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии ( заданного семейства. Интегральные
i ^ V 2
линии ( векторных полей ei образуют сеть Френе ^ 4 . На касательной к линии ( сети Френе
инвариантным образом определяется точка F2 £ (X, в2 ) . Когда точка X смещается в области Q, точка
F'2 описывает свою область Q2 С E4. Получается частичное отображение f2 : ^ —^ такое, что
f1 (X) = f2 .
Найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы а) линия у, принадлежащая распределению А (12), являлась двойной линией пары (f^, )); б) линия J3, принадлежащая распределению А (34), являлась двойной линией пары (f^, у), где А (j) - двумерное распределение, определяемое векторными полями e^, ej .
Ключевые слова
Репер Френе. Циклическая сеть Френе. Псевдофокус. Двойная линия отображения. Распределение.
В области Q евклидова пространства E4 , задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X £ Q проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ж = (X, e2 ) (i, j, к = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе [l], [2] для линии
( заданного семейства. Деривационные формулы репера Ж имеют вид:
dX = (ej, dei = (ikek . (1)
Формы со', ю-) удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
Вюг =юк лЮк, Вю) = ю{ л ю), С = 0 (2)
Интегральные линии векторных полей в' образуют сеть Френе ^ 4 для линии Ю заданного
семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети ^4 , формы Юк становятся главными, т.е.
ю) = ЛС • (3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
4 = -Л)- • (4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3):
Вю) = л ю] + ЛкиВЮ •
Применяя формул (2) отсюда имеем:
<ю{ л со) = ¿Л. л ю + Лк л т1 л <ю{ В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
ю/ л Лю' = ¿Л'. л ю — Л.ю] л ю1
или
Отсюда найдем:
akj£œ/ а с = dak а с - ajc а с .
d^j а С - ajcj а С - akjc/ а с = 0
или
(ЛЛ) — Л^ю] — Л^щ ) л ю = 0 • Применяя лемму Картана [З] отсюда имеем:
¿Л. — Лю] — Л%ю] = Лутют
или
г/\___. A , A-,,A -
ij ^ ijm il jm
dAkj = (Am + Akit A jm + Ak Am )cm (5)
Система величин |л)- , Л)да | образуют геометрический обьект второго порядка.
Формулы Френе для линии О заданного семейства имеют вид:
2
¿1е1 = Л11е2 >
1 З
¿1е2 = Л21е1 + А21еЗ,
¿1еЗ =Л2З1е2 +Л4З1е4,
¿1е4 = Л41^З
и
Ah = -A3i = 0, A4n = -А41 = 0 (6)
A421 =-А241 = 0 (7)
Здесь к\ = Л??, к? = Л? 1, к1 = Л"3 1 - первая, вторая и третья кривизны линии С соответственно (где d 1 _ символ дифференцирования вдоль линии С ).
Псевдофокус \4 ] р-7 (I ^ 7 ) касательной к линии СС сети Е4 определяется следующим
1 \3
1 л 4
радиус-векторам:
- i - 1 - - 1 -FJ = X---e = X + —e.
Xi Л iJ
Л'
(8)
JJ
На каждой касательной (X, в^) существуют по три псевдофокуса. На прямой (X, в?) существуют псевдофокусы , , , на прямой (X, в? ) - Р2 , Р2, , на прямой (X, 63) - Р^, Р^, Р^, на
прямой ( x , ë4 ) - f4 , , f4.
Сеть ^ 4 называется циклической сетью Френе если реперы = (X, в?, в?, 63,64 ),
%2 = (X, в2, вз, в4, в? ), % = (X, вз, в4, в?, в2 ), %4 = (X, в4, в?, в?, вз ) являются соответственно
1 2 3 4 V реперами Френе для линий С , С , С , С сети ^ 4 одновременно.
Пусть сеть ^4 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через ^4 . Рассмотрим
равенство
F = X= X +—ë2 21 Л11
(9)
которое определяет псевдофокус Р? £ (X, в? ) на касательной (X, в? ) к линии СО заданной
циклической сети Френе ^ 4 .
Когда точка X смещается в области Ос Е4 , псевдофокус Р? £ (X, в? ) описывает свою
область О 2 С Е4. Получаем частичное отображение f2 : О —> О 2 такое, что /2 (X) = Р2 .
Продифференцируем обычным образом равенство (9) и учитываем деривационные формулы:
dFl =
X-■
1
Л
1 2
= dX + d
1
21 у
VA21 У
1
dX
1 21
1
^ —— dë0 = (e --———®'2ëi
Л1
21
Л112
Л1
21
В силу равенство (4) последнее равенство имеет вид:
dFl = ( - +
2
(A21m + Л2 А 1m + Л 11Л2ш (
m
Л112
ë2
Л
(2ël.
21
B2nm = Л21т + Л1т + ЛИЛ2т
Введем обозначение: Тогда учитывая (3), отсюда получим
r1 ^m
dF1 =(ë; + 21m
д1 ^-.m Л 2m(
Л
21
Собирая вместе членов, содержащих дифференциальных форм С ' (I = 1,2,3,4), отсюда получим:
1
2
dF1 =
e, +
B
1 211
(Ал )
■e-, + ■
Ai
21
A
21
c1 +
e7 +■
B
1
212
A
k
(A! ) 2
-e, --
22
A1
21
2
c2 +
e+
B
1
213
Ak
(A, )2 "2
e, --
23
A1
21
3
c3 +
k
k
k
+
B
eA +-
214
A
(A21 )
e, --
24
A1
21
С
Введем обозначения:
a1 = e1 +
a3 = e3 +
B
1
211
A
-e, -
21
(4, )2"2 A1
a9 =
21
1 + B212
КF
A
22
A1
ek;
21
B
213
A
(A121 )2 2
23
A1
~ek •
a4 = e4 +
B
214
A
21
(A121 )2 2
24
A1
Tek
21
Тогда имеем:
—* 1 1 y 3 4
dF1 =c a, +c a7 +c a? + c aA
Так как сеть ^4 является циклической сетью Френе, векторы 0-1, а,2, 03 а4 имеют вид:
a1 = e1 +
B
211
A
TTÏe2 -~TTe3
21
e, ;
(A1 21 )
A1
21
a2 =
1 + B212
(A1 ) J
A
A1
1 e3;
(10)
21
A
23
a3 =
e +
B
A1
1
1 -^2 2 + e3 •
21
A
a4 =--jLe1 +
(A21 )
B214
A:
A1
1 \2 ~2
e-, -
21
(A21 )
A1
3
re3 + e4 21
Эти векторы в общем случае линейно независимы, следовательно, частичное отображение :
О —> О 2 является невырожденным.
Бе£ двойной линии отображения и двойной линии пары
Рассмотрим линию у , принадлежащую распределению Л( 12) = (X, 61,62 )•
— 1 — 2 — Её касательный вектор имеет вид: у = у 61 + у 62 .
Найдем касательный вектор у линии (у) = у : _1 2 _11 _ 2 _2 2 _1 з _2 з
у = у 01 +у 02 = у ае + (у01 +у О2 )в2 + (у О3 +у оз 6
Где а■ - j - тая координата вектора О' . Из условия у,у,ХЕ2 Е Л
(12)
_^ ^ _
получим: у Оз +у Оз = 0 . Учитывая (10) отсюда
-.2 3
имеем:
Г
Г
A
22
A
21
1
k
k
2
1
1
1
2
Обратно, если имеет место равенство (11), то линия у , принадлежащая распределению А(??), является двойной линией пары (f1, А^)) . Таким образом, доказана
Теорема 1. Линия у , принадлежащая распределению А(??), является двойной линией пары (f1, Ау2)) тогда и только тогда, когда координаты её касательно вектора удовлетворяют условию (11).
Рассмотрим линию (, принадлежащую распределению А (34) = (X, в3, в4 ).
3 ^ 4 ^
Её касательный вектор имеет вид: ( = ( в3 + ( в4 .
^ — ?
Найдем касательный вектор ( линии ( = f2 (() : $ = ((3а? + (4 а? )в? + ((3а23 + (4а| )е2 + ((3 + а( )е3 + (4е4
. ■- — _?
Где а/ - j - тая координата вектора а| . Из условия (,(, Xр £ А (34)
Имеем систему:
(3а3 +(? 4а4 = 0
Учитывая (10) отсюда имеем:
$3a] + $4a,2 = 0
$3a\ + $4a14 = 0 PhsP3 + $214$^ = 0
Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда выполнено условие:
= 0
Л Л
a23 a24
Bl213 B2M
(12)
или
Л1 Л1
a 23 _ a 24
в2?3 в2?4
Верно и обратное утверждение. Таким образом справедлива.
Теорема 2. Линия (, принадлежащая распределению А(34), является двойной линией пары
(f1, А^з4у) тогда и только тогда, когда имеет место равенство (13), геометрический смысл которого заключается в следующем:
(13)
ё1А 23
ё1А 24
ë1d3A 21 ë1d4 А 21
d - (
«I - символ дифференцирования вдоль направлении вI, Л^- = З.
Список использованной литературы 1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/П.К.Рашевский//Москва. Наука. 1967. -С.481-482.
<
<
_НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «IN SITU» №4/2015 ISSN 2411-7161_
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст] / И.А.Схоутен, Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ. 1948.Т.П-348.
3. Фиников C.n. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст] / С.П. Фиников // МЛ.: Госттехиздат. 1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст] / В.Т.Базылев // Литовский математический сборник, 1966. VI. №4.- С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст] / Г.Матиева // Монография. Ош, 2003.- С. 212-219.
6. Кузьмин М.К. Сети, определяемые рапределениями в евклидовом пространстве [Текст] / М.К. Кузмин // Проблемы геометрии. - Москва: ВИНИТИ, 1975.-т.7.-С.215-229.
7. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст] / В.Т.Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1975.вып.6.- С.19-25.
© Г. Матиева, Н.Н. Курбанбаева, 2015
