CC BY
20
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №4/2016 ISSN 2410-6070_
ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 514.75
Гулбадан Матиева
доктор ф.-м.н., профессор (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан)
e-mail: [email protected] Чолпон Абдуллаева канд.ф.-м.н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: [email protected] Нуржамал Курбанбаева ст.препод., кафедры алгебры и геометрии (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан)
e-mail: [email protected]
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КВАЗИДВОЙНОЙ ЛИНИИ ОДНОГО ЧАСТИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА Е4
Аннотация
В области Q <^Е4 так, что через каждую точку X eQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер SR = (X,et) (i,j,k = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы
он был репером Френе для линии С2 заданного семейства. Интегральные линии С векторных полей
образуют сеть Френе . На касательной к линии «3 сети Френе инвариантным образом определяется точка
F/ e{X,e2). Когда точка X смещается в области Q, точка F/ описывает свою область Q'2 еЕ4.
Получается частичное отображение fl Q ^ Q'2 такое, что f2,( X) = F2, .
Доказаны необходимое и достаточное условия для того, чтобы линия m , принадлежащая трехмерному
распределению Л (ijk)= iX'ei, ej, ek ), являлась квазидвойной линией пары {fl, Л .
Ключевые слова
Репер Френе. Циклическая сеть Френе. Псевдофокус. Квазидвойная линия отображения. Распределение.
В области Q евклидова пространства Е^, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку XeQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер SR = (X,et) (i,j,k = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии
<С2 заданного семейства. Деривационные формулы репера ^ имеют вид:
dX = <'ei,dei =<tek . (1)
Формы С<С, «С удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
, <+«j
DС =« л«, D«k = < л «, < + « = 0. (2)
Интегральные линии векторных полей е образуют сеть Френе для линии со1 заданного
семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети , формы С становятся главными, т.е.
i=4«
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
Сk =AkjC. (3)
4 = "4 • (4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3):
Dar = dÄk а о1 + ÄkDO.
1 lj и
Применяя формул (2) отсюда имеем:
coi А со) = d/t А СО3 + 4 А й/ А £У/ .
1 J У У t
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
О)' А Лксое = dAk А О)' - ЛкСОi А О)
i J У У "■
или
Отсюда найдем:
или
Aj(C0¡ А СО1' = d. i; А СО1 - Л; А A ftj' .
¿/Л" А (О ~ Жсо1 А О.) ~ .V О.) А Г'У = О
V ] J> 1
(dA¡. -Лксо] - ) A ¿yJ =0.
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
dÁ: - А: в) - Асу = Л': оГ
Ч l/: J Ч 1 Ут
или
¿4 = 4 + 4 4 + 44 У • (5)
Система величин , 4т } образуют геометрический объект второго порядка. Формулы Френе для линии СО1 заданного семейства имеют вид:
de =А2е
112'
2'
а1?2 = 4^1+4^3' (11ё3 = 4*2 +Л31ё4'
и
4 = -4 = о, 4 =-4 = 0, (6)
4=-4 = о. (7)
Здесь к = 4п , к1 = 4, = 4 " первая, вторая и третья кривизны линии У соответственно (где - символ дифференцирования вдоль линии У).
Псевдофокус [4] Е^ (г Ф ]) касательной к линии У сети определяется следующим радиус-вектором:
Р]=Х~— ё=Х + — е.- (8)
' 4 1 4 1
На каждой касательной (X) существуют по три псевдофокуса. На прямой (X,в} ) существуют псевдофокусы ЕЕ/, Е3, Е^, на прямой (X, в2 ) - Е^, Е^, Е^, на прямой (X, в3 ) - Е^, Е^, Е^ , на прямой (X, в4 ) - Е^, Е^, Е3.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №4/2016 ISSN 2410-6070_
Сеть Х4 в Qc IE4 называется циклической сетью Френе [5], если реперы S.H/ = {X ,^1,^2,^3,^4)
, ^2 = {X,e2,ß3,e4,e1), Ш3 = {X, 63,64,61e), Ш4 = {X,e4,ej,e2,e3) являются соответственно
реперами
Френе
для
линий
1 2 3 4 т
СО , СО , СО , СО сети А. одновременно.
Пусть сеть является циклической сетью Френе. Ее обозначим через . Рассмотрим равенство:
- 1 1 -
=Х---ё3=Х + —ё3.
ЛЗ 3 3
(9)
которое определяет псевдофокус Е- е (X, е2 ) на касательной (X, е2 ) к линии заданной циклической сети Френе Е4. Когда точка X смещается в области О С К4, псевдофокус Е2 е (X, е2) описывает свою
область. О' С Е4 . Получаем частичное отображение О —> О1- такое, что /'( X) = Е' .
К области О' присоединим подвижной репер Ш' = (е' а1, а2, а3, а4 ), где векторы определяются следующим образом. [8]:
а = e +
в-
л'
м
e --
л
2 ek ; а2
R -
1 + -B212
Л2Я
л'1
e2 -
л
Tek;
21
D 1
^ ^ B 213 а3 = e3 + i . 2 32 e2 — 21
л
___23_
{л-у2-Л2Г ; a =e '(ЛЦТ Л21
ek; а4 = e4 + -
в-
Л'
" e2 —
1'
Тогда имеем:
77—г 1 2 3 4
dF2 = с а + ю а2 + с а3 + с а4
Так как сеть^ является циклической сетью Френе, векторы получим:
а1,а2,а3, а4 имеют вид:
а = e +
B
Л:
п 2 Л2'3'
а2 =
D 1 1+-B212
Л)
л
e2 —
л
22р .
1 e3-,
21
л
a =
23
л
1 "1 21
e, +
B
213
м
л
e2 e3 ■
3
24
а4 = 11 e1
Л
e, +
13
B 214 e + g
л 1 e3 + e4
(10)
■2- (л'Л 2
Эти векторы в общем случае линейно независимы, следовательно, частичное отображение является невырожденным.
Линии С (С )=С называются двойными линиями отображения § , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X, §(X), пересекаются, либо параллельны [7] .
Линия I называется двойной линией пары (§, ), если она является двойной линией отображения § и принадлежит распределению Др [7].
32
k
1
3
1
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №4/2016 ISSN 2410-6070_
Введем определения: 1) линии О ,g{о' ) = О в Е4 называются квазидвойными линиями
отображения g, если касательные к ним взятые в соответствующих точках X, g{X), принадлежат одному и тому же трехмерному подпространству пространства Е4 ;
2) линия l называется квазидвойной линией пары {g, Ар ), если она является квазидвойной линией отображения g и принадлежит распределению А .
Рассмотрим линию l, принадлежащую трехмерному распределению А123) = iX' е1'е2'ез ) с
касательным вектором / = / в1 +/ в2 +/3 в3 . Найдем касательный вектор / линии /2(1) = / • Его
ищем в виде:
i = i1 a+i2a2+13°з.
Учитывая формул (10) отсюда имеем:
1 = l1 fa + а]е2 + afc)+12■ ■ ■ 2
+ а1е2 + а1е3)+1 \а2е2 + а2е3)+1 + а3е2 + е3
,)+13 {а
или
/ = (/1 + 13а1 )<? + (/1а21 +12 а] + /За\) в2 + (/1а31 + 12а32 +13) в3,
где а / - 7 -мая координата вектора а(.
Очевидно, что . Следовательно любая линия / £ А (123) является квазидвойной линией
тары (/2, Л(123)).
Пусть линия У , принадлежит распределению А (124) . Ее касательный вектор имеет вид: ^ 1 ^ 2 ^ 4 ^
У = У в1 +У в2 +У в4 •
Найдем касательный вектор у линии у = f 2 {у). Он
имеет вид:
12 4
у =у а1 + у а2 +у а4 .
Учитывая формул (10) отсюда получим:
у = у1 {ßj + а]е2 + )+ у2 \'а\е2 + а\е3)+ у4 {а14е1 + а24е2 + а34е3 + е4 )
или
у ={у1 + у4а!4 )е1 + {у1а1 + у2а] + у4а] )е2 + {у1а4 + у2а4 + у4 а^ )е3 + у4 е
Из условия у ,у ^А(124)
имеем:
у1а31 + у2а33 + у4а3 = 0 .
Учитывая формул (10) отсюда получим:
( А 3 Л
у
Л
21
Л2
V Л21 у
3
+ у2
Л
22
V Л121 У
3
+ у
Л
24
Л2
V Л21
= 0
или
Л311у1+Л 222у2 +л2у = 0.
2 ..4
"1
линией пары \J 2 , Л124)
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №4/2016 ISSN 2410-6070_
Верно и обратное, т.е. если имеет место равенство (11) то линия У £ Л 124) является квазидвойной
{f2 , Л(124) ) . Найдем геометрический смысл этого равенства.
Рассмотрим векторов d1e2 , d1e2, d4e2 и определим следующий вектор 6 с координатами:
6 ={>3d1e2)e1 + {^2^2)e + {^3d4^2К.
Тогда имеем:
6-У = л321у1 + л 2 у2 +л24 у4 . (12)
Следовательно, геометрический смысл равенство (11) заключается в том, что векторы 6 и у ортогональны.
Таким образом доказана
Теорема 1. Линия У , принадлежащая распределению Л {124), является квазидвойной линией пары
{f2, Л( 124)) тогда и только тогда, когда выполнено условие (11), геометрический смысл которого заключается в (12).
Теперь рассмотрим линию ß , принадлежащую распределению Л {2з4)= {х,e2,e3,e4) • Ее касательный вектор имеет вид:
ß = ß2 e2 + ß3 e3 + ß4 e4 • Найдем касательный вектор линии ß = f2> ß) •
Его ищем в виде: ß = ß2а2 + ß3 а3 + ß4а4 . Учитывая формул (10) отсюда получим:
ß = ß2 {а2,^ + ale3)+ ß3 (а^ + a23e2 + e3)+ ß4{a1e + a24e2 + ale3 + e4)
или
ß = ß3^ + ß4 а1 )e + ß2ü] + ß3а2 + ß4 а] )e2 + ß2^ + ß3 + ß4^4 )e3 + ß
Из условия ß ,ß £Л {234) имеем:
ß3a¡ + ß4a1 = 0 •
Учитывая формулы (10) отсюда получим:
21ß 1 л 24
л32ßß3+л2ß4 = 0
или
ß3 л2
ß - Л24 (13)
ß4 Л
23
где — Л24 = Л14 — вторая кривизна линии с4 сети Е4 , — Л23 = Л13 — третья кривизна линии с4 сети Е4 . Верно и обратное, т.е. если имеет место равенство (13), то линия Р , принадлежащая распределению Д (234), является квазидвойной линией пары (/', ¿\2з4)).
Рассмотрим линию а , принадлежащую трехмерному распределению А (134)= (X, 61,63,64) с касательным вектором
1 3 4
а = а е + а е3 + а е4 .
Ищем касательный вектор а линии X = /2 (а) •
_ 1 " 3 " 4 " Он имеет вид: а— а а1 + а а3 +( а4 •
Учитывая формул (10) отсюда получим:
а = а1 {е + а]е2 + а\е3)+ а3 {а^ + а\е2 + е3)+ а4 + а^ + а^ + е4)
или
(1 3 1 4 1 |>' / 1 2 3 2 4 2 \ * 1 1 3 3 4 2 \
а + а а3 + а а4 в + (а а1 + а а3 + а а2 )в2 + (а а3 + а + а а2)
( 1 3 3 4 3 \ * 4 *
а а3 +а +а а3 )в3 +а в4 • Из условия а ,а £Ац34) имеем:
а1 а^ +а1а23 +а4а4 = 0 •
Учитывая формул (10) отсюда получим:
Т) 1 Т) 1 Т) 1
1 В 211 3 В 213 4 В 214 п
аш+аш =0
или
■ 1 , D1 „,3 , г>1 „,4
В21(Х + В 21(Х + В21а = 0 • (14)
Найдем геометрический смысль этого равенства. Рассмотрим вектор кц = 4.2162 = —Ац 62
первой кривизны линии У циклической сети £4 Френе. Найдем векторы dзkll, ¿4кц
где ¿1 — символ дифференцирования вдоль направлений 61 . Тогда имеем:
¿1к11 = —В111 62 — 411 [42161 + 421 63 ); ¿3к11 = —В 213 62 — 411 42361 ; ¿4к12 = — В214 62 — 421 (42461 + 42463 ^
Отсюда найдем:
В1 =—ed^■ В1 =—edk■ В1 = —ed^
В211 62и'1к11 ' В213 в2dзkll , В214 в2d4k11 • Определим вектор ^ с координатами:
? = В1 е + В1 е + В1 6
Ь в211с1 ~ в21^3 ~ 214 4 •
Тогда получим :
а= В1П1 а1 + В1пза3 + В1П4 а4.
Следовательно, геометрический смысл равенство (14) заключается в том, что векторы ^ и ( ортогональны.
Верно и обратное, т.е. если имеет место равенство (14), то линия ( , принадлежащая распределению Л {134), является квазидвойной линией пары {f2, Л(134)). Таким образом доказана
Теорема 2. 1) Линия ß, принадлежащая распределению Л {234), является квазидвойной линией пары {f2, Л(234)) тогда и только тогда, когда выполнено условие (13);
2) линия ( , принадлежащая распределению Л {134) является квазидвойной линией пары
(/2 , А (234)) тогда и только тогда, когда имеет место условие (14).
Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.11-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник,1966.У1.№4.-С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.
6. Кузьмин М.К. Сети, определяемые распределениями в евклидовом пространстве [Текст]/ М.К. Кузьмин // Проблемы геометрии.-Москва: ВИНИТИ, 1975.-т.7.-С.215-229.
7. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур,1975.вып.6.-С.19-25.
8. Матиева Г., Папиева Т. Геометрия частичного отображения евклидова пространства, порождаемого заданным семейством гладких линий. // Исследование по интегро-дифференциальным управлениям, вып 4.2.-Бишкек: Илим, 2010-с.180-184
© Матиева Г., Абдуллаева Ч.Х., Курбанбаева Н.Н., 2016
УДК 004
Т.Ю. Алаева
доцент кафедры сопротивления материалов и графики ФГБОУ ВО «Костромская ГСХА», Российская Федерация
МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПАС-3Б ПРИ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ
Аннотация
В статье автор делится опытом применения графического пакета КОМПАС-3Б строительной конфигурации в учебном процессе. Кратко описана последовательность выполнения чертежей марки АР, отмечены недостатки программы с целью их устранения в следующих версиях системы.
