CC BY
26
2016. №1. Часть 1. С.41-43.
4. Обзор и оценка перспектив развития мирового и российского рынков информационных технологий [Электронный ресурс]. URL:
http://pcnews.ru/blogs/obzor_i_ocenka_perspektiv_razvitia_mirovogo_i_rossijskogo_rynkov_it-603781.html (дата обращения 14.01.2016).
© Мартыненко Ю.В., 2016
УДК 514.75
Гулбадан Матиева
доктор ф.-м.н., профессор (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: gulbadan_57@mail.ru Гулниса Борбоева канд.ф.-м.н., доцент ОшГУ, (г.Ош, Кыргызстан) e-mail: Borbo71@mail.ru Нуржамал Курбанбаева ст.препод., каф.АиГ, (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: Nurj_07@mail.ru
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КВАЗИДВОЙНЫХ ЛИНИЙ ЧАСТИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА E4
Аннотация
В области ЙСЕ4 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X е Й проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Щ = (X, e\) (i,j,k=1,2,3,4) в области Й
выбран так, чтобы он был репером Френе для линии О1 заданного семейства. Интегральные линии О векторных полей образуют сеть Френе ^^. На касательной к линии О1 сети Френе инвариантным
образом определяется точка F4 е (X, e) . Когда точка X смещается в области Й, точка Fx4 описывает
свою область Й14 С Е4. Получается частичное отображение ff : Й ^ Й24 такое, что f4 (X) = Fj4 . Найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы линия, принадлежащая распределению
^(ijk)' являлась квазидвойной линией пары
Ajk) ).
Ключевые слова
Репер Френе. Циклическая сеть Френе. Псевдофокус. Квазидвойная линия отображения. Распределение.
В области й евклидова пространства Е^, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X ей проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ш = (X, е )
(/,],к = 1,2,3,4) в области й выбран так, чтобы он был репером Френе [/], [2]для линии СО заданного семейства. Деривационные формулы репера Ш имеют вид:
dX = colei, dei = colkek. (1)
Формы О, о- - удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
ВО = О л оО к, Во- = О л О, О + о) = 0. (2)
- Т7 1
Интегральные линии векторных полей образуют сеть Френе Е4 для линии О заданного
'4 =
семейства. Поскольку репер Щ построен на касательных к линиям сети Е4, формы О- становятся
главными, т.е.
С = Akcj. (3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
Дифференцируя внешним образом равенство (3): Вок = л О + Л-^ВО . Применяя формул (2) отсюда имеем: О л О = йАку л о1 + Лу л о1 л о) . В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид: О л Л-О = йЛк- л О — Л-О л О, или
Л-О л О1 = йЛ^- л О — ЛС)О{ л о1. Отсюда найдем:
йЛк) л О — Л-О л О — Лк)1О л О = 0, или
Л,- = -Л,- . (4)
Система величин \Лу , Лут | образуют геометрический обьект второго порядка.
(йЛ-) — ЛО ) л о = о.
Применяя лемму Картана [з] отсюда имеем:
йЛ-) -Лко -Лко =лктот,
или
йлк) = (лкт + лк1 л) + л-¿т )от . (5)
кк Л-
Формулы Френе для линии О заданного семейства имеют вид:
2
й1е1 = Л11е2 ,
1 з
й1е2 = Л21е1 + А21е3, й1е3 = Л31е2 + ^31*4 ,
й1е4 =А341ез,
и
лЛ3 11 = —Л3, = о, Л411 = —Л141 = 0, (6)
Л421 =—Л241 = 0 , (7)
здесь kj = Ajj , k1 = ^21, kß = Aßj - первая, вторая и третья кривизны линии С
соответственно (где dj — символ дифференцирования вдоль линии С ).
Псевдофокус \j] F^ (i Ф j ) касательной к линии С сети Ej определяется следующим радиус-векторам:
- ,■ - 1 - 1
F/ = X ——ei = X + — в:. (8)
i Aj. i А- i
1 ij jj
На каждой касательной (X, ei) существуют по три псевдофокуса. На прямой (X, ßj) существуют псевдофокусы Fj2, Fj3, Ff, на прямой (X, ßi) - Fj, F^, Ff, на прямой (X, ßß) - Fj, Fß, Fj , на прямой
(X, e4) - Fj, f2 , F3 .
Сеть Ej в Qc Ej называется циклической сетью Френе если реперы = (X, ßj, ßf, ßß, ßj)
, ^2 = (x,ßf,ßß,ßj,ßj), ^ß = (x,ßß,ßj,ßj,ßf), ^4 = (x,ßj,ßj,ßf,ßß) являются соответственно
1 2 ß 4 77 реперами Френе для линий С , С , С , С сети Ej одновременно.
Пусть сеть Ej является циклической сетью Френе. Ее обозначим через ^ 4. Псевдофокус
Fj е (X, ßj) определяется радиус-векторам:
р4 - 1 - - 1 _
Fj4 = X-—ßj = X + —ßj. (9)
A14 A44
4
Когда точка X смещается в области йс Е4 , псевдофокус Fl описывает свою область й4 с Е4.
Определяется частичное отображение f4 : й —> й4 такое, что (X) = Ff .
Присоединим к области й 4 подвижной репер Я' = (р/ ,Ъ1,Ъ2,Ъ3,Ъ4), где векторы Ъ{ определены [8] в следующем виде:
bj =
j + B4i41
(a414 )2.
- Aii - . - Bjji - - X!2 - .
ßj--j^ßi' b0 = , ! ß, + ß7--j^ßj;
j Ajj i 2 (Aj4 )2 j 2 Aji '
B^4ß - A!3 - . - - BL - A,
ьз^^+*• _
Так как заданная сеть Е4 является циклической сетью Френе, векторы Ъ^ имеют вид:
bj =
j + Bj4j
(Ajj f.
a2!! - - b142 - - a4!2 -
--jjß • b =—ß + ß--—ß •
j K4 2 • b ( \2 ßj + 2 .4 4 •
jj (Ajj) aI2 . 10)
A" ^ (Ajj У j ' A
4 к 2 к 4 r,4 \ 2
г В,43 _ А13 _ А13 _ _ - Б144 _ А14 _
Ъ =—143 е----+ е ■ Ъ =—144 е--114р
Ъз ^Х1 а4,:2 а4,;4+ез-"4 (а^*1 А',,'2
В общем случае эти векторы линейно независимы. Линий С , (С ) = СО называются двойными линиями отображения g, если касательные к ним, взятые в соответствующих точках х , § (X) пересекаются, либо параллельны [7].
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №3/2016 ISSN 2410-6070_
Линия t называется двойной линией пары (g, Аp ) , если она является двойной линией отображения
g и принадлежит распределению а p [7].
Введем определения: 1) линии С , g{cc' )= сС в пространстве E4 называются квазидвойными линиями отображения g, если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и g{X) принадлежат одному и тому же трехмерному подпространству пространства E4 ; 2) линия t называется квазидвойной линией пары {g, а p ), если она является квазидвойной линией отображения g и принадлежит распределению а р . Рассмотрим линию t, принадлежащую трехмерному распределению А{123) = {X,ei,e2,e3
). Её
касательный вектор имеет вид:
i = i1^ + i2 e2 + • Найдем касательный вектор i линии i = f4 (i). Его ищем в виде:
1 2 3
'b, +i2b, + i b3 . Учитывая формул (10) отсюда имеем: £ = i1 (bj£j + b¡e2 ) + i2 (b^ej + e2 + b42e4 ) + i3 (b^ + b¡e2 + e3 + b43e4 )
или
£ = (£1Ъ1 +12Ъ12 + £3Р3 + (£1Ь2 + £2 + £3Ъ23 )е2 + £3е3 + (£2Ц + £3Ъ43 )е4,
где Ь/ - I -тая координата вектора Ь1. Из условия е,е е А(123) получим:
£2Ъ42 + £3Ь43 = 0.
Учитывая формул (10) отсюда имеем:
i 2
( К4 \ К12
Л4
К К14
+ i 3
С К4 ^
К13
К К14
= 0
или
Л412£2 +Л413£3 = 0, (11)
где Л12 - третья кривизна линии О сети 2 4, Л1з = Л 43 - вторая кривизна линии ° сети 2 4 Верно и обратное, т.е. если имеет место условие (11), то линия £ е А(123) является квазидвойной линией пары (/4 ,А^23)).
Рассмотрим линию р, принадлежащую трехмерному распределению А( 124) = (X,el,e2, ~е4
). Её
касательный вектор имеет вид:
р = 0е1 + р2е2 +/4е4 . Найдем касательный вектор / линии / = /4(р). Его ищем в виде: / = р1^ + 02Ъ2 + 04Ъ4. Учитывая формул (10) отсюда имеем:
р=р1 Ъе + Ь2Ге2 )+р2 (ь
2е 1 + е2 + ьр2 )+0 (Ь14е1 + Ь^2),
или
0 = (рЪ + р2Ъ12 + р3Ъ1 + (р1Ъ2 +р2 + р4Ъ24 )-2 + РЪе,.
Очевидно, что р, р е А(124) ■ Следовательно, любая линия р, принадлежащая распределению
А(ц4) , является квазидвойной линией пары (fj, A^24)). Таким образом справедлива
Теорема 1. а) линии t eA{j2j, является квазидвойной линией пары (fj ,A(j2ß)).тогда и только тогда, когда вторая и третья координаты её касательного вектора удовлетворяют условию (11);
2) любая линия ß, принадлежащая распределению А(ц4) , является квазидвойной линией пары
(fj4,A(j24)).
Рассмотрим линию у принадлежащую трехмерному распределению A(234)=(X ,ß2,ßs,ß4 ). Её касательный вектор имеет вид:
у = у2в2 + у3в3 +у4в4 . Найдем касательный вектор у линии у = ff (у). Он имеет вид: — 2 3 ~* 4 ~*
У = У b2 + У b3 + у b4. Учитывая формул (10) отсюда получим:
У = у2 te + ß2 + b2ß4 )+ у3 (bl3ßj + b3ß2 + ß3 + b3ß4 )+ у4 faß + b4ß2 ),
или
у = {у2- + уßbj + у4ь1 ßj + (у2 + у%2 + уЬ ß +у% + (у2ь4 + у3ь43 ß.
Из условия у,у е A{234) имеем: у2ь! + У3Ьj + У4Ь! = 0.
Учитывая формул (10) отсюда имеем:
ту4 ту4 ту4
у2 В142 +у3 В143 +у4 В144 = 0 ,
Чи У(Аи У(Аи
или
В14УУ2 + В143У3 + В14УУ4 = 0 (12)
Выясним геометрический смысл этого равенства. Рассмотрим вектор первой кривизны
к14 =А!44'2 = - А^* линии СО циклической сети 1и4 Френе. Найдем векторов
З3к14, ^к14, где d2,dз,d4 - символы дифференцирования вдоль линий С :
( к = -Б4 ' - А4 А4 '
и2к14 = Б 142*1 А14 12*4'
(3к14 = -Кз'1 - А 14 (А21з'з + А413'4 )
(4к14 = - В144е, -А414 (а2,4'З +А414'4 )
Определим вектор 1 координатами:
- = (- '1(2к14' + (- '1(3к14' + (- '1(4к14). Тогда имеем:
1 = В 142*2 + В 143*3 + В 144*4 •
Найдем
-у = в4М2у2 + в4шу3 + в4шу4.
Следовательно, геометрический смысл равенства (12) заключается в том, что векторы 1 и у ортогональны.
Аналогично вышеизложенному рассмотрим линию а, принадлежащую распределению Л(Ш) = (Х, * " ) с касательным вектором а = а1'1 + а3'3 + а4'4. Найдем касательный вектор
а линии а = (а): а = а1Ъ1 + а3Ъ3 + а4Ъ4.
Учитывая формул (10) отсюда имеем: а = а] {ь11е1 + Ь21е2 )+а3 {ь13е1 + Ь23е2 + е3 + Ь43е4 )+а4 (Ь14е1 + Ь24е2 ),
или
а = аЬ1 + а3Ъ1 + а4^1 + (а1Ь/ + а3Ъ^ + а4Ъ)е2 + а3е3 + а4 (а3Ь43 )е где Ъ! - ) — тая координата вектора . Из условия а, а е А(^134) имеем:
а1^ +a3b2 +а4Ь2 = 0.
Учитывая формул (10) отсюда получим:
а1
Г Л 2 Л
Л 11
Л4
+ а3
Л2
Л 13
14 J
Л4
+ а4
Л2
Л14
14 J
Л4
= 0,
14 J
или
л 2 а1+л ] а3 + л ]4а4 = 0. (13)
Верно и обратное, т.е. если имеет место условие (13), то линия а е а (134) является квазидвойной линией пары (/4, .
Выясним геометрический смысл равенства (13). Рассмотрим векторов:
2 2 4 2 2
й1е1 = Лпе2, й3е1 = Л13е2 +Л13е4, й4е1 = Л14е2 +Л14е4 . (15)
Определим вектор ^ с координатами: е = (пРё2 й1е1 )е1 + (пРё2 йзе1 )ез + (пРе2й4е1 )е4,
или
е = Л211е1 + Л213е3 + ЛЛ214ё4,
2 1 2 3
где Лп — первая кривизна линии ° , Л1з — третья кривизна линии О , л24 — вторая кривизна
линии О сети 2 4. Тогда имеем :
е ■а = Л211а1 + Л13а3 + Л14а4, е ■ а = Л211а1 + Л213а3 + Л214а4.
Следовательно, геометрический смысл равенства (13) заключается в том, что векторы ^ и а ортогональны.
Таким образом доказана
Теорема 2. а) Линия у , принадлежащая распределению а 234), является квазидвойной линией пары (/¡4, А(234)) тогда и только тогда, когда имеет место равенство (12);
б) линия а, принадлежащая распределению а ^34) является квазидвойной линией пары
(134) ) тогда и только ТОГД^ когда имеет место (13).
Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/П.К.Рашевский//Москва. Наука. 1967.-С.481-482.
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст] / И.А.Схоутен, Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ. 1948.Т.П-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст] / С.П.Фиников //
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №3/2016 ISSN 2410-6070_
М-Л.: Госттехиздат. 1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст] / В.Т.Базылев // Литовский математический сборник,
1966. VI. №4.- С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст] / Г.Матиева // Монография. Ош, 2003.- С. 212-219.
6. Кузьмин М.К. Сети, определяемые рапределениями в евклидовом пространстве En [Текст] / М.К. Кузмин // Проблемы геометрии. - Москва: ВИНИТИ, 1975.-Т.7.-С.215-229.
7. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст] / В.Т.Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1975.вып.6.- С.19-25.
8. Матиева Г., Папиева Т.М. Геометрия частичного отображения евклидова пространства, порождаемого заданным семейством гладких линий [Текст] / Матиева Г., Папиева Т.М. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып.42 - Бишкек: Илим, 2010. - с. 180- 184.
© Матиева Гулбадан, Борбоева Гулниса, Курбанбаева Нуржамал,2016
УДК 51-77
В.И. Антипов
к.ф.-м.н.
ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН г. Москва, Российская Федерация Н.А. Митин к.ф.-м.н., доцент ИПМ им. М.В. Келдыша РАН г. Москва, Российская Федерация
НОВАЯ МОДЕЛЬ ВОСПРОИЗВОДСТВА ВАЛОВОГО ВНУТРЕННЕГО ПРОДУКТА
Аннотация
В статье рассматриваются новая модель воспроизводства ВВП и некоторые фундаментальные характеристики экономики, использовавшиеся при построении этой модели.
Ключевые слова
Валовой внутренний продукт, модель воспроизводства ВВП, вычислительный эксперимент, бюджетный процесс, налоги, темпы выпуска, производственная функция, инвестиции, доходы, цены.
В работе [1] мы рассматривали различные подходы к расчету ВВП и предложили вариант выхода из этого противоречия. Использование этого варианта позволило по новому взглянуть на характеристики модельного агрегата «Государство», что позволило составить аксиоматику новой версии модели воспроизводства ВВП с использованием характеристик и алгоритмов модели Р1-4 [2, 3] и сохранением базисного года (1995-го). Перечислим её основные (всего около 50) рабочие гипотезы. 1. хг+гмг = 21+1№+УБ1+Ука1+у]ЧК1+ЕХ1+8ТЯ1,
где Xt - выпуск в ценах покупателей;
- промежуточное потребление; ГМг - импорт;
Г№ - инвестиции в основной капитал (ОК);
УБг - конечное потребление «Домашних хозяйств» (КП ДХ);
