CC BY
14
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №02-2/2017 ISSN 2410-700Х_
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 514.75
Чолпон Абдуллаева
канд.ф.-м.н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: [email protected] Гулниса Борбоева канд.ф.-м.н., доцент (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: [email protected]
О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ПРЯМЫХ ОДНОГО ЧАСТИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Е5
Аннотация
В области fl с Е5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку Х Е П проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер ^ = (Х, ej), ( i, j , к = 1,5) в области fl выбран так, чтобы он был репером Френе для линии ш1 заданного семейства. Интегральные линии ш1 векторных полей образуют сеть Френе 2s. На касательной к линии ш5 сети 15 инвариантным образом определяется точка Ft4 Е (X, . Когда точка X смещается в области fl, точка Ft4 описывает свою область flS в Е5. Получается частичное отображение /54: fl ^ fl* такое, что /54(X) = F54.
Найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы прямые
(Х, ej), (Х, e-j ), (Х, ёз ) являлись неподвижными в частичном отображении /4.
Ключевые слова
частичное отображение, репер Френе, циклическая сеть Френе, псевдофокус, двойная линия частичного
отображения.
В области fl евклидова пространства Е5, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку Х Е П проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер ^ = (Х, ej ), (i, _/, к = 1,5) в области fl выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии ш1 заданного семейства. Деривационные формулы репера ^ имеют вид:
dХ = ш dej = wfej. (1)
Формы CÜ, üü* удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
Da1 = ak ла1к, Dak = aj л ak, + aj = 0. (2)
Интегральные линии векторных полей ej образуют сеть Френе 2 s для линии ш1 заданного семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети 2s, формы wf становятся главными, т.е.
= л?у. (3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
Л?у = -Л^, (4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:
D^f = ¿Л*- Л + .
Применяя формул (2) отсюда имеем:
ш/ Лш?= Л ш +Л^Лш(Л ш/.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №02-2/2017 ISSN 2410-700Х В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид: ш/ Л Лугшг = dЛf/ Л - Л^-ш/ Л ш1 или
Лугш/ Л ш1 = d^fj Л Ш - Лц Л ш/ Л ш1. Отсюда найдем:
d. 1 л (О - А^со] л О) - A^coi АО.) = 0
или
(dД* - А\(о) - ) л eoJ =0.
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
dAk - AW. - AW = Ак оГ
V Л J '] 1 Ут
или
<лк.= (лк. + ЛкЛ1- + ЛкЛ1 )ст (5)
у \ гут г1 ут у гт; • V /
Система величин |Л.. , Л..т | образуют геометрический объект второго порядка. Формулы Френе для линии С1 заданного семейства имеют вид:
d1e1 = лп е2,
<1е2 = Л21 е1 ^ Л21 е3 >
<1 ез = Лз 1 е2 + Л31 е4 ,
<1е4 =Л4цез +Л41е5'
<1е5 = Л 51 е4 ,
и л31=-л31г0, л141=-л141= о,л5=-л15= 0 (6)
Л5п = -Л2я= 0, л41 = -л24= 0,л5п = -Л3я= 0. (7)
Здесь к1 = Л\1, к-2 = Л|1; ^з = Л4-^ к4 = Л|г = -Л1-1 - первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии ш1 соответственно (где (11 — символ диф-ференцирования вдоль линии (У1).
Псевдофокус [4] ^ (г Ф ]) касательной к линии сС сети I 5 определяется следующим радиус-вектором:
Р' =Х~— ё =Х + —-г. (8)
г лг Л • )
На каждой касательной (X, е.) существуют по четыре псевдофокуса. На прямой (X, в1) существуют псевдофокусы F/, F¡, Fl, Fji, на прямой (X, в2 )
— F2 , F2 , F2 , F2 , на прямой
(Х,г,) —
^^з ,Рз , на прямой (х,е4) — Fj,F4,F5, на прямой (х,е5) — F15 ,F¡ ,F3 ,F5. Сеть 15 в пс£5 называется циклической сетью Френе [5], если реперы
=(х,¿1,е2,ё?з,е4,^), =(х,е2,еъ,е4,е5,е),^ = (X, ез,е4,е5,е1,е2),
= (X, е4, е5, е1, е2, ез), = (X, е5, е1, е2, ез, е4 ) являются соответственно реперами Френе для линий С, С2, С3, С)4, С сети 15 одновременно.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №02-2/2017 ISSN 2410-700Х Пусть сеть 15 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через И5. Псевдофокус
F5 ^ (X, e5 ) опРеделяется радиус"вектором:
F 5 — X
л
1 - V 1 -~e5 = X + ~ГГ e5
54
л
(9)
44
Когда точка X смещается в области Пс£5, псевдофокус описывает свою область А4 с £5. Определяется частичное отображение /54: А ^ А5 такое, что /54СЮ = К4
К области А5 присоединим подвижной репер = ^5, с? ), где векторы с? имеют следующий вид
[8]:
d,
d.
D
ei +
541
л1,
(Л 454 )
e
л
51 e
4i
54
D
e2 +
542
Л'.
(Л454 )
52
Л
4'
54
, 4
D из
— e + ~7 '
5 5 / . 4
54)
(Л54 )2
e -
л'
55
л
4i 54
— - D4
d4 — e4 + D544
л )2
e -
Л'
Л
54 e ■
4
54
d
e5 +
D
545
л:
(Л54 )
e
Л
55 e
4i
54
Так как Е 5 циклическая сеть Френе, векторы имеют вид:
d,
Л
51
Л
e„ +
D
4 4 54
541 e ■
Л4У5'
Л1
d2 — - ,
2 л 4
52
ei + e2 -
л
52
л
44 54
e+
D
542
(л 44 г'
d3 —
л1
л
53 4
54
л 43- -
—г e4 + e3 +
d
л
54
(л 44)
543. e ■ 4 V 5'
54
(10)
л4 - D
л 54 e . ^ 544 4 +'
4
d, — -
d —-
л Л1
54
Л
55 4
e +
(л54 ) 5' 1 + D » "
(л i, )2 j
Пусть прямая (Х, ё?) неподвижна в частичном отображении /54. Тогда имеем:
Л451=0, О441=0,
где Л1-1 - четвертая кривизна линии со1 циклической сети Френе,
(11)
Ö541 — Л541 + Л5гЛ41 + л44Л51,
геометрический смысл последнего заключается в следующем: ^541 = ' >
где Л54- проекция вектора Л54 вынужденной кривизны поля вектора ёЗ?" вдоль направления ё? на
4
4
e
5
4
4
4
e
1
4
4
4
e
5
54
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №02-2/2017 ISSN 2410-700Х
прямой (X, ё^Г). Обратно, если имеют места равенства (11), то прямая (X, ёТ) неподвижна в частичном отображении /54.
Пусть прямая (X, ё-Т) неподвижна в частичном отображении /54. Тогда получим:
ЛЬ = 0, A452 = 0,D5442 = 0, (12)
где Л5--четвертая кривизна, Л4--- третья кривизна линии циклической сети Френе, D|42 = ¡ц • ^'54. Верно и обратное, т.е. если имеют места равенства (12), то прямая (X, iF-T) неподвижна в частичном отображении /54.
Из условия неподвижности прямой (X, ё3?) в частичном отображении /54 имеем:
Л5з = 0, Л43 = 0,Я443 = 0, (13)
где Л53- тертья кривизна, Л53- вторая кривизна линии <^3 циклической сети Френе, D543 = ё^ • ^3Л'54 . Верно и обратное. Таким образом доказана следующая теорема.
Теорема. Прямые (X, ё^), (X, ё-Т), (X, ё^) неподвижны в частичном отображении /54 тогда и только тогда, когда выполнены условия (11), (12), (13) соответственно. Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский //Москва. Наука.1967.-С.481-482.
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен, Д.Дж.Стройк. //Москва. ИЯ.1948.Т.П-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник, 1966. VI.№4. -С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош, 2003.-С.212-219.
6. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур,1975.вып.6.-С.19-25.
7. Матиева Г. Абдуллаева Ч.Х. Необходимое и достаточное условия вырожденности одного частичного отображения пространства Е5 [Текст]/ Ч.Х. Абдуллаева //Научное периодическое издание «IN SITU». ISSN 2411-7161, № 6/2016.-С.5-9.
8. Абдуллаева Ч.Х. О двойных линиях частичного отображения /54 в евклидовом пространстве Е5 [Текст]/
Ч.Х. Абдуллаева // Информация как двигатель научного прогресса. Международная научно-практическая конференция. МЦИИ «ОМЕГА САЙНС».- Челябинск,2016.-С.3-7.
© Абдуллаева Ч.Х., Борбоева Г.М., 2017
УДК 536.63
О. С. Аверьянова
ст. гр. ПИ-141 ОмГТУ г. Омск, РФ E-mail: [email protected]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗНЫХ ВИДОВ ТОПЛИВА ДЛЯ ОТОПЛЕНИЯ ЖИЛЫХ ПОМЕЩЕНИЙ
Аннотация
В данной статье представлено исследование, суть которого в определении самого выгодного вида
