О частичном отображении 4-мерного евклидова пространства, порождаемом заданной сетью гладких линий Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 514

Матиева Гулбадан

доктор ф.-м.н., профессор ОшГУ г. Ош, Кыргызстан e-mail: [email protected] Артыкова Жылдыз Абдисаламовна к.ф.-м.н., доцент ОшГУ г. Ош, Кыргызстан e-mail: [email protected]

О ЧАСТИЧНОМ ОТОБРАЖЕНИИ 4-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА, ПОРОЖДАЕМОМ ЗАДАННОЙ СЕТЬЮ ГЛАДКИХ ЛИНИЙ

Аннотация

В области Q евклидова пространства Е4 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку JgD проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер 9? = (X,£ ) (/, /,к = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии

заданного семейства. Интегральные линии векторных полей определяют сеть Френе. На касательной к .4

линии т сети Френе определяется точка F4 €Е (X, С4 ) . Когда точка X смешается в области Q , точка

f (X ) = F описывает свою область Q4 С Е4. Получим частичное отображение f : Q —— Q4 такое, что f (X ) = F4 .

Найдены необходимое и достаточное условия вырожденности частичного отображения

f : Q — Q . В случае, когда сеть Френе является циклической сетью Френе, доказано, что все

трехмерные и двумерные распределения, определяемые касательными к линиям этой сети, не могут быть минимальными распределениями. Также найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы

линии т , т , т циклической сети Френе X4 являлись двойными линиями частичного отображения f34: Q — Q34.

Ключевые слова

Репер Френе. Псевдофокус. Циклическая сеть Френе. Вектор средней кривизны. Двойные линии

отображения. Распределение.

В области Q евклидова пространства Е4 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X £ Q проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер 91 = (Х,£ ) (i,J,k = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе [1, С. 481-482],

[2, с. 348] для линии СО заданного семейства. Деривационные формулы репера 91 имеют вид:

dX = co'ei, dei = щек.

_ i к

Формы О , О1 удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:

Dm1 = тк лт1к, Dmk = т- л <тк, т- +rnlj = 0.

(1)

(2)

10

международный научный журнал «символ науки»

№8/2015

ISSN 2410-700Х

Интегральные линии векторных полей 6^ образуют сеть Френе X 4 для линии О1 заданного семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети X4, формы of становятся

главными, т.е.

О = Aij° .

В силу последнего равенства формулы (2) имеем:

A = -Л,.

У

Дифференцируя внешним образом равенство (3):

к 1 лк

Dok = dAk. л О + AkDO .

1 J J

Применяя формул (2) отсюда имеем:

COJ A CQk = dAk A CO1 + Ak A CO1 A G)l .

1 J U V

В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:

лк 7 лк

со; А Ак( со = яЦ* AfflJ - A^.COf л со

или

Отсюда найдем:

А](оо] /\со1 = dAк л со1 — А. а о/ а й/

УЖ А со] - А. со A coJ - AkcoJ л со* =0

U 11 J J1- 1

или

(d4‘ - 4*®; - 4‘®;) л в/ = о.

Применяя лемму Картана [3, с. 432] отсюда имеем:

dA.-AtA:-Am:=A.con

ij d J У i ijm

или

dA. = Bk com,

J ym ’

где A = Ж + ЖЖ + A-A .

^ ijm ijm if. jm r.j im

Система величин A, a} образуют геометрический объект второго порядка. Формулы Френе для линии СО1 заданного семейства имеют вид:

dj6j — А1}е2,

~ Ai^i А 1^3 >

dj€3 — А31е2 + А31е4,

d,e4 = А41е3

(3)

(4)

(5)

Ah =-A31 = 0, An =-A41 = 0.

A

21

A = 0.

(6)

(7)

Здесь k = An, k2 = A21, k3 = A31 - первая, вторая и третья кривизны линии СО соответственно

(где di - символ дифференцирования вдоль линии О1).

и

11

международный научный журнал «символ науки»

№8/2015

ISSN 2410-700Х

Псевдофокус [4, С. 475-491] Fj4 (i Ф J) касательной к линии О)' сети £4 определяется следующим радиус-вектором:

(8)

На каждой касательной (X, ej) существуют по три псевдофокуса. На прямой (X, ej ) существуют псевдофокусы Fj2, Fj, Ff, на прямой (х,е) - fJf2F , на прямой (X, e ) - Fj, Fj, Fj , на прямой (X,e4 ) - Ff ,F} ,f4 .

Сеть X4 в Qc E4 называется циклической сетью Френе [5, С. 212-219], если реперы

= (X,e1,e2,e3,e4 ), ^ =(X,e2,e3,e4,ej), Ш3 =(X,e3,e4,ej,e2 ),

9^4 =( X,e4,ej,e2,ej) являются соответственно реперами Френе для линий О)1, О)2, О)3, О)4 сети X 4 одновременно.

Пусть сеть Х4 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через Х4 • Рассмотрим псевдофокус F3 €Е ( Х, С4 ), определяемый радиус-вектором

(9)

Когда точка Х смещается в области Q, точка р;*(х,е4) описывает свою область Q4 c E4.

Получим частичное отображение f : Q —— Q^ такое, что f (X ) = F.

Продифференцируя обычным образом равенство (9) получим:

dF3 = dX - d

Г 1 '

л3

\X3 у

Учитывая (9) отсюда имеем:

dFA3 = ode, +

dA

43

(4 )2 4 л

В силу равенств (3), (4) последнее равенство имеет вид:

з-^А-

43

- А3 тт

dF3 = а'ё + ""

(л 43)

Лк -.т

_ , СО _

р __ 4т р

2^4 К 3 Ck

л

+

А А

р I 432 _££L?

2 ^1.,, \2 4 А 3 Ск

(л 43)

л

43

43

со2 +

е1 +

А

431

Л

(л 43)

2 4

л

41

3 k

А А

е + 433 ё --АФё

3 \2 4 \ 3 к

(л 43 У

л

43

43

(О3 +

О)1 +

+

е4 +

А

434

Л

44

X)

2 4 л3 к

1 V43

со4,

где B

3 - л3 + a3„aL + ALaL , dAi = В3 О)".

43т 43т 4i Зт i3 4т 5 43

Введем обозначения:

43m

12

международный научный журнал «символ науки»

№8/2015

ISSN 2410-700Х

с, =е,+

с3 = е, +

sy -у

А3

^431

К

К )’ 4 Л ^3

е,--

41

3 k

ви

с.

е2 +

А

3

432

Л

(л:,)2 л«

42

е,

3 к

А

433

А

(Кз )

2 ^4

43

Л

е,/,

3 к 43

с4=е4 +

А

434

Л'

(Л33 )

2 ^4

44

Л

е,.

3 к 43

Тогда получим:

dF3 = со1с1 + <в2с2 + оУс3 + со4с4 .

Область п34 отнесем к подвижному реперу з = (F ’С1’С2’С3,С4^

Так как сеть является циклической сетью Френе, координатные векторы репера SA' имеют вид:

Л'

с1=е1

Л

41

3 3

е, + ■

а:

43

(Л33 У’ 4

с=-

А[

Ак

А:

—-ё +

Ks 1 {К)

Л

А[,

fti+F

л!

Л

33

е, + ■

а:

А3)’ 4

е-

4 4

^4 к 3 ~1

Л3

е, +

г А3 Л 1+ А

V

(Л33)’

(10)

Эти векторы в общем случае линейно независимы, следовательно, частичное отображение f : С1 —> С14 является невырожденным.

Потребуя линейной зависимости векторов С получим:

К, {л1^, -Л43

(Л33 )4+B434 ]}=о

(11)

где

B433 e3d3k13 , B434 e4d4k13 ,

(12)

k,-, = Aj364- вектор первой кривизны линии О)3 сети А4. к3 — А'43 — — А4 - вторая кривизна

43

линии

о3, к4 =Л* = -Л4 -

’ 1

44

14

первая кривизна линии

4 ’ 2

о4, к, =Л433 = -Л343 -

43

первая кривизна линии

О)3 сети Е,.

Из (11) имеем: а) Л3 = 0 или

\л331 )’+B

3

434

(13)

б) Л44В’4„ = Л43

Справедлива

Теорема 1. Частичное отображение f: ^ —— ^4 является вырожденным тогда и только тогда, когда выполнены одно из условий а), б).

Геометрический смысл условий а), б) заключается в следующем, соответственно:

a) d е =0 (т.е. Л41 =0,где Л41 третья кривизна линии О) сети Х4);

б) к’

(К У - ] = К («4Аз).

Рассмотрим двумерные распределения А.. = (X, et, e .) (i, j = 1,2,3,4, i Ф j), определяем

касательными векторами e{, e. к линиям О, О1 циклической сети Френе и найдем их векторы средних

” j

43

43

С

3

13

международный научный журнал «символ науки»

№8/2015 ISSN 2410-700Х

кривизны [6, С. 215-229]. Через Му обозначим вектор средней кривизны двумерного распределения А у . Тогда имеем:

M12 - 2 [(Л11 + Л22 )e3 + (Л11 + Л22 )в4 ] .

Так как сеть является циклической сетью Френе, отсюда получим:

M12 — 2 Л22в3 ,

где л322 - первая кривизна линии (О циклической сети Френе X4 . Аналогичным образом найдем:

M13 — ,., (Л11в2 + Л33в4) ; M14 — ,., Л11в2 ; M23 — 2 Л33в4 ; M24 — 2 (Л22 в3 + Л44^1) ;

2

M34 — ^ Л44e1 .

Отсюда очевидно, что

2

M13 M14 + M23 ; M24 M12 + M34 .

2 4 1 13 4

Так как Л11, Л33, Л44 - первые кривизны линий О , О , О (соответсвенно) циклической сети

Френе X4, то векторы М2, Ыхъ, MX4, Ы2Ъ, M24, ЫЪ4 не могут быть нулевыми векторами, т.е. двумерные распределения.

А12, А13, А14, А23, А24, А34не могут быть минимальными [6, С. 215-229].

Рассмотрим трехмерные распределения Аук — (X, 6t, ву, ek ), определяемые касательными

векторами в., в , в, к линиям О, О, оО сети X4 и найдем их вектора средних кривизн:

M123 о Л33в4 ’ M124 о Л22в3 ’ M234 ~ Л44в1 ’ ’ M134 ~ Л11в2 .

. ^ ^ ^ ^ к JAirimrixuvi 1Д.У ^ iv iv win .^^4

3 — '2’ 3 - 234 3 Л4.............. 3

Эти вектора тоже не могут быть нулевыми векторами, т.к. сеть X4 - циклическая сеть Френе. Следовательно, трехмерные распределения Ау, ( i < j < к) не могут быть минимальными.

Таким образом доказана

Теорема 2. а) Если сеть Френе является циклической сетью Френе, то все трехмерные и двумерные распределения, определяемые касательными к линиям этой сети, не могут быть минимальными распределениями.

б) Между векторами средних кривизн двумерных и трехмерных распределении существуют связи следующего вида:

2M13 — 3(M123 + M134); 2M24 — 3(M124 + M234) .

2M14 — 3M134 ; 2M34 — 3M234 ’ 2M23 — 3M123 .

Линии (О, f4 (О) — О называются двойными линиями отображения /4, если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и /4 (X) пересекаются, либо параллельны [7. С. 19-25].

^ ^ 3 ^ ___^3 1 Л1

Рассмотрим векторы в4, С4 — /4 (в4 ) , XF4 — — е4, где С4 — -у1 в1 +

Л3

34 43

'4 Л3

( пЗ Л

1 ^ -°434

43

V

(Л343)2 У

е4. Отсюда

видно, что эти векторы компланарны, т.е. в4, С4, XF4 £ (X, в1, в4) . Следовательно, линия О сети

14

международный научный журнал «символ науки»

№8/2015

ISSN 2410-700Х

X4 всегда является двойной линией отображении /4 . Аналогично, рассмотрим векторы

e3,c3 = /4 (e3), XF4,где С3

Л1

43

3

Из условия *3

e л

B

433

Л343 1 (Л343)2 4

e.

компланарности

этих

векторов

получим

Л143 = 0:

т.е.

вторая кривизна линии CD. сети

e3, c3, XF4 е(X,e3,e4)^Л43 = 0, где Л143

X4 . Линия сети X4 является двойной линией отображения /,3 тогда и только тогда, когда = 0.

Из условия компланарности вектора ^, С2, XF4 получим:

Л* = 0, Л2,, = 0.

(14)

Следовательно, линия D2 сети X4 является двойной линией отображения /4 тогда и только тогда, когда выполнены условия (14), геометрический смысл которых заключается в следующем:

d^14 = Л42^1 + Л42^3 = 0 .

1

Л3

Рассмотрим векторы: e1, С1 = / (e1), XF4 = —e4, где C1 = e1 —-3-1 e3 Л

43

B

431

Л3

Л3

3 ^3

43

e.

(Л343 )2 4

el, C1, XF4 е (X, ^, e4) Л41 = 0 .

Следовательно, линия dD сети X4 является двойной линией частичного отображения /3 тогда и

3

3

только тогда, когда Л341 = -Л31 = 0, где Л^ - третья кривизна линии (D сети X4 .

Из вышеизложенного следует

Теорема 3. Линии D , D , D сети X4 являются двойными линиями частичного отображения /34: Q^Q34 тогда и только тогда, когда выполнены условия 1), 2), 3), соответственно:

1) Л341 = 0; 2) Л142 = 0; Л342 = 0; 3) Л43 = 0 (15)

Из (13) и (15) получим:

Следствие. Если линия (D сети X4 является двойной линией частичного отображения /4 (т.е. Л341 = 0 ), то это отображение становится вырожденным.

Рассмотрим случай когда линия (D сети X4 не является двойной линией отображения /4 и оно является вырожденным. Тогда из условия (11) имеем:

Л‘44B4333 “ Л43[(Л343)2 + B433,] = 0. (16)

В этом случае, если линия gD сети X4 является двойной линией отображения /4 (т.е. Л43 = 0), то

из (16) получим: Л44В433 = 0, где Л44 Ф 0. Следовательно имеем: B433 = 0 геометрический смысл которого заключается в следующем:

e3d3k13 = 0. (17)

Список использованной литературы:

1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст] / П.К. Рашевский // Москва, Наука, 1967. - С. 481-482.

15

_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х_________________

2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст] / И.А. Схоутен, Д.Дж. Стройк // Москва: ИЛ, 1948. Т.П. - 348 с.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст] / С.П. Фиников // М.-Л.: Госттехиздат, 1948. - 432 с.

4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст] / В.Т. Базылев // Литовский математический сборник, 1966.VI. - №4. - С. 475-491.

5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст] / Г. Матиева // Монография. - Ош, 2003. - С. 212-219.

6. Кузьмин М.К. Сети, определяемые распределениями в евклидовом пространстве En [Текст] / М.К. Кузьмин // Проблемы геометрии. - Москва: ВИНИТИ, 1975. - Т.7. - С. 215-229.

7. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст] / В.Т. Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1975.вып.6. - С. 19-25.

© Г. Матиева, Ж.А. Артыкова, 2015

16

_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х______

БИОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 58.02 + 58.04+ 581.6

Зайцева Наталья Владимировна

к.с.-х.н., заведующая лабораторией прикладной ботаники экологии

Технический институт (филиал) Северо-Восточного федерального университета в г. Нерюнгри, Россия

nz_demetra@mail .rn Григорьева Анастасия Александровна стажер ЛПБиЭ ТИ(ф) СВФУ в г. Нерюнгри

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКСТРАКТОВ КЛЕВЕРА ЛУГОВОГО В КАЧЕСТВЕ ПРЕПАРАТОВ

АНТИСТРЕССОВОГО ДЕЙСТВИЯ

Аннотация

В статье приведены результаты применения экстрактов клевера лугового Trifolium pratense L. в качестве препарата, снимающего состояние стресса у растений. Препараты из растений клевера готовили методом потенцирования и динамизации, практикуемых при приготовлении гомеопатических средств. Способ применения препаратов - замачивание семян в течение 24 часов. Тест-объекты - семена проростки огурцов.

Применение экстрактов клевера лугового, в опыте, моделирующем стрессогенные условия (засоление, пониженные температуры, УФ облучение), показывает, что препараты этого растения в гомеопатических разведениях способны оказывать на молодые растения не только антистрессовый эффект, но и ростстимулирующее действие. Это позволяет рекомендовать экстракты клевера лугового в качестве антистрессовых препаратов для повышения устойчивости культурных растений к погодным условиям регионов с неблагоприятными климатическими условиями. В качестве действующей можно считать 5-ю потенцию 10% экстракта (D5).

Ключевые слова

биологически активные вещества, экстракты, клевер луговой, стрессогенные условия, засоление, ультрафиолетовое облучение, всхожесть семян, рост и размеры проростков

Применение биологически активных веществ (БАВ) природного происхождения является важным резервом повышения устойчивости культурных растений к неблагоприятным условиям произрастания. Существует целый ряд коммерческих препаратов - регуляторов роста растений, снимающих состояние стресса у культурных растений (наиболее известные: «Эпин», «Циркон», гуматы, препараты на основе арахидоновой кислоты и др.). Мы предлагаем использовать в качестве источника БАВ экстракты клевера лугового (лат.: Trifolium pratense L.), произрастающего в Южной Якутии в луговых сообществах.

Растения клевера лугового имеют богатый химический состав, что обусловливает его широкое применение в народной медицине, косметологии, гомеопатии. В стеблях и листьях этого растения содержатся [1-4]: эфирное и жирное масла, дубильные вещества, гликозиды трифолин и изотрифолин, органические кислоты (n-кумаровая, салициловая, кетоглутаровая), ситостеролы, изофлавоны, смолы, витамины (аскорбиновая кислота, рутин, тиамин, рибофлавин, фолиевая кислота, каротин, токоферол), белок, жиры, свободные аминокислоты, клетчатка, безазотистые экстрактивные вещества, соли кальция и фосфора. В цветках найдены флавоны и флавонолы (кемпферол, кверцетин, пратолетин, изорамнетин и др.), флавоноиды (гиперозид, гомопизатин, изокверцитрин, лютеолин, маакиаин и др.), изофлавоны (генистеин, формононетин и др.), бензойный альдегид, кумарин, формонетин, октакозанол, триакантанол, лотаустралин, линамарин, пинен, пинитол, куместрол, мелиссовая кислота, гесперидин, дафноретин, гистамин, трифолиол, гераниол, бикумол, ситостерол, медикагол, умбеллиферон, аденин, ксантин и гипоксантин, линалоол, тритерпеновые сапонины, фенолы (гвайакол, генол).

Цель данного исследования - изучить возможность применения экстрактов клевера лугового Trifolium pratense L. в качестве средства, снимающего состояние стресса у растений, повышающего их

17