CC BY
38
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 514
Матиева Гулбадан
доктор ф.-м.н., профессор ОшГУ г. Ош, Кыргызстан e-mail: gulbadan_57@mail.ru Артыкова Жылдыз Абдисаламовна к.ф.-м.н., доцент ОшГУ г. Ош, Кыргызстан e-mail: artyk_jyldyz@rambler.ru
О ЧАСТИЧНОМ ОТОБРАЖЕНИИ 4-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА, ПОРОЖДАЕМОМ ЗАДАННОЙ СЕТЬЮ ГЛАДКИХ ЛИНИЙ
Аннотация
В области Q евклидова пространства Е4 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку JgD проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер 9? = (X,£ ) (/, /,к = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии
заданного семейства. Интегральные линии векторных полей определяют сеть Френе. На касательной к .4
линии т сети Френе определяется точка F4 €Е (X, С4 ) . Когда точка X смешается в области Q , точка
f (X ) = F описывает свою область Q4 С Е4. Получим частичное отображение f : Q —— Q4 такое, что f (X ) = F4 .
Найдены необходимое и достаточное условия вырожденности частичного отображения
f : Q — Q . В случае, когда сеть Френе является циклической сетью Френе, доказано, что все
трехмерные и двумерные распределения, определяемые касательными к линиям этой сети, не могут быть минимальными распределениями. Также найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы
линии т , т , т циклической сети Френе X4 являлись двойными линиями частичного отображения f34: Q — Q34.
Ключевые слова
Репер Френе. Псевдофокус. Циклическая сеть Френе. Вектор средней кривизны. Двойные линии
отображения. Распределение.
В области Q евклидова пространства Е4 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X £ Q проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер 91 = (Х,£ ) (i,J,k = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе [1, С. 481-482],
[2, с. 348] для линии СО заданного семейства. Деривационные формулы репера 91 имеют вид:
dX = co'ei, dei = щек.
_ i к
Формы О , О1 удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
Dm1 = тк лт1к, Dmk = т- л <тк, т- +rnlj = 0.
(1)
(2)
10
международный научный журнал «символ науки»
№8/2015
ISSN 2410-700Х
Интегральные линии векторных полей 6^ образуют сеть Френе X 4 для линии О1 заданного семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети X4, формы of становятся
главными, т.е.
О = Aij° .
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
A = -Л,.
У
Дифференцируя внешним образом равенство (3):
к 1 лк
Dok = dAk. л О + AkDO .
1 J J
Применяя формул (2) отсюда имеем:
COJ A CQk = dAk A CO1 + Ak A CO1 A G)l .
1 J U V
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
лк 7 лк
со; А Ак( со = яЦ* AfflJ - A^.COf л со
или
Отсюда найдем:
А](оо] /\со1 = dAк л со1 — А. а о/ а й/
УЖ А со] - А. со A coJ - AkcoJ л со* =0
U 11 J J1- 1
или
(d4‘ - 4*®; - 4‘®;) л в/ = о.
Применяя лемму Картана [3, с. 432] отсюда имеем:
dA.-AtA:-Am:=A.con
ij d J У i ijm
или
dA. = Bk com,
J ym ’
где A = Ж + ЖЖ + A-A .
^ ijm ijm if. jm r.j im
Система величин A, a} образуют геометрический объект второго порядка. Формулы Френе для линии СО1 заданного семейства имеют вид:
dj6j — А1}е2,
~ Ai^i А 1^3 >
dj€3 — А31е2 + А31е4,
d,e4 = А41е3
(3)
(4)
(5)
Ah =-A31 = 0, An =-A41 = 0.
A
21
A = 0.
(6)
(7)
Здесь k = An, k2 = A21, k3 = A31 - первая, вторая и третья кривизны линии СО соответственно
(где di - символ дифференцирования вдоль линии О1).
и
11
международный научный журнал «символ науки»
№8/2015
ISSN 2410-700Х
Псевдофокус [4, С. 475-491] Fj4 (i Ф J) касательной к линии О)' сети £4 определяется следующим радиус-вектором:
(8)
На каждой касательной (X, ej) существуют по три псевдофокуса. На прямой (X, ej ) существуют псевдофокусы Fj2, Fj, Ff, на прямой (х,е) - fJf2F , на прямой (X, e ) - Fj, Fj, Fj , на прямой (X,e4 ) - Ff ,F} ,f4 .
Сеть X4 в Qc E4 называется циклической сетью Френе [5, С. 212-219], если реперы
= (X,e1,e2,e3,e4 ), ^ =(X,e2,e3,e4,ej), Ш3 =(X,e3,e4,ej,e2 ),
9^4 =( X,e4,ej,e2,ej) являются соответственно реперами Френе для линий О)1, О)2, О)3, О)4 сети X 4 одновременно.
Пусть сеть Х4 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через Х4 • Рассмотрим псевдофокус F3 €Е ( Х, С4 ), определяемый радиус-вектором
(9)
Когда точка Х смещается в области Q, точка р;*(х,е4) описывает свою область Q4 c E4.
Получим частичное отображение f : Q —— Q^ такое, что f (X ) = F.
Продифференцируя обычным образом равенство (9) получим:
dF3 = dX - d
Г 1 '
л3
\X3 у
Учитывая (9) отсюда имеем:
dFA3 = ode, +
dA
43
(4 )2 4 л
В силу равенств (3), (4) последнее равенство имеет вид:
з-^А-
43
- А3 тт
dF3 = а'ё + ""
(л 43)
Лк -.т
_ , СО _
р __ 4т р
2^4 К 3 Ck
л
+
А А
р I 432 _££L?
2 ^1.,, \2 4 А 3 Ск
(л 43)
л
43
43
со2 +
е1 +
А
431
Л
(л 43)
2 4
л
41
3 k
А А
е + 433 ё --АФё
3 \2 4 \ 3 к
(л 43 У
л
43
43
(О3 +
О)1 +
+
е4 +
А
434
Л
44
X)
2 4 л3 к
1 V43
со4,
где B
3 - л3 + a3„aL + ALaL , dAi = В3 О)".
43т 43т 4i Зт i3 4т 5 43
Введем обозначения:
43m
12
международный научный журнал «символ науки»
№8/2015
ISSN 2410-700Х
с, =е,+
с3 = е, +
sy -у
А3
^431
К
К )’ 4 Л ^3
е,--
41
3 k
ви
с.
е2 +
А
3
432
Л
(л:,)2 л«
42
е,
3 к
А
433
А
(Кз )
2 ^4
43
Л
е,/,
3 к 43
с4=е4 +
А
434
Л'
(Л33 )
2 ^4
44
Л
е,.
3 к 43
Тогда получим:
dF3 = со1с1 + <в2с2 + оУс3 + со4с4 .
Область п34 отнесем к подвижному реперу з = (F ’С1’С2’С3,С4^
Так как сеть является циклической сетью Френе, координатные векторы репера SA' имеют вид:
Л'
с1=е1
Л
41
3 3
е, + ■
а:
43
(Л33 У’ 4
с=-
А[
Ак
А:
—-ё +
Ks 1 {К)
Л
А[,
fti+F
л!
Л
33
е, + ■
а:
А3)’ 4
е-
4 4
^4 к 3 ~1
Л3
е, +
г А3 Л 1+ А
V
(Л33)’
(10)
Эти векторы в общем случае линейно независимы, следовательно, частичное отображение f : С1 —> С14 является невырожденным.
Потребуя линейной зависимости векторов С получим:
К, {л1^, -Л43
(Л33 )4+B434 ]}=о
(11)
где
B433 e3d3k13 , B434 e4d4k13 ,
(12)
k,-, = Aj364- вектор первой кривизны линии О)3 сети А4. к3 — А'43 — — А4 - вторая кривизна
43
линии
о3, к4 =Л* = -Л4 -
’ 1
44
14
первая кривизна линии
4 ’ 2
о4, к, =Л433 = -Л343 -
43
первая кривизна линии
О)3 сети Е,.
Из (11) имеем: а) Л3 = 0 или
\л331 )’+B
3
434
(13)
б) Л44В’4„ = Л43
Справедлива
Теорема 1. Частичное отображение f: ^ —— ^4 является вырожденным тогда и только тогда, когда выполнены одно из условий а), б).
Геометрический смысл условий а), б) заключается в следующем, соответственно:
a) d е =0 (т.е. Л41 =0,где Л41 третья кривизна линии О) сети Х4);
б) к’
(К У - ] = К («4Аз).
Рассмотрим двумерные распределения А.. = (X, et, e .) (i, j = 1,2,3,4, i Ф j), определяем
касательными векторами e{, e. к линиям О, О1 циклической сети Френе и найдем их векторы средних
” j
43
43
С
3
13
международный научный журнал «символ науки»
№8/2015 ISSN 2410-700Х
кривизны [6, С. 215-229]. Через Му обозначим вектор средней кривизны двумерного распределения А у . Тогда имеем:
M12 - 2 [(Л11 + Л22 )e3 + (Л11 + Л22 )в4 ] .
Так как сеть является циклической сетью Френе, отсюда получим:
M12 — 2 Л22в3 ,
где л322 - первая кривизна линии (О циклической сети Френе X4 . Аналогичным образом найдем:
M13 — ,., (Л11в2 + Л33в4) ; M14 — ,., Л11в2 ; M23 — 2 Л33в4 ; M24 — 2 (Л22 в3 + Л44^1) ;
2
M34 — ^ Л44e1 .
Отсюда очевидно, что
2
M13 M14 + M23 ; M24 M12 + M34 .
2 4 1 13 4
Так как Л11, Л33, Л44 - первые кривизны линий О , О , О (соответсвенно) циклической сети
Френе X4, то векторы М2, Ыхъ, MX4, Ы2Ъ, M24, ЫЪ4 не могут быть нулевыми векторами, т.е. двумерные распределения.
А12, А13, А14, А23, А24, А34не могут быть минимальными [6, С. 215-229].
Рассмотрим трехмерные распределения Аук — (X, 6t, ву, ek ), определяемые касательными
векторами в., в , в, к линиям О, О, оО сети X4 и найдем их вектора средних кривизн:
M123 о Л33в4 ’ M124 о Л22в3 ’ M234 ~ Л44в1 ’ ’ M134 ~ Л11в2 .
. ^ ^ ^ ^ к JAirimrixuvi 1Д.У ^ iv iv win .^^4
3 — '2’ 3 - 234 3 Л4.............. 3
Эти вектора тоже не могут быть нулевыми векторами, т.к. сеть X4 - циклическая сеть Френе. Следовательно, трехмерные распределения Ау, ( i < j < к) не могут быть минимальными.
Таким образом доказана
Теорема 2. а) Если сеть Френе является циклической сетью Френе, то все трехмерные и двумерные распределения, определяемые касательными к линиям этой сети, не могут быть минимальными распределениями.
б) Между векторами средних кривизн двумерных и трехмерных распределении существуют связи следующего вида:
2M13 — 3(M123 + M134); 2M24 — 3(M124 + M234) .
2M14 — 3M134 ; 2M34 — 3M234 ’ 2M23 — 3M123 .
Линии (О, f4 (О) — О называются двойными линиями отображения /4, если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и /4 (X) пересекаются, либо параллельны [7. С. 19-25].
^ ^ 3 ^ ___^3 1 Л1
Рассмотрим векторы в4, С4 — /4 (в4 ) , XF4 — — е4, где С4 — -у1 в1 +
Л3
34 43
'4 Л3
( пЗ Л
1 ^ -°434
43
V
(Л343)2 У
е4. Отсюда
видно, что эти векторы компланарны, т.е. в4, С4, XF4 £ (X, в1, в4) . Следовательно, линия О сети
14
международный научный журнал «символ науки»
№8/2015
ISSN 2410-700Х
X4 всегда является двойной линией отображении /4 . Аналогично, рассмотрим векторы
e3,c3 = /4 (e3), XF4,где С3
Л1
43
3
Из условия *3
e л
B
433
Л343 1 (Л343)2 4
e.
компланарности
этих
векторов
получим
Л143 = 0:
т.е.
вторая кривизна линии CD. сети
e3, c3, XF4 е(X,e3,e4)^Л43 = 0, где Л143
X4 . Линия сети X4 является двойной линией отображения /,3 тогда и только тогда, когда = 0.
Из условия компланарности вектора ^, С2, XF4 получим:
Л* = 0, Л2,, = 0.
(14)
Следовательно, линия D2 сети X4 является двойной линией отображения /4 тогда и только тогда, когда выполнены условия (14), геометрический смысл которых заключается в следующем:
d^14 = Л42^1 + Л42^3 = 0 .
1
Л3
Рассмотрим векторы: e1, С1 = / (e1), XF4 = —e4, где C1 = e1 —-3-1 e3 Л
43
B
431
Л3
Л3
3 ^3
43
e.
(Л343 )2 4
el, C1, XF4 е (X, ^, e4) Л41 = 0 .
Следовательно, линия dD сети X4 является двойной линией частичного отображения /3 тогда и
3
3
только тогда, когда Л341 = -Л31 = 0, где Л^ - третья кривизна линии (D сети X4 .
Из вышеизложенного следует
Теорема 3. Линии D , D , D сети X4 являются двойными линиями частичного отображения /34: Q^Q34 тогда и только тогда, когда выполнены условия 1), 2), 3), соответственно:
1) Л341 = 0; 2) Л142 = 0; Л342 = 0; 3) Л43 = 0 (15)
Из (13) и (15) получим:
Следствие. Если линия (D сети X4 является двойной линией частичного отображения /4 (т.е. Л341 = 0 ), то это отображение становится вырожденным.
Рассмотрим случай когда линия (D сети X4 не является двойной линией отображения /4 и оно является вырожденным. Тогда из условия (11) имеем:
Л‘44B4333 “ Л43[(Л343)2 + B433,] = 0. (16)
В этом случае, если линия gD сети X4 является двойной линией отображения /4 (т.е. Л43 = 0), то
из (16) получим: Л44В433 = 0, где Л44 Ф 0. Следовательно имеем: B433 = 0 геометрический смысл которого заключается в следующем:
e3d3k13 = 0. (17)
Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст] / П.К. Рашевский // Москва, Наука, 1967. - С. 481-482.
15
_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х_________________
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст] / И.А. Схоутен, Д.Дж. Стройк // Москва: ИЛ, 1948. Т.П. - 348 с.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст] / С.П. Фиников // М.-Л.: Госттехиздат, 1948. - 432 с.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст] / В.Т. Базылев // Литовский математический сборник, 1966.VI. - №4. - С. 475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст] / Г. Матиева // Монография. - Ош, 2003. - С. 212-219.
6. Кузьмин М.К. Сети, определяемые распределениями в евклидовом пространстве En [Текст] / М.К. Кузьмин // Проблемы геометрии. - Москва: ВИНИТИ, 1975. - Т.7. - С. 215-229.
7. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст] / В.Т. Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1975.вып.6. - С. 19-25.
© Г. Матиева, Ж.А. Артыкова, 2015
16
_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х______
БИОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 58.02 + 58.04+ 581.6
Зайцева Наталья Владимировна
к.с.-х.н., заведующая лабораторией прикладной ботаники экологии
Технический институт (филиал) Северо-Восточного федерального университета в г. Нерюнгри, Россия
nz_demetra@mail .rn Григорьева Анастасия Александровна стажер ЛПБиЭ ТИ(ф) СВФУ в г. Нерюнгри
ПРИМЕНЕНИЕ ЭКСТРАКТОВ КЛЕВЕРА ЛУГОВОГО В КАЧЕСТВЕ ПРЕПАРАТОВ
АНТИСТРЕССОВОГО ДЕЙСТВИЯ
Аннотация
В статье приведены результаты применения экстрактов клевера лугового Trifolium pratense L. в качестве препарата, снимающего состояние стресса у растений. Препараты из растений клевера готовили методом потенцирования и динамизации, практикуемых при приготовлении гомеопатических средств. Способ применения препаратов - замачивание семян в течение 24 часов. Тест-объекты - семена проростки огурцов.
Применение экстрактов клевера лугового, в опыте, моделирующем стрессогенные условия (засоление, пониженные температуры, УФ облучение), показывает, что препараты этого растения в гомеопатических разведениях способны оказывать на молодые растения не только антистрессовый эффект, но и ростстимулирующее действие. Это позволяет рекомендовать экстракты клевера лугового в качестве антистрессовых препаратов для повышения устойчивости культурных растений к погодным условиям регионов с неблагоприятными климатическими условиями. В качестве действующей можно считать 5-ю потенцию 10% экстракта (D5).
Ключевые слова
биологически активные вещества, экстракты, клевер луговой, стрессогенные условия, засоление, ультрафиолетовое облучение, всхожесть семян, рост и размеры проростков
Применение биологически активных веществ (БАВ) природного происхождения является важным резервом повышения устойчивости культурных растений к неблагоприятным условиям произрастания. Существует целый ряд коммерческих препаратов - регуляторов роста растений, снимающих состояние стресса у культурных растений (наиболее известные: «Эпин», «Циркон», гуматы, препараты на основе арахидоновой кислоты и др.). Мы предлагаем использовать в качестве источника БАВ экстракты клевера лугового (лат.: Trifolium pratense L.), произрастающего в Южной Якутии в луговых сообществах.
Растения клевера лугового имеют богатый химический состав, что обусловливает его широкое применение в народной медицине, косметологии, гомеопатии. В стеблях и листьях этого растения содержатся [1-4]: эфирное и жирное масла, дубильные вещества, гликозиды трифолин и изотрифолин, органические кислоты (n-кумаровая, салициловая, кетоглутаровая), ситостеролы, изофлавоны, смолы, витамины (аскорбиновая кислота, рутин, тиамин, рибофлавин, фолиевая кислота, каротин, токоферол), белок, жиры, свободные аминокислоты, клетчатка, безазотистые экстрактивные вещества, соли кальция и фосфора. В цветках найдены флавоны и флавонолы (кемпферол, кверцетин, пратолетин, изорамнетин и др.), флавоноиды (гиперозид, гомопизатин, изокверцитрин, лютеолин, маакиаин и др.), изофлавоны (генистеин, формононетин и др.), бензойный альдегид, кумарин, формонетин, октакозанол, триакантанол, лотаустралин, линамарин, пинен, пинитол, куместрол, мелиссовая кислота, гесперидин, дафноретин, гистамин, трифолиол, гераниол, бикумол, ситостерол, медикагол, умбеллиферон, аденин, ксантин и гипоксантин, линалоол, тритерпеновые сапонины, фенолы (гвайакол, генол).
Цель данного исследования - изучить возможность применения экстрактов клевера лугового Trifolium pratense L. в качестве средства, снимающего состояние стресса у растений, повышающего их
17
