О ДВОЙНЫХ ЛИНИЯХ ПАРЫ   ( 1t ) 5 1 f ,  ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 5  Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 514.75

Чолпон Абдуллаева

канд.ф.-м.н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: achh_osh@mail.ru

0 ДВОЙНЫХ ЛИНИЯХ ПАРЫ (f5, A flt)) ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Е5

Аннотация

В области п ^ Е5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X eQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер K = (x,et ) (i,j,k = 1,5) в

области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии О заданного семейства. Интегральные

1 —"у 1

линии О векторных полей et образуют сеть Френе Е 5. На касательной к линии О сети Е 5

инвариантным образом определяется точка Fj5 e (X, ei). Когда точка X смещается в области Q, точка Fj5 описывает свою область Q5j в Е5. Получается частичное отображение /¡5: Q ^ Q] такое, что

f5(x) = F15.

Найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы линия а , принадлежащая двумерному распределению A ((t = 2,3,4,5), являлась двойной линией пары (f' 5, A jt)).

Ключевые слова:

частичное отображение, репер Френе, циклическая сеть Френе, псевдофокус, двойная линия частичного

отображения, распределение.

В области Q евклидова пространства Е5, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X eQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Я = (Х, еи ) (i , j, k = 1,2,3,4,5) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для

линии О1 заданного семейства. Деривационные формулы репера ^ имеют вид:

dX=o'e- dei=(kek. (1)

Формы (О, (( удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:

Do' = ok ло'к, Dok = oj ло(,о/ + oj = 0. (2)

Интегральные линии векторных полей е' образуют сеть Френе Е5 для линии О1 заданного

семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети Е5 , формы o( становятся главными, т.е.

Оф = Jkj.oJ. (3)

В силу последнего равенства формулы (2) имеем:

4 = 4. (4)

Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:

Dœ) = dAk л œJ + yADœJ.

Применяя формул (2) отсюда имеем:

COJ Л сок = dAk Л COJ + Лк Л CD Л ¿у/

1 j v у f

В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:

или

Отсюда найдем:

или

со' а Лк.о)е = dAk а со' - Лка>{ л со'

' jf- у у (■

Ak.ecrf л а? = dAk л со' - Лк л со! л со'

Jf- г V У

dAk л ¿у ' - AW. л гу7' - л со1 = 0

V '(■ J jf- I

(dAk - Лксое - Акт' ) л со ' =0

V " / ■/ ' /

гсюда имеем:

il ii 1 tj 1 ijm

Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:

Г - А со - А со = .1

V } Ч 1 Ут

или

Щ =(л^АкА^А1А1т)от. (5)

Система величин | А.., Л]т | образуют геометрический объект второго порядка. Формулы Френе для линии СО1 заданного семейства имеют вид:

d е = А2 ~е и1е1 А11 е2'

е2 = А21 е1 ^ А21 >

е3 = А31 е2 ^ А31 е4 , ^1в4 =А331ез + А^1е5> ^1е 5 = А 51 е4 >

и А31 = -А 1= 0, А4п = -А141= 0,А5 = -А5= 0 (6)

А251 = -А21= 0, А 41 = -А21= 0, А 5 = -А3я= 0. (7)

Здесь = Ап , к2 = А31, к3 = А , к*4 = А 51= - А 51 - первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии О соответственно (где dl -символ дифференцирования вдоль линии О ).

Псевдофокус [4] ¥■ ( ф ]) касательной к линии СО сети £5 определяется следующим радиус-вектором:

Р/ =Х~— ё. =Х +—е (8)

' А А

На каждой касательной (X) существуют по четыре псевдофокуса. На прямой ((х,в1)

существуют псевдофокусы , , , , на прямой (X, е2 ) - Е^, Е^, Е^, Е^ , на прямой (X, е3 ) -

, Е^, Е/, ¥3, на прямой (Х,е4 ) - Г1, Е^, Е^, Е,, на прямой (Х,е5 ) - , , ¥53, ¥45.

Сеть Е5 в £ С Е5 называется циклической сетью Френе [5], если реперы

Ш1 =(Х,е1,е2,е3,е4,е5), ^ = ^ ,е2,е3,е4,е5,е1), =(x, ез,е4,е5,е1,е2),

= (X,е4,е5,е1,е2,е3), ^ = (X,е5,е1,е2,е3,е4) являются соответственно реперами Френе для линий

1 2 3 4 ^5 г-г

с , с , со , со , СО сети Е5 одновременно.

Пусть сеть Е5 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через Е 5. Псевдофокус

F15 е (X, ei ) определяется радиус-вектором:

F = X -h-e, = X + -1ге1. (9)

л 15 Л 15

Когда точка X смещается в области £ С Е5, псевдофокус описывает свою область С Е5 . Определяется частичное отображение //: £ ^ £25 такое, что _// (X) = .

К области £ 5 присоединим подвижной репер ^ = (^ ,Ъ() , где векторы Ъi имеют вид [7]:

bi

1 + . B151

(Ai, ) J

- Л2 -

e -л1е ■

е1 л 5 е2■

л 15

_„ ^5 _,. _,. у^5 _>

Ъ2 = ( /5% е1 + е2 ~ (10) \Л 15 ) Л55 _„ 1)5 _^ л 2 _^ _^ л 5 _^

Ъ = в 153 е — Лие + е -Лзе ■

Ъз ля'1 л5,;2+ез л^"

_„ 13 5 л 2 _^ _^ л 5 _^

Ъ = в 154 е —Л14е + е —Л]4е ■

Ъ Л'.У' л,4*2 + * Л1, 5

-г _ В 1,5 *

Ъ1 = (лЯе' — лх

В общем случае эти векторы линейно независимы.

Линии С' , §(С') = С называют двойными линиями отображения § , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и §(X) пересекаются, либо параллельны [6].

Линия £ называется двойной линией пары (§, Др ), если она является двойной линией отображения § и принадлежит распределению Др [6].

Рассмотрим линию У , принадлежащую распределению ^ (12) . Ее касательный вектор имеет вид:

^ 1 ^ 2 ^ У = У е1 +У е2.

Найдем касательный вектор у линии У = 151 (у) . Он

* ' " ~ имеет вид:

/ ? У = У ъ1 +у Ъ2 .

В силу формул (10) отсюда получим:

У =(у1Ь +У2Ь12) е1 + (у1Ь21 +У2) е -^У^е,

Из условия компланарности векторов У ,У , имеем: у Ь5 = 0 ■

Отсюда следует а) у = 0 или б) Ь 5 = 0 ■ Случай у = 0 исключается, из равенства Ь 5 = 0 получим:

а5, 2= 0■ (11)

Л 5

(где А12 - четвертая кривизна линии О циклической сети Френе).

Следовательно, линия У , принадлежащая распределению ^(12), является двойной линией пары (/1 , 12)) тогда и только тогда, когда выполняется условие (11).

Аналогичным образом получим, что линия Р , принадлежащая распределению ^ (13), является двойной линией пары (/1 , ^(13)) тогда и только тогда, когда имеют места равенства:

Лп= 0. (12)

(где А л - третья кривизна линии О сети £,)

Р3 А

и р=-ж, (13)

2 12 3 ~

где А л - первая кривизна линии О , А ¡3 - четвертая кривизна линии О сети £

Таким образом доказана

Теорема. Линия У , принадлежащая распределению А (12), является двойной линией пары (/1 , ^(12)) тогда и только тогда, когда имеет место равенство (11);

линия Р , принадлежащая распределению ^ (13), является двойной линией пары (/1 , Д(в)) тогда и только тогда, когда выполняются условия (12), (13); линия X , принадлежащая распределению

^ (14), является двойной линией пары (/1 , ^(14))

5 тогда и только тогда, когда имеют места равенства;

л]4= 0.

(где А 54 - вторая кривизна линии О сети )

.4 А 2

G

и

G _ A2

12 G 1 A124

где Л 14 - третья кривизна линии С сети Е 5 ,'

любая линия т , принадлежащая распределению 4 (15), является двойной линией пары

(П. 41„).

Список использованной литературы:

1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.

2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.11-348.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // МЛ.: Госттехиздат,.1948.- 432.

4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник, 1966.VI.№4.-C.475-491.

5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.

6. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур,1975.вып.6.-С.19-25.

7. Матиева Г. Абдуллаева Ч.Х. Необходимое и достаточное условия вырожденности одного частичного отображения пространства Е5 [Текст]/ Ч.Х. Абдуллаева // Научное периодическое издание «IN SITU». ISSN 2411-7161, № 6/2016.-С.5-9.

© Абдуллаева Ч.Х. 2016