CC BY
13
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №4/2016 ISSN 2411-717Х
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 514.75
Гулбадан Матиева
доктор ф.-м.н., профессор (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан)
e-mail: gulbadan_57@mail.ru Чолпон Абдуллаева канд.ф.-м.н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан) e-mail: achh_osh@mail.ru Нуржамал Курбанбаева ст.препод., кафедры алгебры и геометрии (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан)
e-mail: Nurj_07@mail.ru
О КВАЗИДВОЙНЫХ ЛИНИЯХ ОДНОГО ЧАСТИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОРОЖДАЕМОГО
ЗАДАННЫМ СЕМЕЙСТВОМ ГЛАДКИХ ЛИНИЙ
Аннотация
Рассмотрено семейство гладких линий в области Q евклидова пространства Е4 так, что через каждую точку ХеП проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ш = (х,ё1) {i,j,k = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии С заданного семейства. Интегральные линии С1 векторных полей ei образуют сеть Френе Е4 . На касательной к линии С3 сети Френе инвариантным образом определяется точка F32 е (X, e3). Когда точка X смещается в области Q, точка F3 описывает свою область Q.3 С E4. Получается частичное отображение /32 Q^Q^ такое, что f2(X) = F32 .
Введено понятие квазидвойной линии частичного отображения /^ и пары (/^, Л#;) Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы линия l, принадлежащая трехмерному распределению Л (ijk) , являлась квазидвойной линией пары (fj, Л (ijk^)
Ключевые слова
Репер Френе. Циклическая сеть Френе. Псевдофокус. Квазидвойная линия отображения. Распределение.
В области Q евклидова пространства Е4, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку XeQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ш = (х,ё1) (i,j,k = 1,2,3,4) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии
С заданного семейства. Деривационные формулы репера ^ имеют вид:
dX = Cel, dei = ckek . (1)
Формы jj , Сс удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
De1 = ck лс'к, Dwk = С +cj = 0. (2)
Интегральные линии векторных полей ei образуют сеть Френе Е4 для линии С1 заданного
семейства. Поскольку репер построен на касательных к линиям сети Е4, формы j становятся главными, т.е.
J = 4J. (3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
Л = -4. (4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3):
DJ = d4 aJ + 4 DJ .
Применяя формул (2) отсюда имеем:
cqj абок = dAk а с0] +Лк ао)' л со!.
• J и V с
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
или
Отсюда найдем:
или
со' л Аксое = dAk л со' - Ak.coi л со'
' ](■ V у £
. 1; со а со = (I г л со - Лк a coi а со .
]'- 1 V ч *■
dAk а со3 - Лксо1. а со - А со а со = 0
и '( j j( i
(d^-4^-4co!)Acoj=o.
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
dA -А.со: -А.со1 = Ак со"
1J Ii j tj г ljm
или
¿4=(4*+4 4т +44* У • (5)
Система величин ^4, 4т } образуют геометрический объект второго порядка.
Формулы Френе для линии со1 заданного семейства имеют вид:
с1е =Л2е
¿1ёЗ=Лл'ё2+Л31ё4'
и
4 =-4^ = о, 4 =~л41 = о, (6)
4 = -441 = о • (?)
Здесь к^ = 4г, к2 = А^, к3 = А^ - первая, вторая и третья кривизны линии У соответственно (где ¿1 - символ дифференцирования вдоль линии У).
Псевдофокус [4] (/ ф j) касательной к линии У сети определяется следующим радиус-
вектором:
FJ =Х-—е =Х + —ё ■ (8)
г 4 г Л'.
'J JJ
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №4/2016 ISSN 2411-717Х
На каждой касательной (Х, ei) существуют по три псевдофокуса. На прямой (Х, ej ) существуют
псевдофокусы Fj3 ,Fj3 ,F4, на прямой (Х,вз ) - Fj ,F3 ,F3, на прямой (Х,в3 ) - F/ ,F3 ,F4, на
прямой (Х, 64 ) - Fj, F43, F43.
Сеть Е4 в Qc E4 называется циклической сетью Френе [5], если реперы
^ =(X,eJ,e3,e3,e4), Ш3 = (Х,e3,e3,e4,ej), =(Х, e3,e4,ej,e3), Ш4 = (Х,e4,ej,e3,e3)
1 3 3 4 г
являются соответственно реперами Френе для линий С , С , С , С сети Е4 одновременно.
Пусть сеть XА является циклической сетью Френе. Ее обозначим через Х4 .
Рассмотрим псевдофокус €Е (X ,6-, ), определяемый радиус-вектором:
•О ^ 1 - г, 1
ръ=Х--Гёз=Х + —<ё3. (9)
Л2 Л^2
Когда точка смещается в области Ос Е4, псевдофокус Е3 описывает свою область С Е4 . Получается частичное отображение О —> такое, что (X) = Е3 . Присоединим к области подвижной репер 91' = (Ез ,ТП1, ТП2,ТП3,ТП4 ^, где векторы т. определяются следующим образом. [8]:
_„ _^ ТЗ 2 _^ л 1 _^ ТЗ 2 _^ Л '
В Л 11 В 177 Л 17
т1 = е1 +1—--7ег; т2 = е1 + / 2? ез--?е,;
1 1 Л У Л 232' ; 2 1 (Л^2 У' Л'2 ' ;
" """ , В ^ Л -► — В — Л\л~
т = е, +Т~Г2е> ; т4 = е, +Т-3?Ье3-—?е,. (10)
Л У' Л>,г; т=е+Л Г ~ Л
Так как заданная сеть является циклической сетью Френе [5] получим:
_¥ А 3 _^ d3 _^ а 4 _^ _^ т>2 _^ А 4 _^
Y1 Ol B 0~f1 У! Ol B 0~,~, У1 0~,
УУ! — 0__31 0 _|__331 n__31 0 yyt — _333 n__33 0
mj ~ 1 л 3 + (A3je3 Л3/4; m3 = U3je' л3^4
m =
R 2
7 + - 33 3
, Л4^. _„ Л 3 тз 2
л 33 л 34 , B 3 3 4 ,
e3-~nre4; m4 =--T2~e2 +T~7Ve3 + e4. (11)
Л 33 4 ; 4 Л 33 3 (Л33)
Л 2У2
1 ( Л -1
Линии СО , g ия )=Ю называются двойными линиями отображения g , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X, g(X), пересекаются, либо параллельны [7] .
Линия I называется двойной линией пары У, если она является двойной линией отображения
g и принадлежит распределению Др [7].
Введем определения: 1) линии С ^(с)=с в Е4 называются квазидвойными линиями отображения g, если касательные к ним взятые в соответствующих точках х, g(х), принадлежат одному и тому же трехмерному подпространству пространства Е4 ;
2) Линия I называется квазидвойной линией пары ^, Др ), если она является квазидвойной линией отображения g и принадлежит распределению Д .
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №4/2016 ISSN 2411-717Х
Рассмотрим линию l, принадлежащую трехмерному распределению A(}23j = (х ,e} ,e2,e3 j. Ее
касательный вектор имеет вид: l = l} e} +l e2 +l e3 . Найдем касательный вектор l линии
f2(i) = i .
Его ищем в виде:
I = l}m + l2m2 + l3m3
Учитывая формул (11) отсюда получим:
l = l} (e, + m72 e + m3 e + m/ e4 j+12 im3 e + m4 e4 j+13 (ш^з + m1,e4 j
или
l = l}e} + m2j e2 + (l}m31 + l2m3 + l3m3 je5 + (fm/ + l2m/ + l3m/ j
где m ' -J -мая координата вектора m' . Рассмотрим векторов
Из условия l ,l <еАц
имеем:
l}m/ + l2m4 + l3m43 = 0
l3 4
Учитывая формул (11) отсюда получим:
г}
_ Л 3} " Л2
\ Л32
+ l2
' Л 4 ^
_ Л 32
~ Л32 у
+ l
Л4
Л33 ~ Л2
\ Л32
= 0
или
л4/+л;2!2+л;3!3 = о.
Верно и обратное утверждение, т.е. если имеет место (12), то линия l, принадлежащая распределению 4.123), является квазидвойной линией пары (f32, 4123)) Выясним геометрический смысл равенства (12) Рассмотрим векторов:
die3 = Л 31 e2 ^ Л 31 e4
d2e3 ~ Л 31 е1 ^ Л 32 e2 ^ Л 32 e4
d3e3 = Л 33 e1 ^ Л 23 e2 ^ Л 33 e4
t4 j2 , л4 i3
т.е.
q = Л 3jej + Л32 e2 + Л33 e3 .
Определим вектор Ц , с координатами:
4 31= е4^1е3> 4 32= е4^2е3 ' 4 33е4^3е3 Тогда Ц • 1 = 443111 + 443212 + 443313 .
Следовательно, геометрический смысл равенства (12) заключается в том, что векторы Ц и I
(12)
ортогональны.
Теперь рассмотрим линию у , принадлежащую распределению А (}24) .
—► ""* } * 2 * 4 *
Ее касательный вектору имеет вид: у = у e} +у e2 +у e4 .
Найдем касательный вектор у линии у = f3 (у) . Его ищем в виде:
} * 2 " 4 *
у = у m + у m2 + у m .
Учитывая формул (11) отсюда получим:
у = у}(в1 + m2je2 + m\e3 + m\e4 j+ у2 (m^ + mJ\e4 j+ у4 (mle2 + m+ e4i
или
у = у} e + (у}m2j + у4т24 je + (у}mf + у2m3 + у4т3 je + (у}m4 + у2т44 + у4 je .
Из условия у ,у ^А(}24j
имеем:
1 3 9 3 Л 3
у m3 + у m3 + у Ш3 = 0 .
D 2 г) 2 Я2
у1 B 32} + у2 B 322 + у4 B 324 = 0
у / ' 2 V +у ( А 2 V +у ( А 2^2 0
Учитывая формул (11) отсюда получим:
о 2
В 321
4Я " 4Я " 432У
или ( т.к. 4^2 ф 0 )
В2321у1 + В2322у2 + Б2324у4 = 0 . (13)
Обратно, если имеет место равенство (13) то линия у является квазидвойной линией пары
(/3 , 4(124) )•
Выясним геометрический смысл равенства (13).
Рассмотрим вектор к12 = Азз е3 = —Азз е3 — вектор первой кривизны линии с2 циклической
сети ^4 Френе. Найдем производные этого вектора вдоль направлениях е 1,е2,е4 [8]:
= —В2 ~е — Л2 (4+ 44 ~е )
¿1к12 В321е3 432 4 31е2 ' 4 31 е4)?
= —В 2 ~е — 42 (42е + 44 ~е )
2 12 322 3 4 132 \ 132с'2 ' 4 132 ^4 / >
= —В2 ~е — 42 42е
¿4к12 В324е3 4 32 4 34е2 • Определим вектор т с координатами:
edk =—В2 edk =—В2 edk =—В2
е3и1к12 В321, е3и2к12 В322 > е3^4к12 В324,
т.е.
Т —
Найдем
(e3d1k12 je + ^2^2 je2 +
(e3d4kJ2 je4 j.
НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» №4/2016 ISSN 2411-717Х
Tr= b3 r1 + BL r3 + Bn4 r4.
Следовательно, геометрический смысл равенство (13) заключается в том, что векторы Т и Г ортогональны.
Таким образом доказана
Теорема 1. а) Линия I, принадлежащая распределению Л (п3), является квазидвойной линией пары (/3, Л(133)) тогда и только тогда, когда выполнено условие (12);
б) линия Г, принадлежащая распределению Л (134) является квазидвойной линией пары
(/3 > Л (13 4) )
тогда и только тогда, когда выполнено условие (13).
Рассмотрим линию $ , принадлежащую трехмерному распределению Д (2'4= (х, е2,е',е4) • Ее касательный вектор $ имеет вид:
$ = $2 е2 + $' е' + $4 е4 • Найдем касательный вектор $ линии $ = ($) •
Его ищем в виде: $ = $2т2 + $' т4 + $4т4 . Учитывая формул (11) имеем:
$ = $2 (т'2е3 + т42е4 )+ $' (т'е3 + т4е4 )+ $4 (т24е2 + т'4е3 + е4 )
или
$ = ($4т24 )е + ($2т.4 + $4т4' + $4т' )е3 + ($2т42 + $'т43 + $4 )е4 .
Очевидно, что $ ,$ бД . Следовательно, любая линия $, принадлежащая распределению Д (244), является квазидвойной линией пары (/ , Д (244) )
Рассмотрим линию X , принадлежащую трехмерному распределению Д (144)= (х, е1,е4,е 4 ) • Ее касательный вектор X имеет вид:
1 3 4
a = a e + a e3 + a e4 .
Найдем касательный вектор x линии X = /4 (() •
_ 1 " 4 * 4 " Его ищем в виде: ( ( т1 + ( т4 + ( т4
Учитывая формул (11) имеем:
1i ' 3 ' 3 ' 4 "1 31 3 * 4 41 3 * 3 *
а =а e + m}e2 + m3 e3 + тг e4)+ a (me3 + m3 e4)+ a (m3e2 + m+ e4)
или
a = a1 e + (am3 + a4m4 )e2 + (a1m3 + a3m3 + a4m3 )e + (a1m4 + a3ml + a4 )e
Из условия a ,a еЛ^134) имеем:
,1^.3 , „^„„3
a
Учитывая формул (11) отсюда имеем:
am3 + a m3 = 0 .
a1
f Л3 Л
л31
л
V ~~33 У V У
или
+ a4
л3
л34
л
33
= 0
л2(+л2( = о • (14)
Верно и обратное, т.е. если имеет место равенство (14), то линия а , принадлежащая распределению
Д (144), является квазидвойной линией пары (/4, Д-^^).
Выясним геометрический смысл равенства (14). Равенство (14) можно переписать в виде:
а л
(4 £ , (15)
где ~ Л44 = Л44 ~ третья кривизна линии со4 сети Г4 , ~ Л21 = Л21 ~вторая кривизна линии со1 сети
* 4
Следовательно, справедлива
Теорема 2. Линия а , принадлежащая распределению Д (144), является квазидвойной линией пары (/2, Д134^) тогда и только тогда, когда первая и четвертая координаты касательного вектора этой линии
удовлетворяют условию (15).
Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.11-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // МЛ.: Госттехиздат,.1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник,1966.У1.№4.-С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.
6. Кузьмин М.К. Сети, определяемые распределениями в евклидовом пространстве [Текст]/ М.К. Кузьмин // Проблемы геометрии.-Москва: ВИНИТИ, 1975.-т.7.-С.215-229.
7. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур,1975.вып.6.-С.19-25.
8. Матиева Г., Папиева Т. Геометрия частичного отображения евклидова пространства, порождаемого заданным семейством гладких линий. // Исследование по интегро-дифференциальным управлениям, вып 4.2.-Бишкек: Илим, 2010-с.180-184
© Матиева Г., Абдуллаева Ч.Х., Курбанбаева Н.Н., 2016
3
3
