CC BY
6
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
об одной сети двойных линии в пространстве е5
Матиева Гулбадан
доктор ф.-м.н., профессор (ОшГУ, г.Ош, Кыргызстан)
Абдуллаева Чолпон Хабибуллаевна
канд.ф.-м.н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан)
АННОТАЦИЯ
В области Q ^ Е5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X eQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер Ж = (х ,ei ) (i, j , k = 1,5) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии с заданного семейства. Интегральные линии СО векторных полей ei образуют сеть Френе 1 5. На касательной к линии С сети I 5 инвариантным образом определяется точка Fi e (X ,ei) . Когда точка Х смещается в области
Q е5 .
жение f15 : Q ^ такое, что f5 (X) = F15 .
Найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы циклическая сеть Френе являлась сетью двойных линий
частичного отображения f1 : Q ABSTRACT In domain Q
^ E5 it is considered a set of smooth lines such that through
X eQ a point passed one line of given se.
The moving frame k = (x e) (i, j ,k = 1,5) is frame of Frenet for the line с of the given set. Integral lines of the
vector fields ei are formed net 1 5 of Frenet. There exi^s the point F/ e (X ,e1) on the tangent of the line С . When
the point X is shifted in the domain Q, the point F/ describes it's domain Q5j in E5 . It is defined the partial mapping
f5 such that f5(X) = F15.
Necessary and sufficient conditions in order that the cyclic net of Frenet is net of double lines of the partial mapping
are found.
Ключевые слова: частичное отображение, репер Френе, циклическая сеть Френе, псевдофокус, двойная линия частичного отображения.
Keywords: Frenet frame, cyclic net of Frenet, partial mapping, double line of a mapping, Euclidean space.
E
Я Y — /71 i О
Я о -mk,
(1)
В области ^ евклидова пространства 5 т , т / ек •
, задано семейство гладких линий так, что через ка-
1 k
V а О ^ Ф , Ф
ждую точку Л проходит одна линия заданно- Формы ' удовлетворяют структурным уравне-
го семейства. Подвижной ортонормированный репер ниям евклидова пространства:
Ж = (Х,ё. ) (', /,к = 1,2,3,4,5) п ят' = тк лт'к, бт) = ф лф),ф{ + ф = 0
4 ' у ^ в области (2)
выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии —*■
е
ф1 Интегральные линии векторных полей ' образуют
ш заданного семейства. Деривационные формулы репера
X 1
^ имеют вид: сеть Френе 5 для линии т заданного семейства. По-
скольку репер 1 построен на касательных к линиям сети
I
5 , формы ® становятся главными, т.е.
Юк.=Лк.Ю' (3) 1 1) 4 7
В силу последнего равенства формулы (2) имеем: Лк1.=-Лк.к (4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3)
полу-
чим:
Dak = dЛ л G)] + AkDa]
1 V .
Применяя формул (2) отсюда имеем:
® л(0к = й Л. Л® + Л. Л®' Л®
г ] ч Ч -
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
® Л Лк. ® = йЛк Л ® - Лкю], Л ®
г ]- г] г] -
или
Aji л а = dAj лт] - л л aj л а
Отсюда найдем:
dAk л а - лкт л а - лк. а л а = о
j ^ j jí i
или
(d^ -лт -j )лт= о.
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
dЛ -Лкт -Лкт: =Лкат
ij ií j íj i ijm
или
с1л k = (л km+ лк л1 +лкл m )т
j \ ij т i т j т /
.(5)
{л }
( у ' ит)
Псевдофокус [4] I
F (i * j)
касательной к линии
а
сети 5 определяется следующим радиус-вектором:
Fj = X —— e. = X + — e.
1 л лу 1
ч jj .(8)
( x )
На каждой касательной 4 < / существу-
(X e )
ют по четыре псевдофокуса. На прямой v"' су, F 2, F—, F 4, F 5
ществуют псевдофокусы 1 1 1 1 , на пря-
мой
(х,е2) _
(X,e—) _ F—, F32, F4, F—
F—, F—, f4 , F—
F1 F2 F3 F4
Сеть
на прямой
I Ü с E,
на прямой
й {X,e4)
, на прямой v 4 ' -
(X,e—) _ F—,F—,F—,F4.
тью Френе [5], если реперы ^2 (X, e2 , e3 , e4 , e 5 , e 1 )
называется циклической се-
<R1 = (X, e— ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 )
Жз ={Х, е3,е4,е5,е1 ,е2),
= (Х ,е4 ,е5 ,е1 ,е2 ,е3), Ж5 =(Х ,е5 ,е1 ,е2 ,е3 ,е4)
являются соответственно реперами Френе для линий ®
2 3 4 у-^5 ^
® , ® , ® , ш сети 5 одновременно.
Пусть сеть 5 является циклической сетью Френе. Ее
Система величин v ' образуют геометриче-
ский объект второго порядка.
Формулы Френе для линии ® заданного семейства
имеют вид d,е, =л,2е :
d е =л 2е 11 12 11 ^ 2
d е =л 1е + л 3е
^2 2^ 1 21 3
d е =л 1е + л 4е е =л 3е + л 5е
^3 3^ 2 31 4^4 41 3 4^ 5
d е =л 4е
^ 5 5^ 4
и л 3=-л 3=0 л 4=-л 1=0 л 5=-л 2=0 (6)
11 11 11 41 11 51
л 5=-л 2=0 л 4=-л 2=0 л 5=-л 3=0 (7)
21 51 21 41 31 51
к1, = Л2 к1 = Л3,, к1 =Л!, , 1 л5
Здесь 1 11 , 2 21 , 3 31 , к14=Л541=-Л451 - первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии
® соответственно (где - символ дифференцирования
вдоль линии ® ).
15
обозначим через 5. Псевдофокус ляется радиус-вектором:
Ff = х—+ Л А
Jl 15 Jí 15
Когда точка Х смещается в области
F— е( X,et)
опреде-
(9)
псевдо-
Ü5 с E
фокус ^ 1 описывает свою область 1 5 . Определяется частичное
¿5 (X ) = F]5.
ляется частичное отображение такое, что
"5 / V \ Т75
п5
К области 1 присоединим подвижной репер
= ,Ь.), Ъ.
\ 1 г > где векторы г имеют вид [6]:
5
ь,=
1 +
ua
- л - —
/If, J
¿Г _ /52 ~ ~ ^ ~
■Л ! i
i>, =
Ъ, =
Ш
Ш ' -if/'
(10)
UiJ J
/If,
b = в e -^Ji e
В общем случае эти векторы линейно независимы.
__ т, g (т)=т „
Линии "V / называют двойными линия-
ми отображения g, если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и g(X) пересекаются, либо параллельны [6].
Л , й й й (§,Лг)
Линия 1 называется двойной линией пары г ,
если она является двойной линией отображения g и принад-
Л
лежит распределению р [6].
, ъз, XF:'
Л213=0; Л51з=0 (12)
когда имеют место последнее равенства (12) ( где Л213 - четвертая, л513 - третья кривизны линии ф сети X 5 , т.е.
е1 = 0 ).
Аналогично имеют места следующие утверждения:
а) линия ф сети X 5 является двойной линией частичного отображения тогда и только тогда, когда выполнены условия:
л214=0; л5 14=0 (13)
Следовательно линия ф сети X 5 является двойной
линией частичного отображения тогда и только тогда, когда имеют место равенства (13) ( где л513 - вторая, л214-тре-
4
X 5, т.е. d4 e1 = 0 )
Рассмотрим векторы
Очевидно, эти векторы компланарны. Следовательно
линия ф заданного семейства является двойной линией
частичного отображения /1 •
Из условия компланарности векторов
¿г, ъ2,х$}
получим :
л512=0 (11)
2
Следовательно линия циклической сети Френе яв-
ляется двойной линией частичного отображения тогда и только тогда когда имеет место последнее равенство ( где
л512- четвертая кривизна линии ф циклической сети Френе).
Из условия компланарности векторов имеем :
Следовательно линия С сети X 5 является двойной
тья кривизны линии w сети и 5, т.
б) линия СО сети X 5 является двойной линией частичного отображения f15 тогда и только тогда, когда
л215=0 (14)
( где л215 - вторая кривизна линии С сети X 5 ).
Таким образом доказана
Теорема. Циклическая сеть X 5 Френе является сетью
двойных линий частичного отображения f5 тогда и только тогда, когда выполнены условия: (11), (12), (13), (14).
Список использованной литературы:
1. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т. Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1975. вып. 6.-с.19-25.
2. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т. Базылев // Литовский математический сборник,1966.\1.№4.-С.475-491.
3. Матиева Г. Абдуллаева Ч.Х. Необходимое и достаточное условия вырожденности одного частичного отображения пространства [Текст]/ Ч.Х. Абдуллаева // Научное периодическое издание «IN SITU». ISSN 2411-7161, № 6/2016.-С.5-9.
4. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Ма-тиева // Монография. 0ш,2003.-С.212-219.
5. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Нау-ка.1967.-С.481-482.
6. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.11-348.
линией частичного отображения f5 тогда и только тогда,
7. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.
использование приема переформулирования на различных этапах решения задачи
Митина Татьяна Павловна
магистрант первого курса факультета математики, информатики и физики Волгоградского государственного социально-педагогического университета, учитель математики и информатики МОУ Лицей № 5
имени Ю.А. Гагарина г.Волгограда
АННОТАЦИЯ
в статье рассматривается прием переформулирования задачи как один из приемов ее решения, дано определение приема, выделены цели использования приема переформулирования на различных этапах решения задачи.
ABSTRACT
the article considers a method to reformulate a problem as one of methods of its solution, the definition of reception given; the purposes of using the technique of reformulating at different Sages of solving the problem are emphasized.
Ключевые слова: переформулирование, переформулирование задачи, этапы решения задачи.
Keywords: reformulation, reformulation of objectives, Sages of solving the problem.
Общеизвестны, как общие (аналитеко-синтетический метод, метод моделирования и др.), так и частные (метод площадей, векторный метод и др.) приемы решения математических задач.
Выделим из приемов решения задач - переформулирование. Суть этого эвристического приема заключается в том, что условия или требования, а возможно, то и другое одновременно, заменяются на новые, эквивалентные имеющимся, но позволяющие упростить поиск решения. Актуальность данного приема заключается в том, что он предполагает отказ от готовых знаний, их непосредственного воспроизведения (репродукции). Основывается на поиске скрытой, неявной информации. Требует от человека наличия таких качеств, как, изобретательность и умения работать творчески. Большинство учащихся имеют привычку решать задачу по готовому шаблону, и, если задача встречается в неявном виде, не виден основной метод решения, многие школьники испытывают трудность в ее решении.
С.Л. Рубенштейн определяет переформулирование как прием словесно-логического мышления, который в создании эквивалентных суждений с использованием научных и житейских понятий. Он считал, что основные формы мышления, осуществляющиеся при "переформулировании" это анализ через синтез, когда у объекта, в процессе мышления, обнаруживаются другие связи и свойства и он выступает уже в новых качествах и понятиях. Переформулирование позволяет, как уточнить, так и получить новую или дополнительную информацию. [2, с. 126]
«Переформулировать» в большом энциклопедическом словаре означает придать чему-либо иную формулировку, переиначить. [1, с. 506]
Рассмотрим цели использования приема переформулирования на различных этапах решения задачи:
1. Этап осмысления условия (требования и данных) задачи.
1) Анализ требований задачи. Под анализом требования задачи понимаем выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Одним из важнейших компонентов умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать его в ему равносильное, то есть переформулировать требование задачи. Например, докажем, что четырехугольник АВСЭ - квадрат, если докажем, что он поворотом на 90 отображается на себя. Формирования этого умения связано с вооружением учащихся как можно большим числом признаков и свойств понятий. Целью использования приема переформулирования на данном этапе является формирование умений анализировать требование задачи.
2) Анализ данных задачи. Под анализом данных задачи понимаем выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему.
Вся информацию из условия разделим на три вида:
а) информация, непосредственно заданная в условии;
б) информация, полученная непосредственно из условия;
в) информация, полученная уже из новой, то есть выведенной ранее, информации.
Информация из условия вида а) фиксируется в виде краткой записи или чертежа со специальной записью под названием «дано». Происходит процесс переформулирования задачи. Цель переформулирования - представление условия задачи в иной форме для формирования более наглядного представления.
Информация видов б) и в) может быть получена следующими способами:
а) получение известных, доказанных ранее следствий из непосредственно заданного условия;
б) переосмысливания некоторых объектов (фигур, отношений между ними) в плане других понятий (например, АР - высота треугольника АВС. значит, АР ^ ВС; задан правильный треугольник, значит, можно найти радиус вписанной и радиус описанной окружности и т.п.);
в) замена термина его определением;
