CC BY
6
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
К ГЕОМЕТРИИ ДВОЙНЫХ ЛИНИЙ ЧАСТИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВА Е5
Чолпонай Абдуллаева
канд. ф.-м. н., доцент (К-УУ, г.Ош, Кыргызстан)
THE GEOMETRY OF THE DOUBLE LINES OF THE PARTIAL MAPPING OF EUCLIDEAN
''5
SPACE E<
Cholponai Abdullaeva
candidate of physical and mathematical sciences, dosent (Kyrgyz-Uzbek university c. Osh, Kyrgyz Republic)
Аннотация
В области п С Е5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку X eQ проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер
rn = (x,ei ) (t,j,k=25) в области Q выбран так, чтобы он был репером Френе для линии С
i """ У
заданного семейства. Интегральные линии С векторных полей ei образуют сеть Френе Е 5. На касательной к линии С сети Е 5 инвариантным образом определяется точка F2 e (X,e2 ). Когда точка X смещается в области Q, точка F описывает свою область Q 2 в Е Получается частичное отображение f^ : П —> П 2 такое, что f (X) = F2 .
Доказаны необходимое и достаточное условия для того, чтобы линия i, принадлежащая распределению Л ^ki) , являлась двойной линией пары (f^, Л ^ ABSTRACT
In domain п С Е5 it is considered a set of smooth lines such that through a point X eQ passed one
Я = (хд. ) {i,j,k = 2,5) is
у
given set. Integral lines of the vector fields are formed net Е 5 of Frenet. There exists the point F2 e (X,
e2 ) on the tangent of the line С . When the point X is shifted in the domain Q, the point F2 describes it's domain П 2 in Е5 .It is defined the partial mapping f2, :П — П2 such that
f2(X) = F2.
Necessary and sufficient conditions of degeneracy of the partial mapping f 2 are found Ключевые слова: частичное отображение, циклическая сеть Френе, псевдофокус, двойная линия частичного отображения, распределение.
Key words: Frenet frame, cyclic net of Frenet, partial mapping, double line of a mapping, Euclidean space
В области Q евклидова пространства Е5, за- Френе [1], [2] для линии С заданного семейства.
дано семейство гладких линий так что через каж- Деривационные формулы репера ^ имеют вид:
дую точку X e Q проходит одна линия задан- —► . —►
ного семейства. Подвижной ортонормированный dX = С 6t, dej = Cj ^ . (1)
репер —(X , ) (i,k = 1,2,3,4,5) в Формы С , СС удовлетворяют структурным
line ofgiven se. The moving frame m = \A,ei ) \i,j,k = 1,5) is frame of Frenet for the line G of the
Ш = (х, еи ) к = 1,2,3,4,5)
области О выбран так, чтобы он был репером уравнениям евклидова пространства:
Da1 = юк лЮк, Dak = aj люк, Ю + = 0. (2)
Интегральные линии векторных полей
образуют сеть Френе для линии С1 заданного семейства. Поскольку репер ^ построен на касательных к линиям сети ^5 , формы СС становятся главными, т.е.
СС . (3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
Л = -А/ ] . (4)
Дифференцируя внешним образом равенство
(3) получим:
ВюС
Применяя формул (2) отсюда имеем:
СО' А <0* = с1Лу А со' +Л^ л сое л со\.
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
йЛ л С + 4 ВС .
или
Отсюда найдем:
или
со ' А Аж = с!Л Л со' - Л оУ. Л со
1 у у
АеоУ. л со = с!Л л со' - А л со! л со .
)(■ » У У «
с/Лк л со' - Лк.ео( л со' - Л\со] л со = О
Ч « ] ](■ г
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
= Л'> со
у //: / с/ / 1]т
у
I'1 _
г/т
или
Л =(лС/т+АС;А/т+А;/А:т )ст.
Система величин | А/, А/.т | образуют геометрический объект второго порядка.
(5)
Формулы Френе для линии С заданного
семейства имеют вид:
й1е1 = Лп е2,
е2 = Л21 е1 ^ Л21 е3 , й1 е3 = Л31 е2 ^ Л31 е4 ,
й1е4 = Л 441 ез + Л41 е5 , й1е5 = Л 51 е4 ,
Л31 =-Л1= 0, Л4 =-Л1= 0,Л51 =-Л1= 0
Л
21
:-Л\== 0, Л1
-Л 4= 0, Л531:
-Л1г 0.
Здесь С1 = Лп, к2 = Л31, к3 = Л^ , С4 = Л
41
Л
51
- первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии С соответственно (где й 1 - символ диф-
Р] =Х-—е =Х + —ё.
Л Л
(6)
(7)
(8)
ференцирования вдоль линии С ). На каждой касательной (X, в) существуют
Псевдофокус [4] ^ ( ф ]) касательной к ли- по четыре псевдофокуса. На прямой (X, е]) су-
нии С сети Е5 определяется следующим радиус-вектором:
т
и
5
4
ществуют псевдофокусы Л;, , , Л! , на пря-
мой
(х,е2) -
1
2 2 ,± 2 , на прямой 3,^3 , на прямой (X, е4 ) -на прямой (Х,в5) -
(хе) -
т^2 т^3 ¥4 4 4 5 ,
¥/ ,¥- Л ,¥54.
Сеть %5 в О С Е5 называется циклической сетью Френе [5], если реперы
% =(Х,е1,е2,е3,е4,е5 ),
= (х,е2,е3,е4,е5,е1),
=(х> ез,ё4,е5,ё1,ё2),
= {Х,е4,е5,е1,е2,е3)
= (х,е5,е1,е2,вз,е4) являются соответ-
12 3
ственно реперами Френе для линий ю , ю , со , со4 сети одновременно.
Пусть сеть Е5 является циклической сетью Френе. Ее обозначим через % 5. Псевдофокус ¥2 £ (X, е ) определяется радиус-вектором:
Л = X ——7, = X + 1 ~
- Л1-2 -- ■ лге1. (9)
21
Когда точка X смещается в области О С Е5, псевдофокус ¥2 описывает свою область О2 С Е5 . Определяется частичное отображение / : О —> О '2
такое,
что
/ 1(X) = Л1.
Продифференцируем равенство (9) и применяя формулы (1), (2), (3) имеем:
ёЛ[ = ёX - ё
или
< 1 ^
ЧЛ 2 1 )
1
- 1 Г ё л21- 1 , е, —-ёе, = ю е +—-^е, —-ю е
2 Л1, 2 ' (Л2/ 2 Л1 2 '
* 21
' 21
ё¥1 = юте +
А1 т
ёЛ1 ,= (Л1, + Л1,Л( + Л1Л ( )ют = А
21 \ 21т 2 ( 1т (1 2т/
где ё л 21 Отсюда получим:
21т_~
(Л^ 2
1 Л'
(.Г ^ 2т ,
1
Л
л' т „
—Л , ю е
1 2т 1
21
21т
ю
ёл; =
А
е1 +
211
Л
(Л2
Л
21
1 1
21
ю1+
А
е2 +
212
Л
е„
(Л-Г лС:
ю
+
+
А
ез +
е5 +
213
Л
(л:/ 2
А
21
1
215
Л Л
23
11
(Л-) -
Л
21 _ 1 '
Н
11
21
3
ю +
ю
А
е4 +
214
Л
(Л1,) -
Л
11 21
4
ю +
Введем обозначения:
А
а =
1 211
Л
а- =
а
Л Г
А1
А 1
е -
Л
21
1
е;
21
1 +
212
ЛЯ _
е.
Л-;-
~/Л-~е3; Л 21
Л1
23
Л
1 "1 21
е, +
А 1 А
213
е- + е3 >
а4 =-
Л
24
Л
1 21
е, +
А
21 4
Л)
е2 +
Л 3-4 * *
—24 е + е '
1 е3 + е4 ,
Л
21
(10)
1
1
3
1
1
Л
а5 =
Л
25 1 е1
е, +
А
215
Л
21
(л2)
Л
Те3 + е5 ■ 21
К области П 2 присоединим подвижной ор- Рассмотрим линию С , ^таддежащ^ дву
тонормированный репер
^ = (р!,аг),
где
векторы имеют вид (10) . В общем случае эти векторы линейно независимы.
Линии С ,§ (с )=с называют двойными линиями отображения §, если касательные к ним, взятые в соответствующих точках X и
§ (X) пересекаются, либо параллельны [6].
Линия I называется двойной линией пары Лр ), если она является двойной линией отображения § и принадлежит распределению Лр [6].
мерному распределению Л (12)= (X, е1) ■
сательный вектор а имеет вид:
1 2 а = а е1 + а е2.
е, I■ Ее ка-
Найдем касательный вектор С линии / (а) =а ■ Учитывая формулы (10) полу-
Ч чим:
Отсюда имеем:
1 2 11 2 * 3 I 21 2 * 3 * 1
а = а а + а а2 = а \а}е2 + а3 е3)+а (а2е2 + а2е3) ■
)е2 + (а1 а3 + а2а32 )е3.
а = (а1 а] + а2а1 + (а1 а3, + а2а3 )е
22
Следовательно, а ,а , XF2
1
Л
1 е2 ^ Л(12) тогда и только тогда, когда
21
а1 а] +а2а3 = 0
В силу формул (10) отсюда получим:
Л 3с1 + Л 3Са2 = 0
или
а а2
Л
22
Л
21
где Л22 |3
первая кривизна линии С сети пары
С/! лЛ
(11)
тогда и только тогда, когда ко-
. Л
!
.1
I.
21 вторая кривизна линии С сети ординаты С , С ее касательного вектора удовлетворяют условию(11)
Рассмотрим линию т , принадлежащую рас-
Таким образом, линия С, принадлежащая
распределению
Л
пределению
Л{13)={х,е1,е3), и
отличную от ли-
(12).
является двойной линией ний С С3
Ее касательный вектор имеет вид:
т
= т1е1 + т3е3 линии / (т) =
В силу формул (10) отсюда получим:
т
3 1
1 „2
т = т"а13е1 + (т'а] + т3а23) е2 + (т1а3 + т3) е3.
1
1
3
е
2
3
3
Векторы т , т, X¥¡
г
1
\
V
Л1
е.
;1 у
не могут быть компланарными, следовательно, линия т не может быть двойной линией пары
(/Л 4», )•
Аналогичным образом выяснено, что линия У
, принадлежащая распределению 4 (23) и отличная от линий О2 , ю3, не может быть двойной ли-
нией пары / 2
принадлежа-
щая распределению
отличная от линий ю , ю является двойной линией пары тогда и только тогда, когда выполнены условия:
Л1 = 0,
25= 0, (12)
где Л' - вторая кривизна линии й)5 сети
I,
Л
22
Р2 Л3
где Л 3 - первая кривизна линии ю2 сети
25 (13)
I у Л\5 - третья кривизна линии (О сети I5.
Таким образом доказана
Теорема. Линия X , принадлежащая распре-
делению
4(12г(Х,е1,е2 ) и
ю
ю
(/Л 4<2))
является двойной линией пары
2 ' '—М7\1 тогда и только тогда, когда выполнены условие (11);
линия У , принадлежащая распределению
4
(24)=(X,е2,е4 )
2
е ,е. I и отличная от линий ю , ю
4
(/2, 4-3)); линия р
4(24)=(X,е2,е4 ) и
{/!> 4.24))
то-
, является двойной линией пары л / -
гда и только тогда, когда выполнены условия (12), (13).
Список использованной литературы:
1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схо-утен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛЛ948.Т.П-348.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Кар-тана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.
4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник,1966.У1.№4.-С.475-491.
5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. 0ш,2003.-С.212-219.
Ч.Х. Абдуллаева 2016
е, ,е2 ! и отличная от линий
2
