CC BY
11Прикладная математика и механика
УДК 62.752
СТРУКТУРНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
Р. С. Большаков
Иркутский государственный университет путей сообщения Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. E-mail: bolshakov_rs@mail.ru
Показаны особенности метода определения динамических реакций в механических колебательных системах. В основу подхода положены представления о возможности построения структурной схемы эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления, в которой путем преобразований структурной схемы может быть выделена цепь обратной связи в операторных соотношениях относительно рассматриваемого объекта, которая и представляет собой динамическую реакцию.
Ключевые слова: метод определения динамических реакций, механические колебательные системы, структурные интерпретации механических колебательных систем.
STRUCTURAL INTERPRETATIONS FOR TASKS IN DEFINING DYNAMICAL RESPONSES
IN MECHANICAL OSCILATION SYSTEMS
R. S. Bolshakov
Irkutksk State Transport University 15, Chernishevckogo str., Irkutsk, 664074, Russian Federation E-mail: bolshakov_rs@mail.ru
Specific features of method to define dynamical reactions of mechanical oscillation systems are shown. Based on the approach the understanding about possibilities to develop structural analogy schemes in relations with systems of automatic feed-back control where transforming chain of feed-back ties in operator interrelations in accordance to examination of object is shown. Such ties represent the dynamical reactions to study.
Keywords: method of definition of dynamical responses, structural transformations of mechanical oscillation systems.
Введение. Работа машин, приборов и аппаратуры протекает при действии вибрационных нагрузок, которые способствуют развитию динамических процессов. Для обеспечения надежности и безопасности эксплуатации машин параметры таких процессов должны учитываться при расчетах и контролироваться в ходе эксплуатации. Знание динамических составляющих реакций дает возможность оценивать величины полных реакций и не допускать их нулевых или отрицательных значений, что может приводить к нарушениям контактов и появлению соударений при неудерживающих связях.
Метод математического моделирования, рассматриваемый в данном докладе, может быть применен для получения динамических реакций на основе использования структурных представлений механических колебательных систем. Динамическая реакция может быть интерпретирована как обратная связь по отношению к звену, имеющему передаточную функцию интегрирующего звена второго порядка. Структурные схемы могут быть аналогично развернуты и для других массоинерционных элементов, что предполагает возможности расширения метода математического моделирования на системы со многими степенями свободы. Использование динамических реакций для описания свойств виброзащитных систем позволяет создать методическую основу для расчета
элементов колебательной системы. Детали предлагаемого подхода нашли отражение в работах [1-3].
Особенности оценки динамических реакций в системах с несколькими степенями свободы.
Рассматривается расчетная схема технического объекта в виде механической колебательной структуры с двумя степенями свободы. Система совершает малые вертикальные колебания у1, у2 в координатах относительно неподвижного базиса. Объект вибрационной защиты m2 входит в механическую колебательную систему, состоящую из трех упругих элементов с жесткостями к2, ^ и промежуточной массой m1. Возмущение представлено периодической силой (гармоническое воздействие), приложенной к объекту защиты m2. В рассматриваемой задаче силы сопротивления не учитываются, их влияние может быть учтено отдельно. Математическая модель системы представляет собой систему из двух дифференциальных уравнений, на основе которой, используя преобразования Лапласа, можно построить структурную схему эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления [4; 5].
На основании структурной схемы могут быть найдены передаточные функции системы при входном воздействии Q2() = 0, Q1(t) = 0) и выходных сигналах в виде координат у1 и у2:
Решетневскуе чтения. 2014
(p_ >-t-
w2 (p )== miр 2 + к + к2
02
А
(1)
(2)
где
Q2 = Q0 ■ sin^ Aq = (m1p 2 + k + k2 ) ■ (m2p2 + k2 + k3) - .
Особенности построения математических моделей. Структурная схема системы может быть преобразована и разрешена относительно базового звена, соответствующего объекту защиты (m2), имеющего, в свою очередь, передаточную функцию интегрирующего звена второго рода:
1
Wm2 (Р)=-
m2 Р
(3)
Преобразование начальной структурной схемы позволяет выделить прямую цепь, в состав которой входит передаточная функция (3) объекта защиты: вначале в структуре парциальной системы из элементов ш2, к2, к3, затем парциальная система упрощается до элементов ш2, к3; далее в прямой цепи выделяется объект защиты с передаточной функцией (3). При этом передаточная функция цепи обратной связи может изменять знак ( + ) на знак (-) при соответствующем изменении структуры обратной связи. Докажем теорему о динамическом статусе обратной связи по отношению к объекту защиты.
Воспользуемся системой дифференциальных уравнений, которая может быть с учетом преобразований Лапласа приведена к виду
ш1 Р2 У1 + (к1 + к2 )) - к2 У 2 = ^ (4)
ш2Р2У2 +(к2 + к3 )У2 - к2 У1 = 02. (5)
Полагая, что из (4)
У1 - У 2--2+2-г
m1 p + k + k2
получим (6) в виде
m2 Р 2 У 2 +(k2 + k3 )У2 - к2 ' у2 '
m1 p + к1 + к2
(6)
- 02, (7)
или
(к2 + кз )•(( Р2 + к1) + к2 • к3 - - _
ш2Р У2 +--Т--У2 = 02. (8)
ш1 р + к1 + к2
Заключение. Проведенные исследования позволяют предложить новый метод получения динамических реакций на основе использования структурных представлений механических колебательных систем. Показано, что динамическая реакция интерпретируется как обратная связь, сформированная в отношении звена, имеющего передаточную функцию интегрирующего звена второго порядка. Такие структурные схемы могут быть развернуты не только относительно объекта защиты, но и для других массоинерционных элементов, что предполагает возможности расширения метода на системы со многими степенями свободы. Анализ результатов показывает, что использование динамических реакций для описания свойств виб-
розащитных систем позволяет не только создать методическую основу для расчета элементов колебательной системы, но и расширить представления о возможностях проявления ранее не рассматривавшихся физических эффектов. Возможности подтверждения полученных результатов несколькими способами отражают универсальность и гибкость предлагаемого метода.
Библиографические ссылки
1. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П., За-сядко А. А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск : Изд-во Иркутск. гос. ун-та, 2008. 523 с.
2. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука. 2011. 394 с.
3. Большаков Р. С. Система внешних воздействий. Возможные формы связности колебаний механических систем при действии нескольких внешних факторов [Электронный ресурс] // Наука и образование : электрон. науч.-техн. изд. 2011. № 8. URL. http://technomag.edu.ru/doc/205701.html (дата обращения: 10.12.2011).
4. Елисеев С. В., Артюнин А. И., Большаков Р. С. Некоторые обобщения в задачах определения динамических реакций во взаимодействиях элементов механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. Вып. № 3(39). С. 44-50.
5. Большаков Р. С. Компакты упругих элементов механических колебательных систем. Вопросы построения и взаимодействия с элементами систем // Молодежный вестник УГАТУ. 2013. № 1. С. 71-80.
References
1. Eliseev S. V., Reznik Yu. N., Khomenko А. P., Zasiadko А. А. Dinamicheskiy sintez v obobschennikh zadachakh vibrozaschiti i vibroizoliatsii tekhnicheskikh obectov. Irkutsk. Izd^ Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. 2008. 523 p.
2. Eliseev S. V., Reznik Yu. N., Khomenko А. P. Mekhatronnie podkhodi v dinamike mekhanicheskikh kolebatelnikh sistem. Novosibirsk : Nauka, 2011. 394 p.
3. Bolshakov R. S. Sistema vneshnih vozdeistviy. Vozmozhnie formy sviaznosti kolebaniy mekhanicheskikh system pri deistvii neskolkikh vneshnikh faktorov // Techomag.edu.ru : Nauka I obrazovanie : electronnoie naucho-tekhnicheskoe izdanie. № 8. 2011. URL. http://technomag.edu.ru/doc/ 205701.html (data of visit: 10.12.2011).
4. Eliseev S. V., Artyunin А. I., Bolshakov R. S. Nekotorie obobscheniya v zadachakh opredeleniy dinamicheskokh reaktsiy vo vzaimodeystviykh elementov mekhanicheskikh kolebatelnikh sistem // Sovremenie tekhnologii. Sistemniy analiz. Modelirovanie. № 3(39). 2013, p. 44-50.
5. Bolshakov R. S. Kompacti uprugikh elementov mekhanicheskikh kolebatelnikh system. Voprosi postroeniy i vzaimodeystviy s elementami system // Molodezhniy vestnik ивАТи. 2013. № 1, p. 71-80.
© Большаков Р. С., 2014
