О возможностях использования дополнительных связей инерционного типа в задачах динамики технических систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62.752, 621:534;833; 888.6, 629.4.015;02 DOI: 10.21285/1814-3520-2016-5-19-36

О ВОЗМОЖНОСТЯХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ ИНЕРЦИОННОГО ТИПА В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© С.В. Елисеев1, Н.К. Кузнецов2, Р.С. Большаков3, Нгуен Дык Хуинь4

1,3,4Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются возможности расширения динамических свойств механических колебательных систем при введении типовых элементов нового типа. В рамках структурного математического моделирования такие элементарные звенья представляют собой устройства для преобразования движения и имеют передаточную функцию дифференцирующего звена второго порядка. Входным сигналом звена является смещение, а выходным -усилие, зависящее от ускорения относительного движения точек соединения с другими типовыми элементами. Показано, что дифференцирующее звено второго порядка может соединяться с другими типовыми элементами на основе правил параллельного и последовательного соединения пружин. Структурные образования из нескольких типовых элементов обладают в технологиях взаимных соединений теми же свойствами, что и обычные типовые элементы. Предложены правила построения сложных элементов на примере построения квазипружин. Устройства для преобразования движения являются инерционными элементами и физически реализуются в качестве разнообразных простейших механизмов. Рассмотрены особенности формирования новых динамических свойств в системах с одной и двумя степенями свободы. Предложен метод определения частот собственных колебаний на основе построения частотной энергетической функции. Показаны возможности реализации приближенных графо-аналитических способов определения собственных частот.

Ключевые слова: инерционные элементы, квазипружины, дополнительные связи, собственные частоты, частотная энергетическая функция.

ON APPLICABILITY OF ADDITIONAL TIES OF INERTIAL TYPE IN THE PROBLEMS OF ENGINEERING SYSTEMS DYNAMICS

S.V. Eliseev, N.K. Kuznetsov, R.S. Bolshakov, Nguyen Duc Huynh

Irkutsk State University of Railway Engineering, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia. Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper deals with the possibilities of widening the dynamical properties of mechanical oscillation systems under the introduction of typical elements of a new kind. Within structural mathematical modeling, such elemental units are presented as motion translation devices with a transfer function of the second order differential link. Bias is an input signal of the link and effort is an output signal. The effort depends on the acceleration of relative movement of connection points with other typical elements. It is shown that the differential link of the second order can be connected with other standard elements on the basis of the rules of parallel and series connection of springs. Structural formations consisted of several standard elements have the same properties as simple standard elements in the technologies of mutual connections. We

1

Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Eliseev Sergey, Doctor of Engineering sciences, Professor, Chief Researcher, Director of the Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

2Кузнецов Николай Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, e-mail: knik@istu.edu

Kuznetsov Nikolay, Doctor of Engineering sciences, Professor, Head of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, e-mail: knik@istu.edu

3Большаков Роман Сергеевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru

Bolshakov Roman, Candidate of Engineering sciences, Senior Researcher of the Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru

4Нгуен Дык Хуинь, аспирант, e-mail: huynhnd1987@gmail.com 4Nguyen Duc Huynh, Postgraduate, e-mail: huynhnd1987@gmail.com

propose the rules to build complex elements on example of quasi-spring construction. Motion translation devices are inertial elements and are physically implemented as various simplest mechanisms. Formation features of new dynamical properties in the systems with one and two freedom degrees are considered. A method allowing to identify the frequencies of eigen oscillations on the basis of building a frequency energy function is offered. Implemetation possibilities for approximate graph-analytic methods of eigen frequencies identification are shown. Keywords: inertial elements, quasi-spings, additional ties, eigen frequencies, frequency energy function

Введение

Внимание к вопросам обеспечения надежности машин, повышения безопасности их эксплуатации и динамического качества стимулирует поиск и разработку технических средств контроля и управления динамическим состоянием технических систем [1, 8, 12, 14]. Ряд исследований теоретической и практической направленности нашел отражение в работах, связанных с оценкой возможностей использования элементов нетрадиционного типа в виде устройств для преобразования движения (УПД) [2, 15, 18]. Такие элементы могут быть реализованы, в частности, на основе различных механизмов (винтовых, несамотормозящихся, зубчатых, шарнирно-рычажных и др.). Детализированное описание особенностей динамики механических колебательных систем с такими элементами представлено в работах последних лет [4, 9, 13, 15].

Значительное внимание к оценке динамических свойств устройств для преобразования движения уделено в работах, развивающих идеи структурного математического моделирования, в которых устройства для преобразования движения рассматриваются на уровне типовых дифференцирующих звеньев второго порядка. Особенности упомянутых структурных подходов заключаются в использовании динамических аналогий во взаимодействиях электрических и механических систем [3, 6], а также систем автоматического управления [11, 16]. К настоящему времени разработано большое количество разнообразных конструктивно-технических решений, позволяющих прогнозировать развитие этого направления исследований. Вместе с тем некоторые вопросы по оценке динамических свойств и возможностей УПД в формировании структур механических колебательных систем и виброзащитных систем в частности еще не получили должной детализации. В этом плане определенный интерес представляют возможности использования таких эффектов от применения УПД, как введение дополнительных связей по ускорению, изменение параметров приведенных масс и жесткостей, создание дополнительных эффектов динамического гашения колебаний, «запирание» взаимодействия элементов на определенных частотах, формирование нетрадиционных типов межпарциальных связей и др.

В предлагаемой статье развивается методологическая основа построения математических моделей для задач виброзащиты и виброизоляции объектов машиностроения с использованием структурных представлений о динамических взаимодействиях обычных типовых звеньев и устройств для преобразования движения.

Общие положения. Особенности динамических взаимодействий

В рамках структурного математического моделирования [3, 6, 11] механическая колебательная система отображается эквивалентной в динамическом отношении структурной схемой системы автоматического управления, что связано с проведением ряда операций, использующих преобразования Лапласа. Методические основы таких подходов достаточно детализированы [4, 15, 16].

На рис. 1, б-ж показаны разные формы структурных преобразований моделей на примере виброзащитной системы (рис. 1, а) с одной степенью свободы. На рис. 1 приняты обозначения: m - масса объекта защиты; k - коэффициент жесткости пружины; b - коэффициент вязкого трения; L - приведенная масса устройства для преобразования движения; I и II -опорные поверхности. В системе рассматриваются силовое Q и кинематические гармонические возмущения z1(t) и z2(t). Система обладает линейными свойствами и совершает малые колебания относительно положения статического равновесия. На рис. 1 принимается, что

p = уш - комплексная переменная (преобразование Лапласа выполняется для нулевых начальных условий [6, 16]).

Построение структурной схемы на рис. 1, б требует предварительного построения математической модели в виде дифференциального уравнения. Соответствующие выражения для кинетической и потенциальной энергий можно записать в виде:

т = imy2+- ч)2+\L2(yi - h)2;

П = 1 h( y - z1)2 +1 k2( y - Z2)2.

(1) (2)

Выражение для энергии рассеяния колебаний может быть представлено следующим образом:

ф = \Чу~Ю2+\h(y~ ¿г)2 ■

(3)

[6]:

Уравнение движения получим на основе использования уравнения Лагранжа 2-го рода

_ 2 _ _ _ — _ 2 _ 2

y(m + Li + L2)p + y(bi + b2)y + y(\ + k^) = Q + zi(Lip + bip + ki) + Z2(L2P + V + kl) ■ (4)

а //////////////

Q

W.t )

О,

Li

Ж

///////////

Zi(i)

(Li + L2)p + (bi + b2)p + +k, + k,

Q

■ Li p + ki + bi p

^~L2p + k2 + b2p

-1

д \Q

i \y

> mp1

(m+l + L) p + (b+b ) p+

+

LP +k+\p

LL2 p2 + k2 + b2 p

Q

/

knp2

0,

7777777777777

,zi(t)

Рис. 1. Расчетные и структурные схемы системы: а - исходная схема с полным набором элементарных типовых звеньев; б - структурная схема с полным набором типовых звеньев; в - структурная схема с УПД в цепи обратной отрицательной связи; г - структурная схема в обобщенном виде; е - структурная схема с объектом с приведенной массой; ж - расчетная схема с обобщенными упругими

элементами

Fig. 1. Design and block schematic diagrams of the system: а - an original diagram with a full set of standard elementary units; б - a block schematic diagram with a full set of standard units; в - a block schematic diagram with a motion translation device in a negative feedback circuit; г - a generalized block schematic diagram; е - a block schematic diagram with a reduced mass object; ж - a design scheme with generalized elastic elements

k

2

y

m

ki

z

z

m

z

z

k

Уравнение (4) является основой для построения структурной математической модели. На рис. 1, а показана расчетная схема, которая в результате формальных преобразований трансформируется в структурную схему, приведенную на рис. 1, б, которая представляет собой математическую модель другого вида, описываемую уравнением (4). Значок <-> означает изображение по Лапласу. Отметим, что типовые элементы в рамках структурной модели интерпретируются в виде соответствующих цепей обратной связи. Так как цепь обратной связи имеет на входе координату у, а передаточная функция каждой ветки обратной связи в физическом смысле соответствует «коэффициенту жесткости» элемента, то при выходе ветви в точку 1 (см. рис. 1, б) ветвь обратной связи уже будет соответствовать реакции связи, величина которой равна произведению приведенной жесткости звена на смещение.

В данном случае очевидно, что типовые элементы с передаточными функциями ^р2, ¿2р2, Ь1р, Ь2р, к1 и к2 отличаются определенной особенностью: на входе любого типового звена имеется смещение, а на выходе формируется усилие. В таких условиях предопределяются правила коммутации элементарных звеньев как «правила параллельного и последовательного соединения пружин» [3, 6, 11]. Передаточные функции для системы, показанной на рис. 1, а, определяются по любой из структурных схем на рис. 1, в-ж.

Передаточные функции системы определяются при одном входном сигнале в предположении, что другие входные воздействия будут равны нулю. Таким образом,

W(p) =y = 1

д*од=од=о Q Ар)

(5)

W2(p) = L = Lip + bip + ki; \ *0,Q=0, z2 =о zi A( p)

(6)

_ 2

W3p = L = L2p + b2p + k2 ;

z2 *0,Q=о, z =0 Z1 A( p)

(7)

_ 2

w{p) =y= (L1 + L2) P + (b1 + b2)P + k1 + k2

Q=03z1=z2=z z A(P)

(8)

где

2

A(p) = (m + L1 + L2)p + (b1 + b2)p + k1 + k2

(9)

является характеристическим частотным уравнением.

Оценка динамических свойств виброзащитной системы, приведенной на рис. 1, а, проводится на основе частотных характеристик, получаемых при подстановке в выражения (5)-(8) величины р = у'ш (/ = л1-1), как это делается в частотных методах анализа систем [7, 10].

Особенности коммутации типовых элементов механических колебательных систем

Из вышеперечисленного следует, что каждый из типовых элементов имеет свою передаточную функцию упругого, диссипативного, массо-инерционного звена или УПД. При этом объект защиты (см. рис. 1, б-ж) имеет передаточную функцию интегрирующего звена второго порядка, а передаточные функции системы (5)-(8) формируются с использованием правил свертки элементов с обратной связью [6, 10].

Рассмотрим ряд случаев соединения УПД с типовыми элементами.

Упругий элемент к1 и 1р2 - последовательное и параллельное соединения:

кр = к + Ьр2; (10)

кпр2 = к1^ ■ (11)

к + Ьр1

Диссипативный элемент и УПД в параллельных и последовательных соединениях имеют вид:

кПр = Ър + Ьр1; (12)

2

bLpz b + Lp

кпр i т ■ (13)

Соединения L1p и L2p соответственно имеют формы:

к'"

хпр

*пр = (Li+L2) p2; (14)

кПР = (к + Ь2)р\п = р1. (15)

Ь1 + Ь1

Аналогичным образом могут быть построены и другие формы связки типовых звеньев в более сложных конфигурациях. Такие образования элементов формируют обобщенную пружину, а виброзащитная система, показанная на рис. 1, а, может быть приведена к базовой форме. В этом случае система имеет объект защиты с массой т и одну обобщенную пружину с динамической жесткостью:

кпр о

= (к+к)р + (Ъ+Ъ1)р+к + к1 ■ (16)

Динамическая жесткость кпро зависит от частоты внешнего возмущения и может принимать нулевое значение на частоте, которую можно найти из решения уравнения (16). В данном случае кпр о представлена как некоторое сложное звено, отражающее свойства квазипружины. В работах [7, 17] показано, что свойства квазипружины аналогичны обычным элементам в операциях коммутации.

При действии внешнего силового возмущения О в механической системе (рис. 1, а) возникает режим вынужденных колебаний, характеризующийся передаточной функцией

Жв(р) = У =-1-■ (17)

у (т + Ь) р + к + к1

Частота резонансных колебаний определяется из выражения

^2 _ к1 + к2 m + L

®2рез =-L-T2 ■ (18)

Амплитудно-частотная характеристика системы при силовом возмущении имеет обычную форму. При кинематическом возмущении, например, при г\ Ф 0 (О = 0, г2 = 0), передаточная функция системы будет определяться выражением

W, (p) = y —

Lp2 + к1

z1 (m + L) p2 + к1 + к2

(19)

При равенстве нулю числителя в выражении (19) в системе реализуется режим динамического гашения, но частота динамического гашения может соотноситься со следующими условиями:

1 11 1 1 _ 1 ®дин ^ ®рез, ®дин ^ ®рез, ®дин = ®рез.

На рис. 2 приведены соответствующие амплитудно-частотные характеристики. Из вы-

1 к ражения (19) следует, что Ж(р) =-, а при р ^ 0 Ж(р) = —1—. Если числитель и зна-

т +Ь к1 + к1

,,т к] к] + к1 менталь (19) одновременно становятся равными нулю, то — = ——1, откуда следует, что

L m + L

между значениями I и т существует соотношение

_ кт

L —

к

(20)

При возмущении со стороны опорной поверхности II (рис. 1, а) будем иметь

о

Lp2 + к2

W(p) — y — - 2 z z2 (т + L)p + к1 + к2

(21)

Из (21) следует, что возможны случаи ю2рез

2 к1 + к2 2 к1 + к2 2 _ к1 + к2

<

®1 р

Z1 рез Т ' 1 рез т

+ т г Ь + т г Ь + т Последнее дает соотношения между ^ и т, при возмущении г2 Ф 0 выполняется соотношение

<

®2 р

ез

к\ т

т — — L к2

(22)

тогда как при возмущении Ф 0 имеется

L — к2 т ■ к1

(23)

На рис. 2, а, б приведены амплитудно-частотные характеристики системы при кинематическом возмущении г^) и г2(() соответственно. Отметим, что при определенном соотноше-

£

нии параметров, когда т = — Ь {г1 Ф 0) и при т = — Ь (г2 Ф 0), возможно возникновение ре-

к1 к1 жима «запирания» на всех частотах. При этом соотношения между амплитудами колебаний

объекта защиты и опорной поверхности определяются в виде

h

при z1 Ф 0, и

к,

при

к1 + к1 к1 + к1 г2 Ф 0. Эти условия выполняются на всех частотах диапазона (силы трения в расчетах не учитываются; в противном случае решение задачи требует иных подходов).

а б

Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики: а - при возбуждении со стороны опорной поверхности zj Ф 0 (1 - динамическое гашение до резонанса, 2 - динамическое гашение после резонанса, xxx - частоты гашения и резонанса совпадают); б - при кинематическом возмущении zj Ф 0 (zj = 0, Q = 0) Fig. 2. Amplitude-frequency characteristics: а - under excitation by a support surface zj Ф 0 (1 - dynamical damping to resonance, 2 - dynamical damping after resonance, xxx - damping and resonance frequencies coincide); б - under kinematic perturbation

Zj Ф 0 (Z2 = 0, Q = 0)

Если критические соотношения между инерционными параметрами m и L (см. выражения (22), (23)) не выполняются, то эффект запирания реализуется на высоких частотах ( Пределы соотношения амплитуд при pопределяются теми же значениями, что и в критическом случае. В системах реализуются, как показано на рис. 2, и режимы динамического гашения колебаний, которые могут происходить в зарезонансной и дорезонансной областях частот внешних воздействий. Новым эффектом может рассматриваться то обстоятельство, когда разница между амплитудами колебаний объекта защиты составляет некоторую величину.

К примеру, если Zj = z0 sin at, то величина сжатия пружины k1 составляет z10 - y———, что

ki + k2

позволяет определить некоторый запас потенциальной энергии, которым обладает система в режиме «запирания». Аналогичным образом будет подвержена деформации и пружина k2, для

которой потенциальная энергия определится значением амплитуды колебаний y2k . Этот

ki + k2

«запас» энергии упругих элементов определяется соотношениями между значениями m и L на частоте критических взаимодействий («запирание»). Данное условие соблюдается при разных частотах. При возбуждении со стороны опорной поверхности II будет соблюдаться аналогичная картина взаимодействий.

В определенном смысле режим «запирания» можно рассматривать как режим «захвата» энергии и сохранения ее на период вынужденных колебаний при выполнении необходимых соотношений между параметрами системы. Такой эффект может быть достигнут, например, при подстройке величины приведенной массы L, что возможно при наличии управляемых устройств, создающих определенные моменты сил на гайке-маховике, если использовать в качестве УПД несамотормозящийся винтовой механизм [5].

Устройство для преобразования движения в системе с двумя степенями свободы

Рассмотрим цепную механическую колебательную систему с двумя степенями свободы, в составе которой имеются упругие элементы к\ к2, к3 и массоинерционные элементы т\ и т2, как показано на рис. 3.

Найдем варажения для кинетической и потенциальной энергий в предположении, что система совершает свободные колебания, а между координатами у2 и у имеется соотношение

У2/У1 = а. (24)

Тогда

rr 1 -2,1 -2 1 • 2 / ,2 ч.

Т = ~т\У\ +~т2У2 = -У\ Ol +а т2),

(25)

1 9 1 9I9I9 9

П = -hy\ +-ЧУ2 -У1)2 +-hУ2 =-У1 (k + h + (k2 + h)az -2k2a). (26)

Введем в рассмотрение частотную энергетическую функцию (по аналогии с приближенным энергетическим методом определения низших частот собственных колебаний), которая имеет вид

2

а?(а) = П(a) - (*1 + к2 + (к2 + къ)а -2V)

T (а)

2

m-1 + a m.2

(27)

//////////////

Ö (t)

*>/////?//// /// Рис. 3. Расчетная схема виброзащитной системы с двумя степенями свободы Fig. 3. A design diagram of a vibration-proof system with two degrees of freedom

На рис. 4 приведен график зависимости ш2(а) при заданных параметрах расчетной схемы (к\ = к, к2 = 2к, к3 = 3к, т\ = т2 = т). График построен в предположении, что а > 0, то есть в рассмотрение принимается форма соотношений между координатами движения у и у2, которая соответствует первой форме главных колебаний. График имеет характерную форму и при максимальном значении имеет два параметра ш2, что соответствует основной частоте собственных колебаний (ш21соб), а также определяет значение коэффициента распределения амплитуд колебаний.

со (a)

ki + к2

от,

с

к2 + къ

1соб

a

2

Рис. 4. График зависимости ш (а) от значении параметра а Fig. 4. A graph of ш2(а) as a function of a

Для последующего анализа построим структурную математическую модель системы, приведенной на рис. 1. Структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 5. Используя представленную схему, получим выражения для передаточных функций [6]. В соответствие со схемой системы, приведенной на рис. 5, запишем, что

_ 'i

W( p)-&-m2 p + k2+k3;

Qi Ао

(28)

W (p) ■ I - A);

(29)

Wi2( P) - ^ -■

yi m2 p + k2 + кз

(30)

где

2 2 2 Ао - (miP + ki + k2)(m2P + k2 + k3)"k2 ■

(31)

2

i i

mp2 + k + k2 T mp2 + k2 + k \У 2

У i

Рис. 5. Структурная математическая модель виброзащитнои системы Fig. 5. The structural mathematical model of vibration-proof system

Выражение (31) определяет характеристическое частотное уравнение. Используя его, можно получить аналитические выражения для частот собственных колебаний:

_ w12 ^ n2 , l[mi (k2 + k3) - m2 (k1 + k2 )]2 + 4mim2k2 _

2 2 - nL + П2 ± 2 2

2 V ( mim2)2

(n2 - 4)2 i 4k2 i + 2 _ mim2(nl2 - n2)2 _

(32)

Здесь пц, п2 - парциальные частоты

2 к + к2 . 2 к2 + к3

«1 =--2, «2 =—-3■ (33)

т, т.2

При определении частот собственных колебаний существуют определенные связи между парциальными и собственными частотами колебаний

®\соб < П1 < п2 < ®2соб ■ (34)

При этом выполняется также и условие

2 2 2 2 ®\соб + ®2.соб = n1 + n2 ■ (35)

Отметим, что условия (34) и (35) выполняются в определенных системах координат, что требует внимания к оценке вида межпарциальных связей, которые могут быть упругими и инерционными. При введении дополнительных связей, например, при использовании типовых элементов с передаточными функциями дифференцирующего звена 2-го рода, межпарциальные связи принимают вид инерционно-упругих. В таких ситуациях межпарциальная связь на определенных частотах может «зануляться», что связано с появлением специфических динамических режимов движения системы. Комбинированные межпарциальные связи формируют иные значения парциальных частот, что требует отдельного рассмотрения.

Поскольку исходная система имеет две степени свободы, то, учитывая особенности свободных колебаний в структуре цепного типа, коэффициент распределения амплитуд колебаний а будет иметь отрицательное значение, таким образом можно принять, что а < 0. В этом случае график зависимости ш2(а) примет другой вид (рис. 6), однако наличие экстремумов частотной энергетической функции ш2(а) сохранится.

Рис. 6. График зависимости ш2(а) в области отрицательных значений параметра а Fig. 6. A graph of ш2(а) as a function of a parameter negative values

Необходимо отметить, что на графике рис. 6 в области положительных значений a

наблюдается ассимптотическое движение w2(a) при а ^ х к пределу ш2(а) ^ k2 + = , то

m2

есть ко второй парциальной частоте. При a = 0 будем иметь о2(a) = k + kf , что соответствует

mi

значению парциальной частоты nf. В свою очередь при уменьшении а, когда отрицательное

значение а ^ - м, функция ш2(а) ^ к2 + кз = , тогда как при а = 0 ш2(а) имеет значение

ш2

к- + к2 . Отмеченное позволяет ввести в рассмотрение обобщенное представление частотной

ш-1

энергетической функции в виде графика, изображенного на рис. 7.

с2( a)il

m

2

Рис. 7. График обобщенного вида зависимости ш2(а) Fig. 7. A graph of a generalized form of ш2(а) function

0 0 0 Определение значений а и ш2(а), то есть собственных частот колебаний ш21С0б и ш22соб,

коррелируются в соотношениях, определяемых передаточной функцией межпарциальных

связей.

Определение частот собственных колебаний графоаналитическим методом

Из частотного характеристического уравнения

(mlp2 + k + k1)(m1p1 + k2 + k3) - k% = 0 (36)

следует, в частности условие

¿2_- (miP2 + ki + k2 ) (37)

(Ш2Р2 + к2 + кз) к2

Графическая интерпретация условия (37) приведена на рис. 8. При этом учитывается, что отношение у2/у характеризует отношение амплитуд колебаний в главных формах движения.

Рис. 8. Принципиальная схема определения коэффициентов распределения амплитуд главных

колебаний на основе передаточных функций межпарциальных связей Fig. 8. A schematic diagram of the determination of the amplitude distribution coefficients of the main fluctuations on the basis of the transfer functions of interpartial ties

Результаты численного моделирования подтвердили возможности предлагаемых представлений о соотношениях координат движения в главных формах.

Введение в структуру устройства для преобразования движения

Если ввести в расчетную схему, показанную на рис. 3, устройство для преобразования движения, обладающее приведенной массой то это можно представить как введение УПД параллельно пружине к2. В этом случае в структурной схеме произойдут изменения, а структурная математическая модель примет вид, приведенный на рис. 9.

Lp2 + k2

1

(m+L) p + k+k2

т

Lp + k

1

(m + L) p + k2 + k.

Рис. 9. Структурная схема системы с двумя степенями свободы и УПД Fig. 9. A block schematic diagram of the system with two degrees of freedom and a motion translation device

В рассматриваемом случае передаточные функции (28)-(30) преобразуются к виду:

WY p) = А = (m2 + L)p + k2 + k3 .

1(p) öl AO .

(38)

W (p) = # =

__-I

_ У2 _ LP + k2 .

öl A

(39)

m p)==—Ljp2+^

У1 (m2 + L) p + k2 + k3

(40)

где

9 9 9 9

A0 = [(mi + Li)p2 + kl + k2)][(m2 + L)p2 + k2 + кз) - (Lp2 + k2)2

(41)

- частотное характеристическое уравнение.

В приведенной форме выражение (41) примет вид

4

(m + L)(m + L) - L2 J + p2 [(^2 + L)(k2 + k3) + (m2 + L)(ki + k2) - 2Lk2 ]

+kik2 + k2k3 + kk = 0.

+

(42)

Из (42) следует, что частоты собственных колебаний системы будут зависеть от величины Выражение для аналитического определения частот собственных колебаний имеет вид

2 Ш\(к2 + кз) + Ш2(к\ + к2 ) +1 (к\ + к3) 1 (лъ

^1,2соб =---—,---::--- чВ , (43)

21^1^2 + ДШ + т2

где

2

+ £3) + + £2) + L(£ + £3)} - L(kk + ¿2^3 + ^¿зХда^т + + ^2)) [mm + ¿(w1 + ^2)]

(44)

Если принять ¿=0, то (44) преобразуется к выражению (30). Из (44) видно, что при межпарциальных связях упруго-инерционного (или комбинированного) вида понятие о парциальных частотах приобретает более общий смысл, поскольку в системах реализуется иной комплекс динамических взаимодействий составляющих элементов. Отметим, что введение УПД приводит к формированию в системе инерционных элементов, обладающих так называемыми приведенными массами, что требует в задачах динамического анализа и синтеза развития соответствующих подходов.

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы с УПД в представлении о том, что в главных колебаниях соотношения между координатами также имеют вид (24), то есть у2 = ау1.

В этом случае

1 о 1 ? 1 9 1 2 2

T = -mlyl +-m2y2+-L(y2-yl) =-yl[ml+L + a (т2+L)-2La]]

(45)

1 9 1 ?1?1? 9

П = -ад +-h(y2 -У1)2 + -кзУ2 =-У12(k + k2 + k + ¿з)а2 -2V) ■ (46)

При введении УПД кинетическая и потенциальная энергия системы приобретают полную квадратичную форму. Тогда

2

a2(a) = П(а) - £1 + £2 + (k2 + k3)a -2£2а T (а) щ + L + а2 (m2 + L) - 2La

(47)

Оставив параметры к\, к2, к3, т1, т2 из предыдущего численного эксперимента, проил-

/ 1 2 люстрируем влияние I при следующих значениях этого параметра: -т , —

4 3

m , 5m. Соответ-

ствующие графики зависимости ш2(а) при -~<а<~ показаны на рис. 10. Как следует из этого рис., увеличение приведенной массы ^ приводит к тому, что частоты собственных колебаний системы уменьшаются (кривые 1 и 3). Вместе с тем величина ^ может иметь предельное значение, когда движение между массами т1 и т2 «запирается», что соответствует определенному соотношению между ^ и т. В частности, при численном моделировании такое значение 2

имеет вид: ^ = -т (кривая 2).

Передаточная функция межпарциальной связи (в предположении, что внешнее силовое воздействие приложено к объекту защиты т1) имеет вид

Wu( Р) = ^ = -

2

Lp2 + k2

У1 (m2 + L) p + k2 + k3

(48)

При частоте, определяемой выражением

2 _кг_

один ~ Т , ь2

движение по координате у2 прекратится. При частоте

2 ко + кт

о = ■ 2 3

m2 + L

(49)

(50)

возможен неограниченно большой рост смещения по координате у2. При частоте, определяемой соотношением

к2 _ к2 + к3

L m2 + L

(51)

следует, что У2 превращается в неопределенность типа 0, которая может быть разрешена с

У1 0

помощью выражения

0

L

У2 =_

У m2 + L

(52)

со1

k2 + k3 1

L ■ —-3 при L = — m

m2 + L 4

k2 + k3 2

L ■-3 при L = — m

m + L

1co6L2

0,83 0,5

I 1

2

Э1соб L3

L ■ + k При L = 5m

Рис. 10. Семейство графиков ш (а) при различных значениях приведенных масс L:

1 2 1 - при L = —m ; 2 - при L = —m ; 3 - при L = 5m 4 3

Fig. 10. ш (а) graph family under different values of L reduced mass:

1 2 1 - when L = —m ; 2 - when L = —m ; 3 - when L = 5m

4 3

В этом случае между I и т2 должно быть соотношение к2т2 + к2Ь = Ьк2 + Ькъ , откуда

Ш2 = Ь—. Графики зависимости у2 от ш приведены на рис. 11.

к2 У1

Отметим, что когда выше рассматривалась система с УПД и одной степенью свободы при кинематических возмущениях со стороны опорных поверхностей, также наблюдалось появление критического режима «запирания» во всем частотном диапазоне.

9 кгу

Рассмотрим ситуацию с возмущением, когда о) = —. В этом случае из выражения

Ь

для передаточной функции вида

rn( p)=y2=

(m2 + L) p + k2 + k3

ö [(m + L)p2 + k + k2 ] [(m2 + L)p2 + k2 + k3 ] - (Lp2 + k|)

(53)

a

следует, что

Wi( Р) =

2 k2 СО =—

L

mp■

+k

(54)

то есть по координате у2 наблюдается остановка (у2 = 0), а по координате у1 происходит движение с параметрами системы с одной степенью свободы (т1р2 и к1).

1

Рис. 11. Графики зависимости передаточного отношения межпарциальных связей: 1 - кривая зависимости при динамическом гашении в дорезонансной зоне; 2 - график

зависимости при динамическом гашении по координате y2 в зарезонансной зоне; 3 - кривая зависимости в критическом случае, когда система «запирается» на всем

диапазоне частот Fig. 11. Dependency graphs of interpartial ties transmission relations: 1 - dependency curve under dynamic damping in the before-resonance zone; 2 - dependency graph under dynamic damping by y2 in the after-resonance zone; 3 - dependency curve in a critical case when the system

is "locked" through-band frequency range

Если частота внешнего воздействия составляет

2 к2 + к3 ......

со = —-3, (55)

т.2 + Ь

что соответствует динамическому гашению колебаний по координате у1, то получим выражение

_ 2

щ (р) = 3. = Ьр + к2 = 1 =_1_=

1(Р) 01 (Ьр2 + к2)2 Ьр2 +к2 - Ь(к2 + к3) + к2

т2 + Ь 2 (56)

т2 + Ь т2 + Ь

-L^2 - L^3 + ^2^2 - L^2 ^2^2 - Lh3

которое не исключает особенностей взаимодействий при соотношениях т2 = —. Отметим,

к2

что такие соотношения приводят к «запиранию» системы во всем частотном диапазоне.

Графоаналитический способ определения частот собственных колебаний и коэффициентов распределения амплитуд движения в первой и второй формах может быть также применен при использовании соотношений, получаемых из частотного уравнения (41), из которого следует, что

ьР2 + к2 = (Ш1 +Ь) р2 + к1 + к2 ^

(т2 + Ь) р2 + к2 + к3 Ьр2 + к2

Таким образом, введение дополнительных связей по ускорению, которые физически реализуются устройствами для преобразования движения (в частности, на основе несамотормозящихся винтовых механизмов), существенным образом влияет на формы динамических взаимодействий элементов механических колебательных систем.

Заключение

Устройства для преобразования движения могут вводиться для построения и преобразования структурных математических моделей механических колебательных систем, в частности виброзащитных, как типовые элементарные звенья с передаточной функцией дифференцирующего элемента второго порядка.

1. Коммутация устройств для преобразования движения с упругими, диссипативными и другими элементами производится по правилам параллельного и последовательного соединения линейных пружин. При этом происходит образование звеньев виброзащитных систем различных видов. Такие звенья уже не являются элементарными, так как они образуются по определенным правилам.

2. Показано, что структурные образования на основе соединения элементарных звеньев УПД обладают возможностями коммутации по правилам последовательного и параллельного соединения пружин, однако их приведенная жесткость зависит от частоты. Такие образования получили названия обобщенных пружин (или квазипружин), обладающих динамической жесткостью.

3. Разработан метод построения математических моделей с УПД на основе использования структурных схем систем с обычными упруго-диссипативными и массо-инерционными элементами с последующим присоединением передаточной функции звена двойного дифференцирования в параллельную позицию к соответствующему упругому элементу.

4. Предложен метод определения частот собственных колебаний для механических колебательных систем на основе введения частотной энергетической функции в виде отношения потенциальной и кинетической энергий. Особенность метода заключается во введении в соответствующие выражения для энергий предполагаемых соотношений координат в движениях по главным формам. Метод дает точные значения частот собственных колебаний и допускает аналитические решения для систем с двумя степенями свободы.

5. Предложен графоаналитический метод определения частот собственных колебаний и коэффициентов форм на основе использования передаточных отношений межпарциальных связей. Полученные результаты совпадают с результатами расчетов, выполненных с помощью частотной энергетической функции, а также других известных методов.

Статья поступила 30.03.2016 г.

Библиографический список

1. Безопасность России. Правовые, социально-экономические и научно-технические аспекты / В.А. Акимов, В.А. Алексеенко, С.В. Елисеев [и др.]. М. 2014. Том «Безопасность железнодорожного транспорта в условиях Сибири и Севера». 856 с.

2. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Взаимодействие звеньев через массо-инерционный элемент в теории механических цепей // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 2 (14). С. 7-15.

3. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. СПб.: Политехника, 2013. 364 с.

4. Динамические взаимодействия элементов машин: расчетные схемы и математические модели вибрационных состояний / С.В. Елисеев, А.И. Артюнин, А.С. Логунов [и др.]. Иркутский гос. ун-т путей сообщения. Иркутск; 2013. 319 с. Деп. в ВИНИТИ 08.11.2013 № 313.

5. Елисеев С.В., Волков Л.Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. Новосибирск: Наука, 1990. 386 с.

6. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных си-

стем. Новосибирск: Наука, 2011. 384 с.

7. Елисеев С.В., Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. Вып. 4 (36). С. 61-70.

8. Елисеев С.В., Хоменко А. П. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования. Новосибирск: Наука, 2014. 357 с.

9. Иванов Б.Г. Разработка методов расчета динамики и прочности агрегатов транспортной техники с рычажно -шарнирными связями: автореф. дис. ... д-ра техн. наук; 01.02.06. Самара. 2007. 48 с.

10. Ким П.Д. Теория автоматического управления: учеб. пособие: в 2 т. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Т. 1. Линейные системы. 288 с.

11. Концепция обратной связи в динамике механических систем и динамическое гашение колебаний / С.В. Елисеев, А.Н. Трофимов, Р.С. Большаков, А.А. Савченко // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012. № 5. URL: http://technomag.edu.ru/doc/378353.html (10.05.2015).

12. Кузнецов Н.К. Управление колебаниями упругих мехатронных систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2005. № 7. С. 7-13.

13. Лаврусь В.В. Совершенствование пневматических рычажно-шарнирных систем железнодорожного транспорта: автореф. дис. ... канд. техн. наук; 01.02.06. Орел, 2006. 20 с.

14. Лонцих П.А., Елисеев С.В. Динамическое качество машин и оборудования как инструмент обеспечения надежности производства и конкурентоспособности процессов. Прикладная теория виброзащитных систем. Иркутск: Изд-во ИРНИТУ, 2014. 322 с.

15. Методологические подходы в системном анализе и математическом моделировании механических колебательных систем / С.В. Елисеев, А.И. Артюнин, Ю.В. Ермошенко [и др.]; Иркутский гос. ун-т путей сообщения. Иркутск, 2013. 96 с. Деп. в ВИНИТИ 07.02.2013 № 37.

16. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в ме-хатронике виброзащитных систем. Иркутск: ИрГУПС, 2012. 288 с.

17. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности системы при исключении переменных динамического состояния // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2 (38). С. 8-17.

18. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical systems with additional ties. Irkutsk: ISU. 2006. 315 p.

References

1. Akimov V.A., Alekseenko V.A., Eliseev S.V. i dr. Bezopasnost' Rossii. Pravovye, sotsial'no-ekonomicheskie inauchno-tekhnicheskie aspekty. Tom "Bezopasnost" zheleznodorozhnogo transporta v usloviiakh Sibiri i Severn" [Legal, socioeconomic and scientific-technical aspects. Volume "Railway transport safety in the conditions of Siberia and the North"]. Moscow, 2014, 856 p.

2. Belokobyl'skii S.V., Eliseev S.V., Sitov I.S. Vzaimodeistvie zven'ev cherez massoiner-tsionnyi element v teorii mek-hanicheskikh tsepei [Interaction of units through the mass and inertial element in the theory of mechanical chains]. Sis-temy. Metody. Tekhnologii - Systems. Methods. Technologies, 2012, no. 2 (14), pp. 7-15.

3. Belokobyl'skii S.V., Eliseev S.V., Kashuba V.B. Prikladnye zadachi strukturnoi teorii vibrozashchitnykh system [Applied problems of the structural theory of antivibration systems]. Saint-Peterburg, Politekhnika Publ., 2013. 364 p.

4. Eliseev S.V., Artiunin A.I., Logunov A.S. i dr. Dinamicheskie vzaimodeistviia elementov mashin: raschetnye skhemy i matematicheskie modeli vibratsionnykh sostoianii [Dynamic interactions of machine elements: design diagrams and mathematical models of vibrating states]. Irkutskii gosudarstvennyi universitet putei soobshcheniia, Irkutsk, 2013. 319 р. Dep. v VINITI 08.11.2013 no. 313.

5. Eliseev S.V., Volkov L.N., Kukharenko V.P. Dinamika mekhanicheskikh sistem s dopolnitel'nymi sviaziami [Dynamics of mechanical systems with additional ties]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1990. 386 р.

6. Eliseev S.V., Reznik Iu.I., Khomenko A.P. Mekhatronnye podkhody v dinamike mekhanicheskikh kolebatel'nykh system [Mechatronic approaches in the dynamics of mechanical vibration systems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2011, 384 р.

7. Eliseev S.V., Kovyrshin S.V., Bol'shakov R.S. Osobennosti postroeniia kompaktov uprugikh elementov v mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistemakh. Vzaimodeistviia s elementami sistem i formy soedineniia [Construction features of compact elastic elements in mechanical oscillating systems. Interaction with system elements and linking forms]. Sov-remennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie - Modern technologies. System analysis. Modeling, 2012, issue 4 (36), pp. 61-70.

8. Eliseev S.V., Khomenko A.P. Dinamicheskoe gashenie kolebanii: kontseptsiia obratnoi sviazi i strukturnye metody matematicheskogo modelirovaniia [Dynamic vibration damping: the feedback concept and structural methods of mathematical modeling]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2014. 357 р.

9. Ivanov B.G. Razrabotka metodov rascheta dinamiki i prochnosti agregatov transportnoi tekhniki s rychazhno-sharnirnymi sviaziami. avtoref. dis. ... d-ra tekhn. nauk [Development of methods to calculate dynamics and durability of transportation machinery with lever-hinge connections: Abstract of a Doctoral Dissertation in engineering sciences]. Samara, 2007. 48 р.

10. Kim P.D. Teoriia avtomaticheskogo upravleniia. Vol. 1. Lineinye sistemy [Automatic Control Theory. Vol.1. Linear systems]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. 288 p.

11. Eliseev S.V., Trofimov A.N., Bol'shakov R.S., Savchenko A.A. Kontseptsiia obratnoi sviazi v dinamike mekhanich-eskikh sistem i dinamicheskoe gashenie kolebanii [The concept of feedback in mechanical system dynamics and dynamical damping of oscillations]. Nauka i obrazovanie - Sciences and Education, 2012, no. 5, available at: http://technomag.edu.ru/doc/378353.html (accessed 10 May 2015).

12. Kuznetsov N.K. Upravlenie kolebaniiami uprugikh mekhatronnykh sistem [Control of elastic mechatronic system vibrations]. Mekhatronika, avtomatizatsiia, upravlenie - Mechatronics, Automation, Control, 2005, no. 7, pp. 7-13.

13. Lavrus' V.V. Sovershenstvovanie pnevmaticheskikh rychazhno-sharnirnykh sistem zhelezno-dorozhnogo transporta. avtoref. dis. ... kand. tekhn. nauk [Improvement of pneumatic lever-hinge systems of railway transport. Abstract of the Candidate's Dissertation in Engineering sciences]. Orel, 2006. 20 p.

14. Lontsikh P.A., Eliseev S.V. Dinamicheskoe kachestvo mashin i oborudovaniia kak instrument obespecheniia nadezh-nosti proizvodstva i konkurentosposobnosti protsessov. Prikladnaia teoriia vibrozashchitnykh sistem [The dynamic quality of machinery and equipment as a tool ensuring production reliability and process competitiveness. Applied theory of antivibration systems]. Irkutsk, IRNITU Publ., 2014. 322 p.

15. Eliseev S.V., Artiunin A.I., Ermoshenko Iu.V. i dr. Metodologicheskie podkhody v sistemnom analize i matematich-eskom modelirovanii mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem [Methodological approaches in the system analysis and mathematical modeling of mechanical oscillation systems]. Irkutskii gosudarstvennyi universitet putei soobshcheniia, Irkutsk, 2013. 96 p. Dep. v VINITI 07.02.2013 no. 37.

16. Khomenko A.P., Eliseev S.V., Ermoshenko Iu.V. Sistemnyi analiz i matematicheskoe modelirovanie v mekhatronike vibrozashchitnykh system [System analysis and mathematical modeling in antivibration system mechatronics]. Irkutsk, IrGUPS Publ., 2012. 288 p.

17. Khomenko A.P., Eliseev S.V. Kvazielementy v mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistemakh. Osobennosti sistemy pri iskliuchenii peremennykh dinamicheskogo sostoianiia [Quasi-elements in mechanical oscillating systems. Features of the system under the exception of dynamic state variables]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie -Modern technologies. System analysis. Modeling, 2013, no. 2 (38), pp. 8-17.

18. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical systems with additional ties. Irkutsk, ISU Publ., 2006. 315 p.