Структуризация визуальных геометрических моделей многомерных евклидовых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

4. Юрков, В. Ю. Исчислительная интерпретация принципа Шаля и рациональные соответствия / В. Ю. Юрков // Прикладная геометрия [Электронный ресурс]. 2004. — Вып. 6. — № 13 (2004). — С. 1 — 17. — Режим доступа: http://apg.mai.ru/ (дата обращения: 17.01.2014).

5. Волков В. Я. Многомерная исчислительная геометрия : моногр. / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 2008. - 244 с.

ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики и математики.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 20.01.2014 г.

© В. Ю. Юрков

УДК 514.18 В. Ю. ЮРКОВ

Омский государственный педагогический университет

СТРУКТУРИЗАЦИЯ ВИЗУАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МНОГОМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Настоящая работа посвящена проблеме построения визуальных моделей многомерных евклидовых пространств. Рассматриваются модели различной структуры, являющиеся обобщением известных визуальных моделей — чертежа Монжа и чертежа Радищева. Показано, что основными структурными компонентами являются аффинные соответствия общего вида.

Ключевые слова: многомерные пространства, визуальные модели, соответствия.

В настоящее время существуют, развиваются и взаимно дополняют друг друга 2Б и 3Б компьютерные технологии обработки визуальной информации, а также 2Б и 3Б компьютерные модели и технологии моделирования. В связи с некоторой терминологической неоднозначностью, прослеживающейся в различных статьях и книгах, определимся с основными понятиями, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Под технологией будем понимать совокупность теоретических основ, методов и алгоритмов продуцирования, преобразования, обработки, хранения и передачи информации об объекте. Если речь идет

о визуальной информации, то технология будет называться, соответственно, визуальной технологией или технологией визуализации информации. Следует различать следующие визуальные технологии:

— ручные, то есть технологии построения графических моделей объектов, использующие материальные носители информации, инструменты, визуальные языки и интеллектуальные средства (базы знаний) модельера;

— компьютерные — технологии построения виртуальных графических моделей объектов, использующие интерактивные виртуальные 2Б и 3Б среды;

— информационные — технологии построения виртуальных моделей классов объектов, использующие возможности хранения, актуализации, сопоставления и использования для решения различных задач с объектами данных классов разной размерности;

— интеллектуальные — технологии, использующие математические методы анализа свойств, присущих классам объектов, методы выявления и использования закономерностей данных классов, методы оптимизации при построении виртуальных моделей данного класса.

Под моделированием будем понимать процесс разработки теоретических основ, методов и алгоритмов генерации совокупности объектов, более простых по сравнению с оригиналом, но сохраняющих в определенной степени те свойства оригинала, которые интересуют модельера в связи с конкретной решаемой задачей. Поскольку речь идет о визуализации, то есть о переводе объекта в визуальную форму, то можно утверждать, что в основе визуального моделирования всегда лежат совокупности геометрических образов, их преобразований и отношений между ними.

Существует виртуальное и реальное моделирование. Реальное моделирование ограничено по размерности и реализуется в пространстве, размерность которого не превышает трех. Так, реальное визуальное 2Б моделирование есть просто процесс построения изображения или переход к условно-схематическим образам, подчиняющимся основным аксиомам геометрии плоскости или другого двумерного пространства. Реальное визуальное 3Б моделирование есть процесс построения действующей модели или макета, сохраняющего пространственные, структурные, функциональные и другие свойства оригинала. Виртуальное моделирование теоретически не имеет ограничений по размерности, то есть можно утверждать существование виртуального пБ моделирования. Но в своем визуально адаптированном варианте оно, к сожалению, всегда ограничено двумерным информационным пространством.

Таким образом, задача построения интеллектуальной визуальной модели многомерного пространства является на сегодняшний день актуальной и может быть сформулирована в теоретико-множественном представлении как задача построения множества отображений:

*: К ® Шп ® Шз ® у2 (Шз),

* Кп ® Шп ® ® У2 (Ш2),

где Яп — многомерное пространство, как правило, неструктурированное, но содержащее всю доступную информацию об оригинале; Шп — виртуальная, структурированная, п-мерная, информационная, компьютерная модель пространства параметров оригинала; У2 — интеллектуальная визуальная двумерная модель пространства оригинала; Ш2 (Ш3) — виртуальная структурированная компьютерная двумерная (трехмерная) модель оригинала.

В общем случае задачу структуризации визуальной 2Б модели виртуального п-мерного евклидова пространства будем рассматривать как задачу объединения и комбинирования слоев:

У2 (Ш2) = иш (х., х.); 1 Ф.; 1=1.............п; .= 1.п;

т = С 2.

п

Легко можно доказать, что любой 0-мерный объект Р0(х1, ..., хп) имеет образ в У2:

V: Р0 « и Р0 . . (х., х.)

0 т 0, 1, . 'г у

и обратно. То есть отображение Яп ® У2 однозначно в каждом слое и обратимо в целом. Аналитически отображение V реализуется по правилу:

^ (хг ..^ xl, ..^ х. ..^ хп) ®

® (0, ...,0, х^ ..., 0, х., 0, ..., 0).

Для У2(Ш3) имеем аналогичную структуру:

Ш3 = ит (х., х., хк); 1Ф.Фк; 1=1, ..., п; .= 1, ..., п; ’к=1, ..., п; т = С3.

п

Тогда

У2 (Ш3) = и (х,, х., хк) • 8 = 1; 8=1, ..., т; 1=1, ..., т.

2 ' 3' т ' 1 . к' б, 1’ ' ' ' ' ' '

Алгоритм такого отображения реализуется по правилу

1) (xl, ., xi, ., xj, ., xk, ..., хп) ® (0, .,0, xi, ., 0, xj,

0, ..., 0, хк, 0, ..., 0);

2) [У1,m, У2,m, 0, 1] = [х1, х^ х^А^ОБ.

Здесь у1 т, у2 т — координаты точки т-го слоя визуальной модели; А, В, С, Б — матрицы параллельного переноса, поворота вокруг оси х., поворота вокруг оси х1, перспективного преобразования (в общем случае). Отсутствие матрицы Б приводит к аксонометрическим моделям.

Однако следует учитывать то обстоятельство, что выбор алгоритма визуализации 0-мерного объекта в качестве основной структурной компоненты приводит к визуализации не к-мерного подпространства, 0<к<п, а к визуализации множества к+1 независимых точек п-мерного пространства. К этому необходимо добавить проверку условия независимости точек этого множества и алгоритм построения любого числа точек определённого таким способом к-мер-ного подпространства [1, 2].

Рассматривая отображения Еп ® У2 (Ш3) и Еп ® ® У2 (Ш2) можно заметить иной подход к структуризации визуальных моделей. Сформулируем этот подход в виде теоремы.

Теорема. Основными структурными компонентами визуальных моделей пространства Еп, порож-

денных отображениями Еп ® У2 (Ш3) или Еп ® У2 (Ш2), являются аффинные отображения А3 (1 . : Ш3 1 « Ш3.

или А (- ■) : Ш2 ■ « Ш2 ..

(1, ]) 2, 1 2, ]

Действительно, отображение Е2 ® Ш2 1 есть проекция. Проецирующим многообразием является двумерное множество (п — 2)-плоскостей. Центром проецирования является бесконечно удаленная (п —3)-плоскость. Одним из свойств такого отображения является инвариантность простого отношения. Кроме того, для п > 3 пересечение Е2 и Ш2 1 или пусто, или 0-мерно. Следовательно, отображение Ш2 1 « Ш2 . есть аффинитет общего вида. Поскольку Е1 можно заключить в Е2, то отображение Ш1 1 « Ш1 . тоже является аффинитетом. Подпространства Ек можно рассматривать как линейные многообразия подпространств Е2. Следовательно, отображения Шк 1 « Шк . есть линейные множества аффинных соответствий, то есть тоже аффинитеты.

Аналогичные рассуждения справедливы и для

Е3 ® Ш3, 1.

Следствие 1. Подпространства Е0, Е1 (Е2) моделируются своими проекциями, связанными сужением отображения А2 (А3).

Модель пространства Е0, полученная по схеме Еп ® У2 (Ш3) или Еп ® У2(Ш2), представляет собой множество Е0= {Е0 1 . к (х1, х., хк), 1Ф]Фк, 1<1, . к<п} или множество Е0= {Е0 1 . (х1, х.), 1Ф., 1 <1, .<п}. Модель пространства Е1 представляет собой множество

Е1={Е1, 1, . к (х^ хг xk), 1Ф.Фk, 1£1, . к£п I х= (х1), хк = *к (х1)}

или

Е1={Е1, , . (х1, х.), 1Ф., 1 <1, .<п | х= (х1)}.

Модель пространства Е2, полученная по схеме Еп ® У2 (Ш3), представляет собой множество

Е2= {Е2, 1, . к (х^ хг xk), 1Ф.Фк 1£1, . к£п 1 хк = *к (х1, х,)}

Следствие 2. Подпространства Е3 (Е4), ..., Е п-1 моделируются, соответственно, одномерными, двумерными, ..., (п— 1)-мерными множествами отображений А (А3).

В качестве примера приведем структуризацию У2 (Ш2) (табл. 1) и У2 (Ш3) (табл. 2) моделей виртуального четырехмерного пространства.

В табл. 1 символом (х1, х.) обозначается слой модели, символом А. обозначено аффинное соответствие слоев (хк, х.) и (х1, хк), имеющими общую ось хк, символом 81. обозначена симметрия слоёв относительно биссектрисы координатных осей, символом А1,2,3,4 обозначено аффинное соответствие слоев, не имеющими общих осей, например слоёв (х1, х2) и (х3, х4). Рамочками выделены известные чертежи Монжа и Радищева. В табл. 2 приняты такие же обозначения. Рамочкой выделен известный чертеж Наумович.

Для шестимерного пространства имеем следующие отображения:

Е6 ® У2 (Ш3) и Е6 ® У2 (Ш2):

У2 (Ш2) = {(х1хх2) « (х1хх3) « (х1хх4) « (х1хх5) «

(х1хх6) и (х2хх1) « ... « (х2ххб) и ... и (х1хх2) «(х3хх4) « (х5хх6) и ...},

У2 (Ш3) = {(х1хх2хх3) « (х4хх5хх6) и ...}.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

9

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

Таблица 2

| (Х1, Х2, Хз) Аэ,41,2 (Х1, Х2, Х4) Ц

1 ^2,3 А2,41,3 А2,Э1,4

(XI, Хз, Х2) Э2.4 (Х1, Хз, Х4)

А4,31'2 А4.21'3 5э,4

(Х1, Х4, Х2) Аэ.21'4 (Х1, Х4, Хз)

Отображение Е6 ® У2 (Ш2) приводит к шести вариантам хорошо известной в многомерной начертательной геометрии модели Радищева. Теоретическое обоснование отображения Е6 ® У2 (Ш3) встречалось только в специальной литературе. Промежуточные модели, отличающиеся от указанных только перестановкой переменных, ничего принципиально нового не вносят. Выбор конкретного варианта отображения зависит от многих критериев, является задачей построения оптимальной модели и в настоящей статье не обсуждается.

Рассмотрим один из вариантов отображения Е6® ® У2 (Ш2), например (х1хх2) « (х1хх3) « (х1хх4) « «(х1хх5) « (х1хх6). Тогда моделью 0-плоскости является множество {(х1, х2), (х1, х3), (х1, х4), (х1, х5), (х1, х6)}, моделью 1-плоскости — множество {х2 = 12 (х1),

х3 = {3 (X1), х4 = {4 (хЛ х5 = {5 (X1), хб = {6 (X1)}, где = а1, 1 х1 +

+ а2 . Моделями 2-плоскости, 3-плоскости и 4-плоскости являются:

х. = а. .х. + а„ х„ + а, , 1 = 3, ..., 6,

1 1, 11 2, 12 3, 1' ' ' '

Моделью 3-плоскости являются:

х. = а. .х. + а„ х + а х, + а. , 1 = 4, ..., 6.

1 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1

Модель 4-плоскости: х. = а, х + а х + а х, + а. х. + а* , 1 = 5, ..., 6.

1 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, 1' ' '

Моделью гиперплоскости является

х, = а, .х, + а„ х„ + а, х, + а. х. + а х + а .

6 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, 1 5 6, 1

Отношения инцидентности шестимерного пространства соответствующим образом интерпретируются на моделях, что можно легко проверить.

Вычислительной основой, поддерживающей структуру визуальных моделей, являются алгоритмы решения систем линейных уравнений. Например, задача визуализации точки пересечения двух 3-плоскостей в модели Е6 ® У2 (Ш2) или в Е6 ® У2 (Ш3) решается следующим образом. Система уравнений

х. = а, .х, +а х + а х, + а. , 1 = 4, ..., 6,

1 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1' ' ' '

х. = а, х, + а„ х_ + а_ . х, + а. , 1 = 4, ..., 6,

1 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1' ' ' '

х. = а, . х, +а х + а х, + а. х + а , 1 = 5, ..., 6.

1 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, 1' ' '

х. = Ъ, х, +Ъ х0 + Ъ, х, + Ъ. ., 1 = 4, ..., 6

1 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1' ' '

Моделью гиперплоскости является х =а х +а х +а х +а х +а х +а .

6 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, 1 5 6, 1

Один из вариантов отображения Е6 ® У2 (Ш3), например (х1хх2хх3) « (х4хх5хх6), приводит к следующим результатам. Моделью 0-плоскости является множество {(х1, х2, х3), (х4, х5, х6)}, моделью 1-плоскости — множество {х2 = 12 (х1), х3 = 13 (х1), х5 = 15 (х4), х6 = 16 (х4)} с условием х4 = 14 (х1). Моделью 2-плос-

^6 *6 'л4

кости являются:

имеет единственное решение (х1, х2, х3) при условии, что данные 3-плоскости независимы. Затем определяются х., х„ х_.

456

Задача визуализации точки пересечения 2-плоскости и 4-плоскости в модели Е6 ® У2 (Ш3) решается следующим образом. Имеем систему

х3 а1, 3 х1+а2, 3 х2 + а3, 3,

х =а, Д,+^1 х. + а_ „,

6 1, 6 4 2, 6 5 3, 6'

х — а д, + ^ о х„ + а ^, х — а д,+а ^ х + а «,

3 1, 3 1 2, 3 2 3, 3 6 1, 6 4 2, 6 5 3, 6'

х. = а. . х. +а„ . х + а х + а х, + а , 1 = 5,

1 1, 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, 1

с условиями

х4 = а1, 4 х1+а2, 4 х2 + а3, 4, х5 = а1, 5 х1 + а2, 5 х2 + а3, 5.

с условиями

х =а х +а х +а , х =а х +а х +а .

4 1, 4 1 2, 4 2 3, 4 5 1, 5 1 2, 5 2 3, 5

6

Рис. 1. Визуальная модель У2 ^2) прямой, параллельной плоскости ОХ1Х2 пространства Е4

Рис. 2. Визуальная модель У2 ^3) прямой, параллельной плоскости ОХ1Х2 пространства Е4

Если уравнения независимы, то получается единственное решение (х1, х2), а затем вычисляются значения остальных четырех переменных. Аналогично решаются задачи визуализации остальных линейных подпространств. Например, полная визуальная модель У2 (W2) прямой, параллельной плоскости Ох^ пространства Е4, содержит шесть слоев и выглядит следующим образом (рис. 1). При этом упорядочение слоев может быть иным, удобным пользователю. Неполная визуальная модель может содержать только два слоя и быть при этом обратимой. Неполная визуальная модель У2 (Wз) такой же прямой выглядит следующим образом (рис. 2). Переход от слоя к слою выполняется по команде пользователя.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

— предложенный метод позволяет автоматически решать задачи визуализации линейных подпространств многомерного пространства;

— линейные позиционные задачи многомерного пространства решаются автоматически с последующей визуализацией результата;

— имеется возможность выбора оптимальной (наиболее удобной) структуры визуальной модели многомерного пространства.

Библиографический список

1. Иванов, Г. С. О перспективах начертательной геометрии как учебной дисциплины / Г. С. Иванов // Геометрия и графика. - 2011. - Вып. 1. - С. 36-39.

2. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования : учебник / В. Я. Волков [и др.]. -Омск : Изд-во СибАДИ, 2010. - 253 с.

ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики и математики.

Адрес для переписки: у1к1ог_уигкоу@таП. ги

Статья поступила в редакцию 20.01.2014 г.

© В. Ю. Юрков

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА