Элементы пространственной циклографии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.74

DOI: 10.25206/2588-0373-2018-2-3-63-70

ЭЛЕМЕНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЦИКЛОГРАФИИ

К. Л. Панчук, Е. В. Любчинов

Омский государственный технический университет, Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11

В современных CAD/CAM системах и в CAGD (Computer Aided Geometric Design) используются модели геометрических объектов (линий, поверхностей) пространства R4 в пространстве R3 и наоборот. Анализ используемых в таких системах геометрических моделей позволяет сделать вывод об актуальности исследований, направленных на разработку в пространстве R3 аналитических моделей линий и поверхностей пространства R4.

В настоящей работе показана возможность получения конструктивно-аналитической модели с использованием трёхмерного чертежа пространства R4, предложенного Н. В. Наумович. На основе этого чертежа дана конструктивная интерпретация предложенной аналитической модели и выполнена её реализация в виртуальном электронном SD-пространстве.

Предложенная в работе модель линии пространства R4 основана на теоретических положениях пространственной циклографии, реализованной на трёхмерном чертеже Наумович. Этим предложенная модель отличается от существующих, использующих аналитический метод моделирования. Суть предлагаемого конструктивно-аналитического моделирования состоит в геометрическом представлении и интерпретации на трехмерном чертеже циклографических образов точек, линий, множества точек и линий пространства R4.

Конструктивно-аналитическое моделирование линии пространства R4 на основе циклографического отображения и возможность его реализации на трёхмерном чертеже Наумович позволяют в полном объёме получать представление о взаимосвязи и взаимном влиянии всех элементов модели. Такое представление основано на реализации трехмерного чертежа в виртуальном электронном SD-пространстве средствами современных графических САПР и позволяет решать вопросы оптимизации разрабатываемых моделей геометрических объектов применительно к требованиям современных CAD/CAM систем и CAGD.

Ключевые слова: циклография, линии и поверхности, геометрическое моделирование, многомерное пространство, трехмерный чертёж Наумович, каналовая поверхность.

I ■

л

О

IS

IB

ü

OS О О E н T х

>О z А

■ К > О

äs

i о

О

< К

O О

Введение

Циклографическое моделирование пространства R3 (плоская циклография) основано на трудах известных западно-европейских геометров 19 — 20 в. W. Fiedler [1], L. Eckhart [2], E. Muller и J. L. Krames [3] и др. В них достаточно полно исследованы циклографические модели линейных объектов (прямых линий и плоскостей) пространства R3. Заложены основы циклографического моделирования нелинейных объектов (кривых линий и поверхностей), при этом в гораздо большей степени уделено внимание моделям кривых линий и меньшей степени — моделям поверхностей. В 20 — 21 в. циклографическое моделирование нелинейных объектов евклидова пространства получило дальнейшее развитие в первую очередь благодаря теоретическим исследованиям в работах [4—11]. В это же время определились области практического использования циклографического моделирования: традиционная область — геометрическая оптика [3, 8, 10], глобальные системы позиционирования GPS [11], проектирование поверхностных форм автомобильных дорог [12], обработка карманных поверхностей в машиностроении [13] и многослойная 3D печать изделий. Циклографические модели нелинейных объектов евклидова пространства востребованы в области CAGD (Computer Aided Geometric Design) [7].

В современном циклографическом моделировании определилось направление исследований

«пространственная циклография». Оно посвящено исследованию и разработке циклографических моделей объектов пространства Я" в пространстве Я"-1, п > 3. Показано, что циклографической моделью кривой линии пространства Я4 служит ка-наловая поверхность в пространстве Я3 [6-9], 2-поверхности пространства Я4 соответствует двух-параметрическое множество сфер в пространстве Я3 [10]. Разработка и исследование указанных циклографических моделей выполняется аналитически. Вместе с тем в высшей начертательной геометрии известны конструктивные модели евклидовых многомерных пространств, которые допускают аналитическое представление. К ним относятся трёхмерный чертёж Наумович, позволяющий выполнять моделирование пространства Я4 [14]. В настоящей работе исследуется возможность циклографического моделирования кривой линии пространства Я4 на основе трёхмерного чертежа Наумович.

Теория

Элементы пространственной циклографии.

Известно, что между множеством точек пространства Я4 и множеством сфер пространства Я3 можно установить изоморфное соответствие [1-3]. Покажем, что для реализации этого соответствия удобно использовать трёхмерный чертёж (гиперэпюр) Наумович [14], представляющий собой трехмерный двухпроекционный чертеж пространства Я4, в кото-

Рис. 1. Циклографическое моделирование точек пространства R4 на гиперэпюре Наумович

Fig. 1. Cyclographic modeling of points of space R4 on the Naumovich hyperdrawing

Рис. 2. Циклографическое моделирование линии пространства R4 на гиперэпюре Наумович на основе отображения FR Fig. 2. Cyclographic modeling of a curve of space R4 on the Naumovich hyperdrawing on basis of the mapping FR

ром роли плоскостей проекций П2, П1 и их общей оси проекций х в известном чертеже Монжа исполняют соответственно гиперплоскости проекций (хуг), (хуу) и осевая плоскость (ху) (рис. 1).

Удобство применения гиперэпюра Наумович заключается в возможности реализации его, как трехмерного чертежа, в виртуальном электронном ЭБ-пространстве средствами современных графических САПР [15]. На гиперэпюре точка пространства Я4 моделируется парой точек-проекций: Л2(х, у, V) и А1(х, у, z). По аналогии с плоской циклографией, поставим точке А(х, у, V) в соответствие 2-сферу Б2уг с одним из направлений 0 или © и радиусом г = VI, вложенную в гиперплоскость проекций (хуг). Направленную сферу Б1 назовем

двумерным циклом. Таким образом, циклографическим образом точки А(х, у, z, V) на гиперплоскости проекций (хуг) будет двумерный цикл Б^ с ортогональной проекцией Б^ на осевой плоскости в виде круга радиусом г = VI с направленной границей — одномерным циклом. Направление двумерного цикла определяется знаком координаты V. Изложенный подход к циклографическому моделированию точек пространства Я4 соответствует алгебраическому отображению РЯ, а само отображение является пространственным циклографическим [8, 11].

Рассмотрим теперь геометрическое отображение РЕ для циклографического моделирования точек пространства Е4. Сферу в гиперплоскости проекций (хуг) примем в качестве основания а-гиперконуса вращения К^ с вершиной в точке (х, у, V) и осью, перпендикулярной осевой плоскости (ху) и телесным полууглом при вершине, равным а = 45 «Фронтальной» проекцией а-гиперконуса Кэ будет обычный трехмерный а-конус Ка(ху^ со всеми его внутренними точками, а «горизонтальной» — шар Б^ с центром в точке (х, у, £), радиусом г = VI и с направленной сферической оболочкой — двумерным циклом Бх2уг .

По аналогии с циклографическим моделированием линейных объектов пространства Яэ [1—3, 8, 16] и опираясь на циклографическую модель точки пространства Я4, можно построить в пространстве Я3 циклографические модели прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства Я4. Эти модели составляют основу линейной пространственной циклографии пространства Я4, реализуемой на гиперэпюре Наумович.

Опираясь на отображения РЯ и РЕ, рассмотрим циклографическое моделирование кривой линии Р (?) пространства Я4(Е4). В случае отображения РЯ циклографической проекцией линии Р(?) с Я4 в гиперплоскости проекций (хуг) будет каналовая поверхность — огибающая всех двумерных циклов, представляющих собой циклографические образы точек линии Р(?) (рис. 2). Ортогональной проекцией этой поверхности на осевой плоскости будет область, граница которой огибает однопараметри-ческое множество одномерных циклов, представляющих направленные границы множества кругов Б^у Круги с направленными границами — циклами представляет собой ортогональные проекции двумерных циклов Б2г на осевой плоскости (ху).

В случае отображения РЕ получаем на гиперплоскости проекций (хуу) трехмерную линейчатую а-поверхность Фа(XyV) с её внутренними точками, огибающую однопараметрическое множество а-ко-нусов К^). Эта поверхность является «фронтальной» проекцией линейчатой а-гиперповерхности Фа, огибающей однопараметрическое множество а-гиперконусов вращения Ка. На гиперплоскости проекции (хуг) получаем трехмерную поверхность Ф Эуг с её внутренними точками — огибающую однопараметрического множества шаров Бхуг. Двумерной области в осевой плоскости (ху) с границей — огибающей границы кругов, представляющих собой на плоскости проекций (ху) основания трехмерных конусов вращения Ка^), будет соответствовать в гиперплоскости проекций (хуг) огибающая двумерных циклов Бх2уг, т. е. та же кана-ловая поверхность, что и в случае отображения РЯ (рис. 3).

Циклографическое моделирование кривой линии. Рассмотрим теперь конкретнее задачу циклографического моделирования кривой линии пространства Я4 на гиперэпюре Наумович. За основу примем отображение РЯ, не исключая при этом возможность применения отображения РЕ.

Предположим, что задана линия

Р(?) = {х(?)у(?),гЩМ?)}, ? е С с Я,

где С — одномерный промежуток на вещественной числовой прямой Я; х, у, V — дифференцируемые функции в окрестности любой точки (х(?0), у(?0), г(?0), v(tn)), ?0 е С, имеющие в самой точке непрерывные

Рис. 3. Циклографическое моделирование линии пространства R4 на гиперэпюре Наумович

на основе отображения FE Fig. 3. Cyclographic modeling of a curve of space R4 on the Naumovich hyperdrawing on basis of the mapping FE

Рис. 4. Схема образования каналовой поверхности Fig. 4. Pattern of the Channel surface formation

ch

О h

IS

|o

I s

ои

>p o!

производные. Кривая Р (£) состоит из обыкновенных точек, для которых выполняется условие:

((х'(£))2 + (у'(£))2 + (г'(£))2 + (^(^)2 * 0.

Выполним ортогональное проецирование линии Р (£) на координатную гиперплоскость Я^. Геометрически это проецирование выполняется гиперсвязкой прямых с несобственным центр ом Vх — бесконечно удаленной точкой координатной оси V. Алгебраически — принятием координаты V значения, равного 0. В таком случае в гиперплоскости (хуг) появляется линия Рхуг2

PXyZ(t) = {x(t), y(t), z(t)}.

(1)

Примем каждую точку линии Рхуг (^ в качестве центра ориентированной сферы с радиусом г = = \^. Тогда между множеством точек линии Рс Я4 и однопараметрическим множеством ориентированных сфер с центрами на линии Р^ будет установлено непрерывное биективное соответствие. Это соответствие является подмножеством более общего непрерывного биективного соответствия между точечным пространством Я4 и множеством ориентированных сфер пространства Я3.

Огибающая Рс = ф), ух ф), ^, ф)} однопара-метрического семейства Ф(£) ориентированных сфер с центрами на линии Рху^2 (^ и радиусами г = = ^(£)\ будет представлять собой каналовую поверхность — циклографический образ исходной линии Р (£) с Я4 в гиперплоскости Я^ .

Уравнение однопараметрического семейства Ф(1) сфер может быть выражено следующим образом:

Ф(^) : [Pc - Pxyz(t), Pc - Pxyz(t) Д3 - r(tf = 0,

(2)

Ф0 : (X! - х)2 + у - у)2 + - я)2 - г2 = 0, (4)

Ф' (£) : X ■ X - х) + у ■ (ух - у) + 2 ■ (я1 - я) - Г'■Г = 0.

Рассмотрим геометрический смысл этих уравнений. Первое уравнение описывают однопараме-трическое семейство ориентированных Бхуг сфер радиуса г = ^(£)\ с центрами на линии = {хЩ,

у^], z(t)}, которая получена в результате отображения линии Р (£) с Я4 ^ Рху^2 ^) с Яух на основе ортогонального проецирования на гиперплоскость проекции Я^-уг. Каждая из сфер множества получена в результате циклографического отображения текущих точек линии Р (£) с Я4 на гиперплоскость Я^. Циклографическое отображение выполняется проведением а-гиперконусов с вершинами в точках линии Р (£) и осями, перпендикулярными гиперплоскости проекций Я^, с последующим пересечением этих гиперконусов с гиперплоскостью Я^. В пересечении образуются сферы Бхуг — циклографические образы точек линии Р (£). Второе уравнение системы (4) описывает нелинейный пучок (Г1) плоскостей Т1, каждая из которых проходит перпендикулярно касательному вектору Р'ху2 (Н) = {хЦ), у(Ц, еН} линии Рху^2 проведенному в ее точке (х(£), у(£), ^(£)). При этом каждая плоскость Т1 (рис. 4) параллельна соответствующей нормальной плоскости Т линии Р^и смещена от нее, как следует из геометрического смысла второго уравнения системы (4), на расстояние

Рт = :

r • r

л!(Р' xyz (t))2

< r.

(5)

при этом I f(f)| = \v(t)\ — модуль радиус-вектора r(t) точки сферы семейства Ф(1). Функция (2) является дифференцируемой в области ее задания. Для определения огибающей семейства Ф(1) добавим к уравнению (2) следующее уравнение:

Ф'(t) : (Pc - PxyZ(t),P'xyz (t])R3 + r(t) ■ Г (t) = 0. (3)

Раскрытие уравнений (2) и (3) приводит к системе уравнений:

Из равенства (5) следует необходимое и достаточное условие существования вещественных точек каналовой поверхности:

(x')2+(y')2 + (z')2-(r')2 > 0.

(6)

Поскольку плоскость Т1 по условию (6) пересекает сферу Бхуг множества по окружности X, то из схемы на рис. 4 следует значение радиуса г1 этой окружности:

r^t) = r(t) ■ 1

(r '(t))2

(P' xyz (t))2

(7)

2Р 8 о

65

Рис. 5. Циклографическое моделирование пространственной кривой P(t) с R4 на гиперэпюре Наумович Fig. 5. Cyclographic modeling of spatial curve P(t) с R4 on the Naumovich hyperdrawing

Рис. 6. Циклографическое моделирование плоской кривой P(t) с R4 на гиперэпюре Наумович Fig. 6. Cyclographic modeling of a plane curve P(t) с R4 on the Naumovich hyperdrawing

Очевидно, окружность А является характеристической линией огибающей О , определяемой как А = Ф(0 п Ф'(?) = Г1 п

Геометрическая интерпретация системы уравнений (4) позволяет получить уравнение огибающей О, представляющей собой циклографический образ линии Р(£) с Я4. Рассмотрим получение уравнения этой поверхности.

Пусть параметрические уравнения линии Рхуг (£) имеют вид:

x = x(t), y=y(t), z = z(t), teG<= R.

(8)

Полагаем, что х, у и г — дифференцируемые функции на промежутке определения параметра t. От параметра t можно перейти к внутреннему параметру б1 кривой Рхуг (t):

dsl = \р'хуг • Ы = ^1 (X' (Ц)2 + (у Щ)2 + & (Щ2 • Ы. (9)

В каждой точке (х, у, г), удовлетворяющей условию Р' хуг (£) = I ■ х (£) + ] ■ у' (£) + к ■ z, (£) Ф 0, т. е. в обыкновенных точках линии Р'хуг (t), которые к тому же не являются точками распрямления (Р 'нуг (0 и Р "ху2 (^ не коллинеарны и при этом Р"хуг (^ ф 0 ) — в таких точках возможно построение трехгранника Френе

dPx

ds,

^ _ P z - _ _

= Pxyz; vi = pr^; Pi =[т1, ]

\p

xyz

с единичными векторами касательной т1, главной нормали у1 и бинормали |31. Вектор касательной может быть выражен следующим образом:

T1 Pxyz

+ k

dPv

У

ds.

= i • T=-1 + j • T=T

P' P' I

xyzl xyz

(10)

P \

= ' • Tx + j • Ty + k • Tz

Вектор главной нормали v1 можно выразить так:

1 dx

1 dTy

v1 = i----— + j----— +

k ds1 k ds1

T 1 dTz - -. r

+ k -----= i -v x + j -v y + k -v z.

(11)

k ds

Уравнение вектора бинормали |31 имеет вид:

l J k

Pi = ^1] = Tz

Vx Vy v z

= i -Рх + 3y + k -pz,

(12)

где k = ¡P^l — кривизна линии Pxyz (t) в данной

dTz

dsi

■ xyz xyz

точке. ■ dT

В уравнении (11) производные

dT

dst ds

могут быть получены следующим образом:

dT x dT

dt , ; dTy , ; dTz . ¿ = T x • t; 1 = T y • t; z = T z • t

при этом t = pr

1

P'xyz (t)

; производные т

определяются взятием второй производной по t соответствующих функций — выражений тх, ту и тг из уравнения (10).

Запишем уравнение окружности А радиуса г1 = = г^), принадлежащей плоскости Т1, в системе координат подвижного трехгранника Френе:

Xт = -рг =

v(t) • v' (t)

(13)

V(X'(t))2 + (y '(t))2 + (z (t))2 '

yv = rl(t) ■ cos ф; zp = rx(t) ■ sin ф; 0 < ф < 2п,

где радиус т окружности А определяется формулой (7).

Запишем формулы преобразования от подвижной системы координат A xxyvzp к неподвижной O, используя матрицу преобразований:

A-1 =

v x p

v y p.

v z p

Ty и т

z

x

+

z

т

x

x

66

т

y

y

T

z

z

Рис. 7. Циклографическое моделирование пространственной кривой P(t) с R4 на гиперэпюре

Наумович без учета смещения рт Fig. 7. Cyclographic modeling of spatial curve P(t) с R4 on the Naumovich hyperdrawing without taking into account the displacement рт

В матричном виде формулы преобразований имеют вид Б = А-1 • В + С, где

x т x xi

B = У V , с = У , D = У1

z _ zi _

при этом х, у, г — координаты текущей точки А

линии Рхуг V).

От матричной формы записи формул преобразований можно перейти к развернутой координатной форме:

x = x ■ т + y ■ v +za• В + x,

1 т x J v x p ' x

y. = x ■ т + y ■ v + zR■ p +y,

■'l т y J v y p ry J

z. = x ■ т +y • v + za■ В + z.

1 т z J v z p ~ z

(14)

Подставляя в (14) выражения координат из формул (10), (11), (12) и (13), получим развернутые параметрические уравнения огибающей поверхности О .

хуг

Результаты эксперимента

Зададим параметрическую рациональную кривую Р (¿) с Я4 уравнениями:

P (t ) = {x (t), у (t), z(t), v(i)} = = {t4,2t3,3t2,24t} ,1 < t < 3,5.

(15)

Ее образ Р(£) в гиперплоскости Я^, полученный ортогональным проецированием, описывается уравнениями:

Ру (I )={х (I), у (I), )}={ь4,213,3 t2 } Касательный вектор Р'хуг (£) имеет вид:

Р'хуг ^) = {4£ 3,6£2,6^ . Производная Р''хуг (£) имеет вид:

Р"хуг (£) = {1212,12 Г,б} .

(16)

(17)

При исходных данных (15) и соответствующих им уравнениям (16), (17) и (18) ставится задача определения циклографического образа линии Р(£) с Я4 в пространстве Я'3уГг. Определим орты т1, VI , в трехгранника Френе без использования внутреннего параметра линии р (£) по методике, отличной от вышеизложенной. Орт касательной линии Р (£) определяется следующим образом:

P \

1_

3t

2t2

л/ 4t4 + 9t2 + 9

(t 9)

3

V4t4 + 9t2 + 9' -¡At4 + 9t2 + 9

Вектор бинормали линии P (t) определяется формулой:

[P' P" ]

■д _ 1/ xyz ' 1 xyz J

P1 = ,P" ]l

L xyz ' xyz J

(20)

Выражения в числителе и знаменателе дроби определяется следующим образом:

[P , P" ]

L xyz ' xyz J

4t3

j k 6t2 6t

12t 12t 6 = {- 36t2, 48t3, - 24t4}.

\[p'xyz , P"xyz]| = 12t2 • 4t4 + 16t2 + 9.

(21)

(22)

Подставляя выражения (21) и (22) в уравнение (20), получим:

Pi = \-

3

4t

V4i4 + 16t2 + 9

2t2

(+9

л/4£4 + 16£2 + 9 ' ^J4t4 + 16£2 + 9 Введем обозначения:

= N, л/^^+Тб^Тэ = М.

С учетом этих обозначений определим вектор главной нормали Ví линии Рхуг (£):

vi = [Pi, Ti] =

i k

3 4t 2t2

- M M - M

2t2 3t 3

N N N

6i • (2 + t2) 9 - 4t4 t • (9 + 8t2)

MN

MN

MN

(24)

Полученные уравнения (19), (23) и (24) определяют проекционные компоненты единичных ортов, образующих трехгранник Френе линии Рхуг(£). Уравнение (13) определяют проекционные компоненты радиус-вектора линии Р (£). Таким образом, известны все компоненты параметрических уравнений огибающей О поверхности, представляющей собой циклографический образ линии Р(£) с Я4

О Н

5 J= О И

О О Н

>О

2 А о >

О т "О

о> О

в гиперплоскости Яу. Подставляя выражения компонент в уравнение (14), получим искомое уравнение каналовой поверхности:

анты этой модели, приводящие к получению частных видов каналовой поверхности, моделирующих соответствующие кривые пространства Я4.

„ ,, (-72t • L • sin ф) (576t3) xi(t, ф) = ^---- - --^ +

M

N 2

+ (144t2(t2 + 2) • L • cosф) + 4;

(M • N) '

96t2 • L • sin ф 864t2

yi(t, ф) =-^---+

N2

M

+ 24t(-4t4 + 9) • L • cos ф + 2t3'

M • N '

- 48t3 • L • sin ф 864t

z1 (t, ф) =-31--

1 M N2

- 24t2(8t2 + 9) • L • cos ф + 3t2;

M • N '

1 < t < 3,5; 0 < ф < 2n,

(25)

где L = 1 - 144

1

N • t2

На рис. 5 приведено изображение каналовой поверхности Охуг, представляющей собой циклографический образ пространственной линии Р (^ с ЯА. При этом линия Р (^ имеет ортогональные трехмерные проекции РлугЮ и Рхуг(^ и яХуг. Ортогональным образом каналовой поверхности Охуг на осевой плоскости (ху) является область Оху. На рис. 6 на гиперэпюре Наумович приведено изображение циклографического образа О заданной плоской линии Р^) и Я4,

P(t) = {х(t), y(t), z(t), у = const} = {t4,2t3,3t2,24}.

В рассматриваемом случае Q представляет собой трубчатую поверхность. На рис. 7 приведено изображение на гиперэпюре Наумович циклической поверхности Q , полученной без учета смещения pT (5), т. е. pT=0. В этом случае Qxyz не является циклографическим образом линии P(t) с R4,

поскольку Q не является огибающей множества сфер ). ^

Основные результаты и выводы

1. На примере линии пространства R4 показана возможность циклографического моделирования нелинейных объектов этого пространства на основе гиперэпюра Наумович.

2. Получены параметрические уравнения каналовой поверхности, представляющей собой циклографический образ в пространстве R3 линии пространства R4. Уравнения представляют собой конструктивно-аналитическую модель этой линии, удобной для использования в CAD/CAM системах и в CAGD.

3. Выполнен вычислительный эксперимент по определению циклографической модели параметрической рациональной кривой пространства R4 на трехмерном чертеже, реализованном в виртуальном электронном 3D-пространстве. Рассмотрены вари-

Список источников

1. Fiedler W. Cyklographie oder Construction der Aufgabenüber Kreise und Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme. Leipzig, Druckund Verlag von B. G. Teubner, 1882. 284 S.

2. Eckhart L. Konstructive Abbildungsverfahren. Berlin Hidelberg: Springer-Verlag, 1926. 120 S. ISBN 978-3-7091-5965-1.

3. Vorlesungen über Darstellende Geometrie // By Dr. Emil Muller. II. Band: Die Zyklographie / Edited from the manuscript by Dr. Josef Leopold Krames. Leipzig and Vienna, Franz Deuticke, 1929. 476 S.

4. Choi H. I., Choi S. W., Moon H. P. Mathematical theory of medial axis transform // Pacific Journal of Mathematics. 1997. Vol. 181 (1). P. 57-88. DOI: 10.2140/pjm.1997.181.57.

5. Choi H. I., Chang Y. H., Hwan P. M. [et al.]. Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodo-graph curves // CAD Computer Aided Design. 1999. Vol. 31 (1). P. 59-72. DOI: 10.1016/S0010-4485(98)00080-3.

6. Cho H. Ch., Choi H. I., Kwon S.-H. [et al.]. Clifford algebra, Lorentzian geometry and rational parametrization of canal surfaces // Computer Aided Geometric Design. 2004. Vol. 21 (4). P. 327-339. DOI: 10.1016/j.cagd.2003.11.001.

7. Pottmann H., Peternell M. Applications of laguerre geometry in CAGD // Computer Aided Geometric Design. 1998. Vol. 15. P. 165-186. DOI: 10.1016/S0167-8396(97)00023-X.

8. Pottmann H., Wallner J. Computational line geometry. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2010. 572 p. ISBN 9783540420583.

9. Peternell M., Pottmann H. Computing rational para-metrizations of Canal Surfaces // Journal of Symbolic Computation. 1997. Vol. 23. P. 255-266. DOI: 10.1006/jsco.1996.0087.

10. Peternell M. Rational two-parameter families of spheres and rational offset surfaces // Journal of Symbolic Computation. 2010. Vol. 45. P. 1-18.

11. Panchuk K. L., Lyashkov A. A., Lyubchinov E. V. Geometric model of pseudo-distance measurement in satellite location systems // IOP Conf. Series: Journal of Physics. 2018. Vol. 998. DOI:10.1088/1742-6596/998/1/012021.

12. Panchuk K. L., Niteyskiy A. S., Lyubchinov E. V. Cyclo-graphic modeling of surface forms of highways // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2017. Vol. 262. DOI:10.1088/1757-899X/262/1/012108.

13. Held M. On the computational geometry of pocket machining. Lecture notes in computer science. Springer Verlag. Berlin. 1991. Vol. 500. 184 p. ISBN 978-3-540-54103-5. DOI: 10.1007/3-540-54103-9.

14. Пеклич В. А. Высшая начертательная геометрия: мо-ногр. М.: АСВ, 2000. 344 с.

15. Короткий В. А. Компьютерное моделирование фигур четырехмерного пространства // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2014. № 7 (21). С. 14-20. DOI: 10.14489/vkit.2014.07.pp.014-020.

16. Panchuk K. L., Kaygorodtseva N. V. Cyclographic descriptive geometry. Omsk: OmSTU Publishing House. 2017. 232 p.

ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная геометрия и САПР». БРНЧ-код: 5623-0008

ORCID: 0000-0001-9302-8560 Для цитирования

AuthorlD (SCOPUS): 55857766100

Адрес для переписки: Panchuk_KL@mail.ru Панчук К. Л., Любчинов Е. В. Элементы пространственной

ЛЮБЧИНОВ Евгений Владимирович, аспирант, циклографии // Омский научный вестник. Сер. Авиационно-

преподаватель кафедры «Инженерная геометрия ракетное и энергетическое машиностроение. 2018. Т. 2, № 3.

и САПР». С. 63-70. DOI: 10.25206/2588-0373-2018-2-3-63-70. SPIN-код: 8144-6370

AuthorlD (SCOPUS): 57199399265 Статья поступила в редакцию 13.06.2018 г.

Адрес для переписки: Lubchinov.E.V@yandex.ru © К. Л. Панчук, Е. В. Любчинов

I О

О й И !>

N1 ^

OS о О E н T х >0 z А

0 К > й ¡Й

1 О

О й

< К

O О