CC BY
179
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
противолежащая сторона автополярного треугольника указывают общую пару сопряженных прямых и плоскостей в связках $^,¥) и S(d,Z). Для построения и1,У1,Ш1 начертим с помощью программы [6] гомалоиды т21,п21 двух произвольных прямых т^п^ Точки пересечения гомалоидов доставляют
решение задачи: прямые SUISVISW — искомые главные направления.
Вывод. Рассмотренный в статье тип квадратичной инволюции имеет теоретическое и прикладное значение, а разработанное программное средство [6] в сочетании с классическими методами проективной геометрии может быть эффективно использовано для точного конструктивного решения различных задач геометрического моделирования.
Библиографический список
1. Кокстер, Х. С. М. Действительная проективная плоскость / Х. С. М. Кокстер. — М. : ГИФМЛ, 1959. — 280 с.
2. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей / Г. С. Иванов. — М. : Машиностроение, 1987. — 188 с.
3. Глаголев, Н. А. Проективная геометрия / Н. А. Глаголев. — М. : Высшая школа, 1963. — 344 с.
4. Вольберг, О. А. Основные идеи проективной геометрии /
О. А. Вольберг. — М — Л. : Учпедгиз, 1949. — 188 с.
5. Скопец, З. А. Преобразование двух кривых второго порядка в две окружности посредством гомологии / З. А. Скопец // Известия вузов. Математика. — 1964. — № 2 (39). — С. 139-143.
6. Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011. Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых (программа для ЭВМ) / Короткий В. А.
7. Короткий, В. А. Проективное построение коники, заданной пятью действительными элементами / В.А. Короткий. — М., 2010. — 44 с. — Деп. в ВИНИТИ 19.01.10, №13-В2010.
8. Пеклич, В. А. Мнимая начертательная геометрия /
В. А. Пеклич. — М. : АСВ, 2007. — 103 с.
9. Гирш, А. Г. Наглядная мнимая геометрия / А. Г. Гирш. — М. : Маска, 2008. — 216 с.
КОРОТКИЙ Виктор Анатольевич, кандидат технических наук, доцент кафедры графики.
Адрес для переписки: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 78.
Статья поступила в редакцию 15.10.2012 г.
© В. А. Короткий
УДК 5141 М. А. ЧИЖИК
М. Н. МОСКОВЦЕВ Д. П. МОНАСТЫРЕНКО
Омский государственный институт сервиса
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ НА БАЗЕ ПРОЕКЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ
В статье рассмотрены способы построения чертежей многомерных объектов. Проанализированы алгоритмы конструирования моделей на чертеже Радищева. Сформулирован обобщенный алгоритм сечения многопараметрической поверхности плоскостью уровня на базе двухмерных вычислений, позволяющий получать результаты решений прикладных задач при различном числе входных и выходных параметров.
Ключевые слова: алгоритм, многомерная геометрия, моделирование, многофакторный процесс, проецирование, чертеж Радищева.
В условиях инноваций промышленности возникает необходимость решения сложных технических задач, требующих оперативного поиска оптимальных условий проведения технологических процессов. В этой связи особое значение имеет выбор метода моделирования.
Для моделирования процессов все шире используются методы многомерной геометрии, главным достоинством которых является возможность наглядного представления их в виде графических моделей, позволяющих с помощью современной компьютерной техники оперативно устанавливать
оптимальные режимы, параметры и характеристики исследуемых объектов.
В работах по начертательной геометрии многомерного пространства [1—2] предлагается ряд способов построения чертежей многомерных объектов на основе проекционного аппарата (рис. 1).
Недостатками всех приведенных выше моделей является то, что, по мере возрастания размерности, они становятся громоздкими, происходит наложение координатных плоскостей, сужая возможности выбора практически удобного вида чертежа. В результате этих трудностей в работах по начертатель-
Рис. 1. Чертежи многомерных объектов: а — модель точки (гиперэпюр Наумович); б — пространственная модель четырехмерного пространства; в — модель многомерного пространства В. П. Болотова
ной геометрии излагаются лишь отдельные теоретические и прикладные вопросы.
Наиболее удобным для графического представления модели многомерного пространства является чертеж Радищева (рис. 2) так как по мере возрастания его размерности, количество проекционных плоскостей будет увеличиваться, но проекции точки по-прежнему будут находиться на одной линии связи [3]. Такой аппарат проецирования является простым и наглядным.
Методы многомерной геометрии на основе данного чертежа применяются к моделированию разнообразных многокомпонентных систем [4 — 6]. Доказанная с точки зрения аксиоматической теории адекватность чертежа Радищева в качестве модели
многомерного псевдоевклидова пространства позволяет достоверно использовать ее для решения задач оптимизации [7].
Суть метода построения чертежа Радищева для оптимизационных моделей многофакторных процессов заключается в определении области пересечения гиперповерхности с гиперплоскостью уровня. При этом гиперповерхность описывает зависимость оптимизирующих факторов от компонентов системы (факторы, параметры технологического процесса), а гиперплоскость уровня задает требуемое значение оптимизирующего фактора.
Действие алгоритма конструирования графических моделей рассмотрено авторами работы [8] при построении моделей конкретных технологических
б
а
в
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
'I А СО < О
к J >&2
Ха > А1 ►
Рис. 2. Чертеж Радищева (модель четырехмерного пространства)
процессов, в частности, для оптимизации процессов соединения деталей швейных изделий, разработан алгоритм определения области оптимизации значений основных параметров соединения в зависимости от значений оптимизирующих факторов (показателей качества). На рис. 3 представлена графическая оптимизационная модель процесса соединения текстильных термопластичных материалов лазерной сваркой.
В работах [8, 9] программная реализация алгоритма поиска оптимальных значений путем сечения гиперповерхности гиперплоскостью на чертеже Радищева осуществлялась в приложении Microsoft Office — Excel и встроенного в него языка программирования Visual Basic for Applications.
Данный алгоритм разбит на 6 этапов:
1.Заполнение входных параметров по экспериментальным данным и определение оптимизирующих параметров.
2. Построение гиперповерхностей оптимизирующих факторов.
3. Построение 2-поверхностей оптимизации параметров по каждому оптимизирующему фактору.
4. Построение 1-поверхности оптимизации параметров по двум оптимизационным факторам.
5. Построение 0-плоскости оптимизации параметров по трем оптимизационным факторам.
6. Вывод результатов вычислений в виде таблиц и чертежей.
Однако предлагаемая реализация имеет ограничения по количеству входных и выходных параметров (не более трех).
Поэтому возникает необходимость проведения работ в направлении отыскания оптимальных алгоритмов конструирования графических моделей многофакторных процессов, а также по созданию программного обеспечения для их реализации.
С целью повышения универсальности и дальнейшей формализации алгоритма необходимо выделить повторяющуюся последовательность действий, для перехода от n-мерного пространства к (n—1)-мерному, а также подзадачи, имеющие альтернативные способы решения.
Рассмотрим обобщенный алгоритм сечения многопараметрической поверхности плоскостью уровня на базе двухмерных вычислений. Экспериментальные данные представлены в виде списка кортежей координат точек (параметров) п-мерной модели. На входе операции выбираем фиксируемый параметр п-мерной модели и требуемое значение. Затем составляем все возможные пары зависимостей выбранного параметра от прочих параметров модели, для этого:
— исключаем из списка параметров выбранный;
— поочередно исключая оставшиеся параметры формируем список всех доступных комбинаций не фиксируемых параметров;
— на основе сформированного списка получаем разбиение (с пересечениями) множества координат, отражающее зависимости выбранного параметра во всех доступных плоскостях измерения;
— строим графики функций выбранного параметра по полученным при разбиении двухмерным координатам;
— находим точки пересечения линии уровня, соответствующей значению оптимизирующего параметра, и кривой графика функции.
В итоге, результирующий набор точек представляет собой точки пересечения исходной поверхности с оптимизирующей плоскостью в виде (п — 1)-мерной поверхности.
Важной задачей при выполнении алгоритма является выбор класса кривой, имеющей определенное расположение относительно исходных точек для каждого фактора. Данная задача может быть решена с помощью аппроксимирующих или интерполирующих кривых, инцидентных всем или нескольким точкам из исходного набора данных. Основным достоинством интерполяции является высокая точность построения, так как кривая проходит непосредственно через все заданные точки. При этом для прогнозирования параметров вне крайних точек кривых, возникает необходимость в дополнительной экстраполяции. Также определенные трудности вызывает подбор интерполяционного многочлена в зависимости от характера процесса. Аппроксимация обеспечивает возможность построения кривой, описываемой полиномом наперед заданного порядка, а также неограниченность кривой точками, при этом отмечаются наличие некоторой погрешности и вычислительная сложность. Аппроксимация позволяет выбрать кривую не только в виде полинома, но и в другом классе нелинейных функций.
Таким образом, сформулированный алгоритм сечения многопараметрической поверхности плоскостью уровня на чертеже Радищева позволяет получать результаты решений прикладных задач при различном числе параметров и оптимизирующих факторов.
Библиографический список
1. Болотов, В. П. Многомерная геометрия : моногр. /
B. П. Болотов. — Владивосток : МГУ им. адм. Г. И. Невельского, 2004. - 256 с.
2. Филиппов, П. В. Начертательная геометрия многомерного пространства и её приложения / П. В. Филиппов. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1979. — 280 с.
3. Радищев, В. П. О применении геометрии четырёх измерений к построению разновесных физико-химических диаграмм / В. П. Радищев. // Изв. СФХА. — М., 1947. — Т. 15. —
C. 129—134.
4. Первикова, В. Н. Чертежи поверхностей п-мерного пространства и их инженерные приложения / В. Н. Первикова,
Рис. 3. Графическая оптимизационная модель процесса лазерной сварки текстильного материала (Винилискожа-Т галантерейная)
A. А. Решетникова, Д. М. Коробова // Науч. труды МАИ. — М., 1973. — Вып. 271. — С. 19 — 25.
5. Волков, В. Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и её приложения : автореф. дис. ... д-ра техн. наук : 05.01.01 / В. Я. Волков. — М., 1983. — 27 с.
6. Юрков, В. Ю. Конструктивные отображения многомерных пространств в моделировании эмпирических многофакторных объектов : автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.01.01 /
B. Ю. Юрков. — Омск, 1987. — 174 с.
7. Устинова, О. В. Разработка оптимизационной модели процесса соединения текстильных материалов на основе чертежа Радищева многомерного пространства : автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.01.01 / О. В. Устинова. — Омск, 2006. — 126 с.
8. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов : моногр. / В. Я. Волков, М. А. Чижик. — Омск : Омский государственный институт сервиса, 2009. — 101 с.
9. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 5615 / О. В. Устинова, В. Я. Волков, М. А. Чижик, // Оптимизация процессов : компьютерная программа. — Отраслевой фонд алгоритмов и программ ; дата регистрации 31.01.2006 ; дата выдачи 10.02.2006. — 5 с.
ЧИЖИК Маргарита Анатольевна, кандидат технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Конструирование швейных изделий». МОСКОВЦЕВ Михаил Николаевич, аспирант кафедры «Конструирование швейных изделий». МОНАСТЫРЕНКО Дмитрий Павлович, аспирант кафедры «Конструирование швейных изделий». Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 18.12.2012 г.
© М. А. Чижик, М. Н. Московцев, Д. П. Монастыренко
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
