CC BY
69
УДК 51418 М. А. ЧИЖИК
К. С. ЯКОВЕНКО В. Я. ВОЛКОВ
Омский государственный институт сервиса
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,
г. Омск
АЛГОРИТМЫ
КОНСТРУИРОВАНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ
В статье изложены перспективы применения методов многомерной геометрии для решения задач оптимизации многофакторных процессов. Рассмотрены алгоритмы определения на чертеже Радищева оптимальной области, позволяющие получать результаты решений прикладных задач в виде графических оптимизационных моделей и при этом наглядно оценивать исследуемый процесс, оперативно устанавливать оптимальные режимы, параметры, прогнозировать характеристики исследуемых процессов. Построены графические оптимизационные модели конкретных технологических процессов.
Ключевые слова: многомерная начертательная геометрия, многомерное пространство, моделирование, оптимизация, графическая модель, многофакторный процесс.
Задачи, которые возникают на практике в процессах различного рода, невозможно решать традиционными аналитическими методами математического моделирования, так как число переменных величин, отображающих соответствующие многомерные функциональные зависимости, превышает размерность пространства, в котором протекают эти процессы.
Многомерная начертательная геометрия имеет возможность рассматривать многомерные объекты в качестве геометрических моделей многих переменных, что и позволяет ей наглядно представить такие процессы в виде графических моделей, из которых с помощью современной компьютерной техники возможно оперативно устанавливать оптимальные режимы, параметры, составы и характеристики исследуемых процессов.
В начертательной геометрии существуют различные способы представления многомерного пространства и построения чертежей многомерных объектов на основе проекционного аппарата. Вместе с тем, по мере увеличения размерности моделируемого пространства, конструктивный метод становится менее наглядным, и все обоснования проводятся формализованными методами исчислительной геометрии. Наиболее удобной для решения задач оптимизации различной степени сложности принято считать модель многомерного пространства — чертеж Радищева [1]. Данная модель позволяет формализовать полученные на ее основе модели конкретных систем и процессов, что дает возможность автоматизировать построение чертежей.
Совершенствованию, развитию и применению чертежа Радищева в области исследования много-
факторных процессов посвящены работы В. Н. Пер-виковой, Н. Ф. Четверухина, В. Я. Волкова, В. Ю. Юркова и других [2 — 6]. Их анализ показывает, что методы многомерной геометрии на основе чертежа Радищева успешно применяются к моделированию многофакторных многокомпонентных систем в физико-химическом анализе, при этом для исследования свойств многокомпонентных систем используются методы исчислительной геометрии и методы теории параметризации.
Однако, несмотря на множество разработок в данном направлении, остается актуальным вопрос о достоверности решения задач на указанной модели (чертеж Радищева), отсутствуют алгоритмы решения задач оптимизации многофакторных процессов и программное обеспечение для автоматизации построения чертежей геометрических оптимизационных моделей.
С целью создания оптимизационных моделей многофакторных процессов авторами исследованы варианты задания элементов на чертеже Радищева и выполнен формализованный анализ решения позиционных задач, что позволило разработать конструктивные модели поверхностей и гиперповерхностей различного вида для моделирования многофакторных процессов и алгоритмы построения области пересечения гиперповерхности с гиперплоскостью уровня.
На базе сформулированных в работе [7] теоретических основ алгоритм построения области пересечения гиперповерхности с гиперплоскостью уровня реализуется следующим образом: гиперповерхность описывает зависимость оптимизирующих факторов от компонентов системы (факторы, параметры тех-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
Рис. 1. Схема алгоритма
нологического процесса), а гиперплоскость уровня задает требуемое значение оптимизирующего фактора.
Алгоритм определения области оптимизации трех компонентов в зависимости от значений трех оптимизирующих факторов покажем на примере трехкомпонентной системы (х1, х2, х3) с тремя оптимизирующими факторами ф, с, I (рис. 1).
Гиперповерхности оптимизирующих факторов ф, с, I заданы семействами 1-поверхностей двойного
уровня х1(х11, х12, с13), хМ21, с22, с23), хз(х31, с32, с33);
Фф11, ф12, ф13), Ф2(Ф21, Ф22, Ф23), ф3(ф31, Ф32, Ф33); 1 г12, I3), Щ?1, I22, I23), f3 (I31, I32, I33) соответственно; опти-малмьге чтения факт°р°в сопши« Фопши« и С™« заданы гиперплоскостями уровня. В данном случае областью оптимизации будет являться 0-плоскость, так как число компонентов равно числу оптимизирующих факторов. Определение области оптимизации произведем по следующему алгоритму.
1. Рассматривая расслоение гиперповерхностей оптимизирующих факторов, следует принять один из компонентов постоянной величиной — х31, при этом компоненты х1 и х2 варьируются; если принять,
что компонент х2 изменяется дискретно, принимая
1 2 3
три значения х21, х22, х23, то, варьируя компонент х1, получим 2-поверхности с11, с12, с13; ф11, ф12, ф13; ?2'
I13 оптимизации трех факторов для каждого значения компонента х2.
2. Зададим оптимальные значения факторов со^,«, Фопшим и 1опшим' которые геометрически представляют
гиперплоскости уровня, и получим 1-поверхности пересечения 2-поверхностей с заданными гиперплоскостями уровня — 1 2 3 (15 25 35, 11 21 31), 10 11 12 (104 114 124, 101 111 12) и 19 20 21 (193 203 21зг 19} 201 21).
3. Определим 0-плоскость А (А}, Л2) пересечения 1-поверхностей 1 2 3 (11 21 3) и 10 11 12 (101 111 12) и 0-плоскость Б (Б1, Б2) пересечения 1-поверхностей 10 11 12 (101 111 12) и 19 20 21 (191 201 21).
4. Присваивая компоненту х3 значения х32 и х33,
аналогичным образом получим 0-плоскости В (В1, В2), Ь (Ь1, Ь2) и 0-плоскости С (С, С2), М (М1, М2)
соответственно.
5. Дискретное число полученных 0-плоскостей А (А1, Л2), В (В}, В2) и С (С, С2) образует 1-поверхность АВС (А1В1С1, А2В2С2), которая определяет область оптимизации компонентов х1, х2, х3 в зависимости
^^~начало^)
I
Ввод экспериментальных данных. Выбор количества параметров и оптимизирующих факторов
-2-----------------------------------1-----------------------------------
Построение гиперповерхностей оптимизирующих факторов:
- аппроксимация 1-поверхностей каркасов гиперповерхностей оптимизирующих факторов по экспериментальным 0-плоскостям;
- определение погрешности аппроксимации.
Построение гиперплоскостей уровня оптимальных значений факторов.
1-3 -
Построение 2-поверхностей оптимизации параметров х1, х2 по каждому оптимизирующему фактору:
- определение координат 0-плоскостей пересечения 1-поверхностей каркаса гиперповерхности оптимизирующего фактора и гиперплоскости оптимального уровня;
- интерполяция 1-поверхностей по полученным координатам 0-плоскостей и построение каркаса 2-поверхности пересечения гиперповерхности оптимизирующего фактора и гиперплоскости оптимального уровня.
-4-----------------------------------1------------------------------------
Построение 1-поверхности оптимизации параметров х], х2, х3 по двум
оптимизационным факторам:
- определение координат 0-плоскостей пересечения 1-поверхностей каркасов двух 2-поверхностей оптимизации параметров хь х2 по двум различным оптимизирующим факторам;
- интерполяция 1-поверхности по полученным 0-плоскостям.
1-5
Построение 0-плоскости оптимизации параметров X], х2, х3 по трем оптимизационным факторам:
- определение координат 0-плоскости пересечения 1-поверхностей оптимизации параметров х], х2, х3 по двум оптимизационным факторам.
-6 -
Вывод:
- результатов расчетов в таблицу;
■ чертежа геометрической оптимизационной модели.
конец
Рис. 2. Блок-схема компьютерной программы «Оптимизация процесса»
от значений оптимизирующих факторов Хоптшм и Фоптшм- Дискретное число полученных 0-плоскостей Д Ь и М образует 1-поверхность БЬМ (01Ь1М1, Э2Ь2М2), которая определяет область оптимизации компонентов х1, х2, х3 в зависимости от значений
оптимизирующих факт°р°в Фоптшм и {оптшм-
6. Пересечение 1-поверхностей АВС (А1В1С1, А2В2С2) и БЬМ (П1Ь1М1, Б2Ь2М2) определяет искомую 0-плоскость N (Ы1, М2), которая является областью оптимизации компонентов х1, х2, х3 в зависимости
от значений оптимизирующих факторов Хоптим' Роптшм
и ?оптшм- Координаты хN х^, х^ 0-плоскости N (N1' ^) определяют комбинацию значений компонентов,
при которых Х=Хоптшм' 9=%птшм ш 1 =1оптшм'
Разработанные алгоритмы применимы при различном числе компонентов (технологических параметров) и оптимизирующих факторов, количество
и тех, и других может увеличиваться в зависимости от требований прикладной задачи.
Действие сформулированных алгоритмов рассмотрено при построении оптимизационных моделей конкретных технологических процессов:
— в рамках совершенствования строительства и эксплуатации автомобильных дорог в условиях Сибири разработана графическая модель, позволяющая анализировать свойства дорожно-строительных материалов с целью выбора их с факторами, обеспечивающими требуемые свойства. С учетом требований прикладной задачи предложен алгоритм определения области пересечения гиперповерхности с гиперплоскостью уровня, где гиперповерхность реализуется как геометрическая область, описывающая зависимости факторов системы от целевых функций, а гиперплоскость уровня — как требуемые (заданные)
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
значения целевых функций. Вышеуказанный алгоритм можно использовать при назначении составов смесей из грунта, укрепленного другими вяжущими материалами, а также при назначении составов цементо- и асфальтобетона, что доказывает его универсальность и расширяет область применения чертежа Радищева;
— для решения прикладных задач швейного производства, в частности, оптимизации процессов соединения деталей швейных изделий, разработаны алгоритмы определения области оптимизации значений основных параметров режимов соединения в зависимости от значений оптимизирующих факторов (показателей качества). С учетом требований прикладных задач сформулированы алгоритмы определения оптимальной области трех параметров процесса для двух и трех оптимизирующих факторов. При этом количество оптимизирующих факторов не ограничивается тремя, так же как и количество параметров процесса [8].
По результатам теоретических и экспериментальных исследований свойств соединений, выполненных на текстильных термопластичных материалах методом лазерной сварки, построены графические оптимизационные модели, апробация которых показала, что установленные по чертежам значения основных параметров режимов процесса обеспечивают получение заданной прочности сварных швов.
Этим подтверждается практическая пригодность алгоритмов определения оптимизирующей области значений параметров в зависимости от значений оптимизирующих факторов, разработанных на основе чертежа Радищева.
Универсальность вышеуказанных алгоритмов показана на примере ниточного способа соединения деталей швейных изделий.
Графические оптимизационные модели позволяют, варьируя значения основных параметров процессов, выбирать режимы, обеспечивающие требуемые свойства шва, и могут быть использованы в качестве операционных карт выбора оптимальных режимов технологических процессов соединения деталей швейных изделий.
Для автоматизации процесса построения графических оптимизационных моделей создана компьютерная программа «Оптимизация процессов», позволяющая строить чертежи оптимизационных моделей и подбирать оптимальные значения основных параметров в зависимости от заданных значений нескольких оптимизирующих факторов [9].
На рис. 2 представлена блок-схема программы, реализующая алгоритмы определения оптимизирующих областей параметров в зависимости от значений оптимизирующих факторов.
Отметим, что рассмотренные в работе алгоритмы определения оптимальной области значений параметров процесса для нескольких оптимизирующих факторов, а также компьютерная программа «Оптимизация процессов» могут быть применимы и к другим технологическим задачам швейного производства.
Таким образом, исследование многофакторных, многокомпонентных систем методами начертательной геометрии является перспективной научной областью, а теоретические и практические результаты данной работы могут способствовать дальнейшему ее развитию.
Библиографический список
1. Радищев, В. П. О применении геометрии четырёх измерений к построению разновесных физико-химических диаграмм / В. П. Радищев // Изв. СФХА. — М., 1947. — Т. 15. — С. 129-134.
2. Первикова, В. Н. Чертежи поверхностей п-мерного пространства и их инженерные приложения / В. Н. Первикова,
A. А. Решетникова, Д. М. Коробова. // Науч. труды МАИ. — М., 1973. — Вып. 271. — С. 19 — 25.
3. Начертательная геометрия / Н. Ф. Четверухин [и др.] ; под ред. Четверухина Н. Ф. — М. : Высшая школа, 1963. — 420 с.
4. Четверухин, Н. Ф. Проективная геометрия / Н. Ф. Чет-верухин. — М. : Учпедгиз, 1969. — 368 с.
5. Волков, В. Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и её приложения : автореф. дис. ... д-ра техн. наук : 05.01.01 / В. Я. Волков. — М., 1983. — 27 с.
6. Юрков, В. Ю. Конструктивные отображения многомерных пространств в моделировании эмпирических многофакторных объектов : автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.01.01 /
B. Ю. Юрков. — Омск, 1987. — 174 с.
7. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов : монография / В. Я. Волков, М. А. Чижик. — Омск : Омский государственный институт сервиса, 2009. — 101 с.
8. Чижик, М. А. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов : монография / М. А. Чижик. — Омск : ОГИС, 2009. — 101 с.
9. Устинова, О. В. Оптимизация процессов : программный продукт / О. В. Устинова, В. Я. Волков, М. А. Чижик. — Отраслевой фонд алгоритмов и программ; дата регистрации 31.01.2006 ; Св-во об отраслевой регистрации разработки № 5615, дата выдачи 10.02.2006. — М., 2006. — 5 с.
ЧИЖИК Маргарита Анатольевна, кандидат технических наук, профессор (Россия), профессор, кафедра «Конструирование швейных изделий» Омского государственного института сервиса.
ЯКОВЕНКО Кирилл Сергеевич, аспирант кафедры «Компьютерные технологии и сети» Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского. ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии.
Адрес для переписки: тагдаг11а-сЫ2Ык@гатЪ1ег.ш
Статья поступила в редакцию 23.11.2011 г.
© М. А. Чижик, К. С. Яковенко, В. Я. Волков
