Программное обеспечение для построения графических оптимизационных моделей многофакторных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ

М. А. Чижик, В. Я. Волков, Е. Я. Сурженко

Аннотация. В статье обосновывается необходимость использования методов инженерной геометрии для решения задач оптимизации многофакторных процессов. Рассмотрен алгоритм определения оптимизирующей области параметров в зависимости от значений оптимизирующих факторов на чертеже Радищева. Предложено программное обеспечение для автоматизации построения чертежей геометрических оптимизационных моделей.

Ключевые слова: оптимизация, алгоритм, чертеж Радищева, гиперплоскость, гиперповерхность, компьютерная программа.

В условиях инноваций моделирование многофакторных процессов с точки зрения оптимизации используется достаточно интенсивно, причем развитие идет в направлении усложнения, более полного учета факторов. Вместе с тем, разрабатываемые модели характеризуются большим объемом математических операций и отсутствием наглядного представления об объекте исследования.

Обеспечение наглядности можно достичь с помощью методов инженерной геометрии. В первую очередь это связано с тем, что задачи, которые возникают на практике в процессах различного рода, невозможно решать традиционными аналитическими методами математического моделирования, так как число переменных величин, отображающих соответствующие многомерные функциональные зависимости, превышает размерность пространства, в котором протекают эти процессы. Многомерная начертательная геометрия имеет возможность рассматривать многомерные объекты в качестве геометрических моделей многих переменных, что и позволяет ей наглядно представить такие процессы в виде графических моделей, из которых с помощью современной компьютерной техники, возможно, оперативно устанавливать оптимальные режимы, параметры, составы и характеристики исследуемых процессов.

В научных работах по начертательной геометрии многомерного пространства предлагается несколько способов построения чертежей многомерных объектов на основе проекционного аппарата. Но с увеличением размерности пространства, большинство методов и подходов построения теряют свою наглядность, и все обоснования проводятся по аналогии с графической моделью трехмерного пространства. В связи с этим наиболее

практичным для графического представления модели многомерного пространства является чертеж Радищева [1].

Обоснование адекватности чертежа Радищева в качестве модели многомерного псевдоевклидова пространства с точки зрения аксиоматической теории, представленное в работе [2, 3], позволяет достоверно использовать ее для решения задач оптимизации. Авторами рассматриваются варианты задания элементов на чертеже Радищева; выполняется формализованный анализ решения позиционных задач; разрабатываются конструктивные модели поверхностей и гиперповерхностей различного вида для моделирования многофакторных процессов на чертеже Радищева; формулируются алгоритмы построения области пересечения гиперповерхности с гиперплоскостью уровня, позволяющие получать результаты решений прикладных задач в виде графоаналитических и графических оптимизационных моделей и при этом наглядно оценивать исследуемый процесс, оперативно устанавливать оптимальные режимы, параметры, а также прогнозировать характеристики исследуемых процессов.

Алгоритм определения оптимизирующей области параметров в зависимости от значений оптимизирующих факторов в общем виде представлен ниже:

1. Задается гиперповерхность оптимизирующих факторов путем подбора кривых определенного класса, имеющих определенное расположение относительно исходных точек для каждого фактора (х, ф).

2. Выбираются и задаются оптимальные значения факторов х = Хоптим, Ф = Фоптим которые геометрически будут являться гиперплоскостью уровня.

3. Находится пересечение гиперповерхно- рующей областью АВС (А1В1С1, А2В2С2) изме-сти с гиперплоскостью уровня в пространстве нения параметров х1, х2, х3, для заданных оп-п (рис.1), которое будет являться оптимизи- тимальных значений факторов.

Рис. 1. Схема построения оптимизирующей области трех параметров хь х2, х3 в зависимости от значений двух оптимизирующих факторов х, ф

Этот алгоритм применим при различном числе параметров и оптимизирующих факторов, при этом, если количество параметров совпадает с количеством факторов, то оптимизирующей областью будет одна или несколько 0-плоскостей (т.е. точка). В том случае, если количество параметров больше количества оптимизирующих факторов, то размерность оптимизирующей области будет равна разности числа параметров и оптимизирующих факторов. Так же необходимо учитывать что, если число параметров меньше числа оптимизирующих факторов, то однозначно определить оптимизирующую область не удастся. В этом случае необходимо указывать область изменения оптимизирующих факторов.

Для автоматизации построения графических оптимизационных моделей многофакторных процессов предложена компьютерная программа «Оптимизация процессов» [4].

Блок-схема (рис. 2) и описание программы, реализующие алгоритмы определения оптимизирующих областей параметров в за-

висимости от значений оптимизирующих факторов, рассматриваются ниже.

В блоке 1 вводятся следующие данные:

- количество оптимизирующих факторов и параметров технологического процесса;

- результаты каждого эксперимента, например, значение оптимизирующего фактора х11 при значениях параметров процесса

111 хі , х2 , х3 ;

- требуемые значения уровней оптимизирующих факторов.

В блоке 2 реализуются подпрограммы: метод наименьших квадратов (МНК), метод Гаусса и вычисление полинома. Для построения каркаса гиперповерхности оптимизирующего фактора необходимо выполнить аппроксимацию зависимости оптимизирующего фактора от одного из параметров, полученную в результате экспериментов и заданную N+1 0-плоскостями (узлами). В связи с тем, что значения [т; х] (рис. 3.) получены в результате измерений, то они являются приближенными, и требование неукоснительного совпадения в узлах является неоправданным.

Рис. 2. Блок-схема компьютерной программы «Оптимизация процесса»

Рис. 3. Построение аппроксимирующих 1-поверхностей

С целью уменьшения случайных ошибок при проведении экспериментальных измерений аппроксимация осуществлялась по МНК.

В качестве аппроксимирующей функции выбираем многочлен:

f(x,a0,...an_1)=а + а *х+а *х2+...+ап_х *х-. (1)

хп - |* ап - 1 + хп 2

хп 1* ап - + хп-1

Коэффициенты а0, а1, а2, ..., ап1 находим из решения следующей системы п линейных уравнений [6]:

* ап_2 + ... + (N +1) * а0 = [т],

* ап- 2 + ••• + М* а0 = [тх ],

Где [х | — Хд + Хі + Х2 +... + + X^ ,

k — 1,2,...2п - 2 ;

[тх* |—тд х0 + тХ + т2 х2 +... + ты-1хкы-1 + тпх^, k — 0,1,2,...,и -1;

N +1 - число экспериментальных измерений;

и -1 - степень многочлена.

В результате преобразований по методу Гаусса получаем готовую для вычисления систему линейных уравнений, отличающуюся от исходной переставленными строками:

" ИН-! +к"~3Н-2 +• -+И*аь =[тГ1\,

хп *ап-1 + хп-1

х-1 + - * - ■ц,

*ап-2 +...+[х|*ад —[тх|, *а„-2 +...+[N +1| *ад —[т|.

П—2

Для построения 1-поверхности необходимо вычислить многочлен (1), преобразовав его:

^х,а0,...,ап_1) = а0 + х *

* (а1 + х * (а2 + ...х * (ап_2 + х * ап_1)...))

Для нахождения значения многочлена по данной формуле использовалась схема Горнера, которая реализуется с помощью п-1 умножений и п-1 сложений.

Затем рассчитывается погрешность аппроксимации по формуле:

I -

9—1 -1/^ +1)1 ^ |тг. - уг.| /

где т, - экспериментальное значение;

у - расчетное значение.

Значение в (от 0 до 1) отражает близость значений построенных графиков к экспериментальным данным. График наиболее соответствует действительности, когда значение в близко к 1. В программе реализована возможность при неудовлетворительном значении в

вернуться на шаг назад и поменять степень аппроксимирующего многочлена.

В блоке 3 реализуется подпрограмма «Корень полинома», выполняющая нахождение координат 0-плоскостей пересечения 1-поверхностей каркаса гиперповерхности оптимизирующих факторов и гиперплоскости уровня, задающей требуемое оптимизирующего фактора. Так как координата Y равна Yопт, для определения координаты X необходимо решить следующее уравнение:

2 и-1

Уопт — а0 + «1 * х + а2 * х + ... + «п-1 * х .

Данное уравнение решается методом половинного деления, т. е. с заданной точностью. Точность вычисления задана не более 0,01.

После определения таким образом координат 0-плоскостей пересечения 1-поверхностей каркаса гиперповерхности оптимизирующих факторов и гиперплоскости уровня на чертеже (ф; х1) выполняется построение 1-поверхностей каркаса 2-поверхности пересечения гиперповерхности оптимизирующих факторов и гиперплоскости уровня на чертеже (х1; х2) (рис. 1). Так как координаты узловых 0-плоскостей получают в результате вычислений, график

1-поверхности должен проходить через узлы. Следовательно, в данном случае будем применять метод интерполяции, реализованный подпрограммой «Интерполяция». В качестве интерполяционной функции выбираем многочлен п-ой степени:

у(х) — ад + а1 * х + а2 * х2 +... + ап * хп,

который в узлах х, (параметр х1) принимает табличные значения у (параметр х2).

Условие интерполяции (равенство в узлах табличных значений и интерполирующей функции) приводим к системе из п+1 линейных уравнений с п+1 неизвестными - коэффициентами многочлена:

Ґ" 2 уі

а0 + а, * х0 + а2 * х~ +... + ая*х0=у0,

ад + а1 *х + а2 *х1 +... + ап *х1 — у1;

ад + а, * хп + а2 * хи +... + ап * х" — уп.

и 1 П А П П П У П

Решая эту систему методом Гаусса относительно неизвестных а0, а1, .., ап, получаем аналитическое выражение степенного многочлена и, используя схему Горнера, строим

т

і—1

графики. В итоге имеется тройка 1-поверхностей, которые образуют каркас 2-поверхностей оптимизации параметров х1 и х2 по одному оптимизирующему фактору для разных значений параметра х3 (рис. 1., плоскость проекций (хь х2)).

В блоке 4 выполняется построение 1-поверхностей А2 В2 С2 и А3 В3 С3 оптимизации параметров хь х2 и х3 по двум оптимизирующим факторам. Для построения 1-поверхности А2 В2 С2 оптимизации параметров х1 и х2 по двум оптимизирующим факторам необходимо определить пересечение двух 2-поверхностей оптимизации параметров х1 и х2 по одному оптимизирующему фактору.

Для нахождения координат 0-плоскостей пересечения каркасов 2-поверхностей оптимизации параметров х1 и х2 по одному оптимизирующему фактору приравниваем аналитические выражения этих функций и получаем новый степенной многочлен:

Уопт (Х) = а0 + а1 * Х + а2 * Х 2 + ... + ап * Х"

— функция 1-поверхности каркаса 2-поверхности оптимизации параметров х1 и х2 по оптимизирующему фактору х;

У опт (Х) = Ъ0 + Ъ1 * Х + Ъ2 * Х 2 + ... + Ъп * ХП

— функция 1-поверхности каркаса 2-поверхности оптимизации параметров х1 и х2 по оптимизирующему фактору ф;

2 п

а0 + а1 * х + а2 * х +... + ап * х =

= Ь0 + Ь1 * х + Ь2 * х2 +... + Ъп * хп;

(а0 _ь0)+(а1 _Ь1)*х+(а2 _ь2)*х2 +.. +(ап _Ьп)*Х1 =0.

Используя метод половинного деления, вычисляем корень этого уравнения, т. е. значение параметра х1 для точки пересечения. Значение оси ординаты (параметр х2) для точки пересечения находим путем подстановки значения корня в аналитическое выражение функции 1-поверхности каркаса 2-поверхности оптимизации параметров х1 и х2 по оптимизирующему фактору х. Таким способом находим координаты 0-плоскостей пересечения

1-поверхностей каркасов для разных значений параметра х3. По этим узлам определяем интерполяционный многочлен 1-поверхности А2 В2 С2 оптимизации параметров х1 и х2 по двум оптимизирующим факторам.

Затем строим 1-поверхность А3 В3 С3 оптимизации параметров х1; х2 и х3 по двум оптимизирующим факторам (рис. 1, плоскость

проекций (хи x3)), для которой координаты параметра xi в узлах x, равны координатам параметра x1 в узлах 1-поверхности A2 B2 C2, а yj принимает табличные значения параметра x3. По этим узлам находим интерполяционный многочлен 1-поверхности А3 В3 С3 оптимизации параметров xi, x2 и x3 по двум оптимизирующим факторам.

В блоке 5 осуществляется построение оптимизационной 0-плоскости, если заданы три оптимизационных фактора. В этом случае на чертеже (x1; x2) получим три 2-поверхности оптимизации параметров xi, x2 по одному фактору. Тогда описанным способом находим 1-поверхность пересечения 2-поверхностей оптимизации по первому и второму факторам, а затем 1-поверхность пересечения

2-поверхностей оптимизации по второму и третьему оптимизирующим факторам. Таким образом, на чертежах (x1t x2) и {x1t x3) получаем по две 1-поверхности оптимизации параметров xi, x2 и x3 по двум оптимизирующим факторам. Приравнивая аналитические выражения этих 1-поверхностей, определяем координаты 0-плоскости их пересечения, которая является оптимизационной областью параметров xi, x2 и x3 по трем оптимизирующим факторам.

В блоке 6 осуществляется вывод на экран монитора:

- числовых значений результатов обработки экспериментальных данных и промежуточных расчетов (рис.4);

- чертежей оптимизационных моделей (рис. 5).

Апробация компьютерной программы осуществлялась при исследовании многофакторных процессов легкой промышленности, в частности, соединения деталей швейных изделий ниточным способом и лазерной сваркой [2, 5].

Таким образом, программа позволяет на базе разработанных алгоритмов выполнять оптимизацию многофакторных процессов с различным числом параметров в зависимости от значений нескольких оптимизирующих факторов. Следует отметить, что решение приведенных выше задач осуществляется с помощью приложения для Microsoft Office - Excel и встроенного в него языка программирования Visual Basic for Applications, а также «Мастера построения диаграмм». Компьютерная программа «Оптимизация процессов» зарегистрирована в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ.

Рис. 4. Окно ввода данных программы «Оптимизация процессов»

Рис. 5. Финальное окно программы «Оптимизация процессов»

Библиографический список

1. Радищев, В. П. О применении геометрии четырех измерений к построению разновесных физико-химических диаграмм / В.П. Радищев // Изв. СФХА. - М., 1947. - Т. 15 - С. 129 - 134.

2. Устинова, О. В. Разработка оптимизационной модели процесса соединения текстильных материалов на основе чертежа Радищева многомерного пространства: Автореф. дис. к.т.н. - Омск: ОГИС, 2006 - 26 с.

3. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов : монография / В. Я. Волков, М. А. Чижик. - Омск: Изд-во ОмГИС, 2009. - 101 с

4. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 5615. Компьютерная программа «Оптимизация процессов» / О. В. Устинова, В. Я. Волков, М. А. Чижик (РФ). - № 50200600103, заявл. 31.01.2006; дата регистрации 02.02.2006; дата выдачи 10.02.2006. - 5 с.: ил.

5. Чижик, М. А. Моделирование процессов соединения деталей швейных: монография / М. А. Чижик, В. Я. Волков. - Омск: ОГИС, 2010. - 147 с.

GRAPHIC MODELING’SSOFTWARE OF MULTIFACTORIAL PROCESSES

M. A. Chizhik, V. Y. Volkov, E. Y. Surzhenko

In this article it is based the need to use the engineering geometry’s methodsfor optimization of multifactorial processes. The algorithm ofthe determinationoptimizing parameters depending on the values of the optimizingfactors on the

Radishchev drawing is described. Software to automate drawing geometric optimization mod-elsis proposed.

Чижик Маргарита Анатольевна - кандидат технических наук, профессор кафедры «Конструирование швейных изделий» Омского государственного института сервиса (ФГБОУ ВПО ОГИС). Основное направление научных исследований: Математическое (геометрическое) моделирование технологических процессов легкой промышленности. Имеет более 90 опубликованных работ.Е-mail: [email protected]

Волков Владимир Яковлевич - доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой ««Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (ФГБОУ ВПО СибАДИ). Основное направление научных исследований: Геометрическое моделирование многокомпонентных многофакторных процессов. Имеет более 200 опубликованных работ. E-mail: volkov_vy39@mail. ru

Сурженко Евгений Яковлевич - доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Конструирование и технология швейных изделий» Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна (ФГБОУ ВПО СПГУТД). Основное направление научных исследований: Проектный анализ и создание нового ассортимента специальной и бытовой одежды. Имеет более 180 опубликованных работ. E-mail: [email protected]

УДК 691.327

АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОМПОЗИТОВ

И. Л. Чулкова

Аннотация. Автором предложены многофакторные модели для подбора составов керамзитобетонов, полученные по результатам испытаний прочности бетонных кубиков в производственных условиях. С помощью этих моделей можно оценить эффективность и организационно-технологическую надежность подбора составов керамзитобетонов.

Ключевые слова: многофакторные модели, подбор составов керамзитобетонов, имитационная модель, вероятностная модель, шаговый регрессионный.

Введение

Проектирование состава бетонной смеси является одной из основных технологических задач. При проектировании состава необходимо выбрать такой метод проектирования,

который обеспечит получение оптимальных структуры и свойств бетона.

Традиционный метод проектирования состава бетонной смеси сводится к определению расчетно-экспериментальными методами