Линейчатые соответствия как объект исследования в многомерной исчислительной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 514.185:512.7 В. Ю. ЮРКОВ

Омский государственный педагогический университет

ЛИНЕЙЧАТЫЕ СООТВЕТСТВИЯ КАК ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ В МНОГОМЕРНОЙ ИСЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Формулируются некоторые предложения, позволяющие изучать линейчатые соответствия многомерных пространств. Приводятся, связанные с ними, формулы редукции. Описанный метод позволяет свести изучение соответствий общего вида к редукции произведений шубертовых условий инцидентности. Результаты редукции условий трактуются как свойства изучаемых соответствий. Отсутствие ограничений по размерности позволяет изучать многомерные соответствия путем сведения геометрических задач с многообразиями флагов к алгебраическим операциям с символами условий. Ключевые слова: многообразие, соответствие, условия инцидентности, редукция условий.

Данная статья продолжает ряд работ, посвященных проблемам исчислительной многомерной геометрии [1—5].

Хорошо известна операция проектирования п-мерного пространства на его (п-к)-мерное подпространство, представляющая собой отображение

Рг : Рп \ |Ш| ® Хп - к , осуществляемое по правилу

Рг : (р є Рп \ |Ш|) ® (р и |Ш|) п Хп - к ,

где Ш может быть любой совокупностью из множества линейных подпространств, натянутых на к+1 независимых точек пространства Рп. Кроме аналитического и конструктивного представления, это отображение может быть выражено символически через отношение инцидентности двух флагов — неполного п-мерного флага и полного к-мерного в виде

к,к - 1, ... 1, 0^+1

еп,п - 1, ... п - к + 1,00

или любого другого, ему эквивалентного.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

5

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

Такое отображение индуцирует соответствие

f(W) : (VXn - k : Xn - k с Pn, Xn - k n {W}=+) «

« (VY" - k : Y" - k с Pn, Y" - k n {W}= +),

которое, как известно, является проективным соответствием. Многообразие F(W) с Pn называется соединением подпространств Xn-k и Yn-k или ассоциированным многообразием соответствия f(W): Xn-k«Yn-k. Каждая k-плоскость многообразия F(W) находится в некотором отношении инцидентности с элементами множества {W} и соединяет соответственные точки подпространств Xn-k и Y”-k. С другой стороны, подпространства Xn-k и Y“-k являются носителями (n — k)-плоских сечений многообразия F(W). Здесь можно сформулировать несколько предложений, которые могут понадобиться в дальнейшем.

Предложение 1. Операция сечения многообразия F (W) подпространством Xm с Pn , для которого Xm n n{W} = +, осуществляется по правилу

Sec : Pk с F(W) ® Pk+m-n с Xm ,

которое записывается в виде отношения инцидентности двух флагов

k, k - 1, ... m, ... 1, 0

e ——

ak,ak-1, ... am, ... a1, a0

k + m - n, k + m - n - 1, ... 1,

—e

ak - n + m ak-1 - n + m,... ak-m+2 -

- n + m, ak-m+1 - n + m.

При этом должны выполняться два условия. Первое — равенство размерностей правой и левой частей и второе — расслоение многообразия F(W) с базовым семейством подпространств Xk+m-n с Xm.

Общим сечением многообразия является многообразие. Тривиальными примерами являются k-плоские сечения линейных многообразий гиперплоскостей

n - 1,n - 2,. ..,m + 1,m,... ,1,0 e—

n, n - 1,...,m + 2,m,... ,1,0

k - 1,k - 2,. ..,k - n + m + 1,k - n + m,... ,1,0

— e ,

k, k - 1,...,k - n + m + 2,k - n + m,...,1,0

где m = 0, ..., n — 2 и для каждого значения m существует несколько значений k = n—1, ..., n — m—1.

Предложение 2. Над каждым многообразием Xk+m-n с Xm может быть построен конус. Построение конуса осуществляется по правилу

k + m - n,...,0 e —

m, ...,...

k + m - n + a,...,0 ( k + m - n + a,...,1, 0Y

— e • I e I

m + a, ....... ^ m + a, ...,n - k + 1,00

Предложение 3. Числовые характеристики общего сечения многообразия F(W) равны числовым характеристикам многообразия F(W).

В качестве примера можно привести гиперквадрики при n >3

n - 2,n -3,...,1,0\3 ( n - 2,n - 3,...,1,0У-3 en, n - 1,...,3,10 [en, n - 1,...3,00 ~

п - 2,п - 3,... ,1,0

= 2е

п - 1, п - 3,... ,1,0 .

В левой части уравнения приведены условия, а в правой — результат их редукции. Коэффициент в правой части свидетельствует, что полученные многообразия есть гиперквадрики. Их к-мерными сечениями будут многообразия

к - 2,к - 3,... ,1,0 2е .

к - 1,к - 3,...,1,0.

Известно утверждение: линейный комплекс прямых может быть вложен в линейный пучок плоскостей. Оно справедливо для трёхмерного пространства, но обобщается и на п-мерные пространства

Предложение 4. Линейное (п + к— 1)-мерное многообразие прямых может быть вложено в линейное (п — к— 1)-мерное многообразие гиперплоскостей.

Такое вложение осуществляется по правилу

1,0 п - 1,...,к + 1,к,..,0

е ® е п,к п, ...,к + 2,kг..,0,

где 1 < к < п — 2.

Размерность многообразия прямых есть

2(п—1) — [2(п—1) + 1— п — к]=п + к—1.

Размерность многообразия гиперплоскостей равна

п+(п—1+ ... +к+ 1) — (п + ... + к + 2) = п— к—1.

Очевидно, что каждая прямая такого многообразия пересекает к-плоскость в точке. Предположим, что выбрана одна из точек к-плоскости. Тогда можно выбрать только п — к—1 независимых прямых, инцидентных этой точке, но не лежащих в к-плоскости, которые вместе с к прямыми, инцидентными этой же точке, но лежащими в к-плоскости, образуют базис гиперплоскости, инцидентной данной к-плос-кости. Выбор ещё одной прямой, инцидентной этой же точке, дополнительной к уже выбранным прямым и независимой от них, образует базис пространства. Поэтому невозможно выбрать больше чем п — к—1 независимых прямых, инцидентных одной точке. Замена любой из выбранных прямых на другую влечет изменение гиперплоскости, сохраняя её инцидентность данной к-плоскости и данному многообразию.

Другими словами, в пространстве не найдётся ни одной такой прямой, которая пересекала бы данную к-плоскость и при этом не принадлежала бы никакой гиперплоскости указанного многообразия.

Следующим шагом на пути обобщения может быть такой.

Предложение 5. Линейное (2п + к — 4)-мерное многообразие 2-плоскостей может быть вложено в линейное (п — к—1)-мерное многообразие гиперплоскостей.

Такое вложение осуществляется по правилу

2,1, 0 п - 1,...,к + 1,к,..,0

е ® е

п,п - 1,к п, ...,к + 2,к,. ..,0 ,

где 1 < к < п — 4.

В самом общем случае пусть т-плоскость и к-плос-кость пересекаются по г-плоскости. Тогда может быть доказано предложение.

Предложение 6. Линейное [(п — ш)(ш — г) + + (г+1)(к — г)]-мерное многообразие ш-плоскостей может быть вложено в пучок гиперплоскостей.

Размерность линейного многообразия ш-плос-костей определяется как разность размерности грас-сманова многообразия ш-плоскостей и размерности условия пересечения с к-плоскостью по г-плоскости:

(ш+1)(п-ш)-(г+1)(п-ш-к + г) =

(п — ш)(ш — г) + (г+1)(к — г).

Такое вложение осуществляется по правилу

ш,ш - 1,...,г + 1, г,г - 1,...,1, 0

е ——

п, п - 1, ...,п - ш + г + 1,к,к - 1,. ..,к - г + 1,к - г

к + ш - г,к + ш - г - 1,. ..,к + 1,

к,к -1,. ..,0

—е

п -1,

.,п - ш - г + 1,к,к - 1, ..,0

Учитывая все сформулированные предложения, попробуем применить их к изучению некоторых свойств проективных соответствий в многомерных пространствах.

Вернёмся к проективному соответствию 1(Ш) в его двумерном варианте 1(Ш): X2 « У2, но индуцированному множеством Ш в п-мерном пространстве при условии, что (X2, У2) с Рп, X2 п У2 = +, X2 п {Ш}= +, У2 п {Ш}= +. Кроме этого, будем рассматривать X2 и У2 как линейчатые многообразия. Тогда очевидно, что

п - 2

п - 1,п - 2,. ..,1,0 п, п -1,...,2,0

Теперь можно легко определить некоторые свойства соответствия.

1. Соответствие является взаимно однозначным. То есть общей прямой, выбранной в X2, соответствует единственная прямая в У2 и наоборот. При этом нас не должно смущать то обстоятельство, что прямая фактически выбирается в Рп, так как условия X2п {Ш}= +, У2п {Ш} = + позволяют сначала выбрать прямую, а потом провести инцидентную ей плоскость X2. Доказательством является редукция условий

п - 1,п - 2,. ..,2,1,0 е • Ш

п, п - 1,...3,1,0

п - 1,п - 2,... ,1,0 5п - 1,п - 2,...,1,0 .

Выбор У2 означает двумерное сечение гиперплоскости, полученной в результате редукции. Сече-

1,0

нием является прямая е .

1,0

2. Соответствие является линейным. Во-первых, общему пучку прямых, выбранному в X2, соответствует единственный пучок прямых в У2 и наоборот. Аналогично предыдущему пучок фактически выбирается в Рп, но выбор пучка означает выбор плоскости X2. Доказательством является редукция условий

п - 1,п - 2,. ..,2,1,0 е • Ш

п, п - 1,...3,2,0

п - 1,п - 2,.. ,1,0 п, п - 2,...,1,0

Выбор У2 означает двумерное сечение пучка гиперплоскостей, полученного в результате редук-

1,0

ции. Сечением является пучок прямых е

2,0

и наоборот. Опять, аналогично предыдущему, поле прямых фактически выбирается в Рп, но выбор поля прямых означает выбор плоскости X2. Доказательством является редукция условий

п - 1,п - 2,. ..,2,1,0 е • Ш

п, п - 1,...,3,2,1

1,п - 2,п - 3,.. ,1,0 п - 1, п - 3,... ,1,0 ■

Выбор У2 означает двумерное сечение многообразия гиперплоскостей, полученного в результате

1,0

редукции. Сечением является поле прямых е 2,1 .

3. Соответствие имеет три слабоинвариантные прямые. Строгого доказательства этого утверждения не приводим, но некоторые основные идеи должны быть упомянуты. Во-первых, инвариантная система должна определяться не сама по себе, а относительно некоторого другого соответствия, которое условно можно назвать совмещающим соответствием. Очевидно, что вводить в рассмотрение совмещающее соответствие более сложное, чем проективное, нет смысла. Пусть таким соответствием будет соответствие д(У): X2 « У2, V * Ш, {V} = {Ш}, {V} п {Ш}= +. Свойства изучаемых соответствий будут определяться с точностью до проективных соответствий.

Предложение 7. Число простых слабоинвариантных прямых соответствия 1(У): X2 « У2 равно числу 3-плоскостей, общих для многообразий Б(Ш) и С(Ш), которые сами рассматриваются как многообразия 3-плоскостей.

То есть

3,2, 1, 0 ^2( 3,2, 1,0^2 3,2,1,0

е II е | = 3е

п,п - 1,п - 3,п - 4 ) I п,п - 1,2,1 ) 3,2,1,0 .

Доказательство этого предложения, как и предыдущих, опускаем за неимением места. Однако следует упомянуть, что последнее предложение будет верно при п>4, то есть при условии отсутствия естественных пересечений X2 и У2. Например, при п=3 расчет будет давать только одну инвариантную (сильно инвариантную) прямую — прямую пересечения X2 и У2. Кроме неё будет существовать пучок слабоинвариантных прямых.

Сформулированные предложения и пример рассмотренного проективного соответствия позволяют утверждать, что предложенный метод даст возможность изучить свойства соответствий высшего порядка.

Во-вторых, общему полю прямых, выбранному в X2, соответствует единственное: пучок прямых в У2

Библиографический список

1. Юрков, В. Ю. Некоторые принципы построения и исследования множеств проекционных систем в многомерных проективных пространствах / В. Ю. Юрков // Прикладная геометрия [Электронный ресурс]. — 2000. — Вып. 2. — № 3. — Режим доступа: http://www.mai.гu/~apg (дата обращения: 17.01.2014).

2. Юрков, В. Ю. Исчислительно-геометрическая интерпретация рациональных и бирациональных отображений / В. Ю. Юрков // Омский научный вестник. — 2002. — Вып. 18, март. — С. 84-86.

3. Волков, В. Я. Бирациональные отображения и исчисление Шуберта / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков // Математика и информатика: наука и образование. — 2003. — Вып. 3. — С. 9-13.

п

е

п

п

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

4. Юрков, В. Ю. Исчислительная интерпретация принципа Шаля и рациональные соответствия / В. Ю. Юрков // Прикладная геометрия [Электронный ресурс]. 2004. — Вып. 6. — № 13 (2004). — С. 1 — 17. — Режим доступа: http://apg.mai.ru/ (дата обращения: 17.01.2014).

5. Волков В. Я. Многомерная исчислительная геометрия : моногр. / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 2008. - 244 с.

ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики и математики.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 20.01.2014 г.

© В. Ю. Юрков

УДК 514.18 В. Ю. ЮРКОВ

Омский государственный педагогический университет

СТРУКТУРИЗАЦИЯ ВИЗУАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МНОГОМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Настоящая работа посвящена проблеме построения визуальных моделей многомерных евклидовых пространств. Рассматриваются модели различной структуры, являющиеся обобщением известных визуальных моделей — чертежа Монжа и чертежа Радищева. Показано, что основными структурными компонентами являются аффинные соответствия общего вида.

Ключевые слова: многомерные пространства, визуальные модели, соответствия.

В настоящее время существуют, развиваются и взаимно дополняют друг друга 2Б и 3Б компьютерные технологии обработки визуальной информации, а также 2Б и 3Б компьютерные модели и технологии моделирования. В связи с некоторой терминологической неоднозначностью, прослеживающейся в различных статьях и книгах, определимся с основными понятиями, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Под технологией будем понимать совокупность теоретических основ, методов и алгоритмов продуцирования, преобразования, обработки, хранения и передачи информации об объекте. Если речь идет о визуальной информации, то технология будет называться, соответственно, визуальной технологией или технологией визуализации информации. Следует различать следующие визуальные технологии:

— ручные, то есть технологии построения графических моделей объектов, использующие материальные носители информации, инструменты, визуальные языки и интеллектуальные средства (базы знаний) модельера;

— компьютерные — технологии построения виртуальных графических моделей объектов, использующие интерактивные виртуальные 2Б и 3Б среды;

— информационные — технологии построения виртуальных моделей классов объектов, использующие возможности хранения, актуализации, сопоставления и использования для решения различных задач с объектами данных классов разной размерности;

— интеллектуальные — технологии, использующие математические методы анализа свойств, присущих классам объектов, методы выявления и использования закономерностей данных классов, методы оптимизации при построении виртуальных моделей данного класса.

Под моделированием будем понимать процесс разработки теоретических основ, методов и алгоритмов генерации совокупности объектов, более простых по сравнению с оригиналом, но сохраняющих в определенной степени те свойства оригинала, которые интересуют модельера в связи с конкретной решаемой задачей. Поскольку речь идет о визуализации, то есть о переводе объекта в визуальную форму, то можно утверждать, что в основе визуального моделирования всегда лежат совокупности геометрических образов, их преобразований и отношений между ними.

Существует виртуальное и реальное моделирование. Реальное моделирование ограничено по размерности и реализуется в пространстве, размерность которого не превышает трех. Так, реальное визуальное 2Б моделирование есть просто процесс построения изображения или переход к условно-схематическим образам, подчиняющимся основным аксиомам геометрии плоскости или другого двумерного пространства. Реальное визуальное 3Б моделирование есть процесс построения действующей модели или макета, сохраняющего пространственные, структурные, функциональные и другие свойства оригинала. Виртуальное моделирование теоретически не имеет ограничений по размерности, то есть можно утверждать существование виртуального пБ моделирования. Но в своем визуально адаптированном варианте оно, к сожалению, всегда ограничено двумерным информационным пространством.

Таким образом, задача построения интеллектуальной визуальной модели многомерного пространства является на сегодняшний день актуальной и может быть сформулирована в теоретико-множественном представлении как задача построения множества отображений: