Исчислительные задачи для многообразий комбинаторной структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 514.185:512.7 В. Ю. ЮРКОВ

Омский государственный педагогический университет

ИСЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ КОМБИНАТОРНОЙ СТРУКТУРЫ____________________________

Цель статьи — дать некоторые обобщенные условия инцидентности для флагов различной размерности. Введены понятия внешних и внутренних условий для многообразий комбинаторной структуры. Приведены формулы редукции условий для флагов, размерность которых отличается на единицу. Сформулированы условия существования комплексов специального вида. Приведено решение некоторых исчислительных задач. Описанный метод решения обладает новизной и позволяет свести решение геометрических задач к алгебраическим операциям с символами условий.

Ключевые слова: флаг, условия инцидентности, формулы редукции, комбинаторная структура, комплекс.

Пусть

р, р-1, ..., 1, О

е

аII' аг-1' •••' а1> ао

есть обобщенное условие инцидентности полного р-флага Ур неполному ар-флагу Уо. Пусть произведение условий

Р, Р-1....... I. О <7, д-1, ..., 1, О

ан я» ^1|-|* Ь,, Ь„

есть обобщенное условие инцидентности четырех флагов: полных р- и q-флaroв У|И неполным а - и

Ь (-флагам Уц, V,,: УрсУо, УчсУь. Такое условие можно назвать внешним условием для данных флагов. Обязательное условие V сУ можно назвать внутренним условием для данных флагов. Отсутствие внутреннего условия будет означать независимость флагов V , V . Пусть р — q = 1. Тогда можно доказать существование следующего основного уравнения условий

т, т-1, ..., 1, О

е х

п, п-1, л-т + 1, п- т-\

т-1, т-2, 1, О

х е —

п, л-1, л-т + 2, л-т

т-1, .... 1,

О

+ е

п, ..., п-т + 2, п-т-1

т.... 2, 1, О

' л, .... п-т + 2, п-т, п-т-1

(1)

Во-первых, размерность условия левой части уравнения равна сумме размерностей условий-сомножителей и равна двум. Размерность каждого условия в правой части тоже равна двум. Поэтому формальный размерностный анализ допускает существование такого уравнения.

Во-вторых, предположим, что заданные (п — ш + 1 )-и (п — ш)-плоскости полностью инцидентны. Тогда из первого условия правой части уравнения, означающего пересечение (ш — 1)- и (п — т — 1 (-плоскостей в точке, и из условия Уго _ ,сУт следует безусловное выполнение первого условия левой части. Из второго условия правой части, означающего пересечение т-и (п — т)-плоскостей по прямой, и из условия Уш_ ,сУП1 следует безусловное выполнение второго условия левой части.

Для дальнейшего нам понадобятся частные случаи этого уравнения, в которых ш = 1 и т = 2. Они, соответственно, имеют вид

1, 0 0 0 1, О

е е -е + е

п, п-2 п-1 л-2 л-1, л-2

Рассмотрим произведение условий

р, р-1, .... 1, 0 <7, <7-1, ..., 1, О

с е

ар' а/>-1* •••• а1> ао ^ч' ^ч-1* "" ^1'

хе

г, г-У, ..., 1, О

» , Сг' Сг-|< •••' С1' С11

Это есть обобщенное условие инцидентности шести флагов: полных р-, я- и г-флагов Ур, У(| V, неполным а(1-, Ь(|- и сг-флагам У„, У„, V .: УрсУц, У(С V,,, УгсУ, Обязательное внутреннее условие имеет вид: УгсУ(|сУр. При этом р — Я = 1, Я — г = 1. Тогда можно доказать существование следующего уравнения условий

т, 1, О

е х

п, ..., л-т + 1, л-т-1

х е

т-1, ..., 1,

О

л, п-т + 2, п-т

т-2, ..., 1, О

хе „ =

л, ..., л-т + 3, л-т + 1

т-2.... 1, О

= е +

л, ..., л-т + 3, л-т-1

т-1, 2, 1, О

+ е _ +

л, ..., л-т + 3, л-т, л-т-1

2, 1, О 1, О е е =

л, л-1, л-3 л, л-2

1, 0 2, 1, О

= е + е

л, п - 3 л, п-2, л - 3

Предположим, что p — q >2. Тогда существование уравнения, аналогичного уравнению (1), становится невозможным для условий, размерность которых равна двум, но возможно для условий, размерность которых больше двух. Например, можно доказать существование уравнений в размерности условий, равной трем, для р - я = 2. Эти уравнения имеют вид

т, т-1..... 1, О

в х

л, л — 1, л-т + 1, л-т-1

х е

т-2, т-3, ..., 1,

О

л, л — 1, ..., л-т + 3, п-т

т-2, .... 1, О

= е +

л, л-т + 3, п-т-1

т...... 2, 1, О

+ Р

л, ..., п-т + 2, п-т, п- т-2

Более подробно на этом аспекте проблемы останавливаться не будем.

Что касается уравнений условий в размерности, равной двум для р — д = 2, то они будут иметь вид

т, /п-1, ..., 1, О

в X

л, л — 1, ..., л-т + 1, п-т-1

х е

т-2, т-3, ..., 1,

О

п, л — 1, п-т + 3, л-т + 1 т-2, ..., 1, О

л,

л-т + 3, п-т

т, ..., 3, 2, 1, 0

+ е

л, .... л-т + 3, л-т + 1, п-т, п-т-1

Доказательство можно провести аналогично. Во-первых, размерность условия, стоящего в левой част уравнения (3), равна размерности каждого из условий в правой части и равна трем. В этом несложно убедиться непосредственным подсчетом.

Во-вторых, предположим специализацию, при которой подпространства, заданные в левой части уравнения (3), полностью инцидентны друг другу. То есть (п — т— 1 (-плоскость принадлежит (п — т)-плоскости, которая, в свою очередь, принадлежит (п — т+ 1 )-плоскости. Тогда выполнение первого условия суммы из правой части уравнения приводит к безусловному выполнению первого и второго условий из левой части. Выполнение второго условия суммы из правой части приводит к безусловному выполнению первого и третьего условий из левой части. Наконец, выполнение третьего условия суммы из правой части приводит к безусловному выполнению второго и третьего условий из левой части.

В-третьих, поступим формально. Заменим произведение первых двух условий левой части уравнения (3) суммой, согласно уравнению (1). Получим сумму двух произведений, из которых одно произведение заменяется суммой по уравнению, аналогичному уравнению (1), но в размерности, равной трем, а второе произведение заменяется произведением по уравнению (2). В результате будет получено уравнение (3).

Алгоритм получения полной системы уравнений для условий описанного вида известен [ 11.

Для дальнейшего нам понадобятся частные виды описанных уравнений, а именно

О

2, 1, п

1,

О

1,

О О

е е

п, л-1, л-3 л, п-2 л-1

О

О 2, 1,

= е + е „ +е

л-3 п-2, л-3 л-1, л-2, л-3

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N* 3 (83) 2009

Перейдем теперь к рассмотрению комплексов специального вида. Обозначим для краткости внешнее нулевое условие инцидентности флагов

Ет =е

л,

X е

л,

I,

п-т,

1,

л - т +

0 п

0

п-т

0

... е m-і л

Здесь внутреннее условие V,, сУ, с ... сУт. Тогда комплекс флагов можно записать в виде

mm m Е Е ... Е . 1 2 к

индексы. Поэтому необходимое условие совместности для такого произведения заключается в том, что размерность произведения не должна превыша ть размерности соответствующего многообразия V = {Vp, V : V cV }. Это означает, что должно выполняться неравенство

dim Е<(р+ l)(n-p) + (q+ l)(p-q).

Для случая р = 1, q = 0 получим dim Е<2п — 1, а для р = 2, q = 1 получим

dim Е<3п — 4.

Внутренние условия существования такого комплекса имеют вид:

1) V , ]= 1...т, 1= 1...к;

2) ...к-1;

3) V,,

' пі

cV

- I.k v т. I"

В частности, одномерные многообразия симпли-циальной структуры двумерного пространства в п-мерном пространстве описываются внешними нулевыми условиями вида

з ■' ( 1, 0 0^

Ч" -п %.

Двумерные многообразия симплициальной структуры трехмерного пространства в п-мерном пространстве — внешними нулевыми условиями вида

Л ., 2, >' 0 Ь 0 (Л

П Е;= П е е е

Т.! 7-.iV л' п_1> п_2 л, л-1 п)^

Одномерные многообразия симплициальной структуры п-мерного пространства — внешними нулевыми условиями вида

н+1 п»1 ( 1

-І ГТІ

П*.'=П

о о

е е

л, л — 1 п

Во-вторых, указанное произведение будет несовместно, если будет несовместно произведение

с'

<7-1. а/>-|»

1,

а.,.

<7-1.

0 q, е

аі Ь„, Ь„_,,

1, 0 Ь,, Ьи

Примем это утверждение без доказательства.

Что касается условия, стоящего в левой части уравнения (3), то оно будет совместно, если будут совместны все парные произведения, составленные с учётом отношений инцидентности многообразия V. Наоборот, произведение любого числа условий многообразия V будет несовместным, если из всех парных произведений, хотя бы одно окажется несовместным.

Для рассматриваемых частных случаев можно получить множества несовместных условий, некоторые из которых имеют вид

1, 0 0 1, 0 0 1, 0 0 е е , е е , ..., е е

Л-1, Л-2 0 п -2, л - 3 1 2, 1 п-3’

2, 1,

0

1,

0

Є є

л-1, л-2, л-4 л-1, л-4'

I,

0

0 1, л-1, л-2, л-3Єл-2, л-4'

Двумерные многообразия симплициальной структуры п-мерного пространства — внешними нулевыми условиями вида

П*г = Пк

2, 1,

0

1,

0 0

е

л, л -1, л - 2 л, л -1 л

■ к=С

И другие.

Как можно заметить, все внутренние условия задают только структуру многообразия, все внешние условия — только положение многообразия в данном пространстве. Очевидно, внутренние и внешние условия не должны противоречить друг другу. Или, другими словами, всякие ненулевые внешние условия должны анализироват ься на совместность с учетом внутренних условий.

В связи с этим рассмотрим условия совместности произведения

р-1.

1,

0 q, е.

<7-1,

1, 0

Ь., Ь„

в котором р — q = 1.

Во-первых, необходимо учесть, что условия-сомножители не могут быть выбраны произвольно, а точнее, не могут выбираться произвольно нижние

и другие.

Рассмотрим теперь некоторые исчислительные задачи для многообразий, описанных выше.

Пусть имеется к общих (п — 1 )-плоскостей и к общих точек, не лежащих в этих плоскостях. Требуется найти число замкнутых ломаных, звенья которых проходят через данные точки, а вершины лежат в данных (п — 1 )-плоскостях.

Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 1.

Доказательство. Имеем

1, 0 0 0 1, 0

е е —е +е л, 0л-1 0 л-1, 0'

Тогда

п

( 1, 0 О ^ ‘ ( О 1, 0^1

Є Є = П Є +е к л, 0 л-ljf {Д 0 л-1, 0у

•+Сео),Й(%-1. °о);0(%-,. о).

Очевидно, что все слагаемые в правой части, кроме первого и последнего, несовместны. Первое слагаемое соответствует единственному решению, то есть

п

= 1, к > 3.

Последнее слагаемое представляет собой условие прохождения к прямых через к точек, по одной через каждую точку. При этом каждая из к прямых и каждая из к точек лежат в своей (п— 1)-плоскости, число которых гоже равно к. Но внутренние условия обязывают каждую из этих к прямых пересекать в точке как предыдущую, так и следующую прямую. Последняя к-я прямая должна пересекать в точке первую. Опуская строгое доказательство, утверждаем, что такое условие, сформулированное в п-мерном пространстве, позволяет понизить размерность пространства на единицу. То есть оно эквивалентно такому же условию, сформулированному для (п— 1)-мерного пространства. Поэтому для к>3 имеем

±,( 1. 0^ * ( 1, 0 0 ^

П V,. о =П1еп-1, 0еп-2 •

' 1 V ' /1,/ п} 11 V ' '1,14-4

Разложение правой час ти дает

0 1, 0 е+е „ „

0 п-2, 0

Цп-Ч

і/ і, о о ч *

0іЄп-1, 0%-21^-П

‘ ( (Л * ( 1, сл

■т......* -

Здесь многоточие означает сумму всех несовместных условий, первое слагаемое дает единственное решение, а последнее слагаемое позволяет снова понизить размерность пространства на единицу.

Продолжая этот процесс, получим

П|е2

1, о о

оео[т-Ц(ео+\ о[т

= П

+ ПК

Ч'И

о4

1, о,

лГ 2- *• 0 0 'І

п — 1, 0Сп-1, п-2,

Доказательство. Имеем 2, 1,

= С1, к >4.

0 1, о

Єп, п-1, 0Єп-1, п-2

0

1, 0 2, 1,

Єп-1, 0 + Єп-1, п-2, 0

Тогда

‘ ( 2, 1, е

V

П

1-І

0 1, о

п, п-1, 0 п — 1, п-2

= ПЇе 1

,•1

1,

0 2,

п-1, 0 + Єп-1, п-2, 0

ЛГ 2, 1, 0Ї

-ПК-., о} + "" +01їЄп-1, п-2, 0,

Многоточие обозначает все несовместные произведения условий. Первое и последнее слагаемые — совместные. Первое слагаемое дает п — 1 решение (по теореме 1). Последнее слагаемое дает (п — 1) (п — 2)/2 решений. Это не очевидно, поэтому докажем это утверждение.

Пусть п = 3. Тогда очевидно, что последнее слагаемое дает единственное решение. Пусть п = 4. Тогда можно доказать существование уравнения

2, 1, 0 2, 1, 0 2, I, 0 1, 0 2, 1, 0

С3, 2, 0е3, 2, 0 = <?3, 2, 0е 2. 1*4 2, 0'

левая часть которого представляет собой условие инцидентности флагов в четырехмерном пространстве, а правая часть — условие инцидентности этих же флагов в трехмерном пространстве. То есть осуществлено понижение размерности пространства на единицу. Следовательно,

п

2,

;з,

‘ ( 2, 1, 0 1, 0^

= !ЛеЗ, 2, 0е2, 1^/

В результате для п = 2 получено два решения. Суммируя все решения, полученные в результате этого процесса, получим п решений.

Этот результат, сформулированный в виде теоремы 1, подтверждает известную теорему проективной геометрии о числе двойных точек проективного соответствия (п — 1 )-мерных плоскостей, которое равно п.

Пусть, по-прежнему, имеется к, к £4, общих (п- 1)-плоскостей и к общих точек, не лежащих в этих гиперплоскостях. Требуется найти число комплексов — замкнутых двумерных многообразий У2 ,, плоскости которых проходят через данные точки, а прямые лежат в данных гиперплоскостях.

Ответ на этот вопрос, двойственный предыдущему, можно сформулировать в виде теоремы.

Но по формулам редукции

2, 1, 0 1, 0 1, 0 2, 1, 0

е е = е +е

3, 2, 0 2, 1 2, 0 2, 1, 0

Поэтому

ДГ 2, 1, 0 1, О') * ( 1, 0 2, 1, О')

Ще3, 2, 0в2. ПЬ. 0 + Р2, 1, о)ш;

Раскрытие скобок даст два совместных произведения условий. Первое из них при дальнейшем понижении размерности пространства приведет к двум решениям, а последнее — к единственному решению. Итого получим три решения.

Продолжая этот процесс, получим (п— 1) (п — 2)/2 решений. Общее число решений будет (п— 1) (п— 1)-(п-2)/2 = (п— 1)п/2. Теорема 2 доказана.

Этот результат, сформулированный в виде теоремы 2, подтверждает известную теорему проективной геометрии о числе двойных прямых проективного соответствия п-мерных плоскостей.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (83) 2009

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК 1* 3 <ВЗ> 200»

И наконец, третья задача, решенная в трехмерном пространстве. Пусть имеется четыре общие 2-плоскости, четыре общие прямые и четыре общие точки, не лежащие в плоскостях и этих прямых. Требуется найти число комплексов — замкнутых двумерных многообразий \ЛД, 0, плоскости которых проходят через данные точки, прямые пересекают данные прямые, а точки лежат в данных гиперплоскостях. Задачу можно сформулировать так: сколько существует тетраэдров общего вида, грани которых проходят по одной через четыре заданные точки, ребра пересекают по одной че тыре заданные прямые, а вершины лежат по одной в четырех заданных плоскостях?

Не вдаваясь в подробные объяснения, запишем соответствующие условия:

<( 2, 1, 0 1, 0 (Л

!ДС3, 2, 0е3, \в2)1

*( 0 1, 0 2, 1, 0 •П е +е +е

0 2, 0 2, 1, 0

-ей* :нк: а

Из вышеизложенного понятно, что первое и последнее слагаемое дае т по одному решению, а второе слагаемое предполагает два решения. Общий ответ: существует четыре таких комплекса.

Библиографический список

1. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Многомерная исчислительная геометрия: монография. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 2008. — 244 с.

ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры геометрии.

Адрес для переписки: 644043, г. Омск, Наб. Тухачевского, 14.

Статья поступила в редакцию 27.05.2009 г.

© В. Ю. Юрков

УДК 514.185:519 К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

ЕВКЛИДОВЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕШЕНИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрены решения элементарных метрических задач в эллиптической плоскости. В качестве ее модели в трехмерном евклидовом пространстве принята плоскость, касательная к сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками. Предлагаемые решения основаны на применении конструктивных и метрических свойств окружности эллиптической плоскости.

Ключевые слова: эллиптическая плоскость, метрические задачи, окружность, абсолют.

Необходимость выполнения и исследования решений различных геометрических задач в эллиптической плоскости, точнее на ее моделях, имеет следующее обоснование. Во-первых, в высшей геометрии модели различных неевклидовых плоскостей в большей степени исследованы глобально, то есть с общих позиций для геометрий всех неевклидовых плоскостей, например, в известных проективных интерпретациях Келли-Клейна [1,2, 3] и в меньшей степени эти модели исследованы де тально, с учетом особенностей, определяемых метрической структурой отдельной неевклидовой плоскости. Сказанное относится и к эллиптической плоскости. Во-вторых, если учесть, что между эллиптической плоскостью и линейчатым пространством, представляющим собой многообразие прямых расширенного до проективного пространства , существует конструктивно-метрическое соответствие |4|, то появляется возможность исследования линейчатого пространства и его подмножеств на основе выполнении и исследования различ-

ных геометрических построений в эллиптической плоскости. Кроме того, на основе геометрического моделирования в эллиптической плоскости, появляется также возможность решения прикладных задач, имеющих место в линейчатом пространстве [5].

В работе рассматриваются решения элементарных метрических задач в эллиптической плоскости Б.,, аналоги которых известны в евклидовой плоскости 1*,. В качестве модели плоскости в пространстве принята плоскость , касательная к сфере С?! с отождествленными диаметрально противоположными точками. Сфера С* и плоскость Я* —гомеоморфно соответственные модели плоскости 52, метрическая структура которой определена на ее моделях абсолютами — линиями пересечений изотропного конуса с вершиной в центре сферы С^ и самих моделей С? и *2 [4].

Решения метрических задач на модели К 2 основаны на возможности представления плоскости Я? как метризованной проективной плоскости и на