Определение структурных характеристик многообразий многомерного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 514

О. Б. ИЛЬЯСОВА

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГООБРАЗИЙ МНОГОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

В статье рассматривается общий алгоритм конструирования циклических многообразий методами исчислительной геометрии. В качестве примера взята задача Аполония.

Ключевые слова: конструирование, исчислительная геометрия, циклическая поверхность.

Для определения структурных характеристик линейных многообразий необходимо рассмотреть параметризацию геометрических объектов, которая представлена в виде формул, классифицируя их на линейные, нелинейные и комбинированные объекты [1].

Размерность линейных объектов можно определить, используя формулу Грассмана (1):

= (п - т)(т+1),

(1)

е.

т,т-1,...,1,0 ат,ат-1.....а1,а0 .

(2)

где п — размерность пространства, в котором рассматривается грассманово многообразие, т — размерность плоскости (элемента), образующей грассма-ново многообразие.

Размерность шубертовых многообразий можно определить по формуле (3), которые в символьном выражении исчислительной геометрии представим как (2):

В приведенном обозначении число верхних и нижних индексов равно, а величины т, т—1, ..., 1, 0; ат, ат-1, ..., а1, а0 — принимают значения чисел натурального ряда, включая ноль (0, 1, 2, 3, 4, ...), т.е. значения чисел, использующихся для обозначения количества объектов. Значения верхних индексов т, т—1, ..., 1, 0 определяют размерность искомого линейного множества (само значение т) и размерности всех его линейных подмножеств, вплоть до точки. Нижние индексы задают размерность пространства или подпространства, которому принадлежит искомый элемент [2].

О* =^ - 2 т(т+1),

(3)

От

^ п

5

где — сумма нижних индексов, а т

¡=0

размер-

ность плоскости (элемента), образующей шубертово многообразие.

Размерность нелинейных объектов можно определить с помощью формулы (4):

1 п П! ¡=1

(4)

и=(т+1)( п — т)+-1 П(Р+1>—1, пн=1

(5)

где п — размерность объемлющего пространства, т — размерность искомого основного объекта, р — порядок кривых и поверхностей.

В начертательной геометрии, как правило, рассматриваются условия инцидентности: к-параллель-ности и д-перпендикулярности (в курсе начертательной геометрии предлагаются формулы, с помощью которых можно рассчитывать объекты пространств различной размерности и структурных характеристик).

Обобщенное условие инцидентности, как и геометрические объекты пространства, характеризуется размерностью, которая определяется по формуле (6):

п =(2п—т)(т+1)

поб = 2 ¿Л,

(6)

г = т+д—п ,

(7)

где т и д — размерности подпространств, участвующих в пересечении, п — размерность пространства, в котором рассматривается пересечение.

Степень параллельности элементов в разных пространствах определяется по формуле (8):

г+1 т '

(8)

п|| = Р\\т(п-т-д+Р\\т)<

(9)

Если т-плоскость и д-плоскость пересекаются по г-плоскости, то они считаются перпендикулярными и степень их перпендикулярности определяется по формуле (10):

Р±="

г+1 т

(10)

где т — порядок алгебраической кривой линии, п — размерность пространства.

С помощью этой формулы можно определить размерности многообразий алгебраических нелинейных объектов.

Для определения размерности сочетания множеств линейных и нелинейных объектов применяют формулу (5):

где т — меньшая из размерностей т и д исходных элементов.

Для определения размерности условия перпендикулярности применяется формула (11):

п | = р | т(д—т+р| т)

(11)

где р± — значение степени перпендикулярности, т и д — размерности перпендикулярных элементов, причем т< д .

Определим структурные характеристики многообразий на частных примерах [3]:

1. Многообразие Сегре пятимерного пространства.

Трехмерная поверхность, которую в символьном выражении можно представить как (е5' 2 )3, после разложения получаем:

(е1' 0 )3 = 3е1 0 + е1' 0

V 5,2) ^с3'0 2' 1

Определим порядок поверхности. Для этого умножим полученное уравнение на е15 02

(3е1, 0 + е2, 1 )е5, 2 е1,

где п — размерность пространства, в котором рассматривается инцидентность, т — размерность плоскости (элемента), удовлетворяющей обобщенному условию инцидентности, а( — нижние индексы в символьной интерпретации условия (2).

Размерность пространства пересечения можно определить по формуле (7):

Условия е2' 0 и е5' 2 будут несовместны, и их произведение равно. Отсюда следует, что трехмерная поверхность Сегре пятимерного пространства имеет порядок, равный трем.

Рассмотрим определение структурных характеристик линейного комплекса 2-плоскостей пространства Еп. Так как размерность условия (е2' 3' 1 )3. После разложения этого выражения получим:

(е2' 1 0 )3 =2е2' 1 0 + е2' 1 0 V 4' 3' 1/ х,с4 ' 2 ' 0ТС3' 2' 1

Тогда, умножая это выражение, соответственно на е4' 2'Ц или е^'20 получим:

(2е2 1 0 + е2' 1 0 )е2 1 0 =2е2' 1 0 V 4'2' 0 тс3' 2' 1 ! 4'2' 0 ^с2' 1' 0 ■

где г — размерность общего несобственного элемента двух параллельных элементов, т и д — размерности параллельных элементов, причем т<д .

После подсчета степени параллельности можно определить размерность условия параллельности по формуле (9):

где р|| — значение степени параллельности, п — размерность пространства, в котором рассматривается условие параллельности, т и д — размерности параллельных элементов, причем т<д .

Это означает, что порядок линейного комплекса

равен двум, так как 2е4'1' Це^' 2' 0 = 2е21 0, а е^ 2' Це^ ' 2'0 = 0 , потому что условия несовместны.

(2е4*2 0 + е22' 0 )е22' 0 =е2 ¡от Это означает, что класс линейного комплекса равен единице, так как 2е^ 2' 0 + + е2'1'0 = 0 а е2Д'0е2 10 =е2Д'0

е3 2 1 0 3 2 1 3 2 1 2 1 0

И, наконец, рассмотрим определение порядков многомерных поверхностей Каталана. Гиперцилиндроид пространства Е4 в символьном виде можно

представить как те^'!' '¡пеЦ ^еЦ ^еЦ 1, пе4з °1Г 1е24;121

есть кривая т' п 1-го порядка, а е4'2' 0 — условие параллельности образующей 2-плоскости гиперплоскости параллелизма.

После преобразования получим

те4'3' 1пе4';3' 1^42' 1е4 ' Ц1 = 3тп1е2\1 , откуда следует, что

Р

6

порядок гиперцилиндроида равен 3тп1. Если гиперцилиндроид будет определяться двумя кривыми т и п порядка, прямой линией и гиперповерхностью параллелизма, то порядок, соответственно, будет равен 3тп, так как такую гиперповерхность можно представить как

2, 1 0 2, 1 01е2,1 0е2, 1 0 = 3тпе2,1, 0 4,3, 14,3, 1*с4, 2, 1С4, 2, 1 1,0 '

Гиперконоид определяется кривой, например, m-порядка, двумя прямыми и гиперповерхностью параллелизма и может быть представлен в символьном виде:

„2, 1 о (е2, 1 о )2 е г I о =3 2, 1 0

„ 3, ЦП, 3, 1 ! 4, 2, 1 1, 0

2,1,0 2,1

как (е2з 1 )е24'21 = 3те2'Ш , и порядок ее будет равен трем.

Библиографический список

1. Волков, В. Я. Многомерная исчислительная геометрия: моногр. / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков. - Омск : ОмГПУ, 2008. -244 с.

2. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов: моногр. / В. Я. Волков, М. А. Чижик. - Омск: ОмГИС, 2009. - 101 с.

3. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования : учеб. / В. Я. Волков [и др.]. - Омск : СибАДИ, 2010. - 253 с.

и порядок будет равен 3т .

Косая гиперплоскость, которая будет определяться тройкой прямых и гиперплоскостью параллелизма, может в символьном виде быть представлена

ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика». Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 02.07.2014 г. © О. Б. Ильясова

УДК 514 Д. В. ДОРКИН

М. Н. МОСКОВЦЕВ

Омский государственный институт сервиса

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ_

В статье рассматриваются способы построения многомерных поверхностей по точкам в пространстве, позволяющие выявлять оптимальные условия проведения технологических процессов с множеством независимых параметров. Показаны возможности их применения в связке с выявлением рисков при производстве различного рода изделий. Предложен вероятностный подход к решению оптимизационных задач процессов легкой промышленности.

Ключевые слова: алгоритм, многомерная начертательная геометрия, среднестатистическое отклонение, вариация, упорядочение, регрессия.

Результатами измерений в экспериментах в большинстве случаев являются дискретные наборы входных параметров и сопоставляемых им выходных измерений. Для определения промежуточных значений или характера функциональной зависимости параметров классически используются такие методы регрессионного анализа, как интерполяция или аппроксимация, но с увеличением количества рассматриваемых одновременно параметров резко возрастает вычислительная сложность алгоритмов, а их разнообразие и возможности — сокращаются. Также существенным недостатком регрессии является необходимость условия инъективности анализируемого отображения.

В то же время в современном производстве возникает необходимость выявления оптимальных условий проведения технологических процессов, которые зависят от множества независимых параметров. Решение оптимизационной задачи традиционными средствами математического моделирования подво-

дит к необходимости определения закономерностей между данными параметрами и требует, в свою очередь, большого объёма вычислительной работы.

В подобных случаях при решении такого класса задач целесообразно использовать чётко формализованный аппарат многомерной начертательной геометрии, обеспечивающий наглядность моделирования [1]. В процессе разработки таких моделей получают функции, основываясь на данных экспериментов, проведенных при различных входных значениях. Впоследствии строят графики, скорректировав при этом данные в определенных промежутках.

Формализация алгоритма определения областей оптимальных значений уже проводилась в работах [1—4]. Следует отметить, что в данных разработках для каждого конкретного значения эксперименты проводились однократно. Проводя эксперименты многократно при одних и тех же значениях, появляется возможность проследить колебание зависимостей для конкретных значений. И тем самым