Графоаналитический метод конструирования многообразий (поверхностей) в пространстве en Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 514 О. Б. ИЛЬЯСОВА

В. Я. ВОЛКОВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНСТРУИРОВАНИЯ МНОГООБРАЗИЙ (ПОВЕРХНОСТЕЙ) В ПРОСТРАНСТВЕ Ем

В статье рассматривается общий алгоритм конструирования циклических многообразий методами исчислительной геометрии. В качестве примера взята задача Аполония.

Ключевые слова: конструирование, исчислительная геометрия, циклическая поверхность.

К одной из актуальных проблем прикладной гео- m-порядка, причем основная цель — построение ге-

метрии относятся конструирование и исследование ометрической модели физической поверхности при

многообразий (поверхностей), пространств различ- синтезе новых материалов или реализации новых

ной размерности и структурных характеристик. инженерных проектов.

Они находят широкое применение при решении В последнее время в методах моделирования

важных прикладных задач в самых разнообразных поверхностей все большее значение приобретает

областях науки и техники и в частности при иссле- начертательная геометрия многомерного простран-

довании многофакторных процессов, многокомпо- ства с выходом в теорию параметризации и исчисли-

нентных систем. тельной геометрии. В машиностроении непрерывно

На сегодняшний день наибольший интерес в расширяется применение сложных криволинейных

науке представляет сфера конструирования по- поверхностей, удовлетворяющих наперед заданным

верхностей, причем основная цель ее исследова- инженерно-техническим требованиям. На стадии

ния многообразий (поверхностей), образующими проектирования таких поверхностей возникают

которых являются линейные объекты или объекты различные задачи геометрического характера: кон-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

Рис. 1. Алгоритм вывода математической модели циклической поверхности

струирование формы поверхности, получение аналитического и конструктивного алгоритма описания сложных линейчатых и циклических поверхностей, анализ их структурных характеристик с целью получения вида уравнения регрессии и т.д.

Исчислительные методы геометрии позволяют формальным образом определять параметрические числа кривых и поверхностей, размерность заданных условий, исчислительные характеристики особых элементов объектов, ввести символические обозначения для условий и использовать символическое исчисление условий, что существенно упрощает аппарат исследования.

В этой связи предложен следующий метод конструирования поверхностей в пространстве Еп, основанный на теории параметризации и исчис-лительной геометрии, позволяющий осуществлять формальный перебор возможных вариантов вида поверхности с целью определения ее с заранее заданными условиями и представленный в виде блок-схемы (рис. 1).

Структурное представление вывода аналитического уравнения циклической поверхности:

1. Например, задать четыре системы уравнений — условий для образующей — кривой второго порядка.

2. Из пяти независимых переменных выразить четыре относительно одной из переменных.

3. Подставить полученные выражения четырех переменных в систему уравнений поверхности.

4. Освободившись от переменной, получить аналитическое представление циклической поверхности.

Алгоритм конструирования многообразий в пространстве Еп

1. Определить параметрическое число образующей т-порядка.

Подсчет размерности образующей в каком-либо пространстве можно выполнить по формуле их параметрического числа [1]:

Ци=~Т[(т + і)-\, п! /=1

(1)

где т — порядок алгебраической кривой линии, п — размерность пространства.

Так как п=3, то формула (1) преобразуется к виду:

^=--(и + 1)(ж + 2)-1,

(2)

так как поверхность определяется однопараметрическим семейством образующих т-порядка, то параметрическое число их будет равно

1_(т + 1)(т + 2) 1 2 2 .

2. Составить набор геометрических условий инцидентности, параллельности, касания и определить их размерность (табл. 1) [2].

Допустим, что образующая кривая аналитически представлена системой уравнений

у = чМх)

г = у2(х).

3. Исходя из размерности условий, подобрать по формальным признакам их число, удовлетворяющее для задания поверхности.

4. Проверить выбранные условия на совместность, определить порядок конструируемой поверхности.

Рис. 2. Построение образующих циклической поверхности

5. Представить условия в аналитическом виде.

Сформулированный алгоритм конструирования многообразий (поверхностей) в общем виде, рассмотрим на примере конструирования циклической поверхности с образующей второго порядка.

Образующая циклической поверхности — окружность. В пространстве Е3 окружностей будет шестипараметрическое множество, тогда для конструирования циклической поверхности необходимо выбирать условия, суммарная размерность которых равна пяти.

Формула Грассманова многообразия [3]:

!)?=(п-т)(ш + 1)1

где п — размерность пространства, в котором рассматривается многообразие, т — размерность плоскости, образующей многообразие.

Так как параметрическое число плоскости трехмерного пространства равно трем:

DІ={2 + ЩЗ-2) = Зl

а размерность окружностей в плоскости на основании формулы (2) для кривых второго порядка также равно трем, так как все окружности в плоскости проходят через две постоянные точки (абсолют плоскости).

1% =~'(2 + 1)(2 + 2)-1 = 5.

Примем, что плоскости, в которых будут лежать окружности, параллельны плоскости параллелизма. Размерность этого условия равна двум.

Таблица 1

Вид условия Размер- ность Представление условия

символьное аналитическое

Образующая линия проходит через заданную точку 2 е1’0 е3,0 У1 = ^1(х1) ^1 = ^2(Х1)

Образующая линия пересекает заданную прямую Гу = а1х + Ь1 [г=с1х+(11 1 «8 ^(х^=ах + Ь V2(Xl) = cx+d

Образующая линия пересекает заданную кривую р-порядка У = Ф1(х) 2 = Ф1(Х) 1 Резд ^(х^Ф^х) У2(Х1)=Ф2(х)

Образующая линия касается заданной плоскости z = ax + by+c 1 4? аУ а = ^~ с1х ь=* сЫ

Образующая линия касается заданной поверхности р-порядка z = F(XlУ) 1 Резд dy _ с1Р(х,у) с1х с1х йг й¥{х,г) с1х ёх

[7пар=1-2(3-2-2 + 1-2) = 2

Размерность пересечения окружности с направляющей прямой равна единице = 1.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

Отсюда следует, что суммарная размерность геометрических условий равна пяти.

На рис. 2 построены образующие циклической поверхности. Зададим в пространстве Е3 три плоскости общего положения. Для построения этой окружности используется решение частного случая задачи Аполония [4]. Результатом построений будет являться окружности, они же образующие циклической поверхности.

На основании вышеизложенного следует, что предложенный формализованный алгоритм может быть использован для конструирования поверхностей в инженерной практике [5].

Проектирование сложных криволинейных технических форм, их расчет и воспроизведение требуют разработки корректных математических моделей, реализующих тот или иной способ конструирования поверхности. При этом возникают вопросы задания на чертеже и исследования свойств конструируемых поверхностей, взаимосвязанные со способом их образования. Естественно, что у каждого способа образования поверхностей есть свои преимущества и недостатки, анализ которых должен способствовать выбору того или иного способа в каждом конкретном случае проектирования технических поверхностей.

При анализе существующих способов конструирования поверхностей необходимо помнить, что они должны сочетать в себе простоту широко распространенных инженерных способов и возможности исследования их свойств, присущие классическим методам теории поверхностей. Это позволяет осуществить при использовании методов исчисли-тельной геометрии. Только в этом случае представляется возможным наиболее приемлемое решение

сложных задач конструирования технических поверхностей, удовлетворяющих наперед заданным условиям [6].

Библиографический список

1. Волков, В. Я. Многомерная исчислительная геометрия : моногр. / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 2008. - 244 с.

2. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов : моногр. / В. Я. Волков, М. А. Чижик. — Омск : ОмГИС, 2009. — 101 с.

3. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования : учеб. / В. Я. Волков [и др.]. — Омск : Изд-во СибАДИ, 2010. — 253 с.

4. Пеклич, В. А. Высшая начертательная геометрия : моногр. / В. А. Пеклич. — М. : АСВ, 2000. — 344 с.

5. Розенфельд, Б. А. Многомерные пространства / Б. А. Ро-зенфельд. — М. : Наука, 1966. — 647 с.

6. Четверухин, Н. Ф. О параметризации кривых линий и поверхностей и ее значение в учебном процессе / Н. Ф. Четверухин // Математика в школе. — 1964. — № 5. — С. 168.

ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика».

ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика».

Адрес для переписки: ilyasovaolga@mail.ru

Статья поступила в редакцию 09.10.2012 г.

© В. Я. Волков, О. Б. Ильясова

Книжная полка

Королёв, Ю. И. Начертательная геометрия : учебник для вузов / Ю. И. Королёв. - 2-е изд. - СПб. : Питер , 2010. - 256 с. - Гриф МО РФ. - ISBN 978-5-388-00366-9.

Начертательная геометрия входит в состав обязательных дисциплин ведущих технических и архитектурностроительных вузов мира. Ее роль в подготовке специалистов и в решении прикладных задач возрастает с развитием науки и техники. Данный учебник соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по подготовке бакалавров, магистров и дипломированных специалистов по курсу начертательной геометрии в технических вузах. Кроме теоретических основ образования изображений и геометрических преобразований изложены правила оформления чертежей. Порядок решения геометрических задач подробно рассматривается на конкретных примерах с анализом рациональных вариантов построения изображений. В конце каждого раздела размещен дидактический материал для закрепления изученного материала и самоконтроля. Существенное отличие второго издания учебника заключается в том, что образование чертежа рассматривается с позиции теории метода двух изображений. Как следствие, внесены соответствующие изменения в содержание и редакцию отдельных глав, при этом учтены замечания и рекомендации многих специалистов по начертательной геометрии. Допущено Научно-методическим советом по начертательной геометрии и инженерной графике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для вузов инженерно-технических специальностей.

Феофанов, А. Н. Чтение рабочих чертежей : учеб. пособие для НПО / А. Н. Феофанов. - 3-е изд., стер. - М. : Academia, 2010. - 80 с. - Гриф Экспертного совета по проф. образованию МО РФ. - ISBN 978-5-7695-7333-0.

Описаны правила оформления чертежей общего вида изделия и спецификации изделия. Приведена последовательность выполнения и чтения чертежей общего вида сборочных единиц. Для подготовки, переподготовки и повышения квалификации рабочих по профессиям машиностроения и металлообработки. Может быть использовано в учреждениях начального профессионального образования.