Конструирование линейчатых многообразий трехмерного пространства с образующей прямой линией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

КОНСТРУИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ МНОГООБРАЗИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА С ОБРАЗУЮЩЕЙ ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

О.Б. Ильясова, В.Я. Волков, А.М. Завьялов

Аннотация. Представлен алгоритм конструирования линейчатых поверхностей методами исчислительной многомерной геометрии.

Ключевые слова: конструирование, исчислительная геометрия, линейчатые поверхности, формообразование.

Введение. В настоящее время в области прикладной геометрии весьма актуальным является математическое (геометрическое) моделирование, посредством конструирования линейчатых многообразий. Причем наибольший интерес представляет возможность построения геометрической модели физической поверхности объектов при реализации различных инженерных проектов. В качестве классического примера можно привести оригинальную, изящную, сетчатую конструкцию, так называемой, Шуховской башни [1].

Основная часть. Конструирование линейчатых поверхностей тесно связано с теорией параметризации [2]. Для расчета количества параметров воспользуемся формулой размерности Грассманова многообразия, где в трехмерном пространстве подсчитаем число параметров конструируемой линейчатой поверхности [3]:

пересечения прямой с этой кривои можно предста-

D nm = ( n - m )( m + 1 )

(1)

где п - размерность пространства, в котором рассматривается многообразие (п=3, так как ев-

клидово пространство трехмерное (E3)),

m

раз-

вить как

m e

.1,0

"З,! где m - порядок кривой.

,1,0

мерность плоскости (0 - точка, 1 - прямая, 2 -плоскость и.т.д) образующей многообразие (т=1, поскольку образующая линейчатой поверхности -прямая).

Д1 = (3 -1) • (1 +1) = 4. (2)

Отсюда можно определить, что в трехмерном пространстве Е3 вложено четырехпараметрическое многообразие прямых.

Если линейчатая поверхность определяется однопараметрическим семейством прямых, то на четырех параметрическое многообразие прямых

пространства Е3 нужно наложить условия, размерность которых в сумме должна быть равна трем.

Размерность условия пересечения прямой с кривой или прямой в трехмерном пространстве равна единице. Так как это условие в символах исчислительной геометрии можно представить как

«1,°

^31 (в трехмерном пространстве прямая пересекается с прямой в точке) и если задана алгебраическая кривая (в данном случае квадрика - плоская прямая), то в вышеуказанной символике, условие

Размерность условия £31 определяется формулой [1]:

0 = (2 •3 - ^ +1) - (3 +1) = 1 (3)

Отсюда следует, что для определения линейчатой поверхности достаточно задать три условия: направляющая линия, в частности окружность; образующая линия - прямая; геометрическое условие инцидентности, которое представлено в таблице 1.

Для реализации алгоритма конструирования линейчатых многообразий пространства Е3 с образующей прямой линией необходимо выполнить следующие шаги:

Задать три системы уравнений между параметрами а,Ь, С, d, пользуясь таблицей 1:

У1(а, Ь, с, й) = 0;

У2 (а, Ь, с, й) = 0; (4)

У! (а, Ь, с, й) = 0.

Рассмотреть в общем виде вывод уравнения линейчатой поверхности.

Разрешив совместно системы уравнений, получить уравнение искомой линейчатой поверхности:

А (х, у, г) = 0. (5)

Рассмотрим в общем виде вывод уравнения,

моделирующий поверхность коноида (рисунок 1).

Уравнение проекции прямой на плоскость ХОУ и ХО7 имеет вид:

Г у = ах + Ь

\ я (6)

[г = сх + й

прямая определяется четверкой параметров

а, Ь, с, й.

Проекции прямой Е7 аналитически представлено системой:

Г у = 20

I г = -0,024х + 48

(7)

Таблица 1 - Геометрические условия для прямой Iу ах + Ь

I г = сх + d

Вид условия Размерность условия Представление условия

символьное аналитическое

Инцидентность точки М(х^ у^ г1) 2 + + 8 *х п п

Пересечение с прямой I у = а1 х + Ь1 |г = с1 х + d1 1 е10 е3,1 Ь1 — Ь d1 — d а — а1 х — х1

Инцидентность плоскости Ах + Ву + Сг + D = 0 2 е10 е2,1 ВЬ + Cd + Б = 0 А + Ва + Сх = 0

Параллельность прямой х — х1 у — у1 г — г1 Р Ч г 2 ^0 ^ 1 а х р ч г

Параллельность плоскости Ах + Ву + Сг + D = 0 1 е10 е3,1 Аа + В + Сх = 0

Пересечение с кривой у = /1( х) г = /2( х) 1 Л (х) = ах + Ь /2 (х) = сх + d ¥(а, Ь, х, d) = 0

Касание кривой у = /1( х) г = /2( х) 3 ^ о а dfl(x) dx Л2(х) х = Зх ¥ (а, Ь, х, З ) = 0

Рис. 1. - Коноид BEZT

Плоскостью ее параллелизма является плоскость ХОУ, а значит z = 0.

Следовательно, уравнение плоскости, параллельной образующей линейчатой поверхности будет иметь вид:

Ах + Ву + Cz + D = 0 (8)

Перейдем, непосредственно, к реализации предлагаемого алгоритма:

Первый шаг. Экспериментально полученная направляющая ЕВ:

у = —0,28х + 20 (д)

г = 0,109х2 — 5,7 х +1525,8 Второй шаг. Геометрическое условие -

У = Л1(х) (10)

г = Л( х)

Пересечение с кривой 7Т:

| у = —345,7х2 + 61411,1х — 2720113,6

[г = —739,7х2 + 131395,8х — 5820046

Третий шаг. Совместно решая системы уравнений, получим уравнение коноида.

(хг — 36)2 — (144 — г 2)(12 — у)2 = 0 (12)

С помощью разработанного алгоритма конструирования линейчатой поверхности проводится анализ различных линейчатых поверхностей.

Заключение. Формообразование и геометрическая увязка представляют собой важное звено в общем процессе проектирования и изготовления изделий машиностроения. Например, в конструкциях летательных аппаратов большинство деталей имеет внешние формы, присущие именно данному изделию.

Конструирование таких деталей является сложной, многофакторной задачей. Алгоритм, составленный на основе данного метода, очень удобен для использования на ЭВМ и может быть легко реализован в виде пакета прикладных программ.

CONSTRUCTION OF RULED MANIFOLDS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE WITH FORMING A STRAIGHT LINE

O.B. Ilyasova, V.Y. Volkov, A.M. Zavialov

The presented algorithm for the construction of ruled surfaces by methods of enumerative and dimensional geometry

Библиографический список

1. Шухов В.Г. - выдающийся инженер и ученый: Труды объединенной научной сессии Академии наук СССР, посвященной научному и инженерному творчеству почетного академика В.Г. Шухова. М.: Наука, 1984, 96 с.

2. Четверухин Н. Ф. Параметризация и ее применение в геометрии / Н. Ф. Четверухин, Л. А. Яцкевич // Математика в школе . - 1963. - №5.

3. Волков В. Я. Многомерная исчислительная геометрия: монография / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков. - Омск : Изд-во ОмГПУ, 2008. - 244 с.

Ильясова Ольга Борисовна - кандидат технических наук, доцент кафедры "Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика" СибАДИ. Основное направления научной деятельности: исчислительная геометрия. Общее количество опубликованных работ 13.

Волков Владимир Яковлевич - доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой "Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика" СибАДИ. Основные направления научной деятельности: многомерная исчислительная

геометрия. Общее количество опубликованных работ более 250.

E-mail: [email protected]

Завьялов Александр Михайлович - доктор техн. наук, профессор кафедры «Высшая математика» СибАДИ. Основное направление научных исследований: динамика рабочих процессов строительных и дорожных машин. Общее количество опубликованных работ - более 260.

УДК. 621.828

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛОЩАДЕЙ КВАДРАТОВ И ТРЕУГОЛЬНИКА

В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина

Аннотация. Рассматривается историческая последовательность геометрических теорем площадей квадратов и теорем треугольников. Предлагается новая трактовка первых теорем геометрии.

Ключевые слова: квадрат, треугольник, площадь, теоремы.

площадь примет П-образный вид. При совмещении

Современная наука имеет свое начало от геометрических теорем площадей квадратов и теорем треугольника. Первые теоремы геометрии относятся к созданию единиц изменения площадей и объемов геометрических тел.

Площадь прямоугольника равна а• Ь, площадь

квадрата a ■ a, т.е. a

2

центров тяжести площадей с2 и а2 избыточная площадь примет форму замкнутой кольцеобразной фигуры.

Единица измерения площади 1-1 м , единица

3

измерения объема 1-11 м .

Выполненные записи показывают, что первые теоремы геометрии имеют практическую направленность и связаны с возникновением и последующим одновременным развитием алгебры, тригонометрии и многих других современных наук.

Полагаем, что первой задачей на заре становления современной науки была задача сравнения площадей двух квадратов (рисунок 1).

Разность площадей двух квадратов представляется в виде

2 2

с - a . (1)

Формула (1) определяет в алгебраическом виде величину избыточной площади, которая на рис.

1 имеет Г-образный вид. Если внутренний квадрат

площадью a2 сместить влево, то избыточная

Рис. і. Схема площадей двух квадратов

22

избыточная площадь с - a мы и является постоянной величиной,

Прошли столетия до осознания того факта, что

не зависит от фор-которую

можно представить в виде третьего квадрата Ь2. Поэтому выражение (1) можно записать в виде теоремы

с2 - а2 = Ь2. (2)

Теорема 1. Разность площадей двух квадра-

2 2 ~ тов с - а является постоянной величиной и

всегда может быть представлена в виде площади третьего квадрата Ь2.