Графическое моделирование линейчатых многообразий пространства РN методами исчислительной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗДЕЛ III

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

УДК 372.8

ГРАФИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ МНОГООБРАЗИЙ ПРОСТРАНСТВА Рп МЕТОДАМИ ИСЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В. Я. Волков, О. Б. Ильясова

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ), Россия, г. Омск

Аннотация. В статье на примере моделирования многообразий Сегре пространства Рп показано конструктивное построение линейчатых многообразий и определение их проективных характеристик с помощью методов исчислительной геометрии. Доказаны теоремы размерности и порядка многообразий Сегре пространства Рп, используя разложения символьных представлений условий инцидентности. При этом доказано, размерность многообразия Сегре равна ее порядку. Отсюда следует, что в пространстве Рп размерность и порядок

п +1

поверхности Сегре равна-.

Ключевые слова: размерность, исчислительная геометрия.

Введение

Применяя развитый аппарат

многомерной исчислительной геометрии, рассмотрим формализованное

конструирование линейных многообразий пространства Р5, так как последние являются проективными моделями линейных систем коник Р2, конструктивными моделями многообразий Сегре, Веронезе, Штейнера и т.д. и позволят обобщить полученные результаты на линейные многообразия Рп.

Графические модели многообразий Сегре. Представим обобщенные условия инциденций 1-плоскости в символьном виде с указанием их размерности:

е10 _ 1 е10 _ 2 е10 _ 3 е10 _ 4-е10 _ 2 е10 _ 3 е10 _ 4 53 ^'с43

еЮ _ 5-е1° _ 4 еЮ _ 5 е1° _ 6; еЮ _ 6 еЮ _ 7 е1° _ 8

40 > 32 > 31 > 30 > 21 > 20 '>е10

Исходя из того, что параметрическое число 1-плоскости в пространстве Р5 равно восьми Д. = (5 _ 1)(1 +1) = 8 , можно выбирая

условия инцидентности 1-плоскости конструировать двумерные, трехмерные и четырехмерные поверхности или

гиперповерхности в Р5.

Исследуем трехмерную поверхность,

которую зададим в символьном виде (е^ ^.

С помощью редукции этого выражения получим:

многообразия Сегре, моделирование,

(е10 ) = 3е10 + е21 , (1)

Определим порядок трехмерной поверхности. Для этого умножим результат

ео).

получим так как второе

разложения редукции

(3е10 + е»)• е10 = Эе^0 + 0 ,

произведение е1^ • е\2 есть произведение

несовместных условий инциденций. Отсюда следует, что трехмерная поверхность пространства Р5 третьего порядка.

Рассмотрим конструктивную схему полученной трехмерной поверхности. Зададим три 2-плоскости (а, р, у), которые расположены в пространстве Р5 (рисунок 1).

Рис. 1. Конструктивное представление трехмерной поверхности Сегре пространства Р5

Выберем на 2-плоскости а произвольную 0-плоскость А. 2-плоскость р и 0-плоскость А не принадлежащие 2-плоскости определят 3-плоскость. Тогда 2-плоскость у и полученная 3-плоскость в пространстве Р5 согласно формуле размерности пересекаются в общем случае в 0-плоскости, допустим В. Так как 1-плоскость АВ с 2-плоскость р лежит в одной 3-плоскости, то они будут пересекаться в некоторой 0-плоскости С. Из построения следует, что 3-поверхность несет на себе двухпараметрическое семейство 1-плоскостей, что следует их размерности 0-плоскостей, принадлежащих 2-плоскости а.

Теперь представим обобщенные условия инцидентности 2-плоскости в символьном виде с указанием их размерности:

21° е542 1 21° -1, е54° " 2 210 2, е54° 3 210 3, е532 2 . 210 2 5 е532 2 210 2, е531 3 210 -4,

е21° 521 4 е 21° 4, е52° 5 е21° С. 21° -6,е432 " 3. е21° 3' е431 3 е 21° 3, е431 4 е 21° 4, е43° -5,

е21° 42° С. 21° -6, е41° -г 21° -7, е32° С. 21° 7 е 21° 7 , е31° е21° ' 21° -9.

Исходя из того, что параметрическое число 2-плоскости в пространстве Р5 равно девяти

Д52 = (5 - 2)(2 +1) = 9.

можно, как и выше, выбирая условия инцидентности 2-плоскости, конструировать трехмерные и четырехмерные поверхности или гиперповерхности в Р5.

Исследуем трехмерную поверхность, которую зададим в символьном виде

(е541°У. С помощью редукции этого выражения получим:

(е210 ) = 3е

V, 541 ) :

21° 21° .

Определим порядок трехмерной поверхности. Для этого умножим символьное представление трехмерной поверхности

З^11) на множитель (е^.^^1) и получим:

,21°

3е2Ю • е2Ю = Зе1

~^31° 542 21°

(2)

отсюда 3-поверхность есть третьего порядка.

Рассмотрим конструктивную схему полученной трехмерной поверхности. Зададим четыре 1-плоскости а, Ь, с, d, которые расположены в пространстве Р5 (рисунок 2).

Рис. 2. Конструктивное представление трехмерной поверхности Сегре пространства Р5

Выберем на 1-плоскости а произвольную 0-плоскость А. 0-плоскость А с 1-плоскостями с и d общего положения в пространстве Р5 определяют

гиперплоскость. Последняя с 1-плоскостью Ь на основании формулы размерности пересекается по 0-плоскости, допустим в В. Тогда 1-плоскость АВ с 1-плоскостью с определяют в четырехмерном

пространстве 3-плоскость, которая с d 1-плоскость пересекает по 0-плоскости, например D. Тогда 1-плоскость BD пересекается и с 1-плоскостью с в некоторой 0-плоскости, например С. Отсюда следует, что на рассматриваемой 3-поверхности лежит

однопараметрическое множество 2-плоскостей так, как на 1-плоскости однопараметрическое множество 0-плоскостей.

Теорема 1. Если трехмерную поверхность третьего порядка пространства Р5 в символьном виде можно представить как

(е^) так же и (е™), и эта 3-поверхность

несет на себе двупараметрическое семейство 1-плоскостей и

однопараметрическое семейство 2-плоскостей, то она является многообразием Сегре вида Р1 х Р2 в Р5.

Как следует, из вышеизложенного исследования, рассмотренная 3 -поверхность третьего порядка удовлетворяет теореме 1.

Рассмотрим конструирование

многообразия Сегре Р1 х Р3 в Р7. Символьное выражение данного многообразия можно

( 10 V ( 321° V

представить как ^е73^ или ^е7651 ^ и после

разложения символьных выражений и определения порядка этого многообразия

получим 4е1° + 2е1° или 4е43^11(° и умножая

а

4е10 + 2е10

40

первое выражение второе выражение 4е42110' на 4е7653

на е

73

ь

получим

в первом случае выражение 4е10, а во

втором случае 4е|2]101 , откуда следует, что

четырехмерные многообразия Сегре семимерного пространства имеет порядок четыре. При этом в первом случае его конструктивная схема будет представлена тройкой направляющих 3-плоскостей и трехпараметрическим многообразием 1-плоскостей (рисунок 3):

Рис. 3. Конструктивное представление четырехмерной поверхности Сегре пространства Р7

где в 3-плоскости [А3] выбираем по произволу 0-плоскость М, которая с 3-плоскостью [В3] задает 4-плоскость, которая с 3-плоскостью [С3] в семимерном пространстве пересекаются, например, в 0-плоскости N тогда 1-плоскость MN в четырехмерном пространстве с 3-плоскостью [В3] пересекает, например, в 0-плоскости К и таких 1-плоскостей будет

трехпараметрическое множество.

Во втором случае направляющими многообразия Сегре будут пять 1-плоскостей, а образующими однопараметрическое многообразие 3-плоскость (рисунок 4.):

а

С в

Рис. 4. Конструктивное представление четырехмерной поверхности Сегре пространства Р7

Допустим, что на 1-плоскости а выбираем по произволу 0-плоскость М. Эта 0-плоскость с 1-плоскостями Ь, с, е определит шестимерную плоскость, которая с 1-плоскостью d пересекается по 0-плоскости, например, N 1-плоскость MN с 1-плоскостями в с определят 5-мерную плоскость, которая, например, с 1-плоскостью е пересекается в 0-плоскости L и т.д. В конечном случае получим одну из однопараметрического семейства 3-плоскостей MLNKG.

Обобщая рассмотренные символьные представления многообразий Сегре пространства Рп и конструктивную схему их представления, можем выразить их в символах обобщенного условия

(

инцидентности

как

у

1,0

( п _1)

, 2 У

или

^ п_1 п_3

.1,0

п+3

п+3 п ,п _1,...-,1

2 У

Теорема 2. Многообразие Сегре

т^ п _ 1

пространства Рп вида Р1 х Рк , где К =-

2

представляет многомерную поверхность

п +1 п +1

размерности - и порядка-.

22 Конструктивная схема такой поверхности

Г п _ 1 ^

может быть представлена тройкой I—-—I -

плоскостей.

и

п

22

n-1,

le т1

Рис. 5. Конструктивное представление

n-1

Тогда выбирая произвольную 0-плоскость

,n-1"

М, которая с

n +1

С-

2

плоскостью образует

n-1"

2

плоскость, и последняя с

B-

2

плоскостью в Рп пространстве пересекается по 0-плоскости, например, в N. 1-плоскость

Г^ п-1

с С ^ - плоскостью пересекается, например, по 0-плоскости К. Тогда получим

одну из образующих П—1 -

2

параметрического многообразия 1-плоскостей. Для определения порядка этого многообразия необходимо умножить

п+3

С и-1 и-3 1° ^ "У е 2 ' 2 "" ' п+3 п ,п -1,...-,1

V 2

(

V

,0 ( n-1) , 2

n-1

или

г?— I П.—t

2 2

n, n-1,

n +1

_1 получим

22

л

3

1,о

( n-1) , 2 J

,1,0

2

"10

ft.— I n—'i

22

или

n + 1

n+3

С и-1 n-3 10 ^ У p 2 ' 2 "" ' . n+3,

n , n -1,...-,1

V 2 J

n, n-1,

22

2

n-1 n-3 2 , 2 ,

2 2

..1,0

Отсюда следует, что порядок многообразия Сегре пространства Рп вида

п +1

Р1 х Рк равен-.

2

BVl

- мерной поверхности Сегре пространства Рп Заключение

В статье сформулирован общий подход к конструированию многообразий Сегре Рт х Рк с определением их стуктурных характеристик, которые могут быть моделями многомерных объектов многофакторных процессов.

Библиографический список

1. Волков, В. Я. Многомерная исчислительная геометрия: монография / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков -Омск: ОмГПУ, 2008. - 244 с.

2. Пеклич, В. А. Высшая начертательная геометрия: монография / В. А. Пеклич - М.: АСБ -344 с.

3. Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. - Oxford: Clarendon Press, 1949. - 446 p.

4. Schubert H. Kalkul der abzahhlenden Geometrie. - Berlin, Heidelberg, New-York: Springer Verlag, 1979. - 349 p.

5. Волков, В. Я. Инновационные технологии в преподавании графических дисциплин / В. Я. Волков // Вестник СибАДИ. - 2010. - № 4 (18) - С. 65 - 68.

6. Baker H. F. Principles of Geometry. Introduction to the theory of Algebraic Surfaces and Higher Loci. - New-York: Frederick Ungar Publishing Co., 1960 - Vol. VI. - 308 p.

7. Фултон У. Теория пересечений / У. Фултон. -М.: Мир 1989. - 583 с.

8. Скопец, З. А. Плоская модель многообразия прямых n-мерного проективного пространства / З. А. Скопец, А. С. Тихомиров // Конструктивная алгебраическая геометрия. - 1979.- Вып. 180. - С. 101 - 105.

GRAPHIC SIMULATION RULED MANIFOLDS OF Pn METHODS OF ENUMERATIVE GEOMETRY

V. Y. Volkov, O. B. Ilyasova

Abstract. The article by the example of Segre varieties of Pn shows the structural arrangement of ruled manifolds and projective identification of their characteristics using the methods of enumerative

1,0

е

n+3 n

n-1

n

n

2

1,0

е

n+3 n-1

n-1 n-3

1,0

geometry. Dimension and prove theorems about Segre varieties of Pn using symbolic representations of the decomposition of the incidence conditions. In this proved that the dimension of the Segre equal to its order. It follows that the dimension of the space Pn and the order is equal to the surface of the Segre n +1.

2

Keywords: dimension, Segre variety, modeling, enumerative geometry.

References

1. Volkov V. Ja., Jurkov V. Ju. Mnogomernaja ischislitel'naja geometrija: monografija. [Multidimensional enumerative geometry: monograph] Omsk: OmGPU, 2008, 244 p.

2. Peklich V. A. Vysshaja nachertatel'naja geometrija: monografija [Higher descriptive geometry: monograph]. Moscow, aSb - 344 p.

3. Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. Oxford: Clarendon Press, 1949, 446 p.

4. Schubert H. Kalkul der abzahhlenden Geometrie. - Berlin, Heidelberg, New-York: Springer Verlag, 1979. - 349 p.

5. Volkov V. Ja. Innovacionnye tehnologii v prepodavanii graficheskih disciplin [Innovative technologies in teaching graphic disciplines] Vestnik SibADI. 2010, no 4 (18), pp. 65-68.

6. Baker H. F. Principles of Geometry. Introduction to the theory of Algebraic Surfaces and Higher Loci. New-York: Frederick Ungar Publishing Co., 1960 , Vol. VI. 308 p.

7. Fulton U. Teorija peresechenij [Intersection theory]. Moscow, Mir 1989, 583 p.

8. Skopec Z. A., Tihomirov A. S. Ploskaja model' mnogoobrazija prjamyh n-mernogo proektivnogo prostranstva [Plane model of the variety of lines of n-dimensional projective space] Konstruktivnaja algebraicheskaja geometrija. 1979, no. 180, pp. 101-105.

Волков Владимир Яковлевич (Россия, г. Омск) -доктор технических наук, профессор кафедры начертательная геометрия, инженерная и машинная графика Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). (644080, Россия, г. Омск, пр. Мира 5, e-mail: volkov_vy39@mail.ru)

Ильясова Ольга Борисовна (Россия, г. Омск) -кандидат технических наук, доцент кафедры начертательная геометрия, инженерная и машинная графика Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). (644080, Россия, г. Омск, пр. Мира 5, e-mail: ilyasovaolga@mail. ru)

Volkov V. Y. (Russian Federation, Omsk) - Ph. D. in Technical Sciences, Ass. Professor, The Siberian automobile and highway academy (SIBADI) (644080, Omsk, Mira Ave. 5, e - mail: volkov_vy39@mail.ru).

Ilyasova O. B. (Russian Federation, Omsk) -Candidate of Technical Sciences, the associate professor The Siberian state automobile and road academy (644080, Omsk, Mira Ave. 5, e - mail: ilyasovaolga@mail. ru)

УДК: 532.5:556.5:004

О МОДЕЛИРОВАНИИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ ПРИ РЕШЕНИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

В. И. Сологаев1, Д. А. Чернов2

1Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ), Россия, г. Омск

2Омский государственный аграрный университет им. П. А. Столыпина (ОмГАУ), Россия, г. Омск

Аннотация. В статье обобщен новый материал по исследуемой теме, вводится в научный оборот формула моделирования турбулентного режима потока в грунте малой мощности методом конечных разностей в электронных таблицах при стационарной плоскопараллельной фильтрации воды с постоянным уровнем для характерных случаев в дорожном, мелиоративном и городском строительстве. Полученную формулу моделирования также рекомендуется использовать при автоматизации проектирования строительных объектов и защите от подтопления. На основании анализа, устанавливается, что выведенная формула точнее, чем формула моделирования ламинарного потока при стационарной плоскопараллельной фильтрации воды с постоянным уровнем.

Ключевые слова: моделирование, метод электронных таблиц, плоскопараллельная фильтрация воды, турбулентные потоки, автоматизация проектирования защиты от подтопления.