Алгоритм линейчатой интерполяции экспериментально полученной поверхности плуга Текст научной статьи по специальности «Математика»

J. Wallner. — Berlin: Springer Verlag, Heidelberg, 2001. — 565 p.

4. Глаголев, H.A. Проекта иная геометрия / H.A. Глаголев. -М.: Высш. шк.. 1963. — 344 с.

5. Иванов, Г. С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на оспове нелинейных преобразований) / Г. С. Иванов — М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.

6. Пеклич, В. А. Высшая начертательная геометрия : монография / В. А Пеклич. — М.: АСВ, 2000. — 344 с.

7. Панчук, К. Л. Профилирование дискового инструмента для обработки винтовых канавок детали / К. Л Панчук, Ю. Н. Вивденко.

A.B. Климов // Омский научный вестник. С. 35-40.

2008. - №1(64). -

ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических паук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики. Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 15.03.2010 г.

© К. Л. Панчук

О. Б. ИЛЬЯСОВА

Сибирская автомобильно-дорожная академия, г. Омск

АЛГОРИТМ ЛИНЕЙЧАТОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ПОЛУЧЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛУГА

Предложен новый алгоритм линейчатой интерполяции на основе исчислительной геометрии с целью разработки математической модели экспериментально полученной поверхности плуга.

Ключевые слова: конструирование, линейчатая поверхность, алгоритм, математическая модель.

Традиционные методы расчета технических форм, которые заданы дискретным рядом экспериментальных точек, представленных и виде табличных данных, как правило, недостаточно учитывают геометрические особенности и проективные характеристики конструируемых поверхностей, а также технологические и конструктивные способы их образования. Применение теории параметризации и ме тодов исчислительной геометрии позволит значительно восполнить этот пробел.

В этой связи предложен следующий метод конструирования поверхностей. В качестве исходных данных должна быть выбрана плоскості» параллелизма, образующаялиния, а в качес тве направляющих — различные геометрические условия: условия инцидентности, параллельности, перпендикулярности, касания (дифференциальные условия) и т. д., которые можно представить в виде

е°а^ Д" -символов, и, используя методы исчис-лительнои геометрии, формальным способом производить различные расчеты для определения структурных или проективных характеристик поверхностей.

В качестве образующей может быть выбрана прямая линия, в результате движения этой линии но заданному закону получим линейчатую поверхность. При определении интерполяционной формы кривой линии необходимо знаті» порядок кривой.

В качестве направляющих могут быть заданы различные линии, с которыми образующая связана определенными геометрическими условиями.

Формулы для расчета размерности этих условий 11):

1) для определения размерности условия инцидентности:

„ (2n-m)(m+l)

foö

1»о и1

(1)

где п — размерность объемлющего пространства, т - размерность плоскости, которая удовлетворяет обобщенному условию инцидентности, а1 — нижние коэффициенты обобщенного условия инцидентности;

2} для определения размерности условия параллельности:

Опор = ^т(п — П1 — р + кт); (2)

3) для определения размерности условия перпендикулярности:

ипер = Ят(р - Я1 + Ят)> (3)

где, к — степень параллельности, т- мерная плоскость, наименьшая по размерности из плоскостей, п — размерность пространства, в котором лежат заданные плоскости, ц—степень перпендикулярности.

Вышеуказанные линии можно определить интерполяцией или аппроксимацией заданных исходных данных.

Конструируя поверхность, мы должны учитывать способ ее образования, так как этот фактор существенно может повлиять на вид уравнения поверхности.

Алгоритм линейчатой интерполяции экспериментально полученной поверхности плуга:

1) разделить лемешно-отвальную поверхность плуга на две линейчатые поверхности: цилиндроид и коноид;

2) разбить цилиндроид/коноид на участки, опи-

>

сываемые кривыми второго иорядка в пределах допускаемого отклонения от экспериментально полученных точек;

3) выбрать образующую поверхности и определить размерность ее многообразия в пространстве Е.,;

4) составить набор геометрических условий инцидентности, параллельности и перпендикулярности для данной образующей и определить их размерность;

5) исходя из размерности условий, подобрать по формальным признакам их число, удовлетворяющее для задания поверхности;

6) проверить выбранные условия на совместность и определить порядок конструируемой поверхности;

7) представить выбранные условия в аналитическом виде;

8) вывести аналитическое уравнение для выбранной поверхности плуга.

Проиллюстрируем предлагаемый алгоритм на частном примере (рис. 1).

Формула расчета размерности Грассманова многообразия представима в виде [2);

D; = (m +1) • (л - т).

(41

раз-

где т - размерность линейчатого объекта; л мерность пространства.

Определяем параметрическое число прямой в пространстве Е., получим: о!=(Н1).(3-»=4.

Так как линейчатая поверхность будет определяться однопараметрическим многообразием прямых, то на четырехпараметрическое многообразие необходимо наложить условия, сумма которых будет равна трем.

Рассмотрим в общем виде вывод уравнения, моделирующий поверхность коноида (рис. 2).

(у = ах + Ь

2 = сх + с1 прямая определяется четверкой параметров а, Ь, с, (1.

х_ у-Ь а

_

С

\-b z-d x а с 1

1. Плоскость параллелизма Ах + Ву + Съ = О

А + Ва + Сг = О а = О у = О

2. Пересечение с прямой х = О

г = О, следовательно, с1 = О у = 0

Рис. 2. Коноид

3. Радиус направляющей окружности

+ i)' = aJ

у2 + [г — а х = I

Решив совместно системы уравнений относительно /, получим явную форму задания коноида с направляющей окружностью [3]:

/

где а - радиус направляющей окружности,

(— расстояние от вершины окружности, лежащей в плоскости х = 1.

Рассмотрим в общем виде вывод уравнения |3], моделирующий поверхность цилиндроида.

Задаем при системы уравнений:

х = О vJ Z1

z = 0 плоскость параллелизма

Совместно решая три системы уравнений, получим уравнение цилиндроида:

aVy3 = (са — z2) (ab + (х — a)(b - d))2.

Вывод.Предложенный алгоритм позволяет интерполировать линейчатые поверхности сложнофасонных элементов.

Библиографический список

1. Ильясова. О.Б. Формализованный аппарат конструирования линейчатых поверхностей / О.Б. Ильясова, В.И. Глухов // Омский научный вестник. — Омск: ОмГТУ, 2008.—N«1 (64).—С. 20—23.

2. An axiomatic theory of graphic models оГ polydimensional spaces / V. Ja. Volkov, V. Ju. Jurkov // Proceeding of 61k 1CECGDC 19 - 23 August / Tokyo. - JAPAN. 1994. - p. 45-48.

3. Кривошапко, C.H. Аналитические поверхности: справочник / C.H. Кривошапко. В. Н. Иванов, С. М. Хллаби // М.: Наука, 2006. -С. 82-87.

ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, аспирантка кафедры начертательной геометрии, инженерной и машинной графики.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 15.03.2010 г.

© О. Б. Ильясова

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ^ S (90) 2Q1C ИНЖЕНЕРНАЯ ГТОМПРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА