Конструктивно-аналитическое 37 39 представление линейчатых гиперповерхностей четырехмерного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. — М.; Л. : ОНТИ, 1939. - 400 с.

4. Талапин, B.C. Об одном применении принципа перенесения Котельникова-Штуди / B.C. Талапин // Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей : межвуз. сб. науч. работ. — Уфа, 1985. - С. 53-77.

5. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Ро-зенфельд — М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. - 744 с.

6. Панчук, К.Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатого пространства / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. — 2007. — № 6. — С. 55-58.

7. Панчук, К.А. Линейчатые модели эллиптической прямой / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. — 2007. - № 6. - С. 52-54.

8. Панчук, К.Л. Проективитет щётки / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. — 1999. — Вып. 8. — С. 78-80.

9. Панчук, К.Л. Сложное отношение четырёх лучей щётки / К.Л. Панчук // Современные проблемы геометрического моделирования : сб. тр. Междун. науч,-практ. конф. — Харьков, 1998. — 4.1. — С. 122-126.

10. Зейлигер, Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия / Д.Н. Зейлигер. — М.; Л. : Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 196с.

11. Панчук, К.Л. Уравнение Эйлера-Савари для эллиптической плоскости и его интерпретация в линейчатом пространстве / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. - 2008. — №1(64). — С. 31-34.

12. Панчук, К.Л. Моделирование линейчатого про-

УДК 514.764.274:515.162.4

Основная часть. Для определения модели или аппроксимирующего или интерполирующего уравнения технической формы или многофакторного процесса многокомпонентной системы необходимо разработать алгоритм конструктивно — аналитического представления модели с целью получения ее уравнения. В этой связи в статье решение выше сформулированной проблемы рассмотрено на примере разработки конструктивно-аналитического представления линейчатых гиперповерхностей чегырех-мерного пространства.

странства дуальной эллиптической плоскостью / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник СибГАУ им акад. М.Ф. Решетнева. — Красноярск, 2007. — Вып. 4(17). — С. 54-56.

13. Панчук, К.Л. Дуальная модель и проективная геометрия линейчатого пространства / К.Л. Панчук. -Омск: ОмГТУ, 2007. - 113с. - Деп. в ВИНИТИ 12 12.07, №1161-В2007.

14. Панчук, К.Л. О метрической структуре линейчатого пространства / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. - 2008. - № 2(68). - С. 37-39.

15. Pottmann, Н. Computational Line Geometry / Н. Pottmann, J. Wallner. — Berlin: Springer Verlag, Heidelberg, 2001. - 565 p.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета.

644050, г. Омск, пр. Мира, 11 ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской государственной автомобильно-до-рожной академии.

644080, г. Омск, пр. Мира, 5

Дата поступления статьи в редакцию: 20.05.2009 г.

© Панчук К.Л., Волков В.Я.

О. Б. ИЛЬЯСОВА В. Я. ВОЛКОВ

Сибирская автомобильнодорожная академия, г. Омск

Гиперповерхности. Однопараметрическое многообразие 2-плоскостей образуют гиперповерхность.

Формула расчета размерности Грассманова многообразия представима в виде [ 1 ]:

£>™ =(л1 + 1)-(л-л1),

гдет - размерность линейчатого объекта; п - размерность пространства.

Отсюда можно определить, что в шестимерном пространстве Е4 вложено шестипараметрическое многообразие плоскостей.

КОНСТРУКТИВНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Предложен новый алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е4 с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

Ключевые слова: линейчатые гиперповерхности, конструктивно-аналитическое представление.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК » 2 «0>. 200? ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Геометрические условия для плоскости Ах + Ву + Сх + 01 + Е = О

Вид условия Аналитическое представление условия Символьное представление условия Размерность

1 2 3 4

Пересечение с прямой (ах + Ьу + сг + Ж = е [а,* + Ьху + схг + = е, Ь'-ЬЬ\-с' Ь'2-Ь1Ь\-с1 210 в 4М 2

а + Ьа\ -а' а, + Ьха\ -а\

Пересечение с плоскостью по прямой [г = ах + Ьу + с [/ =а,х + 61-у + с, Ь'-Ь, _ Ь\-Ь\ а-а' а, - а', с'-с с' | -с, а-а' а, - а „210 в 421 2

■Р" = (2 +1) • (4 - 2) = 6.

Это условие в символах исчислительной геометрии [2] можно представить как е2,0431 = 1.

Размерность этого условия определяется из формулы:

0 =

(2п-лг)-(ш + 1)

-2Х

где а( - размерность плоскостей.

|2-4_-2Н2 + 1)_

2

В символической форме гиперповерхность четырехмерного пространства можно представить как е2‘°т * после преобразования получим, что

е2"1' ■ '

430 !*• 431/

(ет43/=2

430

После умножения символа 2 • е210310 на еш431 получим 2 • е2,02,0. Что говорит о том, что эта гиперповерхность второго порядка (табл. 1).

~~ ',,,1 р 4- р

420 321

разования: е 421

0£а0£1 0,1

1 <а,£2 2

2<а3£4 3,4

0£а„£1 0,1

1<а,£2 2

2<аг£3 3

0£а0£0 0

0<а,£2 1,2

2 <а2<3 3

В качестве примера рассмотрим вывод условия пересечение плоскости с прямой.

Ах + Ву + Сг + 01 + Е = 0 — уравнение плоскости

(г = ах + Ьу+с

[1 = а[х + Ь1у+с{

у = а‘х + Ь'

■ г = а\х + Ь\

1=а'2х+Ь2

а\х + Ь\ =ах + Ь(а'х + Ь') + с а'2х + Ь2 = а\х + Ь\(а'х + Ь') + с, х(а\-а-Ьа') = ЬЬ'-Ь'2+с х(а'2-а, -Ь,а') = Ь,Ь'-Ь2 -с,

ЬЬ'-Ь'| + с _ Ъ,Ь'— Ь'.2ч-с, а',+а -Ьа' а'2 + а,-Ьа'

ЬЬ'-Ь', + с Ь,Ь'-Ь'г-1-С|

а',+а-Ьа' а\+а1-Ь1а'

ЬЬ'-Ь\ + с ^Ь'-Ь'^+с,

а',+а -Ьа' а'^+^-^а'

ах + Ьу + с = а'х + Ь'у+с'

^х + ^у+с, = а'2х + Ь'2у+с\

(а - а') = у (Ь'- Ь) + (с- с)

(а,-а’,)х = у(Ь,1-Ь1)н-(с'1-с,)

у(Ь'-Ь) + (с'-с) У(Ь',-Ь,) + (С,, + С|)

(а-а')

Ь'-Ь, _ Ь',-Ь’, а-а' с'-с

(а,-а',)

а-а а,-а

■ I

Алгоритм формализованного графоаналитического представления.

1. Выбрать образующую гиперповерхности и определить размерность его многообразия в пространстве Е4.

2. Составить набор геометрических условий инцидентности параллельности и перпендикулярности для данной образующей и определить их размерности.

3. Исходя из размерности условий, подобрать по формальным признакам их число, удовлетворяющее для задания гиперповерхности.

4. Проверить выбранные условия на совместность и определить порядок конструируемой гиперповерхности.

5. Представить выбранные условия в аналитическом виде.

6. Вывести аналитическое уравнение для выбранной гиперповерхности.

На основе алгоритма можно рассмотреть в общем случае вывод уравнения моделирующей гиперповерхность.

Структурное представление вывода аналитического уравнения гиперповерхности:

1. Например, задать пять систем уравнений-усло-вий для образующей — двумерной плоскости.

2. Из шести независимых переменных выразить пять относительно одной из переменных.

3. Подставить полученные выражения пяти переменных в систему уравнений гиперплоскости,

4. Освободившись от переменной, получим аналитическое представление гиперповерхности.

Вывод

Разработан алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е„ с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

Библиографический список

1. Schubert, Н. Kalkul der abzahlender Geometre / H. Schubert; Springer - Vergal, Heidelberg, New — York, 1979. - P.45.

2. Volkov, V. An axiomatic theory of graphic models of polydimensional spaces / V. Ja. Volkov, V. Ju. Jurkov ; Proceeding of 6th ICECGDC 19 — 23 August, Tokyo, JAPAN, 1994, p. 32.

ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, аспирантка кафедры начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорожной академии, ассистент кафедры «Детали машин и инженерная графика» Омского государственного аграрного университета.

644008, ул. Физкультурная 3 ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорож-ной академии, доктор технических наук, профессор.

644080, г. Омск, пр. Мира, 5

Дата поступления статьи в редакцию: 15.02.2009 г.

© Ильясова О.Б., Волков В.Я.

удк514 114 Л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

ЗАДАНИЕ S-ПЛОСКОСТИ

В многомерном пространстве рассмотрено задание з-плоскости двумя плоскостями меньшей размерности и другие способы ее задания. Найдено количество возможных для 5-плоскости определителей данного вида и их получение, что позволяет на начальном этапе моделирования иметь полную информацию о задании плоскости. Показана возможность перехода от одного определителя плоскости к другому.

Ключевые слова: пространство, х-плоскость, определитель.

Во многих задачах многомерной евклидовой геометрии важно умение представить плоскость размерности б (б-плоскость) как суммарную плоскость, проходящую через две или более плоскостей меньшей размерности. Под суммарной плоскостью будем понимать плоскость минимальной размерности, содержащую данные плоскости. Рассмотрим Б-плоскоеть в евклидовом пространстве Еп как суммарную плоскость двух плоскостей, размерности которых р и я. Для различных положений этих плоскостей в пространстве на их размерности накладываются определенные условия [5]. Примем для определенности Я < р < Б.

Если р- и я-плоскости пересекаются по г-плоскости, то в = р + я — г. При этом размерности удовлетворяют неравенствам я > г £ 0, я ^ Р' р < б, р + я ^ б. Найдем количество определителей б-плоскости, представляющих собой две пересекающиеся плоскости [3]. Поскольку р < б, то рш<1х = б — 1. Подставляя это значение в формулу Б = р + Я — г, получим Я = г + 1. Размерность г = 0, 1, 2,..., при этом я = 1,2,..., р, т.е. Я = 1, 2,..., (б — 1). Тогда для р = б — 1 возможными будут именно эти значения q. Пары плоскостей, входящих в определитель б-плоскости, будут иметь размерность р = Б- 1 И Я = 1 (г = 0), р = Б — 1 И Я = 2

(г = 1)..р = Б - 1 И Я = Б — 1 (г = Б — 2). Число таких

пар (число определителей) равно количеству различных размерностей я-плоскости, т.е. (б — 1). Для следующей размерности р-плоскости, при движении в сторону уменьшения числа р, имеем пары плоскостей р = б — 2ия = 2, р = Б — 2ия = 3,р = Б — 2ия = б —

2. Число таких пар равно количеству различных значений размерностей я-плоскости, т.е. (б — 2) — 1 = б — 3. Для р = б — к имеем пары р = Б — к и я = к. р = б — кия = к + Ь—. Р = б — кия = Б — к. Число таких пар равное — (2к — 1). Всего определителей данного вида для б-плоскости будет равно сумме

N. = (Б - 1) + (Б - 3) + (Б - 5) + ...

...+[Б-(2к-1)1 + ... (1)

Этот ряд необходимо прервать в том случае, если следующий член ряда менее или равен нулю. Если б — четное число (б = 2к), то

N. = (б - 1) + (б - 3) + (б - 5) + ... + 1. (2)

Число Ы, является суммой б/2 членов арифметической прогрессии и равно б2/4. Если б — нечетное

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ вестник N«2 МО). 200? ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА