Научная статья на тему 'Конструктивно-аналитическое 37 39 представление линейчатых гиперповерхностей четырехмерного пространства'

Конструктивно-аналитическое 37 39 представление линейчатых гиперповерхностей четырехмерного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
91
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ / КОНСТРУКТИВНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ / LINEAR HYPERSURFACES / STRUCTURAL AND ANALYTICAL REPRESENTATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ильясова Ольга Борисовна, Волков Владимир Яковлевич

Предложен новый алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е4 с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Structural and analytical representation of linear hyper surfaces of four-dimensional space

A new algorithm of the formalized analytical representation of hyper surfaces of space Е4 by means of methods of the theory of parameterization and computing geometry that allows to set a sort of the interpolating or approximating equation to define a number of experimental values for its deduction.

Текст научной работы на тему «Конструктивно-аналитическое 37 39 представление линейчатых гиперповерхностей четырехмерного пространства»

3. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. — М.; Л. : ОНТИ, 1939. - 400 с.

4. Талапин, B.C. Об одном применении принципа перенесения Котельникова-Штуди / B.C. Талапин // Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей : межвуз. сб. науч. работ. — Уфа, 1985. - С. 53-77.

5. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Ро-зенфельд — М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. - 744 с.

6. Панчук, К.Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатого пространства / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. — 2007. — № 6. — С. 55-58.

7. Панчук, К.А. Линейчатые модели эллиптической прямой / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. — 2007. - № 6. - С. 52-54.

8. Панчук, К.Л. Проективитет щётки / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. — 1999. — Вып. 8. — С. 78-80.

9. Панчук, К.Л. Сложное отношение четырёх лучей щётки / К.Л. Панчук // Современные проблемы геометрического моделирования : сб. тр. Междун. науч,-практ. конф. — Харьков, 1998. — 4.1. — С. 122-126.

10. Зейлигер, Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия / Д.Н. Зейлигер. — М.; Л. : Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 196с.

11. Панчук, К.Л. Уравнение Эйлера-Савари для эллиптической плоскости и его интерпретация в линейчатом пространстве / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. - 2008. — №1(64). — С. 31-34.

12. Панчук, К.Л. Моделирование линейчатого про-

УДК 514.764.274:515.162.4

Основная часть. Для определения модели или аппроксимирующего или интерполирующего уравнения технической формы или многофакторного процесса многокомпонентной системы необходимо разработать алгоритм конструктивно — аналитического представления модели с целью получения ее уравнения. В этой связи в статье решение выше сформулированной проблемы рассмотрено на примере разработки конструктивно-аналитического представления линейчатых гиперповерхностей чегырех-мерного пространства.

странства дуальной эллиптической плоскостью / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник СибГАУ им акад. М.Ф. Решетнева. — Красноярск, 2007. — Вып. 4(17). — С. 54-56.

13. Панчук, К.Л. Дуальная модель и проективная геометрия линейчатого пространства / К.Л. Панчук. -Омск: ОмГТУ, 2007. - 113с. - Деп. в ВИНИТИ 12 12.07, №1161-В2007.

14. Панчук, К.Л. О метрической структуре линейчатого пространства / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. - 2008. - № 2(68). - С. 37-39.

15. Pottmann, Н. Computational Line Geometry / Н. Pottmann, J. Wallner. — Berlin: Springer Verlag, Heidelberg, 2001. - 565 p.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета.

644050, г. Омск, пр. Мира, 11 ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской государственной автомобильно-до-рожной академии.

644080, г. Омск, пр. Мира, 5

Дата поступления статьи в редакцию: 20.05.2009 г.

© Панчук К.Л., Волков В.Я.

О. Б. ИЛЬЯСОВА В. Я. ВОЛКОВ

Сибирская автомобильнодорожная академия, г. Омск

Гиперповерхности. Однопараметрическое многообразие 2-плоскостей образуют гиперповерхность.

Формула расчета размерности Грассманова многообразия представима в виде [ 1 ]:

£>™ =(л1 + 1)-(л-л1),

гдет - размерность линейчатого объекта; п - размерность пространства.

Отсюда можно определить, что в шестимерном пространстве Е4 вложено шестипараметрическое многообразие плоскостей.

КОНСТРУКТИВНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Предложен новый алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е4 с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

Ключевые слова: линейчатые гиперповерхности, конструктивно-аналитическое представление.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК » 2 «0>. 200? ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Геометрические условия для плоскости Ах + Ву + Сх + 01 + Е = О

Вид условия Аналитическое представление условия Символьное представление условия Размерность

1 2 3 4

Пересечение с прямой (ах + Ьу + сг + Ж = е [а,* + Ьху + схг + = е, Ь'-ЬЬ\-с' Ь'2-Ь1Ь\-с1 210 в 4М 2

а + Ьа\ -а' а, + Ьха\ -а\

Пересечение с плоскостью по прямой [г = ах + Ьу + с [/ =а,х + 61-у + с, Ь'-Ь, _ Ь\-Ь\ а-а' а, - а', с'-с с' | -с, а-а' а, - а „210 в 421 2

■Р" = (2 +1) • (4 - 2) = 6.

Это условие в символах исчислительной геометрии [2] можно представить как е2,0431 = 1.

Размерность этого условия определяется из формулы:

0 =

(2п-лг)-(ш + 1)

-2Х

где а( - размерность плоскостей.

|2-4_-2Н2 + 1)_

2

В символической форме гиперповерхность четырехмерного пространства можно представить как е2‘°т * после преобразования получим, что

е2"1' ■ '

430 !*• 431/

(ет43/=2

430

После умножения символа 2 • е210310 на еш431 получим 2 • е2,02,0. Что говорит о том, что эта гиперповерхность второго порядка (табл. 1).

~~ ',,,1 р 4- р

420 321

разования: е 421

0£а0£1 0,1

1 <а,£2 2

2<а3£4 3,4

0£а„£1 0,1

1<а,£2 2

2<аг£3 3

0£а0£0 0

0<а,£2 1,2

2 <а2<3 3

В качестве примера рассмотрим вывод условия пересечение плоскости с прямой.

Ах + Ву + Сг + 01 + Е = 0 — уравнение плоскости

(г = ах + Ьу+с

[1 = а[х + Ь1у+с{

у = а‘х + Ь'

■ г = а\х + Ь\

1=а'2х+Ь2

а\х + Ь\ =ах + Ь(а'х + Ь') + с а'2х + Ь2 = а\х + Ь\(а'х + Ь') + с, х(а\-а-Ьа') = ЬЬ'-Ь'2+с х(а'2-а, -Ь,а') = Ь,Ь'-Ь2 -с,

ЬЬ'-Ь'| + с _ Ъ,Ь'— Ь'.2ч-с, а',+а -Ьа' а'2 + а,-Ьа'

ЬЬ'-Ь', + с Ь,Ь'-Ь'г-1-С|

а',+а-Ьа' а\+а1-Ь1а'

ЬЬ'-Ь\ + с ^Ь'-Ь'^+с,

а',+а -Ьа' а'^+^-^а'

ах + Ьу + с = а'х + Ь'у+с'

^х + ^у+с, = а'2х + Ь'2у+с\

(а - а') = у (Ь'- Ь) + (с- с)

(а,-а’,)х = у(Ь,1-Ь1)н-(с'1-с,)

у(Ь'-Ь) + (с'-с) У(Ь',-Ь,) + (С,, + С|)

(а-а')

Ь'-Ь, _ Ь',-Ь’, а-а' с'-с

(а,-а',)

а-а а,-а

■ I

Алгоритм формализованного графоаналитического представления.

1. Выбрать образующую гиперповерхности и определить размерность его многообразия в пространстве Е4.

2. Составить набор геометрических условий инцидентности параллельности и перпендикулярности для данной образующей и определить их размерности.

3. Исходя из размерности условий, подобрать по формальным признакам их число, удовлетворяющее для задания гиперповерхности.

4. Проверить выбранные условия на совместность и определить порядок конструируемой гиперповерхности.

5. Представить выбранные условия в аналитическом виде.

6. Вывести аналитическое уравнение для выбранной гиперповерхности.

На основе алгоритма можно рассмотреть в общем случае вывод уравнения моделирующей гиперповерхность.

Структурное представление вывода аналитического уравнения гиперповерхности:

1. Например, задать пять систем уравнений-усло-вий для образующей — двумерной плоскости.

2. Из шести независимых переменных выразить пять относительно одной из переменных.

3. Подставить полученные выражения пяти переменных в систему уравнений гиперплоскости,

4. Освободившись от переменной, получим аналитическое представление гиперповерхности.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Вывод

Разработан алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е„ с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

Библиографический список

1. Schubert, Н. Kalkul der abzahlender Geometre / H. Schubert; Springer - Vergal, Heidelberg, New — York, 1979. - P.45.

2. Volkov, V. An axiomatic theory of graphic models of polydimensional spaces / V. Ja. Volkov, V. Ju. Jurkov ; Proceeding of 6th ICECGDC 19 — 23 August, Tokyo, JAPAN, 1994, p. 32.

ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, аспирантка кафедры начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорожной академии, ассистент кафедры «Детали машин и инженерная графика» Омского государственного аграрного университета.

644008, ул. Физкультурная 3 ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорож-ной академии, доктор технических наук, профессор.

644080, г. Омск, пр. Мира, 5

Дата поступления статьи в редакцию: 15.02.2009 г.

© Ильясова О.Б., Волков В.Я.

удк514 114 Л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

ЗАДАНИЕ S-ПЛОСКОСТИ

В многомерном пространстве рассмотрено задание з-плоскости двумя плоскостями меньшей размерности и другие способы ее задания. Найдено количество возможных для 5-плоскости определителей данного вида и их получение, что позволяет на начальном этапе моделирования иметь полную информацию о задании плоскости. Показана возможность перехода от одного определителя плоскости к другому.

Ключевые слова: пространство, х-плоскость, определитель.

Во многих задачах многомерной евклидовой геометрии важно умение представить плоскость размерности б (б-плоскость) как суммарную плоскость, проходящую через две или более плоскостей меньшей размерности. Под суммарной плоскостью будем понимать плоскость минимальной размерности, содержащую данные плоскости. Рассмотрим Б-плоскоеть в евклидовом пространстве Еп как суммарную плоскость двух плоскостей, размерности которых р и я. Для различных положений этих плоскостей в пространстве на их размерности накладываются определенные условия [5]. Примем для определенности Я < р < Б.

Если р- и я-плоскости пересекаются по г-плоскости, то в = р + я — г. При этом размерности удовлетворяют неравенствам я > г £ 0, я ^ Р' р < б, р + я ^ б. Найдем количество определителей б-плоскости, представляющих собой две пересекающиеся плоскости [3]. Поскольку р < б, то рш<1х = б — 1. Подставляя это значение в формулу Б = р + Я — г, получим Я = г + 1. Размерность г = 0, 1, 2,..., при этом я = 1,2,..., р, т.е. Я = 1, 2,..., (б — 1). Тогда для р = б — 1 возможными будут именно эти значения q. Пары плоскостей, входящих в определитель б-плоскости, будут иметь размерность р = Б- 1 И Я = 1 (г = 0), р = Б — 1 И Я = 2

(г = 1)..р = Б - 1 И Я = Б — 1 (г = Б — 2). Число таких

пар (число определителей) равно количеству различных размерностей я-плоскости, т.е. (б — 1). Для следующей размерности р-плоскости, при движении в сторону уменьшения числа р, имеем пары плоскостей р = б — 2ия = 2, р = Б — 2ия = 3,р = Б — 2ия = б —

2. Число таких пар равно количеству различных значений размерностей я-плоскости, т.е. (б — 2) — 1 = б — 3. Для р = б — к имеем пары р = Б — к и я = к. р = б — кия = к + Ь—. Р = б — кия = Б — к. Число таких пар равное — (2к — 1). Всего определителей данного вида для б-плоскости будет равно сумме

N. = (Б - 1) + (Б - 3) + (Б - 5) + ...

...+[Б-(2к-1)1 + ... (1)

Этот ряд необходимо прервать в том случае, если следующий член ряда менее или равен нулю. Если б — четное число (б = 2к), то

N. = (б - 1) + (б - 3) + (б - 5) + ... + 1. (2)

Число Ы, является суммой б/2 членов арифметической прогрессии и равно б2/4. Если б — нечетное

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ вестник N«2 МО). 200? ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.