О моделировании линейной конгруэнции прямых Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 514.185

К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

О МОДЕЛИРОВАНИИ ЛИНЕЙНОЙ КОНГРУЭНЦИИ ПРЯМЫХ

Рассмотрена возможность моделирования в методе Монжа двухпараметрического множества прямых линий, представляющих собой конгруэнцию первого порядка и класса. Показано, что такое множество прямых определяет на чертеже Монжа квадратичное соответствие двух полей прямых и может моделироваться этим соответствием.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, конгруэнция, квадратичное соответствие.

Четырехпараметрическое многообразие прямых расширенного др проективного пространства Е3 является квадратичным пространством, абсолютом которого служит специальный квадратичный комплекс изотропшах прямых. Различными по размерности подмножествами линейчатого пространства (АП) с основным объектом — прямой линией, являются регу-люс (линейчатая поверхность), кошруэнции и комплекс В высшей геометрии изучение ЛП и его подмножеств ведется на основе методов геометрического моделирования в следующих направлениях [1,2]:

1. Моделирование в пространстве Е^ • Это направление изобилует множеством различных подходов, содержащих изящные аналитические исследования, доказательства и геометрические интерпретации. Многие из них основаны на требовании сохранения «квадратичности» модели ЛП.

2. Моделирование в пространстве, отличном от : в проективном пятимерном (отображение ЛП на ги-

перквадрику Ю. Плюккера), в неевклидовом пятимерном (отображе!гие Б. А. Розенфельда), в трехмерном евклидовом над алгеброй дуальных чисел (отображение Котельникова-Ш гуди). Квадратичность полученных в этом направлении моделей ЛП является естественным требованием их адекватности ЛП.

Анализ выполненных в указанных направлениях исследований показывает, что как в теоретическом, так и в прикладном аспектах возможности этих направлений далеко не исчерпаны |3].

В настоящей работе исследуется возможность геометрического моделирования линейной конгруэнции прямых в методе Монжа, что относит ее к работам иервого направления моделирования ЛП.

Двухпарамстрическое множество (оо2) прямых линий конгруэнции изображается на чертеже Монжа множеством <»2 их проекций как на плоскости проекций П,, так и на П2. Между множествами проекций прямых линий конгруэнции, т.е. между ОО2 прямых

плоскости П2 и множеством оо2прямых плоскости П|( устанавливается некоторое соответствие, т.е. линейчатая конгруэнция индуцирует на чертеже Монжа соответствие прямых линий двух полей проекций. Очевидно, определенным образом заданное соответствие между нолями проекций прямых П, и П2 может быть рассмотрено как модель определенной линейчатой конгруэнции. Если к —класс конгруэнции, то любая прямая поля П2 или П, может быть рассмотрена как ортогональная проекция к прямых конгруэнции, т.е. прямой линии поля П2 (П,) соответствует к прямых в поле П, (П2) .

Очевидно предложение: линейчатая конгруэнция класса к индуцирует к — к — значное соответсгвие нолей проекций прямых П2 и П,. Если множество со2 прямых есгь гиперболическая конгруэнция, т.е. линейная (к=1) конгруэнция Кг(1,1), имеющая две различные действительные дирекгрисы — прямые линии, то она устанавливает на чертеже Монжа взаимно однозначное алгебраическое соответствие прямых за некоторым исключением.

Действительно. Пусть а.2, Ь2 и а,, Ь, — проекции директрис а, b конгруэнции Кг( 1,1) на чертеже Монжа. Пусть также Е2 - центр пучка прямых, принадлежащих полю проекции П2. Тогда прямые пучка (Е2) устанавливают в поле ГЦ между рядами (aj и (Ь2) перспективное соответствие (aj д (Ь2). Ряды (а,) и (а,) также перспек тивны. Их перспективность установлена линиями проекционной связи на чертеже Монжа - пучком пряиых C5J с несобственным центром. Пучок (SJ устанавливает также перспективное соответствие рядов (Ь2) и (Ь,). Следовательно, ряды (а,) и (Ь,) проективны, т.е. (а,)д (Ь,). Множество прямых, соединяющих соответственные точки двух проективных рядов (а,) и (Ь,) , есть, как известно, пучок прямых второго порядка |4|. Таким образом, линейная конгруэнция Кг(1,1) устанавливает между множеством прямых полей проекций П2и П, в общем взаимнооднозначное квадратичное соответствие, в котором пучку прямых первого порядка соответствует пучок прямых второго порядка.

Следует заметить, что множеству со* конгруэнций Кг( 1,1) прямых пространства соответствует множество оо8 четверок проекций а,,^: Ь,, Ь2 директрис а и Ь, определяющих эту конгруэнцию.

В каждом из полей проекций П2и П, имеются прямые, для которых взаимная однозначность нарушается. В поле П2такими прямыми являются а2, Ь2 и f2, где fa-линия ироекционной связи, проходящая через точку f, = a,nb,. Прямой а^ соответствует в поле П, пучок (М,) ирямых, где М,е Ь,; точка М, получена по лшти проекционной связи из соответствующей ей точки М2 = a2nb2. Прямой Ь2 соответствует в поле П, пучок (М/) прямых, где М/е а,. Точка М/ получена по линии проекционной связи из соответствующей ей точки М2. Нарушая ироекционность, можно принять, что линии f2 соответствует в ноле П, нучок (f,) ирямых. В соответствии с принятой в теории кремоновых преобразований плоскости терминологией |5, 6| необходимо принять линии а2, Ь2 и Г2 как фундаментальные элементы, г.е. F — прямые а2, Ь2 и f2, которым в иоле П, соответствуют принципиальные элементы, т.е. Р-пучки ирямых (М,), (М/) и (Г,). Аналогичным образом, в поле П, такими прямыми являются а,, Ь, не,, где е, - линия проекционной связи, проходящая через соответствующую ей точку e2 = M2 = a2nb2. Прямой а, соответствует в поле П2 пучок (NJ прямых, где N2eb2. Точка N2 получена из соответствующей ей точки N, = f, **a,nb,. Прямой b,

соответствует в поле П2 пучок (N/) прямых, где N/e а2. Точка N/ получена из соответствующей ей точки N,. Прямые линии а,, Ь, и е, — фундаментальные элементы в иоле П,, т.е. F — прямые а,, Ь, и е,. Им соответствуют в иоле П2 принципиальные элементы, т.е. Р- пучки прямых (N2), (N/) и (е2).

Линейному множеству гомалоидов, представляющих собой пучки второго порядка ирямых, проходящим через прямые а2, b2, f2 и образующим множес тво со2 в поле П2, соответствует линейное множество оо2 пучков прямых первого порядка В поле П,. Обратное утверждение в отношении полей П2 и П, ирямых также имеет место. Две прямые ш, и п, в поле П, определяют точку m,nn, - цепф пучка ирямых первого порядка. Две соответствующие им в квадратичном преобра-зовании прямые т2, п2в поле П2 определяют гомалоидный пучок второго порядка (а2, b2, f2, m2, nj ирямых. Два пучка прямых (С,) и (D,) первого порядка имеют общую прямую I,. Два соответствующие им гомалоидных пучка прямых второго порядка с общими прямыми a,, b2, f2, также имеют общую свободную прямую Ц.

Нетрудно увидеть, что инвариантными элементами взаимно однозначного соответствия между полями прямых П2и П,, устанавливаемого Кг(1,1), являются проецирующие прямые иучка (SJ, а также прямая конгруэнции, принадлежащая биссекторной плоскости второй четверти пространства .

Нет оснований считать, что лишь Кг( 1,1) определяет взаимно однозначное соответствие между нолями прямых П2и П, и моделируется этим соответствием. Следует предположить, что подобное имеет место и для нелинейной (k > 1) конгруэнции прямых при определенном ее расположении относительно плоскостей проекций П2и П,.

Возможность взаимно однозначного моделирования Кг( 1,1) на чертеже Монжа имеет практическое применение. При профилировании режущих инструментов для обработки поверхностей деталей класса винтовых в качестве Кг( 1,1) рассматривается множество возможных контактных нормалей, образуемых всевозможными парами касающихся поверхностей детали и инструмента в процессе их взаимного огибания. Для конкретной пары взаимоогибаемых поверхностей существует их общая линейчатая поверхность контактных нормалей, образуемая вдоль общей мгновенной линии касания поверхностей. Решение задачи профилирования заключается в определении поверхности инструмента по заданным поверхности детали и закону движения инструмента. Определение поверхности инструмента основано на выделении поверхности контактных нормалей из Кг( 1,1) возможных нормалей, принадлежащих нуль-системе—линейному комплексу прямых, образуемому винтом относительного движения инструмента и детали. Поскольку профилирование выполняется на чертеже Монжа, то, в соответствии с вышеизложенным, на нем необходимо моделировать Кг{ 1,1). Доказанная выше возможность моделирования ирямых этой ко!пруэ!щии на чертеже Монжа делает профилирование взаимоо1-ибаемых поверхностей класса винтовых вполне выполнимым на этом чертеже (7|.

Библиографический список

1. Клейн. Ф. Высшая i-еометрия/Ф. Клейн. — М.;Л.:ОНТИ, 1939.- 400 с.

2. Розенфельд, Б. А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфел1А — М.: Гос. изд-во техя.-теор. лит., 1955. — 744 с.

3. Pottmann. Н. Computational Line Geometry / Н. Pottmann.

J. Wallner. — Berlin: Springer Verlag, Heidelberg, 2001. — 565 p.

4. Глаголев, H. А. Проективная геометрия / H. А. Глаголев. -М.: Высш. шк., 1963. — 344 с.

5. Иванов, Г. С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на оспове нелинейных преобразований) / Г. С. Иванов — М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.

6. Пеклич, В. А. Высшая начертательная геометрия : монография / В. А. Пеклич. — М.: АСВ, 2000. — 344 с.

7. Панчук, К. Л. Профилирование дискового инструмента для обработки винтовых канавок детали / К. Л Пшпіук. Ю. Н. Вивденко.

А.В. Климов // Омский научный вестник. С. 35-40.

2008. - №1(64). -

ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических паук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики. Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 15.03.2010 г.

© К. Л. Панчук

уда5*4 о. Б. ИЛЬЯСОВА

Сибирская автомобильно-дорожная академия, г. Омск

АЛГОРИТМ ЛИНЕЙЧАТОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ПОЛУЧЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛУГА

Предложен новый алгоритм линейчатой интерполяции на основе исчислительной геометрии с целью разработки математической модели экспериментально полученной поверхности плуга.

Ключевые слова: конструирование, линейчатая поверхность, алгоритм, математическая модель.

Традиционные методы расчета технических форм, которые заданы дискретным рядом экспериментальных точек, представленных в виде табличных данных, как правило, недостаточно учитывают геометрические особенности и проективные характеристики конструируемых поверхностей, а также технологические и конструктивные способы их образования. Применение теории параметризации и ме тодов исчислительной геометрии позволит значительно восполнить этот пробел.

В этой связи предложен следующий метод конст-руирования поверхностей. В качестве исходных данных должна быть выбрана плоскості» параллелизма, образующаялиния, а в качестве направляющих — различные геометрические условия: условия инцидентности, параллельности, перпендикулярности, касания (дифференциальные условия) и т. д, которые можно представить в виде

е°а^ Д" -символов, и, исиользуя методы исчис-лительнои геометрии, формальным способом производить различные расчеты для определения структурных или проективных характеристик поверхностей.

В качестве образующей может быть выбрана прямая линия, в результате движения этой линии но заданному закону получим .линейчатую поверхность. При определении интерполяционной формы кривой линии необходимо знаті» порядок кривой.

В качестве направляющих могут быть заданы различные линии, с которыми образующая связана определенными геометрическими условиями.

Формулы для расчета размерности этих условий 11):

1) для определения размерности условия инцидентности:

„ (2n-m)(m+l)

Гоб

(1)

где п — размерность объемлющего пространства, т - размерность плоскости, которая удовлетворяет обобщенному условию инцидентности, а1 — нижние коэффициенты обобщенного условия инцидентности;

2) д\я определения размерности условия параллельности:

Опор = ^т(п — П1 — р + кт); (2)

3) для определения размерности условия перпендикулярности:

ипер = Ят(р - Я1 + Ят)> (3)

где, к — степень параллельности, ш-мерная плоскость, наименьшая по размерности из плоскостей, п — размерность пространства, в котором лежат залэ*п!ые плоскости, ц — степень перпендикулярности.

Вышеуказанные линии можно определить интерполяцией или аппроксимацией заданных исходных данных.

Конструируя поверхность, мы должны учитывать способ ее образования, так как этот фактор существенно может повлиять на вид уравнения поверхности.

Алгоритм линейчатой интерполяции экспериментально полученной поверхности плуга:

1) разделить лемешно-отвальную поверхность плуга на две линейчатые поверхности: цилиндроид и коноид;

2) разбить цилиндроид/коноид на участки, опи-