CC BY
56
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)
%
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
УДК 512.774.42 о. Б. ИЛЬЯСОВА
В. И. ГЛУХОВ
Сибирская автомобильнодорожная академия
Омский государственный технический университет
ФОРМАЛИЗОВАННЫЙ АППАРАТ КОНСТРУИРОВАНИЯ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ_______________________
Предложен новый алгоритм конструирования линейчатых поверхностей на основе исчисли-тельной геометрии с целью разработки математической модели поверхности коноида.
Основная часть. Конструирование линейчатых поверхностей тесно связано с теорией параметризации. Формула расчета размерности Грассманова многообразия представима в виде [1]:
= (т + 1) • (п - т)
где т — порядок кривой; п — размерность пространства.
Отсюда можно определить, что в трехмерном пространстве Е4 вложено четырехпараметрическое многообразие прямых
Бт = (1 +1) • (3 -1) = 4.
Если линейчатая поверхность определяется однопараметрическим семейством прямых, то на четырех параметрическое многообразие прямых пространства Е4 нужно наложить условия, размерность которых в сумме должна быть равна трем.
Размерность условия пересечения прямой с кривой или прямой в трехмерном пространстве равна
единице. Так как это условие в символах исчислитель-
Г01
ной геометрии [2] можно представить как е31, и если
задана алгебраическая кривая, то в вышеуказанной символике, условие пересечения прямой с этой кривой можно представить как т е™ .
Размерность этого условия определяется из формулы:
_ (2п - т) • (т + 1) т
2 =--------;---------Ъ а‘,
2 г=0
где а. — размерность плоскостей.
е = (2-3 - 2 • С +1) - (з+1) = 1
Отсюда следует, что для определения линейчатой поверхности достаточно задать три направляющих линии, в частности три прямые.
Уравнение прямой можно несложным преобразо-
Таблица 1
Геометрические условия для прямой
[у = ах + Ь }z = cx + d
Вид условия Аналитическое представление условия
1 2
Инцидентность точки [у1=ах1+Ь
М(х},у}^}) [z1 =cxI+d
Пересечение с прямой
{у = а,х + Ь, тз - тГ 1 -о - -сЬ
^ = с,х + dI а 1 I c 1 I
Инцидентность плоскости BЬ + Cd + D = 0
Ах + Ву + Cz + D = 0 А + Ва + Cc = 0
Параллельность прямой
х-х1 _ у-у^ z-zI I _ а _ c
а а
Параллельность плоскости
Ах + Ву + Cz + D = 0 Аа + В + Cc — 0
Пересечение с кривой Цх) = ах + Ь
у = 1(х) /2 (х) = cx + Т
z II T(аrЬrcrd) = 0
Касание кривой ТЦх) а =—1Л-!-Тх
у II c Т2(х)
' ч" = N c = Тх
^(аЬ^Д) = 0
ванием привести к виду:
(у = ах + Ь [z = cx + d
прямая определяется четверкой параметров а, Ь, с, й.
Геометрические условия для этой прямой представлены в таблице 1.
Алгоритм конструирования линейчатой поверхности:
1. Задать три системы уравнений между параметрами а, Ь, с, й, пользуясь таблицей 1:
/ (а, Ь, с, й) = 0;
/2 (а, Ь, с, й) = 0;
/3(а, Ь, с, й) = 0.
2. Рассмотреть в общем виде вывод уравнения линейчатой поверхности.
3. Представить вывод уравнения линейчатой поверхности в виде блок-схемы (рис. 1).
4. Разрешив совместно системы уравнений, получить уравнение искомой линейчатой поверхности: Д 2 (X, У, 2) = 0 .
Рассмотрим в общем виде вывод уравнения, моделирующий поверхность коноида с направляющей окружностью (рис. 2).
у = ах + Ь z = cx + d
прямая определяется четверкой параметров а, Ь, с, й.
X =
X = -
у — Ь а
г — й
с
«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)
Т(сг,й) = 0
Ь=\{а)
с = А1(а\МаУ)
Л = Лз {а, \ (а), А, (а, \ (а)))
Рис. 1. Алгоритм вывода математической модели линейчатой поверхности
у — Ь г — й x а с 1
1. Плоскость параллелизма
Ах + Ву + Cz = 0 A + Ba + Cc — 0 а = 0 у = 0
2. Пересечение с прямой
х = 0
г = 0, следовательно й=0 у = 0
3. Радиус направляющей окружности [3]
у2 + (г — а + / )2 = а2 х = I
Решив совместно системы уравнений относительно 7, получим математическую модель коноида с направляющей окружностью:
z =
x(a - f - Va 2 - у2)
I
Библиографический список
1. Schubert, H. Kalkul der abzahlender Geometre / H. Schubert ; Springer — Vergal, Heidelberg, New — york, 1979. — Р. 46.
2. Volkov, V. An axiomatic theory of graphic models of polydimensional spaces / V. Ja. Volkov, V. Ju. Jurkov ; Proceeding of 6th ICECGDC 19 - 23 August, Tokyo, JAPAN, 1994. - Р. 32.
3. Кривошапко С. Н. Аналитические поверхности / С. Н. Кривошапко, В. Н. Иванов, С. М. Халаби. М.: Наука, 2006. - С. 82.
где а — радиус направляющей окружности, / — расстояние от вершины окружности, лежащей в плоскости х =I.
Вывод.
Разработан новый алгоритм конструирования линейчатых поверхностей на базе формализованного аппарата теории параметризации многомерной геометрии. С помощью алгоритма легко составить математическую модель сложных пространственных линейчатых поверхностей второго порядка для конструирования детали машин различного служебного назначения.
ИЛЬЯСОВА Ольга Борисовна, аспирантка Сибирской автомобильно-дорожной академии, кафедра начертательной геометрии, инженерной и машинной графики, ассистент кафедры детали машин и инженерной графики Омского государственного аграрного университета.
ГЛУХОВ Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры метрологии и стандартизации Омского государственного технического университета.
Дата поступления статьи в редакцию: 24.03.2008 г.
© Ильясова О.Б., Глухов В.И.
Книжная полка
Чекмарев, А. А. Задачи и задания по инженерной графике [Текст] : учеб. пособие для техн. специальностей вузов / А. А. Чекмарев. - 2-е изд., стер. - М. : Академия, 2007. - 125 с. : рис., табл.
Учебное пособие составлено на основе авторского учебника «Инженерная графика». В нем приведены примеры решения ряда типовых задач и даны задания для самостоятельного выполнения.
По вопросам приобретения - (3812) 65-23-69 E mail: libdirector@ omgtu.ru.
Сборник задач по начертательной геометрии [Текст] : для студентов немех. специальностей / сост.: Ф. Н. Притыкин [и др.]. - Омск : ОмГТУ, 2007. - 24 с. : рис. - Библиогр.: с. 24
Сборник задач составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом профессионального высшего образования дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» для студентов немеханических специальностей.
По вопросам приобретения - (3812) 65-23-69 E mail: libdirector@ omgtu.ru.
Фролов, С. А. Начертательная геометрия [Текст] : учеб. для вузов по направлению подгот. дипломир. специалистов в обл. техники и технологии / С. А. Фролов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : ИНФРА-М, 2007. - 285 с. : рис., табл. - (Высшее образование). - Библиогр.: с. 281. - ISBN 5-16-001849-2.
Учебник соответствует примерной программе по начертательной геометрии для вузов технических направлений. Подчеркнута роль инвариантных свойств ортогонального проецирования в создании теоретической базы курса. Особое внимание уделено способам образования поверхностей, их заданию на эпюре Монжа.
По вопросам приобретения - (3812) 65-23-69 E mail: libdirector@ omgtu.ru.
51/К68
Королев, Ю. И. Начертательная геометрия [Текст] : учеб. для втузов по специальности «Начертательная геометрия» / Ю. И. Королев. - СПб. : Питер, 2007. - 251 с. : рис., табл. - (Учебник для вузов). - ISBN 5-46900349-3.
Начертательная геометрия входит в состав обязательных дисциплин ведущих технических и архитектурно-строительных вузов мира. Ее роль в подготовке специалистов и в решении прикладных задач возрастает с развитием науки и техники. Невозможно представить инженера без знания основ теории изображений.
Данный учебник соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по подготовке бакалавров, магистров и дипломированных специалистов по курсу начертательной геометрии в технических вузах. Кроме теоретических основы образования изображений и геометрических преобразований изложены правила оформления чертежей. Порядок решения геометрических задач подробно рассматривается на конкретных примерах с анализом рациональных вариантов построения изображений. в конце каждого раздела размещен дидактический материал для закрепления изученного материала и самоконтроля.
«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
